知识讲解 机械能守恒定律 基础

机械能守恒定律

编稿：周军 审稿：隋伟

【学习目标】

1．明确机械能守恒定律的含义和适用条件．

2．能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒．

3．熟练应用机械能守恒定律解题．

4．知道验证机械能守恒定律实验的原理方法和过程．

5．掌握验证机械能守恒定律实验对实验结果的讨论及误差分析．

【要点梳理】

要点一、机械能

要点诠释：

(1)物体的动能和势能之和称为物体的机械能．机械能包括动能、重力势能、弹性势能。

(2)重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统．

(3)机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)．

(4)机械能具有相对性，因为势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性．

只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义．

(5)重力势能是物体和地球共有的，重力势能的值与零势能面的选择有关，物体在零势能面之上的势能是正值，在其下的势能是负值．但是重力势能差值与零势能面的选择无关．

(6)重力做功的特点：

①重力做功与路径无关，只与物体的始、未位置高度筹有关．

②重力做功的大小：W ＝mgh ．

③重力做功与重力势能的关系：P G W E =-△．

要点二、机械能守恒定律

要点诠释：

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内动能和势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变，这个结论叫做机械能守恒定律．

(2)守恒定律的多种表达方式．

当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种：

①1122k P k P E E E E +=+，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和．

②P k E E =-△△或P k E E =-△△，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量．

③△E A ＝-△E B ，即A 物体机械能的增加量等于B 物体机械能的减少量．

后两种表达式因无需选取重力势能零参考平面，往往能给列式、计算带来方便．

(3)机械能守恒条件的理解．

①从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化

②从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：

a ．只有重力做功的物体，如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒．

b ．只有重力和系统内的弹力做功．如图(a)、(b)、右图所示．

图(a)中小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒．图(b)中A、B间，B与地面间摩擦不计，A自B上自由下滑过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对B来说，A对B的弹力做功，但这个力对B来说是外力，B的机械能不守恒．如下图，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒．

要点三、运用机械能守恒定律解题的步骤

要点诠释：

(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．

(2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．

(3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能．

(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．

4．机械能守恒定律与动能定理的区别

(1)机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改变，表达这两个规律的方程都是标量方程，这是它们的共同点．

(2)机械能守恒定律的研究对象是物体组成的系统，动能定理的研究对象是一个物体(质点)．

(3)机械能守恒定律是有条件的，就是只允许重力和弹力做功；而动能定理的成立没有条件的限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功．

(4)机械能守恒定律着眼于系统初、末状态的机械能的表达式，动能定理着眼于过程中合外力做的功及初、末状态的动能的变化．

要点四、如何判断机械能是否守恒

要点诠释：

(1)对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒．

(2)对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．

对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做的功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的转化，只能使系统内的动能和势能相互转化

(3)机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．

(4)一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒．

要点五、实验：验证机械能守恒定律

要点诠释：

1．实验原理

通过实验，分别求做自由落体运动物体的重力势能的减少量和相应过程动能的增加量．若二者相等，

说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律：△E P ＝△E k ．

2．实验器材

打点计时器及电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、带有铁夹的铁架台、导线．

3．实验步骤

(1)如图所示装置，将纸带固定在重物上，让纸带穿过打点计时器．

(2)用手握着纸带，让重物静止在靠近打点计时器的地方，然后接通电源，松开纸带，让重物自由落下，纸带上打下一系列小点．

(3)从打出的几条纸带中挑选打的点呈一条直线且点迹清晰的纸带进行测量，记下第一个点的位置O ，

并在纸带上从任意点开始依次选取几个计数点1、2、3、4、…，并量出各点到O 点的距离h 1、h 2、h 3、…，计算相应的重力势能减少量mgh n ，如图所示．

(4)依步骤(3)所测的各计数点到O 点的距离h 1、h 2、h 3、…，根据公式1103n n h h v T +--=

计算物体在打下点1、2、…时的即时速度v 1、v 2、…．计算相应的动能

212n mv ． (5)比较212

n mv 与n mgh 是否相等． 4．实验结论

在重力作用下，物体的重力势能和动能可以互相转化，但总的机械能守恒．

5．误差分析

重物和纸带下落过程中要克服阻力，主要是纸带与计时器之间的摩擦力，计时器平面不在竖直方向，纸带平面与计时器平面不平行是阻力增大的原因，电磁打点计时器的阻力大于电火花计时器，交流电的频率f 不是50 Hz 也会带来误差，f ＜50Hz ，使动能E k ＜E P 的误差进一步加大f ＞50 Hz ，则可能出现E k ＞E P 的结果．

本实验中的重力加速度g 必须是当地的重力加速度，而不是纸带的加速度a ．

【典型例题】

类型一、对守恒条件的理解

例1、下列运动能满足机械能守恒的是（ ）

A ．手榴弹从手中抛出后的运动（不计空气阻力）

B．子弹射穿木块

C．吊车将货物匀速吊起

D．降落伞在空中匀速下降

【思路点拨】本题考察机械能守恒的条件。

【答案】A

【解析】A选项满足只有重力做功，满足机械能守恒的条件；B受到阻力且做功；C受拉力并做功；D 受空气阻力且做功，故选项A正确。

【总结升华】机械能是否守恒关键不在于受几个力作用，而在于是否只有重力或弹簧弹力做功。

举一反三

【变式1】以下说法正确的是( )

A．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用

B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒

C．物体所受合力不为零时，其机械能可能守恒

D．物体机械能的变化等于合力对物体做的功

【答案】C

【解析】机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，外力不做功即可，故A错；匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物体，其机械能一直增大，所以B错；若物体做平抛运动、自由落体运动、竖直上抛、竖直下抛或斜抛运动只受重力作用，则机械能均守恒，故C正确；若合力仅为重力对物体做功，如在光滑斜面上下滑的物体，不会引起物体机械能的变化．根据功能关系知D错．

【高清课程：机械能守恒及其验证例1】

【变式2】下列情况中，物体机械能守恒的有( )

A．重力对物体做功不为零，所受合外力为零

B．沿光滑曲面下滑

C．做匀变速运动时机械能可能守恒

D．从高处以0.9g的加速度竖直下落

【答案】BC

类型二、机械能守恒定律的基本应用

例2、如图所示，一轻质弹簧固定于0点，另一端系一小球，将小球从与悬点0在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，小球由A点摆到最低点B的过程中（）

A．小球的重力势能减少

B．小球重力势能的减少量等于小球动能和弹性势能增加量之和

C．小球的动能和重力势能之和减少

D．小球和弹簧的机械能守恒

【思路点拨】考察系统机械能大小及守恒问题。

【答案】ABCD

【解析】从A到B点过程中弹簧的弹力和重力做功，因而小球和弹簧的机械能守恒，故D选项正确；

小球A 下降，重力做正功，小球的重力势能减小，故A 正确；

因小球和弹簧的机械能守恒，小球重力势能的减少量等于小球动能和弹性势能增加量之和，故B 正确； 因弹簧增加了弹性势能，故小球的动能和重力势能之和减少，故C 选项正确

【总结升华】本题涉及动能、重力势能和弹性势能三种形式，从A 到B 过程中弹簧的弹力和重力做功，因而小球和弹簧的机械能守恒。

举一反三

【高清课程：机械能守恒及其验证 例3】

【变式1】如图所示，桌面高度为h ，质量为m 的小球，从离桌面高H 处自由落下，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为（ ）

A ．mgh

B ．mgH

C ．mg （H+h ）

D ．mg （H-h ）

【答案】B

例3、一个物体m 自高h=0.80m 的桌面，以1 1.0/v m s =的速度水平滑出桌边。求它落地时的速率。（）

【思路点拨】只有重力对物体做功，故机械能守恒。

【答案】4.1m/s

【解析】选地面为参考平面，根据机械能守恒定律有：

22211122mv mv mgh =+ 得：221217/ 4.1/v v gh m s m s =+==

【总结升华】利用机械能守恒处理问题必须选择零势能面。

类型三、系统机械能守恒问题

例4、一根长细绳绕过光滑的定滑轮，两端分别拴质量为M 和m 的长方形物块，且M>m ，开始时用手握住M ，使系统处于如图所示的状态，求：

（1）当M 由静止释放下落h 高时的速度（h 远小于半绳长，绳与滑轮的质量不计）。

（2）如果M 下降h 刚好触地，那么m 上升的总高度是多少？

【思路点拨】因只有重力做功，故M 、m 构成的系统机械能守恒，利用机械能守恒定律来解决此问题。

【答案】（1）2()/()V M m gh M m =

-+ （2）2M H h M m =

+ 【解析】（1）M 、m 构成的系统机械能守恒：k p E E ?=-?

有：21()2

Mgh mgh M m V -=+ 解得2()/()V M m gh M m =-+

（2）M 触地，m 做竖直向上运动，只受重力，机械能守恒：

h mg mV '=22

1 m 上升的总高度：H h h '=+

解得2M H h M m

=+。 【总结升华】在连接体问题中如果只有重力做功，用机械能处理比较方便，而且利用k p E E ?=-?表达式更为简捷。

举一反三

【变式】如图所示，光滑半圆上有两个小球，质量分别为m 和M ，由细绳挂着，今由静止开始释放，求小球m 至C 点时的速度。

【答案】m M mgR

RMg v c +-=2π

【解析】以两球和地球组成的系统为研究对象。在运动过程中，系统的机械能守恒。 选初态位置为参考平面：

m

M mgR RMg v Mv R Mg mv mgR c c c +-=∴=+-+2021422122ππ 类型四、对实验：验证机械能守恒定律的考查

例5、在“验证机械能守恒定律”的实验中，所用电源的频率为50 Hz ，某同学选择了一条理想的纸带，用刻度尺测量时各计数点对应刻度尺上的读数如图所示，(图中O 点是打点计时器打出的第一个点，A 、

B 、

C 、

D 、

E 分别是每打两个点取出的计数点，单位：mm)

根据纸带要求计算：

(1)重物下落的加速度．

(2)若重物的质量为m ，则重物从开始下落到打B 点时，减少的重力势能．

(3)重物下落到打B 点时增加的动能．

(4)从(2)(3)数据可得出什么结论？产生误差的主要原因是什么?

【解析】纸带上各点之间的距离对应重物下落的高度，进而可以计算重力势能的减少量，本实验的关键是由纸带上的数据计算各点瞬时速度，以求得动能的改变量．

(1)根据逐差法求加速度．

AB x OB OA =-=195.0 mm-125.0 mm ＝70.0 mm ＝0.07 m ，

BC x OC OB =-=280.5 mm-195.0 mm ＝85.5 mm ＝0.0855 m ，

CD x OD OC =-=381.5 mm-280.5 mm ＝101.0 mm ＝0.101 m ，

DE x OE OD =-=498 mm-381.5 mm ＝116.5 mm ＝0.1165 m ．

122CD AB x x a T -=，22

2DE BC x x a T -=． 12224CD

DE BC AB x x x x a a a T

+--+== 2220.1010.11650.08550.07m /s 9.688m /s 40.04

+--==?． 即重物下落的加速度为9.688 m/s 2．

(2)重物从开始下落到打B 点时减少的重力势能为：

p 9.80.195J 1.911J E mgh mgOB m m ===?=减△．

(3)重物下落到打曰点时的速度为

()/(2)(0.070.0855)/(20.04)m /s 1.944m /s B AB BC v x x T =+=+?=．

则物体从开始下落到打B 点增加的动能为

2211 1.944 1.890J 22

B k E mv m m ==?=增△． (4)从(2)(3)可以得出在实验误差允许范围内重物重力势能的减少量近似等于其动能的增加量，可认为机械能守恒．

重物减少的重力势能略大于其增加的动能的原因是：重物在下落时要受到阻力的作用(打点计时器对纸带的摩擦阻力、空气阻力等)．重物克服阻力做功要损失一部分机械能． 【总结升华】验证机械能守恒定律可采用从起点算起，利用212

n n mgh mv =法验证，也可以从中间取一段，利用p k E E =减增△△的形式验证，而数据验证既可采用公式法．也可采用图像法．

举一反三

【高清课程：机械能守恒及其验证 例8】

【变式】在用如图所示的实验装置来验证机械能守恒定律时，某同学的以下看法中正确的是( )

A ．必须用秒表测出重物下落的时间

B ．实验操作时，注意手提着纸带，先接通计时器电源，然后松开纸带

C ．如果打点计时器不竖直，重物下落时，其重力势能有一部分消耗在纸带摩擦上，就会造成重力势能的变化小于动能的变化

D．验证时，可以不测量重物的质量

【答案】BD