2014高考导数大题预测
1.设a ∈R ，函数2
33)(x ax x f -=．
（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；
（Ⅱ）若函数()()x
g x e f x =在[02]，上是单调减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2
()363(2)f x ax x x ax '=-=-．
因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=， 所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．
即1a =． …………………6分 （Ⅱ）由题设，'
3
2
2
()(336)x
g x e ax x ax x =-+-，又0x
e >， 所以，(0,2]x ?∈，3
2
2
3360ax x ax x -+-≤，
这等价于，不等式232
23636
33x x x a x x x x
++≤=++对(0,2]x ∈恒成立． 令236
()3x h x x x
+=
+（(0,2]x ∈），
则22'
2222
3(46)3[(2)2]
()0(3)(3)
x x x h x x x x x ++++=-=-<++， 所以()h x 在区间0,2]（上是减函数， 所以()h x 的最小值为6(2)5
h =． 所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6
(,]5
-∞． …………………13分
3.已知函数32
11()32
f x ax bx cx =
++. （Ⅰ）若函数)(x f 有三个零点123,,x x x ，且1239
2
x x x ++=
，1231-=x x ， 求函数 )(x f 的单调区间； （Ⅱ）若1
(1)2
f a '=-，322a c b >>，试问：导函数()f x '在区间(0，2)内是否有零点，
并说明理由.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数()f x '的两个零点之间的距离不小于3，求b
a
的取值范围.
【解】（I ）因为21
1()()32
f x x ax bx c =++，又1239
2x x x ++=，1231-=x x 则
12,29
,031312-=?=
+=x x x x x （1分） 因为x 1，x 3是方程211
032
ax bx c ++=的两根，则
3922b a -=，123-=a
c ，.即a c a b 4,3-=-= （3分） 从而：ax ax ax x f 42
3
31)(23--=，
所以)1)(4(43)(2
/+-=--=x x a a ax ax x f .
令 0)(/
=x f 解得：4,1=-=x x （4分） 故()f x 的单调递减区间是（1，4），单调递增区间是),4(),1,(+∞-∞ 。 （6分）
（Ⅱ）因为2
()f x ax bx c '=++，1(1)2f a '=-
，所以1
2
a b c a ++=-，即3220a b c ++=. 因为322a c b >>，所以30,20a b ><，即0,0a b ><. （7分）
于是(1)02
a
f '=-<，(0)f c '=，(2)424(32)f a b c a a c c a c '=++=-++=-. （8
分）
（1）当0c >时，因为(0)0,(1)02
a
f c f ''=>=-
<，则()f x '在区间(0,1)内至少有一个零点. （9分） （2）当0c ≤时，因为(1)0,(2)02
a
f f a c ''=-
<=->，则()f x '在区间（1，2）内至少有一零点.
故导函数()f x '在区间(0，2)内至少有一个零点. （10分）
（Ⅲ）设m ，n 是导函数2
()f x ax bx c '=++的两个零点，则b m n a
+=-
，32c b mn a a
=
=--. 所以2223||()4()4()(2)22b b b
m n m n mn a a a
-=
+-=----=++.
由已知，2
(2)23b
a ++≥，则2(2)23
b a ++≥，即2(2)1b a
+≥.
所以
2121b a +≥+≤-b 或a
，即1b a ≥-或3b
a ≤-. （12分）
又232c a b =--，322a c b >>，所以3322a a b b >-->，即3
34
a b a -<<-.
因为0a >，所以3
34
b a -<<-.
综上分析，b a 的取值范围是3
[1,)4
--. （14分）
4. 已知函数x
a
ax x f -+=)1()(,0>a 且1≠a .
（I ）讨论)(x f 的单调性,并求出极值点0x .
（II ）若（I ）中的)(0a g x =.求)(x g y =在],1(e 上的最小值. 解：（I ）当10< (a a a a --∞上单调递减,在),ln ln (+∞-a a a a 上单调递 增, ――――――――――――――――――――――――――――――――(3分) 当1>a 时, )(x f 在上),ln ln (+∞-a a a a 单调递减,在)ln ln ,(a a a a --∞上单调递增. ――(5分) 极值点a a a a x ln ln 0-= ―――――――――――――――――――――――――――(6分) （II ）e x g 1 1)(m in -=――――――――――――――――――――――――――(12分) 7.已知函数x x x f ln )(= ．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调减区间和极值; （Ⅱ）当1>x 时，若x e e x >α 恒成立，求实数α的取值范围． 解：（Ⅰ）函数x x x f ln )(= 的定义域为),1()1,0(+∞ ， 2分 x x x f 2 /ln 1ln )(-= ，令0)(/ =x f ，解得e x =，列表 x )1,0( ),1(e e ),(+∞e )(/x f － － + )(x f 单调递减 单调递减 极小值)(e f 单调递增 由表得函数)(x f 的单调减区间为)1,0(，),1(e ;极小值为)(e f ＝e ，无极大值. 6分 （Ⅱ）因为1>x ，所以0ln >x 在x e e x >α 两边取自然对数，x e x ln >α ，即αe x x >ln ， 12分 由（1）知 x x ln 的最小值为e ，所以只需e e <α ，即1<α. 14分 11.已知0>a ，函数ax x x f +-=)2ln()(. （1）设曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线为l ，若l 与圆1)1(2 2 =++y x 相切， 求a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间； （3）求函数)(x f 在[0，1]上的最小值。 解：（1）依题意有2 1 )(-+ ='x a x f （1分） 过点))1(,1(f 的直线斜率为1-a ，所以过),1(a 点的直线方程为)1)(1(--=-x a a y （2分） 又已知圆的圆心为)0,1(-，半径为1 ∴ 11 )1(|11|2 =+-+-a a ，解得1=a （3分） （2）21 )]12([212)(-? --=-+-= 'x a x a x a ax x f 当0>a 时，21 2<-a （5分） 令0)(>'x f ，解得a x 12-<，令0)(<'x f ，解得21 2<<-x a 所以)(x f 的增区间为)12,(a --∞，减区间是)2,1 2(a -（7分） （3）当012≤-a ，即2 1 0≤ 所以)(x f 的最小值为a f =)1(（9分） 当1120<- 1 < 2(a -是减函数 所以需要比较2ln )0(=f 和a f =)1(两个值的大小（11分） 因为e e <<<232 12 1 ，所以 1ln 2ln 3ln 2 1