高数B2分题型练习(答案)

高等数学B2分题型练习(参考答案)

一、单顶选择题

1、 ()C

2、()D

3、()C

4、()C

5、()C

6、()D

7、 ()B

8、()B

9、()B 10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B 19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B 28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A

二、填空题

1、0

2、0

3、 0

4、0

5、12

6、12

7、0

8、2dx dy +

9、1

2

dx dy + 10、0 11、0 12、222

()xdx ydy x y

++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ?? 14、12

arcsin (,)y

dy f x y dx π

?

? 15

、1

10(,)dx f x y dy ? 16、210

(,)x

x

dx f x y dy ??

17、

1

6

18、S 19、0a > 20、12p <≤ 21

、(33-

22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0

(1),(1,1)n n

n x x ∞

=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1)

,(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110

- 29、x

e - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++

34、C

y x

= 35、5212415y x C x C =++

三、计算定积分

1、求定积分

cos 2

sin x e xdx π

?

解：

cos cos cos 222

sin cos |1x

x x e

xdx e

d x e

e π

π

π

=-=-=-?

?

2、求定积分

cos x xdx π

?

解：

cos (sin )x xdx xd x π

π

=?

?00

sin |sin x x xdx π

π

=-?0cos |2x π==-

3、求定积分

2

20124x

dx x ++? 4、求定积分 21ln x xdx ?

解：222222000121

2444x x dx dx dx x x x +=++++??? 解：22211ln ln ()2

x x xdx xd =?? 222

001arctan |ln(4)|22

x x =++ 22211ln |22x x x dx =

-?

ln 28

π

=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=- 5、求定积分02222dx

x x -++?

解：000

22222(1)arctan(1)|()221(1)442

dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++?? 6、求定积分

解：令sin x t =，则cos dx tdt =

，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。

于是

222

244

cos cos cot sin t tdt tdt t ππ

ππ==?? 2

2

2

4

4

(csc 1)(cot )|14

t dt t t π

π

πππ

=-=--=-?

7求定积分

dx x x

?++3

011

解：令2

1,2,0,1;3,2,x t dx tdt x t x t =-=====

2

3

222011122()1t tdt t t dt t -==-+???2

123|)2131(2t t -= 35=

8、求定积分

sin x xdx π

?

解：

sin (cos )x xdx xd x π

π

=-?

?00

cos |cos x x xdx π

π

=-+?0sin |x πππ=+=

9、求定积分

1

201

1x dx x ++? 解：111211

002220001111ln(1)|arctan |ln 2111224

x x dx dx dx x x x x x π+=+=++=++++??? 10

、求定积分

?

解：由定积分的几何意义可知，积分值为区域 2

2

{(,)|4}D x y x y =+≤落在第一象限的部

分的面积，即

π=?

，

解法二，令2sin x t =，则2cos dx tdt =，且当0x =时，0t =，当2x =时，2

t π

=

，则

2

22200

001

4cos 2(1cos 2)2(sin 2)|2tdt t dt t t ππ

π

π==+=-=?

??

11

、求定积分

1

?

解： 令 tan x t =，则2

sec dx tdt =，且当1x =时，4

t π

=

；x =3

t π

=

。

于是

233

3

221

4

44sec cos 1|tan sec sin sin 3tdt t dt t t t

t ππ

π

πππ===-=?

??

12、求定积分

10

?

解：令2

,2,0,0;1,1,x t dx tdt x t x t ======

11

1

1

1

10

00

222|222|2t t

t t t te dt tde te e dt e e ===-=-=?

???

四、计算偏导数、全微分

1、设,z uv =其中,u x y v xy =+=，求

,z z x y ????。 解：22

()z x y xy x y xy =+=+, 222,2z

z

xy y x xy x

y

??=+=+?? 2、设2

sin cos z x y x y =+，求dz

解：因为

22cos cos ,sin sin z z xy x y x x y x y

??=+=-?? ， 所以2

(2cos cos )(sin sin )dz xy x y dx x x y dy =++-

3、设2

ln ,,32x z u v u v x y y ===-，求

,z z x y

????。 解：22

221232ln 3ln(32)(32)z z u z v u x x u v x y x u x v x y v y y x y ??????????=+=?+?=-+- 2

222

322ln ()(2)22ln(32)(32)

z z u z v x u u v y u y v y y v

x x x y y y x y ??????????=+=?-+?-=-

---

4、设xy

z xe =，求dz 。

解：因为 2,xy xy xy

x y z e xye z x e ''=+=，所以 2()xy

xy

xy

dz e xye dx x e dy =++

5、设222ln(1)y

z xe

y x =++，求dz 。

解：因为 222222,22ln(1)1y

y

x y xy z e z xe y x x ''=+=+++， 所以 2222

2

2()(22ln(1))1y y xy dz e dx xe y x dy x

=+++++ 6、设(32)z f x y =+，f 是可微的函数，求23z z x y

??-??。 解： (32)3,(32)2z z f x y f x y x y ??''=+?=+??? 22232()33(32)20z z

f x y f x y x y

??''-=+?-+?=?? 7、设(,)z f x y =是由方程2

2

2

4z

x y z e ++=所确定的隐函数，求

,z z

x y

????。 解：设2

2

2

(,,)4,z

F x y z x y z e =++-则2,2,24z

x y z F x F y F z e '''===-

22,242242y x z z z z z z F F z x x z y y

x F z e e z y F z e e z

''??=-=-==-=-=

''?--?--

8、设二元函数(,)z f x y =是由方程1x

y

z

xe ye ze -=+所确定的隐函数，求

,z z x y

????。 解：设(,,)1,x

y

z

F x y z xe ye ze =---则

,(),()x x y y z z x y z F e xe F e ye F e ze '''=+=-+=-+

,()x x x x y y

y x z z z z z

z

z z F F z e xe e xe z e ye x F e ze e ze y F e ze ''?++?+=-=-==-=-''?-++?+ 9、设二元函数(,)z f x y =是由方程0z

e xyz -=所确定的隐函数，求

,z z x y

????。 解：设(,,),z

F x y z e xyz =则,,z

x y z F yz F xz F e xy '''=-==-

,y x z z

z z F F z yz z xz

x F e xy y F e xy

''??=-===-==''?-?- 10、设二元函数(,)z f x y =是由方程xyz

e

x y z =++所确定的隐函数，求

,z z

x y

????。 解：设 (,,)xyz F x y z e x y z =---，则1,1,1xyz xyz xyz

x y z F yze F xze F xye '''=-=-=-

所以11,11xyz xyz y x xyz xyz

z z F F z

yze z xze x F xye y F xye

''?-?-=-==-=''?-?- 11、设二元函数(,)z f x y =是由方程2

2

2

z

e y yx xz =++所确定的隐函数，求

,z z

x y

????。 解：设 222(,,)z

F x y z y yx xz e =++-，则

222,2,2z x y z F xy z F x y F xz e '''=+=+=-

所以2222,22y x z z

z z F F z xy z z

x y x F e xz y F e xz

''?+?+=-==-=''?-?- 12、设二元函数(,)z f x y =是由方程20xy

z e z e -++=所确定的隐函数，求

,z z

x y

????。 解：设 (,,)2xy

z F x y z e

z e -=++，则

,,2xy xy z x y z F ye F xe F e --'''=-=-=+

所以,22xy xy y x z z

z z F F z ye z

xe x F e y F e

--''??=-==-=''?+?+ 五、计算二重积分 1、求二重积分

dxdy y x D

??

+22，其中：D 为0,0,9322≥≥≤+≤y x y x x

解：利用极坐标，:0,3cos 32

D r π

θθ≤≤

≤≤，

3

2

332

2

20

3cos 0012[][2727cos ]9[1cos ]9()323

D

r dr d d d π

ππ

θπθθθθθ==-=-=-?

???

2、计算二重积分

sin D

x dxdy x ??，其中区域D 是曲线2

y x =和直线y x =所围成的闭区域。 解：sin D

x

dxdy x =??221

11000sin sin [][[]][sin sin ]x

x

x x x x dy dx y dx x x x dx x x ==-???? 1

0[cos cos sin ]1sin1x x x x =-+-=-

3、计算二重积分

2()D

x dxdy y ??，其中区域D 是直线2,x y x ==及曲线1y x =所围成的闭区域。 解：曲线1y x =与直线y x =的交点为 (1,1)，1

{(,)|,12}D x y y x x x

=≤≤≤≤

2222223

4221111111119()(())(())|()()|424x x x x D

x x dxdy dy dx x dx x x dx x x y y y ==-=-=-=?????? 4、求二重积分

D

xdxdy ??，其中D 是由直线x y =和圆 2

2(1)1x

y +-=所围成且在直线x

y =下方的平面区域。

解：直线与圆的交点为

(0,0),(1,1),{(,)|1}D x y y x y =≤≤≤≤

1

[]y

D

ydxdy dy =????

122

231001121[1(1)]()2236

y y dy y y =

---=-=? 5、求二重积分

2

D

x ydxdy ??

，其中D 是由直线0y =和圆 22(1)1x y -+=所围成的在第一象限的平面区域。

解：{(,)|02}D x y y x =≤≤≤≤

2

222

22222000011[][[(2)]22

D

x ydxdy ydy dx x y dx x x x dx ===-????

??

4510114

()|4105

x x =-=

6、求二重积分()D

x y dxdy +??，其中区域D 是由直线0y =和半圆 22

1(0)x y y +=≥所围成。

解：{(,)|011}D x y y x =≤≤-≤≤

1

1

2

210

1

1

231111[)][()2

1112

[(1)]()|2233

D

x ydxdy x y dy dx xy y dx x dx x x ----=+=+

=-=-=????

??

六、判定级数的敛散性

1、判绽级数241sin

31

n n n π∞=+∑的敛散性。

解：因为2444sin 11

3||||11n n u n n n π

=≤<++，而正项级数411n n ∞

=∑收敛，所以级数241sin 31

n n n π∞=+∑绝

对收敛。 2、判定级数

2

1

sin

31

n n n π

∞

=+∑

的敛散性。 解：2222sin

sin 1133||||||222n n n u n n n n ππ

==≤<+++，而正项级数211n n

∞

=∑收敛，

所以 21sin 32n n n π∞=+∑收敛 ，因此原级数21sin 32

n n n π∞

=+∑ 绝对收敛。

3、判绽级数21

1

2n

n n ∞

=+∑的敛散性。 解：这是一个正项级数，且2112(1)121

lim lim 1212n n n n n n

u n u n ++→∞→∞++=?=<+，所以由比值判别法知级数21

1

2n

n n ∞

=+∑收敛。 4、已知级数13

n

n n a n ∞

=∑收敛散性，求常数a 的取值范围。

解：设3n n n a u n =，则111||||(1)3||

lim lim ||||33n n n n n n n n

u a n a u a n +++→∞→∞+==， 所以当||13a <时，级数13n n n a n ∞=∑绝对收敛，||

13a >时，级数13

n n n a n ∞

=∑绝对发散。

而当3a =时，级数为11n n ∞=∑，是发散的，当3a =时，级数为1

1(1)n n n ∞

=-∑，是收敛的。因

此当级数13

n

n n a n ∞

=∑收敛时，常数a 的取值范围为33a -≤<。

5、判定级数

31

1

1

(1)

3n n

n n ∞

+=+-∑的敛散性。 解：因为331133||(1)13(1)11

lim lim lim 1||313(1)3n n n n n n n

u n n u n n ++→∞→∞→∞++++=?==<++，

所以级数

31

1

1

(1)

3n n

n n ∞

+=+-∑绝对收敛。 6、判定级数

1

1sin 3

n n n n α

∞

-=∑

(α为常数)的敛散性，并指出是否绝对收敛。 解：111

sin 11||||333n n n n n u n n α---=≤≤，而正项级数1113

n n ∞

-=∑是一个公比为1

3q =的等比级数，所以收敛，因此 11sin 3n n n n α∞-=∑收敛 ，因此原级数1

1

sin 3n n n n α

∞

-=∑ 绝对收敛。 七、幂级数 1、求幂级数

1

1

n n nx

∞

-=∑的收敛域及和函数。

解：由于11

lim lim 1n n

n n

a n a n ρ+→∞

→∞+===，所以所以，幂级数的收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-.当1x =-时，幂级数成为

1

(1)

n n n ∞

-=-∑，显然是发散的；当1x =时，幂级数成为0

n n ∞

=∑，

也是发散的.因此，收敛域为(1,1)-。

当(1,1)x ∈-时，1

2

1

11

1

()()()()1(1)n n

n n n n x S x nx

x x x x ∞

∞

∞

-==='''=

====--∑∑∑ 2、求幂级数21

1

(1)21n n

n x n +∞

=-+∑的收敛域。

解：此幂级数缺少偶次幂项,所以不能用定理8中的公式求收敛半径.我们可根据定理7 求收

敛半径.设21

()(1)21n n

n x u x n +=-+，

由于2

21()21

lim lim ||()23n n n n

u x n x

x u x n +→∞→∞+==+

所以，当2

1x <，即11x -<<时，幂级数绝对收敛；当2

1x

>，即1x <-或1x >时，

幂级数发散.因此，收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-.当1x =-时，幂级数成为

1

11(1)21n n n ∞

-=-+∑，显然是收敛的；当1x =时，幂级数成为11(1)21n

n n ∞=-+∑，也是收敛的，所以收敛域为 [1,1]-.

3、将函数()3x

f x x =-展开成x 的幂级数。

解：因为

1

(11)1n n x x x +∞

==-<<-∑ 所以1

1001()()(33)33333

13

n n n n n x x x x x f x x x x ++∞+∞+===

=?==-<<--∑∑

4、将函数1

()4f x x

=

-展开成x 的幂级数。 解：因为

1

(11)1n n x x x +∞

==-<<-∑ 所以1001111()()(44)4444414

n

n n n n x x f x x x x +∞+∞+===

=?==-<<--∑∑ 5、将函数2

1

()9f x x

=-展开成x 的幂级数。 解：因为 11x -＝0

,(11)n

n x x +∞

=-<<∑

所以2211

11

()99

919

f x x x =

=?=--

22100

()99n

n n n n x x +∞

+∞+===∑∑，（33x -<<） 6、求幂级数1

n

n x n ∞

=∑的和函数。

解：幂级数的收敛半径为1R =，收敛域为[1,1)-

设1

()n

n x s x n ∞

==∑，则当(1,1)x ∈-时，

1111

1

()()()1n n n n n n x x s x x n n x ∞

∞∞

-==='''====-∑∑∑

对上式两边从0到x 积分，得 ()(0)ln(1)s x s x -=--，即()ln(1)s x x =-- 幂级数的和函数()s x 在收敛域(1,1]-上连续，所以有

11

(1)lim ()lim ln(1)ln 2x x s s x x ++→-→--==--=-

因此 ()ln(1),]1,1)s x x x =--∈- 八、求一阶微分方程的通解或特解 1、求微分方程

32(1)1dy y x dx x

-=++的通解。 解：这是一个线阶非齐次线性方程，因为32

(),()(1)2P x Q x x x =-=++ 代入通解公式，得2

2

()()3

1

1((1))dx dx

x x y e

x e

dx C --

-++?

?=++?

2

2

ln (1)3ln (1)((1))x x e

x e dx C +-+=+?+?

2(1)((1))x x dx C =+++?421

(1)(1)2

x C x =+++

2、求微分方程tan sin 2y y x x '+=的通解。

解：()tan ,()sin 2P x x Q x x ==，由通解公式得

tan tan ln cos ln cos (sin 2)(sin 2)xdx xdx

x x y e xe dx C e xe dx C --?

?=+=+??

cos (2sin )cos (2cos )x xdx C x x C =+=-+?

3、求微分方程2(2)

dy

x x y y dx +=的通解。 解：方程可化为2

()12y dy

x y

dx x =+，

这是一个一阶齐次微分方程，设y u x =，得dy du u x dx dx =+ 原方程化为 du u x dx +212u u

=+，分离变量得 12(1)u dx du u u x +-=+，两边积分

12(1)u dx du u u x +-=+?? ， 11()1dx

du u u x

-+=+??

得 ln ln(1)ln ln u u x C ++=-+ 用y

u x

=代入并化简得 ()y y x Cx +=

4、求微分方程x

xy y xe '+=的通解。

解：方程可化为1x

y y e x '+=，因为 32(),()(1)2

P x Q x x x =-=++

代入通解公式，得11

)1()()dx dx x x x x

y e e e dx C xe dx C x

-

??=+=+?? 1

()x x xe e C x

=

-+ 5、求微分方程

1sin dy x y dx x x +=

满足初始条件()02y π

=的特解。 解：1sin (),()x

P x Q x x x ==，由通解公式得

11ln ln sin sin ()()dx dx x x x x x x y e e dx C e e dx C x x

--??=+=+?

? 11

(sin )(cos )xdx C x C x x

=+=-+?

由初始条件()02y π=，得0C = 所以特解为cos x

y x

=-

6、求微分方程21

(1)1dy y x dx x -=++的通解。

解：21

(),()(1)1P x Q x x x =-=++，由通解公式得

112

ln(1)2ln(1)11((1))((1))dx dx x x x x y e x e dx C e x e dx C -+-+++??=++=++??

21

(1)((1))(1)((1))2

x x dx C x x C =+++=+++?

九、求二阶微分方程的特解

1、求微分方程430y y y '''-+=在初始条件00|6,|10x x y y =='==下的特解。

解：特征方程为2

430r r -+=，解得特征根为121,3r r == 所以方程的通解为312x x y C e C e =+ 3123x x

y C e C e

'=+

由初始条件得12126310

C C C C +=??+=?，解得124,2C C ==。 特解为342x x

y e e =+

2、求微分方程4120y y y '''--=在初始条件00|0,|8x x y y =='==下的特解。

解：由特征方程2

4120r r --=，解得 126,2r r ==-，所以方程的通解为 6212x x

y C e C e -=+ 由初始条件00|0,|3x x y y =='==，得

12120

628C C C C +=??

-=?，解得

1211

C C =??

=-? ，因此特解为62x x

y e e -=- 3

、求微分方程230y y '''-+=在初始条件00|0,|1x x y y =='==下的特解。 解：

由特征方程2

230r -+=，解得

12r r ==

12()y C x C =+

由初始条件00|0,|1x x y y =='==，得

212

01C C C =???+=??，解得 1210C C =??=?

，因此特解为y =

4、求微分方程sin y x x ''=在初始条件00|0,|3x x y y =='==下的特解。

解： 方程两边积分一次得

1sin (cos )cos cos cos sin y x xdx xd x x x xdx x x x C '==-=-+=-++???

由

0|3x y ='=得13C = ，所以cos sin 3y x x x '=-++

再两边积分得2(cos sin 3)sin 2cos 3y x x x dx x x x x C =-++=--++?

由0|0x y ==得，22C =，所以sin 2cos 32y x x x x =--++ 5、求微分方程230y y y '''--=在初始条件00|2,|2x x y y =='==下的特解。

解：特征方程为2

230r r --=，解得特征根为121,3r r =-= 所以方程的通解为312x x

y C e C e -=+

由初始条件得1212232

C C C C +=??-+=?，解得121,1C C ==。 特解为3x x

y e e -=+

6、求微分方程450y y y '''-+=在初始条件00|1,|3x x y y =='==下的特解。

解：特征方程为2

450r r -+=，解得特征根为122,2r i r i =+=- 所以方程的通解为212(cos sin )x

y e C x C x =+

由初始条件得112123C C C =?

?

+=?，解得121,1C C ==。特解为2(cos sin )x

y e x x =+

十、求平面图形的面积和旋转体的体积

1、设平面区域D 由曲线2

4y x =-与直线0y =所围成，求

（1）区域D 的面积； （2）区域D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积。 解：面积2

2

3222

132(4)(4)|33

S x dx x x --=

-=-=?

旋转体的体积0

20

44

1(4)(4)|82

V y dy y y πππ--=+=+=? 2、设平面区域D 由曲线3

y x

=

与直线4x y +=所围成，求 （1）区域D 的面积； （2）区域D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。

解：曲线3

y x

=

与直线4x y +=的交点为 (1,3),(3,1) (1) 区域D 的面积为 313(4)S x dx x =--?23

11(43ln )|43ln 32x x x =--=-

(2) 旋转体的体积 32219[(4)]V x dx x π=--?3

31198[(4)]|33x x ππ=--+=

3、设平面区域D 由曲线2

x y =与直线1,0y x ==所围成，求

（1）区域D 的面积； （2）区域D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积。 解：所求面积为 123100

11|33

S y dy y =

=

=?

所求旋转体的体积为1220

()5

y V y dy π

π

==

?

4、设平面区域D 由曲线2

y x =与直线y x =所围成，求

（1）区域D 的面积； （2）区域D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。

解：面积1

2

23100

111()()|236S x x dx x x =

-=-=? 旋转体的体积124

35100111()()|3515V x x dx x x πππ=-=-=?

5、设平面区域D 由曲线1

y x

=与直线y x =及2x =所围所，求

（1）区域D 的面积； （2）区域D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。

解：曲线1

y x

=与直线y x =的交点为 (1,1)

(1) 区域D 的面积为 211()S x dx x =-?22

113(ln )|ln 222x x =-=-

(2) 旋转体的体积 22

211[]V x dx x π=-?3211111[]|36x x ππ=+=

6、设平面区域D 由曲线2

y x =与直线2y x =所围成，求

（1）区域D 的面积； （2）区域D 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。

解：面积2

22

3200

14(2)()|33

S x x dx x x =

-=-=? 旋转体的体积224

352004164(4)()|3515

V x x dy x x πππ=-=-=?

十一、 多元函数极值应用题

1、面积为48（平方单位）的钢板，适当裁剪后，焊接成一个长方体形的无盖水箱（不计耗），问尺寸如何设计，做成的水箱的容积最大.

解： 设容器的长、宽、高分别为,,x y z ，则目标函数为

(,,0)V xyz x y z => 约束条件为 2248xy xz yz ++= 作拉格朗日函数 (,,)(2248)L x y z xyz xy xz yz λ=+++-

由(7-12)可得方程组 20202202248

x

y

y L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλλλλ'=++=??'=++=??'=++=??++=?

将上述方程组中的第一个方程乘x ，第二个方程乘y ，第三个方程乘z ，再两两相减，得 2x y

y z

=??

=?，代入第四个方程得唯一驻点 4,2x y z ===，由问题本身可知最大值一定存在，因此，当容器的长，宽均为4米，高为2米时容积最大。

2、某企业在雇用x 名技术工人，y 名非技术工人时，产品的产量2

2

(,)8123Q x y x xy y =-+-，

如果企业只能雇用230人，那么该雇用多少技术工人，多少非技术工人才能使产量Q 最大？ 解：由题意得约束条件为 230x y +=，

作拉格朗日函数 2

2

(,)8123(230)L x y x xy y x y λ=-+-++-

可得方程组 161201260230x

y L x y L x y x y λλ'=-++=??

'=-+=??+=?

。解得90140x y =??=?，驻点唯一，实际问题有最优解，所

以企业雇用技术工人、非技术工人分别为90,140名时，能使产量达到最大。

3、某企业生产某产品的产量3144

(,)100Q x y x y =，其中x 为劳动力人数，y 为设备台数，该企业投入5000万元生产该产品，设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要25万元， 问该企业应招聘几个劳动力和购买几设备时，使得产量达到最大？

解：由题意得约束条件为 15255000x y +=，即351000x y +=

作拉格朗日函数 3

14

4

(,)100(351000)L x y x y x y λ=++-

可得方程组 11443344

75302550351000

x

y L x y L x y

x y λλ--?

'=+=???'=+=??+=???

。解得25050x y =??=?，驻点唯一，实际问题有最优解，所以企业招聘250个劳动力，购买50台设备时，能使产量达到最高。

4、某工厂生产甲、乙两种产品，当主量分别为 x （千件）和y （千件）时，销售收入为 2

2

(,)1512328210R x y x y xy x y =++--- （万元）

如果工厂每月只能生产2千件产品，问两种产品各生产多少件时，这个月的销售收入最大。 解 总产量为2千件时的最佳的生产方案就是在2x y +=的条件下，求),(y x R 的最大值问题。设拉格朗日函数为

=),(y x L 221512328210x y xy x y ++---(2)

x y λ++-