第3章电路的灵敏度分析

第三章 网络的灵敏度分析

§3.1网络的灵敏度

灵敏度用来表征网络特性对元件参数变化的敏感程度。它在确定产品合格率、寿命及对工作环境的适应性方面起着关键的作用。

网络函数或网络响应都是组成网络的元件参数的函数。在具体实现一个设计方案时，所选择的元件均有其标称值和相对误差。例如100Ω%5.1±即表示标称值是100Ω，相对误差是%5.1的一个电阻。当将一个这样的电阻接入电路时，它的真正值可能是99、100、101等值，不一定刚好等于标称值。另一方面，实际电路在工作时，随着使用时间的增长、周围环境(例如温度、湿度、压力)等因素的变化，元件参数值也难免要发生不同程度的变化而偏离标称值，况且有的元件本身就是作为敏感元件使用的。这些元件参数的变化必将导致网络函数或网络响应的变化，严重时网络无法正常工作。研究元件参数变化对网络函数或网络响应的影响即属于电路灵敏度分析(sensitivity analysis)内容。电路的灵敏度分析还是电路的容差(tolerance analysis)分析、最坏情况分析(worst analysis)和最优设计(optimize design)的重要基础。在最优设计中，灵敏度作为目标函数的寻优梯度。灵敏度分析是电路分析与电路综合的桥梁。著名的电路仿真软件PSPICE 和WORKBANCH 均有灵敏度分析功能。

网络函数H 或网络响应R (统一用T 来表示) 对某元件相关参数p (p 可以是元件参数或影响元件参数的温度、湿度、压力等)变化率称为网络函数对该参数的绝对灵敏度，记作：

p

T

S ??=

(3.1a)

有时还要用到相对和半相对灵敏度。相对灵敏度的定义是：

p

T

p T T p S ln ln 00??=??=

(3.1b) 相对灵敏度是无量纲量。半相对灵敏度的定义是：

p

T

p S ??=0

(00=T 时)， p T T S ??=01 (00=p 时) (3.1c)

式中0p 和0T 分别是元件的标称值及对应标称值的网络函数或网络响应值。

当0p 或0T 为零时，相对灵敏度要么为零要么不存在。此时要用半相对灵敏度。 从各灵敏度的定义式可见，关键是计算绝对灵敏度。因此，本章以下只涉及绝对灵敏度的计算。

图3.1 为常用的电桥测量电路。以1U 为激励，2U 为响应的网络函数为 4

33211

12R R R R R R U U H +++-==

(3.2) 设1R 、4R 为热敏电阻，由式(3.2)并根据灵敏度的定义式(3.1a)求得H 对电阻1R 、

4R 的灵敏度分别为

22121)(R R R R H

+-=?? 2

4334)(R R R R H

+=??

只有简单电路才能求出网络函数或响应与电路参数的显式表达式，从而借助数学上求偏导数的方法求出灵敏度。为了对较大规模电路进行灵敏度分析，并且便于编写电路灵敏度分析通用程序，须建立系统的灵敏度分析方法。

§3.2增量网络法

当网络参数发生微小变化时，各元件电压、电流便随着产生增量。在增量网络法中，要根据原来网络构造一增量网络(incremental network)，用以表示电压、电流增量之间的关系。对增量网络进行分析，即可求得全部网络响应对网络元件参数的灵敏度。用增量网络法求灵敏度，关键是如何形成增量网络，又如何根据增量网络求得灵敏度。 2.1 增量网络的构成

构造增量网络要依据电压、电流增量所满足的结构约束和元件约束。 先分析结构约束。元件参数改变前，电路的基尔霍夫定律方程为

KCL ：0=AI (3.3a)

KVL ：n T U A U ＝ (3.3b)

其中I 、U 、n U 分别表示支路电流、支路电压列矢量与节点电压列矢量。在灵敏度分析中，一个二端元件对应一条支路，一个二端口元件对应两条支路，例如受控源的控制端口和被控端口分别对应两条支路。

当某(些)元件参数发生改变时，支路电流、支路电压以及节点电压列矢量也将发生变化，将其增量分别记作U I ??、、n U ?。在分析灵敏度时电路结构保持不变。因此参数变化后的基尔霍夫定律方程为

KCL ：0＝＝I A AI I I A ??++)( (3.4a) KVL ：0＝＝)(n n T U U A U U ??++ (3.4b)

对比式(3.3a)与(3.4a)、式(3.3b)与(3.4b)得出

KCL ：0＝I A ? (3.5a)

KVL ：n T U A U ??＝ (3.5b) 式(3.5a)、(3.5b) 就是增量网络的结构约束。它们表明各支路电流、电压增量满足与原网络形式相同的KCL 、KVL 方程，所以增量网络与原网络具有相同的拓扑结构。

下面再讨论增量网络的元件约束，即在增量网络中各元件电压增量与电流增量之间的关系。 (1) 阻抗元件

在电路的相量模型中，阻抗可以作为元件，称为阻抗元件。类似还有导纳元件。原网络中的阻抗元件方程为

图3.1 灵敏度举例

R R

I Z U

&&= 阻抗参数改变之后的元件方程为

))(()(I I Z Z U U &&&&???++=+ 展开并略去二阶小量得

I

Z I Z U &&&?+?=? (3.6) 这就是阻抗元件对应的电压、电流增量约束方程。其电路模型如图3.2所示。

图3.2 阻抗支路的增量网络模型

I

?Y

图3.3 导纳支路的增量网络模型

(2)导纳元件

与阻抗元件类似，可以求得与导纳元件对应的电压、电流增量约束方程：

U Y U Y I

&&&?+?=? (3.7) 其电路模型如图3.3所示。

(3)独立电源

对于独立电源，其值不变，即独立电流源S I &为常量；独立电压源S U &为常量。则在增量网络中有

0=?S I & 0=S

U &? (3.8) 即对应原网络的独立电流源，在增量网络中用开路代替；而对应原网络的独立电压源，在增量网络中用短路代替。

(4)受控电源

以电压控制电流源(VCCS)为例，它在原网络N 中的元件方程为

j m k U g I &&= 0=j

I & 其中k i 、分别表示控制支路和被控支路的编号。当元件参数发生变化时有

))(()(j j m m k k U U g g I I &&&&?+?+=?+ 0)(=?+j

j I I && 忽略高阶小量，在增量网络中有

=??+?=?j m

j j m k I g U U g I &&&& (3.9) 其电路模型如图3.4。

同理可以得出其它受控电源或其它

电路元件在增量网络中的元件方程及电

路模型。在此不一一分析。

图3.4 受控源的增量网络模型

2.2 用增量网络计算灵敏度

将各元件的增量模型按照原来的互联关系联在一起，便得到电路的增量网络模型。在增量网络模型中，作为激励的各独立电源都与相应元件参数的增量成正比。根据叠加定理和齐性定理，增量网络的响应即电流、电压的增量必将是元件参数增量的线性组合，其系数便是待求的灵敏度。下面举例说明。 注：求谁的灵敏度才变谁。

【例】3.1电路如图3.5(a)所示。已知V 2=S U &,Z 1＝0.5Ω,Y 2=4S,S 13

=Y g m =2S 。求电压U &n1及2n U &对1

Z 、3Y 及m g 的灵敏度。

3 Y ①

②

(a)

(b)

图3.5 例题3.1电路

【解】 (1) 用节点法求原网络的解答。节点方程为

??????=?????????

?????++--+0//11

21323331Z U U U Y Y g Y Y Y Z S n n m &&& 代入已知数据求解得

25.11=n U &V , 25.02

-=n U &V , 有关支路电压电流为

5.1/)(111=-=Z U U I n S &&&A, 5.12

13=-=n n U U U &&&V (2) 根据各元件增量网络模型，构造图3.5(a)的增量网络如图3.5(b)所示。

同样用节点法进行求解。增量网络的节点方程为

????????????-=????????????????++--+m n n n m g U Y U Y U Z Z I U U Y Y g Y Y Y Z 1333

311121323331//1&&&&&&－－ 代入已知数据解得

m n m

n g Y Z U g Y Z U ????????64

158364564

5836425312

311-+=---=&&

由上式得所求各灵敏度为

64

15

,83,64564

5,83,642523212

1

3111

-=??=??=??-=??-=??-=??m n n n m n n n g U Y U Z U g U Y U Z U &&&&&&

增量网络法也可表达成矩阵形式。矩阵形式的节点电压方程为

)(T S S e n e n n I U Y A U A AY U Y -==

其中e Y 表示支路导纳矩阵，A 是节点支路关联矩阵。利用矩阵对标量求导规则，将上式两端对参数i p 求偏导数得

S i

e i n e n i e p p p Y U Y

A U A AY U A A

??=??+??T T 将支路电压与节点电压关系n U A U T =代入上式得增量网络方程的矩阵形式 )(T U U A U A A U A U Y -??=??-??=??S i

e n i e S i e i n n

p Y

p Y p Y p (3.10) 仍以图3.5(a)为例说明计算步骤。图3.5(a)的网络线图如图3.6所示，各矩阵

分别为

关联矩阵 ???

???-=11100101A 支路导纳矩阵 ?????

??

??

???=00

000000

0000

/132

1m

e g Y Y Z Y 支路源电压列矢量 V ]0002[T =S

U &

支路源电流列矢量 T ]0000[=S

I & 节点导纳矩阵 S 5113/132331

T ???

??

?-=????

??++--==Y Y g Y Y Z m e n A AY Y (1) 节点源电流列矢量 A 040/)(1??????=??????=-Z U

S S S e &I U Y A (2)

由式(1)、(2)得节点电压法方程

??

?

???=????????????-04511321n n U U (3) 方程(3)的解为 T n n n U U ]25.025.1[][T 21-==U

图3.6 图3.5的网络线图

①

支路电压列矢量为 V ]25.05.125.025.1[T T --==n U A U 根据式(3.10)分别得

???

???-=-??

???

?

?

????

?

??-=-??=??025.1][0000

00000000000/1)(211

1U U Z Z Z S S e

n n &&A U U Y A U Y ??

????-=-?

????

???????=-??=??025.1][000001000000

0000)(3

3U U Y Y S S e

n n

&&A U U Y A U Y ??

????-=-?

????

???????=-??=??25.10][0001

00000000

0000)(U U g g S S m

e

m n n

&&A U U Y A U Y 由以上各式求得灵敏度为

????????????-=??????????????????64564

251211Z U

Z U n n &&,

????

??

??????-=??????????????????83833231Y U Y U n n &&, ?????

?

??????--=??????????????????641564521m n m n g U g U &&

§3.3 伴随网络法

伴随网络法是计算灵敏度的又一常用方法。当计算网络函数对全部参数的灵

敏度时，宜采用此方法。在伴随网络法中，要依据原网络及其网络函数的定义构造一个伴随网络。对原网络和伴随网络分别进行分析，求得各元件电压、电流。然后由相关电压、电流之积便可求得网络函数对某参数的灵敏度。分以下几个方面说明伴随网络法的原理和计算步骤。 3.1 网络函数增量的一般形式

二端口网络的网络函数共有四种，均为元件参数的函数，用一般符号记作

),,,,,,,()(1

212

1212μβm m r g C L G R f I I U I I U U U H ==&&&&&&&&或或或 (3.11)

设元件参数有微小增量，则网络函数的增量与元件参数增量关系近似为

∑∑∑∑∑∑∑∑

??+??+??+??+??+??+??+??≈μβμμββi i

r mi

mi i i g mi mi C i i

L i i G i i R

i i H

r r H H g g H C C H

L L H G G H R R H H m m ????????? (3.12)

其中各偏导数即为网络函数对相关参数的灵敏度。在伴随网络分析法中，用网络

响应之积表示各灵敏度，因此并不需要求出网络函数的解析表达式。

3.2 特勒根定理在伴随网络法中应用

在伴随网络法中，首先要构造一个与待分析网络N 具有相同拓扑结构的伴

随网络，记为N ~

。设网络N 的元件参数发生微小变化，引起支路电压列矢量和支路电流列矢量分别变为U U ?+和I I ?+。根据特勒根定理2(即在增量网络与N ~

之间使用特勒根定理)得

0~

~)(~=+=+U I U I U U I ??T T T ?0~=U I ?T (3.13)

0~

~)(~=+=+I U I U I I U ??T T T ?0~=I U ?T (3.14)

由上两式又得

0~

~=-I U U I ??T T (3.15) 其中I U ~

~， 表示伴随网络的支路电压和电流列矢量；I U ??，表示原网络支路电压与电流的增量列矢量。各支路电压与电流均采用关联参考方向。否则，相应变量前面要改变符号。

当分析二端口网络函数的灵敏度时，将上式展开得 ......])~

~()~~()~~()~~([~~~~22221111∑∑∑∑+-+-+-+--=-+-C

Ci

Ci Ci Ci L

Li Li Li Li G

Gi

Gi Gi Gi R Ri Ri Ri Ri I U U I I U U I I U U I I U U I I U U I I U U I &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&????????????

(3.16)

式中等号左边对应端口支路变量，右边对应网络内部各元件的变量。

3.3 伴随网络的构造及灵敏度计算公式

比较式(3.12)与(3.16)可以得出，构造伴随网络的原则是：(a)使式(3.16)式等号左边等于网络函数的增量H ?；(b) 使式(3.16)右边具有与式(3.12)右边相似的表达式。这样就不难求得网络函数对各参数的灵敏度。故伴随网络的构造可分两步进行，即端口构造和内部构造。 (1) 伴随网络端口的构造

伴随网络端口的构造方法取决于网络函数的具体定义，共有4种情况。每种情况端口的构造结果见表3.1。下面仅对激励、响应均为电压的情况(即网络函数为电压转移函数)进行详细分析。其它情况可照此进行。

网络函数定义为响应与激励之比。在线性网络中，该比值与激励的量值无关。

为求电压转移函数，令激励的量值为V 11=U &，则对应的响应量值就等于网络函数的量值，响应的增量就是网络函数的增量，即

2

V 11

2

1

U U U

H U &&&&=== 2U H &??= 根据电压转移函数的定义有01=U &?，02

=I &?。若伴随网络的端口满足 0~1=U &，A 1~2

=I & (3.17) 则式(3.16)左边为

H U I U U I I U U I ??????==-+-222221111~~~~&&&&&&&&& (3.18) 因此，式(3.17)就是电压转移函数对应的伴随网络端口的构造结果。

(2) 伴随网络内部的构造及灵敏度计算公式

伴随网络内部的构成与网络函数的具体定义形式无关。表3.2总结了常用网络元件的伴随模型及灵敏度计算公式。下面仅对电阻元件进行详细分析。对其它元件可循此思路来分析。

在式(3.16)中，对应第i 个电阻的求和项可以展开写成

Ri Ri Ri i i Ri Ri Ri Ri Ri i Ri i Ri Ri

Ri Ri i Ri Ri i i Ri Ri Ri Ri Ri I U I R R I I I U I R I R I I U I R I I R R I I U U I &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&??????????)~

~(~~)(~~]))([(~)~~(---=++-≈+-++-=-- 由此可见，当伴随网络响应元件的构造使得

0~~=-Ri Ri i U I R && (3.19) 则得 i Ri Ri Ri Ri Ri Ri R I I I U U I ?≈?-?-&&&&&&~)~~( (3.20)

此时式(3.20)的右边出现与式(3.12)右边相似的形式。因此得到网络函数对电阻的灵敏度为

Ri Ri i

I I R H &&~-=?? (3.21)

为满足式（3.19），原网络的电阻元件，对应伴随网络仍为同一电阻元件，即

i i R R =~

(3.22)

同理分析得

对电导：i i G G =~，i Gi Gi Gi Gi Gi Gi G U U I U U I ???&&&&&&~)~~(≈--，灵敏度： Gi

Gi i U U G H ~&&=?? 对电感：i i L L =~，i Li Li Li Li Li Li L I I I U U I ???&&&&&&~j )~~(ω-≈--，灵敏度： Li

Li i I I L H ~j &&ω-=?? 对电容：i i C C =~，i Ci Ci Ci Ci Ci Ci C U U I U U I ???&&&&&&~j )~~(ω≈--，灵敏度： Ci

Ci i

U U C H ~j &&ω=?? 即二端RGLC 元件在伴随网络中保持不变。

类似地也可求出受控电源等其它元件的伴随模型。结果见表3.2。

表3.2 伴随网络内部构成及灵敏度计算公式(表中以相量为例)

(1) 用某种方法(例如节点法、回路法等)求解原网络方程W

TX=，得到原网络的支路电压和支路电流的解答。

(2) 根据网络函数的定义，由表3.1构造相应伴随网络的端口。

(3) 由表3.2构造伴随网络的内部元件模型。

(4) 求解伴随网络，得到伴随网络支路电压和支路电流的解答。

(5) 由表3.2的相应公式计算网络函数对所有参数的灵敏度。

【例】3.2 网络如图 3.7(a)所示。定义网络函数i

o U U H &&/=。用伴随网络法求H 对m g C L R 、、、的灵敏度。

(a) (b)

&&&

o

~

&~

~

&

图3.7 例题3.2电路

【解】 (1) 令1=i

U &，求解原网络得： L

R I I ωj 12

1+==&&, 03=I &, L R R g I I m ωj 5

4+=-=&& L R L U ωωj j 1

+=&, L

R R U U ωj 3

2+==&&, )j (j 54L R C R g U U U m o ωω+-===&&& (2) 由表3.1和表3.2构造伴随网络，结果如图3.7(b)。

(3) 求解伴随网络得：

)j (j ~1

L R C R g I m ωω+-=&, )j (j j ~2L R C Lg I m

ωωω+=&, C

g I m ωj ~3

-=&, )j (j j ~~3

21L R C R Lg U U U m ωωω+-=-=-=&&&, C

U U ωj 1~~5

4-==&& (4) 由表3.2计算各灵敏度

C L R L g I I R H m 222)j (~ω+-=-=??&&, C

L R R g I I L H m 21

1)j (~j ωω+=-=??&& )

j (j ~j 255L R C R g U U C H m ωωω+==??&&, )j (j ~43L R C R U U g H m ωω+-==??&&

§3.3 响应对激励的灵敏度

一 定义

U S

I S S I B U A U &&&+=o A U U =??S

o

&&B I U =??S

o

&&图3.8 响应对激励的灵敏度

上述偏导数称为响应对激励的灵敏度。其实

0S o

==

S I U U A &&& 0

o ==S S U I U B &&&

二 互易定理

图3.9 互易定理

三 灵敏度的计算

U S

I

I A

-=?

&-

+

I A

-=?

&U ?

-

+

图 3.10 响应对激励的灵敏度计算原理

例题: 求相应对激励的灵敏度

o o

S S

,

u u u i ????。

S

u o u +-

1

=例题电路

伴随网络

解 画出伴随网络如图。222111

,

u R u R i R R ββ==-=%%% o 2

o

1

22S 1

S

,u R u i u R u R i β??=-=-==??%% 练习1 求节点电压12,n n U U 对2R 和m g 的灵敏度。设

123S 10,20,25,0.5S,3A m R R R g I =Ω=Ω=Ω==。

U +-

1

U

+-

2

&

练习1电路 练习2电路

练习2 设网络函数21U T U =&&，求灵敏度1,m

T T

Z r ????。2211212

1

(

,)()m m T Z r

T Z Z Z r Z Z ?+?=-=?+?+ 练习3 求I 对S U 和S I 的灵敏度。

U +-

5U

（0.2 1.6S S I

U I =-+）