立体几何证明方法总结(教师)

、线线平行的证明方法：

1、利用平行四边形。

2、利用三角形或梯形的中位线。

3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

线面平行的性质定理）

4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

6、平行于同一条直线的两条直线平行。

二、线面平行的证明方法：

1、定义法：直线与平面没有公共点。

2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。

三、面面平行的证明方法：

1、定义法：两平面没有公共点。

2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

3、平行于同一平面的两个平面平行。

面面平行的性质定理）

5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线

平行。（线面垂直的性质定理）

7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。

需证明）

线面平行的判定定理）

面面平行的判定定理）

4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直线的两个平面平行。

四、线线垂直的证明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角是直角。

5、点在线上的射影。

6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。

7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。证明）

8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。需证明）

9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。

五、线面垂直的证明方法：

1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。三垂线定理，需三垂线逆定理，

2、点在面内的射影。

理）

5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。

7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。

8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。

9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。

六、面面垂直的证明方法：

1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。

2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。

4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。

一．选择题（共 27 小题）

1. （ 2010浙江）设I , m 是两条不同的直线， a 是—个平面，则下列命题正确的是（ ）

A .若 I 丄 m , m a,贝U I 丄a

B .若 I 丄a, I // m ，贝U m 丄％

C .若 I // a,

m a,贝U I II m D .若 I // a,

3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。 （线面垂直的判定定理）

4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们

交线的直线垂直于另一个平面。 （面面垂直的性质定

面面垂直的判定定理）

a,

m // a,贝U I // m

C.若a // 3 , a // 3 ,贝U a / a

D.若b // a , a / b ,贝U a/a

2 . （2006湖南）过平行六面体ABCD- A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（）

A. 4条

B. 6条

C. 8条

D. 12 条

3 .直线I与平面

A.充分不必要条件a无公共点”是“l a”（

）

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

①.

mJ_ 口

=>i

// n;②"□丄"=口// a；③.:④

[n丄a.in±n[nS a "U" 口

)

4 .已知m, n表示两条直线，a表示一个平面，给出下列四个命题:

其中正确命题的序号是

A.①②

B. ②④

C. ②③

D.①④

5 .正方体ABCD- A1B1C1D1 中, E, F, G 分别是A1B1、CD B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是

B. AE与CG是异面直线

C.四边形ABC1F是正方形

D. AE//平面BC1F

6 .直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的

（A. 一条直线不相交B.

）

两条直线不相交

C.任意一条直线都不相交

D. 无数条直线不相交

7 . a、3表示平面，

A. a丄3,且a丄3 b表示直线，则a // a的一个充分条件是（

B. an 3 =b 且a // b

C. a// b,

)

b //

a

D. a// 3,且a 3

8 .已知两条直线a, b,

A.若a 3,且all 3,则两个平面

a // a

a, 3,则下列结论中正确的是（

B.若b a, a l b,贝U a l a

9 .下列四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个顶点, MNP 的图形的序号是 A M M 、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB /平面

r ① A .①、③ ②’ B .①、④

P

D .②、④

a 、

10.设a 、3 丫是三个不同的平面, ①若 a / a , b / a , 在平面a 内的射影互相垂直，则

A .③

B . a 、b 是两条不同的直线,给出下列 则 a / b ;②若 a / a, b //3, a / b ,贝U a/ 3；③若 a 丄b .其中正确命题是（ ） ④

C .①③ 4个命题： a 丄a, b 丄3, a 丄b ,贝U a 丄3; ④若 a 、b a ,

D .②④ 11.已知两条直线 a , b 和平面 A .充分但不必要条件

a ,若

b a ,贝 U a / b 是 a //%的（ ） B .必要但不充分条件 C.充要条件 D .既不充分又不必要条件 12 .已知直线a 和平面a ,那么 A .存在一条直线b , a / b , b a a // a 的一个充分条件是（ ） B .存在一条直线 C.存在一个平面 3, a 3, a //

3 D .存在一个平面 3, a 丄 3, a 丄

3

13.已知a , 3表示平面, A . a 丄 3, a 丄 3 a , b 表示直线，则a / a 的一个充分条件是（ B . a 丄 3 =b a // b C . a / b , b // a

D . a// 3, a 3

14. A , b , c 为三条不重合的直线, 督\/ b ② b 仁r 暫/「3⑤ 7 J I 其中正确的命题是（

叫叫/ b ③ 沖]a/ a ⑥ 訓C

J ） a , 3 , 丫为三个不重合平面，现给出六个命题 m ]

畀们// a .. a/ a

畀Y J

a/ 3

C.若 a // 3 , a // 3 ,贝U a / a D .若 b // a , a / b ,贝 U a /a

A . ①②③

B .①④⑤

C .①④

D .①③④

15. A . 下列说法正确的是（ ） 垂直于同一平面的两平面也平行 B . 与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线 C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D .垂直于同一直线的两平面平行 16.已知两条直线 A .若 m I a, n I

m 、n 与两个平面 a B ,下列命题正确的是（ a ,贝U m l B .若 m l a, m l B ,贝U al C .若 m 丄 B B a, a, )

m 丄B,贝U all D . 若 m 丄n , m 丄B,贝U n l 3

17.已知直线a , A . a 丄 b , b 丄 a b ,平面a , B . a l B, Bl a B ,则a l a 的一个充分条件是（ C . b a, a I b

D . a II b , b II a, a a

18. A 是平面 AD , BC, BCD 外一点，E , F , G 分别是BD , DC 中，与平面a 平行的直线有（ DC, CA 的中点，设过这三点的平面为 ） a , 则在直线AB , AC,

BD, 0 A . B . 1条 C . 2条 D . 3条

19. A . （2010山东）在空间，下列命题正确的是（ 平行直线的平行投影重合 ）

B .平行于同一直线的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D .垂直于同一平面的两条直线平行

20. A . （2008湖南）设有直线 m 、n 和平面 若 m la ,

n la ,贝 U m l n a, B,下列四个命题中，正确的是（ ）

B .若 m a , n a, m l B , n lB ,贝U alB

C. 若 a 丄3, m a,贝U m 丄B

D .若 a// 3 , m 丄 3 , m a ,贝 U m //a

21. （2008福建）如图，在长方体 ABCD- A l B l C l D l 中，AB=BC=2 AA 1=1,则AC l 与平面A l B l C l D l 所成角的正弦 值为（ ）

C .

D .丄 3

22. A . a , 23. A . C. （2008安徽）两条不同直线， 若 m // , n //,贝U m // n B .若 a 丄 丫，3丄 Y 贝U a// 3C .若 m //

3 3 , 丫是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） a, m / 3,贝U a / D .若 m 丄 a , n 丄 a ,贝U m / n （2007辽宁）若m , n 是两条不同的直线， a, 若m 3 , a 丄3贝U m 丄a 丫是二个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ B . 若 aP Y =m 3门丫 =n m / n ,贝U a D .若m 丄3, m 〃 a,贝U a 丄3 a , 24. ① m / n , m 丄 a 丄 a ②a/3 , m a, n 3m/ n ③m / n , m / an/ a ④ a/ 3, m / n , m 丄 ai±3 其中正确命题的序号是 A . （2007江苏）已知两条直线 m , n ,两个平面 a, 3给出下面四个命题: ①③ ) B . ②④ C .①④ D .②③

25. A . （2002北京） 艮丄Y r 已知三条直线 B . m 、n 、I ,三个平面

叫 0 Uli p

b 、 C . g ,下列四个命题中, M Y J 正确的是（

D . mJ- T nlY

26.已知直线 A .充分而不必要条件 平面 a, 直线n 平面a ,直线c 丄m ,直线 B . c 丄n "是直线c 丄平面 必要而不充分条件 aB( )

C.充要条件

D . 既不充分也不必要条件

27?若直线a //直线b ，且a //平面a,则b 与平面a 的位置关系是（ ）

A . 一定平行

B .不平行

C .平行或相交

二?填空题（共3小题）

28.如图：点P 在正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的面对角线 BC 1上运动，则下列四个命题:

① 三棱锥A -D 1 PC 的体积不变； ② A 1P //面 ACDi ; ③ DP 丄BC 1； ④ 面PDBi 丄面ACD1. 其中正确的命题的序号是

1.分析：根据题意，依次分析选项： A ,根据线面垂直的判定定理判断. C :根据线面平行的判定定理判断. D :

由线线的位置关系判断. B :由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案.

D .平行或在平面内

29.考察下列三个命题，在

线，a B 为不重合的平面）

mC （1 1

// a,②

l/JlT

--”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中 ，则此条件为 _ _ .

I // a,③

山“ a

I , m 为不同的直

30.在正四面体 PABC 中，

①BC//平面 PDF ;②DF 丄平面 D , E , F 分别是棱AB, BC, CA 的中点.给出下面四个结论：

PAE ③平面 PDF 丄平面 ABC;④平面 PAE1平面 ABC,

解答: 解：A,根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；

C: I // a, m a,则I // m或两线异面，故不正确.

D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确.

B:由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正

2

. 解：如图，过平行六面体ABCD- A I B I C I D I任意两条棱的中点作直线, 其中

与平面DBB IDI平行的直线共有12条，

故选D.

3

解：若即直线I与平面a无公共点” /la为真命题反之，当“/ a时，直线I与平面a无公

共点” 即“/ a”直线I与平面a无公共点”也为真命题根据充要条件的定义可得：

直线I与平面a无公共点”是“/ a'的充要条件故选C

f m I 口

4:①, m// n,根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故①正确.

I 口丄a

②（皿+叫// a, 由

Lm_Ln

③何/

故选D.

5根据正方体的几何特征，中各边的长度，即可判断解：由正方体的几何特征，

直线I与平面a无公共点”成立，则“/ a”

C1 丄

m // n,由

a

a ,

a 丄n,

m丄a.

m //

a,

m,

m丄n得n // a或n a,故②不正确.

n// a,则m , n可能平行、可能相交、可能异面.故③不正确.

n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m丄n.故④正确.

可以判断出AE与CG相交，但不垂直，由此可以判断出A, B的真假，分析四边形ABC1F C的真

假，由线面平行的判定定理，可以判断出D的真假，进而得到答案.

可得AE丄C i G,

但AE与平面BCBC1不垂直，故AE丄CG不成立；由于EG//

AC,故A, E, B, C四点共线

??? AE与CG是异面直线错误；四边形ABGF中，AB M BC故四边

形ABC I F是正方形错误；而AE// C I F,由线面平行的判定定理，

可得AE//平面BC I F

故选D

6 解答：解：???直线与平面平行，由其性质可知：

???这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，

A 一条直线不相交,说明有其它直线与其相交,故

B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故

A 错误；

B 错误；

点评：D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故故选C.

此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面

推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面,

这些知识要熟练掌握.

D 错误；

7 解答：

点评：解：A、还可能有a a ,所以不正确

B、因为a不一定在3内，所以不正确

C、还可能有a a,所以不正确

D、a/ 3 且a 3由面面平行的性质定理可知是正确的. 故选D

本题主要考查线线线面面面的平行及垂直间的相互转化一定要注意常见结论的严密性.

8 解答：解：A、T

B、T b a,

C、T a//

D、T b //

a // 又a 3 ?- a / a 故A 正确；a// b，若a a,

则a不可能与a平行，故B错误;

3 a// 3若a a,则结论不成立，故C错误； a a/ b 若

a a 则结论不成立故D 错误；

点评：故A 正确；

此题考查直线与平面平行的判断定理：

公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面

推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，这些知识要熟练掌握．

9 分析：

解答：对于①，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于②，考虑线面平行的判定及定义；对于③，可以

用线面平的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的判定定理即可.

解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面

得AB//平面MNP.

对图④，通过证明AB// PN得至U AB//平面MNP;

MNP,由线面平行的定义可

点评：对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；

故选B．

本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题．

10 解答：

点评：解：①a与b可以相交，故①错误；

②??? a与3可以垂直，故②错误；

③a丄a, b丄3, a丄b, a丄3,故③正确；

④??? a、b在平面a内的射影互相垂直，a与b不一定是垂直的，有可能斜交，故④错误; 故选A.

此题考查直线与平面平行的判断定理：公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面

推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面，

这些知识要熟练掌握.

11 解答：

点评：解：当b a是

若a / b时，a与a的关系可能是a// a,也可能是a a,即a// a不一定成立，故a / ba// a为假命题；

若a// a时，a与b的关系可能是a// b，也可能是a与b异面，即a// b不一定成立，故a/ aa// b也为假命题；

故a / b是a // a的既不充分又不必要条件

故选D

本题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断a// ba // a与a // aa// b的真假，然

后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握.

12 解答：

点评：解：A、直线a在a内时，不正确

B、直线a在a内时，不正确

C、面面平行的性质定理知正确

D、直线a在a内时，不正确

故选C

本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面．

13 解答：解：选项A, a丄3, a丄3 a// a或a a 选项B, a丄 3 =b a / ba / a 或a a 选项C, a / b, b / a a// a 或a a A、B、C 三个选项都不能排除a a，选项D,根据线面平行的性质可知正确故选D

14 解答：解：根据平行公理可知①正确；根据面面平行的判定定理可知④正确；对于②错在a、b 可能相交或异

面．对于③错在a与B可能相交，对于⑤⑥错在a可能在a内.

解：取AB 的中点H ,连接HE 、EF FG GH

???平面HEFG 为平面a

其中AB BD CD AC 都与平面 a 相交

??? E 、F 是BD CD 的中点 ??? EF// BC,

而 EF a, BC a

? ?? BC//平面 a

同理可证AD//平面a 故选C

本题主要考查了直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题.

点评: 故选：C

本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理、公理的理解,

属于综合题.

15分 析：

解答: 垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四

个点，一定异面，若交于三个点则共面，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，得到结论.

解：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故

A 不正确，

与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，故

过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，故 C 不正确，

垂直于同一直线的两个平面平行，正确，

B 不正

确，

点评: 17解 答： 点评: 故选 D.

解：对于 A ,若 m // a , 对于 B , 若 m // a

, m //

对于 C, 若 m 丄

a

,

m 丄 对于 D, 若 m 丄 n ,

m 丄 故选 C.

16解

答：

n // a,贝U m , n 可以平行、相交，也可以异面，故不正

确; 3,则当m 平行于a, B 的交线时，也成立，故不正确； 3,则m 为平面a 与3的公垂线,则 a // 3,故正确； 3贝U n //3, n 也可以在3内 本题考查空间中直线和平面的位置关系.涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平 行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线.当然也可以用面面平行来推导线面平行.

解：A : a 丄b , b 丄a,则a 与平面平行或在平面内，不正确. B : a // 训a,则a 与平面平行或在平面内，不正确.

C ： b a, a // b ,则a 与平面平行或在平面内，不正确.

D ：由线面平行的判定理知，正确.

故选D

本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理，

属中档题

也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查,

18 解答: 点评:

19解答: 解：平行直线的平行投影重合，还可能平行, A 错误.

平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交, 垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，故选D.

B错误. C错误.

20分析由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断解答：

A、B、D;由面面垂直的性质定理判断 C.

与n可能相交；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条

点评: 解：A不对，由面面平行的判定定理知，m

件；

C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；

故选D.

本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题.

21 分: 由题意连接A1C1，则/ AC1A1为所求的角，在△ AC1A1计算.

解：连接A1C1,在长方体ABCD- A1B1C1D1中，

二A1A丄平面A1B1C1D1，则/ AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角.

A A1 1 1

在^AC1A1 中，sin/AC1A1=------- ----------- W.

故选D.

22分析：

解答: 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，若m//, n //, m, n可以相交也可以异面，故

A不正确；若a丄Y 3丄Y,贝y a// 3贝a、3可以相交也可以平行，故B不正确；若m // a, m // 3则a// 3,则a、3可以相交也可以平行，故C不正确；m丄a, n丄a则同垂直于一个平面的两条直线平行；故D答案正确；分析即可得到结论.

解：m , n均为直线,其中m, n平行a, m , n可以相交也可以异面，故A不正确；

若a丄Y 肚Y则all 3 ,则a、3可以相交也可以平行，故B不正确；

若m // a, m / 3,贝u a// 3 ,贝u a、3可以相交也可以平行，故C不正确；

m丄a , n丄a则同垂直于一个平面的两条直线平行；

故选D.

23分析：解答:

点评: 对于选项A直线m可能与平面a斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可.

解：对于选项D,若m// a,则过直线m的平面与平面a相交得交线n,由线面平行的性质定理可得m // n,又m丄B,故n丄且n a,故由面面垂直的判定定理可得a丄3-

故选D

本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题.

24解答：

点评: 解：用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；

②中，由面面平行的定义，m , n可以平行或异面；

③中，用线面平行的判定定理知，n可以在a内；

故选C.

本题考查了线面垂直和面面平行的定理，及线面、面面位置关系的定义，属于基础题.

由线面垂直的定义，当直线 C 丄平面a 时，C 与a 中的任意一条直线都垂直，即 直线C 丄平面a”直线C

丄m ,直线C 丄n”为真命题，但反之，当 直线C 丄m ，直线c 丄n”时，直线c 丄平面a 不一定成立，根据充 要条

件的定义，易得答案.

解：若直线 C 丄m ，直线 C 丄n 成立

则当m , n 相交时，直线C 丄平面a 成立，当m , n 平行时，直线c 丄平面a 不一定成立 故直线C 丄m ，直线C 丄

n ”直线C 丄平面a'为假命题 若直线C 丄平面a 成立 则C 垂直平面a 的每一条直线

故 直线C 丄平面a”直线C 丄m ，直线C 丄n”为 直线C 丄m ，直线c 丄n”真命题 故直线C 丄m ，直线C 丄n”是直线C 丄平面a 的必要而不充分条件 故选 B

判断充要条件的方法是：①若

pq 为真命题且qp 为假命题，则命题 P 是命题q 的充分不必要条件；②若

pq 为假命题且qp 为真命题，则命题 P 是命题q 的必要不充分条件；③若 pq 为真命题且qp 为真命题， 则命题P

是命题q 的充要条件；④若 pq 为假命题且qp 为假命题，则命题 p 是命题q 的即不充分也不必 要条件.⑤判断命题

P 与命题q 所表示的范围，再根据 谁大谁必要，谁小谁充分 的勺原则，判断命题 P 与命题 q 的关系.

25 分 析： 解答： 点评： 利用墙角知A 不对，线面平行和垂直的定理知 B 不对，由面面平行的判定定理和线面垂直的性质定理来

判断出C 和D .

解：A 、a 与B 可能相交，如墙角，故 A 错误；

B 、 可能I 0故B 错误；

C 、 由面面平行的判定定理知， m 、n 可能相交，故 C 错误；

D 、 由线面垂直的性质定理知，故 D 正确.

故选 D . 本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了定理的运

用 能力和空间想象能力.

m 、 26

解答： 点评： 27 分 解答： 点评： 由直线a //直线b ，且a //平面a,知直线b //平面a 或直线b 在平面a 内. 解：???直线a //直线b ，且

a //平面 直线

b //平面a 或直线b 在平面a 内. 故选 D .

本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行

等价转化.

a,

如右图，对于①，容易证明 AD i // BC 1,从而BC 1//平面AD 1C,以P 为顶点，平面 AD l C 为底面，易得; 对于②，连接 A I B ，A 1C 1容易证明平面 BA 1C 1 /面ACD1，从而由线面平行的定义可得；

对于③，由于DC 丄平面BCBC l ，所以DC 丄BC 1平面，若DP 丄BC l ，则DC 与DP 重合，与条件矛盾；对 于④，容易证明PDB i 丄面ACD1，从而可以证明面面垂直.

28 分 析：

点评: 29分 析：

解答: 点评: 30专 题：

分析: 解答: 本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想.

根据线面平行的判定定理，我们知道要判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线，线线平行，

分析已知中的三个命题，即可得到答案. 解：①体现的是线面平行的判定定理，

缺的条件是“1平面a 外的直线”， 即“ I . 它同样适合②③， 故填I a 故答案为：I a

本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握直线与平面平行判断的方法及必要的条件是解答

本题的关键.

综合题。

正四面体P- ABC 即正三棱锥P- ABC,所以其四个面都是正三角形，应该联想到

三线合一 ”.平面条件

为空间问题提供素材.

解：①由DF // BC 可得BC//平面PDF,①故正确. ② BC X PE, BC X AEBC 丄面 PAE

DF // BC... DF 丄平面 PAE ②正确

③ 根据正四面的定义 P 点在底面的射影是底面 △ ABC 的中心0, 有平面几何知识，0点不在DF 上，故③错.

解：对于①，容易证明 AD i // BC1,从而BC1//平面AD i C ,故BC i 上任意一点到平面 AD i C 的距离

均相等，所以以P 为顶点，平面 AD i C 为底面，则三棱锥 A - D i PC 的体积不变；正确； 对于②，连接 A i B , A 1C 1容易证明A 1C 1 / AD 1且相等，由于①知： AD 1 / BC1, 所以BA i C i /面ACDi ，从而由线面平行的定义可得；正确；

对于③由于DC 丄平面BCBiC i ，所以DC 丄BC i 平面，若DP 丄BC i ,则DC 与DP 重合，与条件矛盾；错误; 对于④，连接

DB i ,容易证明DB 1丄面ACD1，从而由面面垂直的判定知：正确.

故答案为：①②④

解答: D

A

G

Bl

④在②的基础上，DF面ABC,由面面垂直的判定定理，④正确故答案为：③.

点评：本小题考查空间中的线面关系，用到了正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力,平面问题空间问题相互转化的能力．