立体几何证明题专题(教师版)

立体几何证明题

考点1：点线面的位置关系及平面的性质

例1.下列命题：

①空间不同三点确定一个平面；

②有三个公共点的两个平面必重合；

③空间两两相交的三条直线确定一个平面；

④三角形是平面图形；

⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；

，

⑥垂直于同一直线的两直线平行；

⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；

⑧两组对边相等的四边形是平行四边形．

其中正确的命题是________．

【解析】由公理3知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①错，②中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时)，②错．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面，若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图(1)所示．

在正方体ABCD—A′B′C′D′中，直线BB′⊥AB，BB′⊥CB，但AB与CB不平行，∴⑥错．AB∥CD，BB′∩AB＝B，但BB′与CD不相交，∴⑦错．如图(2)所示，AB＝CD，BC＝AD，四边形ABCD不是平行四边形，故⑧也错．

【答案】④

，

2.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则()

A．过点P有且仅有一条直线与l、m都平行

B．过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直

C．过点P有且仅有一条直线与l、m都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l、m都异面

答案B

解析对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾．

对于选项B，过点P与l、m都垂直的直线，即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线．!

对于选项C，过点P与l、m都相交的直线有一条或零条．

对于选项D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条．

3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交

C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

答案C

…

解析若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，则a∥b，与a，b异面矛盾．考点2：共点、共线、共面问题

例1.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是

【解析】①在A中易证PS∥QR，

∴P、Q、R、S四点共面．

②在C中易证PQ∥SR，

∴P、Q、R、S四点共面．

③在D中，∵QR?平面ABC，

PS∩面ABC＝P且P?QR，

∴直线PS与QR为异面直线．

∴P、Q、R、S四点不共面．

④在B中P、Q、R、S四点共面，证明如下：

取BC中点N，可证PS、NR交于直线B1C1上一点，∴P、N、R、S四点共面，设为α.

可证PS∥QN，∴P、Q、N、S四点共面，设为β.

∵α、β都经过P、N、S三点，∴α与β重合，∴P、Q、R、S四点共面．(

【答案】D

2.空间四点中，三点共线是这四点共面的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案A

3.下面三条直线一定共面的是()

A．a、b、c两两平行

B．a、b、c两两相交

C．a∥b，c与a、b均相交

D．a、b、c两两垂直

答案 C

4.已知三个平面两两相交且有三条交线，试证三条交线互相平行或者相交于一点．【解析】设α∩β＝a ，β∩γ＝b ，γ∩α＝c ，

由a ?β，b ?β，则a ∩b ＝O ，如图(1)，或a ∥b ，如图(2)，若a ∩b ＝O ，

O ∈a ，a ?α，则O ∈α，O ∈b ，b ?γ，则O ∈γ，又γ∩α＝c ，因此O ∈c ；

若a ∥b ，a ?γ，b ?γ，则a ∥γ，又a ?α，α∩γ＝c ，则a ∥c . 因此三条交线相交于一点或互相平行．

5.如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB ，AD 的中点，F ，G 分别是边BC ，CD 上的

点，且CF CB ＝CG CD ＝2

(1)求证：三条直线EF ，GH ，AC 交于一点．

(2)若在本题中，AE EB ＝CF FB ＝2，AH HD ＝CG

GD ＝3，其他条件不变．求证：EH 、FG 、BD 三线共点．【解析】 (1)∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，

∴由中位线定理可知，EH 綊1

2BD . 又∵CF CB ＝CG CD ＝23，

∴在△CBD 中，FG ∥BD ，且FG ＝2

3BD . ∴由公理4知，EH ∥FG ，且EH

∴四边形EFGH 是梯形，EH 、FG 为上、下两底． ∴两腰EF 、GH 所在直线必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ?平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理可得P ∈平面ADC . …

∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线上．又∵面ABC ∩面ADC ＝AC ， ∴P ∈直线AC .

故EF 、GH 、AC 三直线交于一点． (2)∵AE EB ＝CF

FB ＝2， ∴EF ∥AC .

又AH

HD＝

GD＝3，∴HG∥AC，∴EF∥HG，且EF>HG.

∴四边形EFGH为梯形．

设EH与FG交于点P，

则P∈平面ABD，P∈平面BCD.

∴P在两平面的交线BD上．

∴EH、FG、BD三线共点．

考点3：异面直线的夹角

1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点．求BD1与CE所成角的余弦值．

【解析】连接AD1，A1D交点为M，连接ME，MC，则∠MEC(或其补角)即为异面直线BD1与CE所

成的角，设AB＝1，CE＝

2，ME＝

2BD1＝

2，CM2＝CD2＋DM2＝

在△MEC中，cos∠MEC

＝CE2＋ME2－CM2

2CE·ME＝

15，因此异面直线BD1与CE所成角的余弦值为

15.

2.如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值是______．

答案5

3.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()

答案C

解析连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)，设AB＝1，则

BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝5＋2－1

25·2＝

310

10，选C.

4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．

【解析】取A1B1的中点F，连接EF，FA，则有

EF∥B1C1∥BC，∠AEF即是直线AE与BC所成的角或其补角．设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2a，则有EF＝2a，AF＝2a2＋a2＝5a，AE＝2a2＋2a2＋a2＝3a.在△AEF中，cos∠AEF＝

AE2＋EF2－AF2

2AE·EF＝9a2＋4a2－5a2

2×3a×2a＝

3.因此，异面直线AE与BC所成的角的余弦值是

【答案】2 3

考点4：直线与平面平行的判定与性质

1.下列命题中正确的是________．

①若直线a不在α内，则a∥α；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；

④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；

⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；

⑥平行于同一平面的两直线可以相交．

答案⑤⑥

解析a∩α＝A时，a不在α内，∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l ∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a?α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD 平行，∴⑥正确．

2.给出下列四个命题：

①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；

②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；

③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；

④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．

其中正确命题的个数是________个．

答案1

—

解析命题①错，需说明这条直线在平面外．

命题②错，需说明这条直线在平面外．

命题③正确，由线面平行的判定定理可知．

命题④错，需说明另一条直线在平面外．

3.已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a ∥α，b ?α，则a ∥b ； ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ③若a ∥b ，b ?α，则a ∥α；

④若a ∥b ，a ?α，则b ∥α或b ?α，上面命题中正确的是________(填序号)．答案 ④

解析 ①若a ∥α，b ?α，则a ，b 平行或异面；②若a ∥α，b ∥α，则

a ，b

平行、相交、异面都有可能；③若a ∥b ，b ?α，a ∥α或a ?α.

4.正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、

Q ，且AP ＝DQ .求证：PQ ∥平面BCE .

【证明】方法一如图所示．作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，

！

连接MN .

∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD . 又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB .

又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQ

BD . ∴PM AB ＝QN DC .

∴PM 綊QN ，即四边形PMNQ 为平行四边形． ∴PQ ∥MN .又MN ?平面BCE ，PQ ?平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE . 、

方法二如图，连接AQ ，并延长交BC 延长线于K ，连接EK . ∵AE ＝BD ，AP ＝DQ ， ∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ

BQ .

又AD ∥BK ，∴DQ BQ ＝AQ QK ，∴AP PE ＝AQ

QK ，∴PQ ∥EK . 又PQ ?平面BCE ，EK ?平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .

方法三如图，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接

QM .

—

∴PM ∥平面BCE .

又∵平面ABEF ∩平面BCE ＝BE ， ∴PM ∥BE ，∴AP PE ＝AM

MB .

又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ . ∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQ QB . ∴MQ ∥AD .又AD ∥BC ，

∴MQ ∥BC ，∴MQ ∥平面BCE .又PM ∩MQ ＝M ， ∴平面PMQ ∥平面BCE .又PQ ?平面PMQ ，

;

∴PQ ∥平面BCE .

5.一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点)．

<1>求证：MN ∥平面CDEF ； <2>求多面体A —CDEF 的体积．

解析 (1)证明由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2， DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.

取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF .又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ， ?

∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .

(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE —BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝ 2. ∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝8

6.若P 为异面直线a ，b 外一点，则过P 且与a ，b 均平行的平面 A ．不存在 B ．有且只有一个 C ．可以有两个 D ．有无数多个

答案 B

7.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN ，求证：MN ∥平面AA 1B 1B .

【证明】方法一如右图，作ME ∥BC ，交BB 1于E ；作NF ∥AD ，交AB 于F ，连接EF ，则EF ?平

面AA1B1B.

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN.

…

∵ME

BC＝

B1M

B1C，

AD＝

BD，

∴ME

BC＝

BD＝

AD，∴ME＝NF.

又ME∥BC∥AD∥NF，

∴MEFN为平行四边形．

∴NM∥EF.又∵MN?面AA1B1B，

∴MN∥平面AA1B1B.

方法二如图，连接CN并延长交BA的延长线于点P，连接B1P，则B1P?平面AA1B1B.…

∵△NDC∽△NBP，

∴DN

NB＝

NP.又CM＝DN，

B1C＝BD，CM

MB1＝DN

NB＝

NP，

∴MN∥B1P.∵B1P?平面AA1B1B，

∴MN∥平面AA1B1B.

方法三如右图，作MP∥BB1，交BC于点P，连接NP.

∵MP∥BB1，∴CM

MB1＝

PB.

，

∵BD＝B1C，DN＝CM，

∴B1M＝BN.∵CM

MB1＝

NB，

∴CP

PB＝

NB，∴NP∥DC∥AB.

∴平面MNP∥平面AA1B1B.∴MN∥平面AA1B1B.

8.如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AB ＝2，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．

—

(1)求证：PA ∥平面EFG ；

(2)求三棱锥P —EFG 的体积．

解析 (1)证明如图，取AD 的中点H ，连接GH ，FH . ∵E ，F 分别为PC ，PD 的中点， ∴EF ∥CD .

∵G ，H 分别是BC ，AD 的中点， ∴GH ∥CD .

∴EF ∥GH ，∴E ，F ，H ，G 四点共面．、

∵F ，H 分别为DP ，DA 的中点，∴PA ∥FH . ∵PA ?平面EFG ，FH ?平面EFG ， ∴PA ∥平面EFG .

(2)∵PD ⊥平面ABCD ，CG ?平面ABCD ，∴PD ⊥CG . 又∵CG ⊥CD ，CD ∩PD ＝D ，∴GC ⊥平面PCD . ∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1，∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12. 又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝1

9.如图所示，a ，b 是异面直线，A 、C 与B 、D 分别是a ，b 上的两点，直线a ∥平面α，直线b ∥平面

α，AB ∩α＝M ，CD ∩α＝N ，求证：若AM ＝BM ，则CN ＝DN .

【证明】连接AD 交平面α于E 点，并连接ME ，NE . ∵b ∥α，ME ?平面ABD ，平面α∩面ABD ＝ME ，

∴ME∥BD.又在△ABD中AM＝MB，

∴AE＝ED.即E是AD的中点．

又a∥α，EN?平面ACD，平面α∩面ADC＝EN，

∴EN∥AC，而E是AD的中点．

∴N必是CD的中点，∴CN＝DN.

10.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC上一点，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.

【解析】连接B1C交BC1于点F，

则F为B1C中点．

∵AB1∥平面C1EB，

AB1?平面AB1C，且平面C1EB∩平面AB1C＝EF.

∴AB1∥EF，∴E为AC中点．

∴AE∶EC＝1∶1.

【答案】1∶1

考点5：面面平行的判定及性质

1.设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()

A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥β

答案B

解析因m?α，l1?β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n?α，l1，l2?β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，∴α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2，应选B.

2.棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：

①PR与BQ是异面直线；

②RQ⊥平面BCC1B1；

③平面PQR∥平面D1AC；

④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形．

以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)

答案 ③④

解析由于PR 是△A 1BC 1的中位线，所以PR ∥BQ ，故①不正确；由于RQ ∥A 1C 1，而A 1C 1不垂直于面BCC 1B 1，所以②不正确；由于PR ∥BC 1∥D 1A ，PQ ∥A 1B ∥D 1C ，所以③正确；由于△A 1BC 1是边长为2的正三角形，所以④正确．故填③④.

3.已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心． <1>求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ；

：

<2>求S △G 1G 2G 3∶S △ABC .

【解析】 (1)如图，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F . 连接DE 、EF 、FD . 则有PG 1∶PD ＝2∶3， PG 2∶PE ＝2∶3.

∴G 1G 2∥DE .又G 1G 2不在平面ABC 内， ∴G 1G 2∥平面ABC .同理G 2G 3∥平面ABC .

又因为G 1G 2∩G 2G 3＝G 2，∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC .

(2)由(1)知PG 1PD ＝PG 2PE ＝23，∴G 1G 2＝2

3DE . 又DE ＝12AC ，∴G 1G 2＝1

3AC . 同理G 2G 3＝13AB ，G 1G 3＝1

3BC .

∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3. ∴S △G 1G 2G 3∶S △ABC ＝1∶9.

4.给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题：

①若l 与m 为异面直线，l ?α，m ?β，则α∥β； ②若α∥β，l ?α，m ?β，则l ∥m ； ?

③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题为________．答案 ③

解析 ①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l 、m . ②中l 与m 也可能异面．

③中

???

?l ∥γ

l ?β

β∩γ＝m ?l ∥m ，

同理l∥n，则m∥n，正确．

5.如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．

求证：平面AMN∥平面EFDB.

【证明】连接MF，∵M、F是A1B1、C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF A1D1.又A1D1AD，

∴MF AD.

∴四边形AMFD是平行四边形．

∴AM∥DF.

∵DF?平面EFDB，AM?平面EFDB，

∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB.

又AM、AN?平面ANM，AM∩AN＝A，

∴平面AMN∥平面EFDB.

6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

证明方法一

如图(1)所示，连接B1D1.

∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，

∴PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，∴PN∥BD.

又PN?平面A1BD，

∴PN∥平面A1BD.

同理：MN∥平面A1BD.

又PN∩MN＝N，

∴平面PMN∥平面A1BD.

方法二如图(2)所示，连接AC1，AC，

∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，

）

∴AC⊥BD.

又CC1⊥平面ABCD，

∴AC为AC1在平面ABCD上的射影，

∴AC1⊥BD.

同理可证AC1⊥A1B，

∴AC1⊥平面A1BD.

同理可证AC1⊥平面PMN.

∴平面PMN∥平面A1BD.

）

7.如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β，点E 、F 分别在线段AB ，CD 上，

且AE ∶EB ＝CF ∶FD .

求证：EF ∥β.

【证明】 ①当AB ，CD 在同一平面内时，由α∥β，α∩平面ABDC ＝AC ，

β∩平面ABDC ＝BD ，∴AC ∥BD .

∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，

∴EF ∥BD .又EF ?β，BD ?β，∴EF ∥β.

;

②当AB 与CD 异面时，

设平面ACD ∩β＝DH ，且DH ＝AC ， ∵α∥β，α∩平面ACDH ＝AC ，∴AC ∥DH . ∴四边形ACDH 是平行四边形．

在AH 上取一点G ，使AG ∶GH ＝CF ∶FD ，

又∵AE ∶EB ＝CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH . 又EG ∩GF ＝G ，∴平面EFG ∥平面β. ∵EF ?平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.

8.已知：如图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点． (1)当A 1D 1

D 1C 1

的值等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1；

(2)若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD

DC 的值．

【解析】 (1)如图，取D 1为线段A 1C 1的中点，此时A 1D 1

D 1C 1

＝1，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.

由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点．在△A 1BC 1中，点O 、D 1分别为A 1B 、A 1C 1的中点， ∴OD 1∥BC 1.

；

又∵OD 1?平面AB 1D 1，BC 1?平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1.

∴A 1D 1

D 1C 1

＝1时，BC 1∥平面AB 1D 1.

(2)由已知，平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BDC 1＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，因此BC 1∥D 1O ，同理AD 1∥DC 1. ∴A 1D 1D 1C 1

＝A 1O OB ，A 1D 1D 1C 1

＝DC AD .

【

又∵A 1O OB ＝1，∴DC AD ＝1，即AD DC ＝1.

考点6：线线、线面垂直

1.设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是 A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β C ．若a ⊥α，b ⊥β，a ⊥b ，则α⊥β

D ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则a ⊥b 答案 C

解析与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A 错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未

必平行，所以B 错误；如图(1)，设OA ∥a ，OB ∥b ，直线OA 、OB 确定的平面分别交α、β于AC 、BC ，则OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，所以四边形OACB 为矩形，∠ACB 为二面角α－l －β的平面角，所以α⊥β，C 正确；如图(2)，直线a 、b 在平面α内的射影分别为m 、n ，显然m ⊥n ，但a 、b 不垂直，所以D 错误，故选C.

2.“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“l ⊥α”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件答案 B

3.若m ，n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为 ①

????m ∥n m ⊥α?n ⊥α ②

????n ⊥αm ⊥α?m ∥n

③

????

?m ⊥αn ∥α?m ⊥n ④

???

?m ∥αm ⊥n ?n ⊥α

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 答案 C

解析①②③正确，④错误．

4.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

【证明】(1)∵PA⊥底面ABCD，

∴CD⊥PA.

又CD⊥AC，PA∩AC＝A，

故CD⊥平面PAC，AE?平面PAC.

故CD⊥AE.

(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.

∵E是PC的中点，故AE⊥PC.

由(1)知CD⊥AE，

从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.

[

易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.

5.设l是直线，α，β是两个不同的平面()

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

C．若l⊥α，α⊥β，则l⊥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

答案B

解析A项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l?β，D项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．

、

6.设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题中真命题是

A．若b?α，c∥α，则b∥c

B．若b?α，b∥c，则c∥α

C．若c∥α，c⊥β，则α⊥β

D．若c∥α，α⊥β，则c⊥β

答案C

解析如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有部分平行，故A错；

若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故B 错；

如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故C对；

对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.

7. 在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°，求证：CD⊥平面A1ABB1.

证明连接A1E，EC，

∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2 2.

设AD＝x，则BD＝22－x.

∴A1D2＝4＋x2，DE2＝1＋(22－x)2，A1E2＝(22)2＋1.

∵∠A1DE＝90°，∴A1D2＋DE2＝A1E2.

;

∴x＝ 2.

∴D为AB的中点．∴CD⊥AB.

又AA1⊥CD，且AA1∩AB＝A，

∴CD⊥平面A1ABB1.

8.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点．

<1>证明：BD⊥EC1；

<2>如果AB＝2，AE＝2，OE⊥EC1，求AA1的长．

【解析】(1)如图，连接AC，A 1C1，AC与BD相交于点O.

由底面是正方形知，BD⊥AC.

因为AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD.

又由AA1∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C.

再由EC1?平面AA1C1C知，BD⊥EC1.

(2)设AA1的长为h，连接OC1.

在Rt△OAE中，AE＝2，AO＝2，

故OE2＝(2)2＋(2)2＝4.

在Rt△EA1C1中，A1E＝h－2，

A1C1＝2 2.

故EC21＝(h－2)2＋(22)2.

在Rt△OCC1中，OC＝2，CC1＝h，

OC21＝h2＋(2)2.

因为OE⊥EC1，所以OE2＋EC21＝OC21.

即4＋(h－2)2＋(22)2＝h2＋(2)2，

解得h＝3 2.所以AA1的长为3 2.

考点7：面面垂直

、

1.△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

①DE＝DA；

②平面BDM⊥平面ECA；

③平面DEA⊥平面ECA.

【证明】①取EC的中点F，连接DF.

∵BD ∥CE ，∴DB ⊥BA .又EC ⊥BC ，在Rt △EFD 和Rt △DBA 中， ∵EF ＝1

2EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，

∴Rt △EFD ≌Rt △DBA ，∴DE ＝DA .

②取CA 的中点N ，连接MN 、BN ，则MN 綊1

2EC . ∴MN ∥BD ，∴N 点在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA .

∵BN ?平面BDM ，∴平面BDM ⊥平面ECA . ③∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ， ∴DM ⊥平面ECA ，又DM ?平面DEA ，】

∴平面DEA ⊥平面ECA .

2.已知平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面⊥平面PBC ，E 为垂足． ①求证：PA ⊥平面ABC ；

②当E 为△PBC 的垂心时，求证：△ABC 是直角三角形．【证明】 ①在平面ABC 内取一点D ，作DF ⊥AC 于F . 平面PAC ⊥平面ABC ，且交线为AC ，∴DF ⊥平面PAC . 又PA ?平面PAC ，

∴DF ⊥PA .作DG ⊥AB 于G ， *

同理可证：DG ⊥PA .

DG 、DF 都在平面ABC 内， ∴PA ⊥平面ABC .

②连接BE 并延长交PC 于H ， ∵E 是△PBC 的垂心，∴PC ⊥BH .

又已知AE 是平面PBC 的垂线，PC ?平面PBC ， ∴PC ⊥AE .又BH ∩AE ＝E ，∴PC ⊥平面ABE . 又AB ?平面ABE ，∴PC ⊥AB .

∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB .

又PC ∩PA ＝P ，∴AB ⊥平面PAC . 又AC ?平面PAC ，∴AB ⊥AC . 即△ABC 是直角三角形．

3.如图所示，在斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，底面是等腰三角形，AB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC . (1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；

(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM ＝MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；

(3)AM ＝MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 的充要条件吗请你叙述判断理由．

(

【证明】 (1)∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC . ∵底面ABC ⊥侧面BB 1C 1C ，且交线为BC ， ∴由面面垂直的性质定理可知AD ⊥侧面BB 1C 1C . 又∵CC 1?侧面BB 1C 1C ，∴AD ⊥CC 1.

(2)方法一取BC 1的中点E ，连接DE 、ME .在△BCC 1中，D 、E 分别是BC 、BC 1的中点． ∴DE 綊1

2CC 1.

又AA 1綊CC 1，∴DE 綊1

2AA 1.

∵M 是AA 1的中点(由AM ＝MA 1知)，∴DE 綊AM . >

∴AMED 是平行四边形，∴AD 綊ME .

由(1)知AD ⊥面BB 1C 1C ，∴ME ⊥侧面BB 1C 1C . 又∵ME ?面BMC 1，∴面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C .

方法二延长B 1A 1与BM 交于N (在侧面AA 1B 1B 中)，连接C 1N . ∵AM ＝MA 1，∴NA 1＝A 1B 1.

又∵AB ＝AC ，由棱柱定义知△ABC ≌△A 1B 1C 1. ∴AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1. ∴A 1C 1＝A 1N ＝A 1B 1. }

在△B 1C 1N 中，由平面几何定理知： ∠NC 1B 1＝90°，即C 1N ⊥B 1C 1.

又∵侧面BB 1C 1C ⊥底面A 1B 1C 1，交线为B 1C 1， ∴NC 1⊥侧面BB 1C 1C . 又∵NC 1?面BNC 1， ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ，即截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C .

(3)结论是肯定的，充分性已由(2)证明． %

下面仅证明必要性(即由截面BMC 1⊥侧面BB 1C 1C 推出AM ＝MA 1，实质

是证明M

是AA 1的中点)，

过M 作ME 1⊥BC 1于E 1.

∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ，交线为BC 1. ∴ME 1⊥面BB 1C 1C .又由(1)知AD ⊥侧面BB 1C 1C ， ∵垂直于同一个平面的两条直线平行， ∴AD ∥ME 1，∴M 、E 1、D 、A 四点共面．又∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，面AME 1D ∩面BB 1C 1C ＝DE 1，

∴由线面平行的性质定理可知AM ∥DE 1. 又AD ∥ME 1，

∴四边形AME 1D 是平行四边形． ∴AD ＝ME 1，DE 1綊AM . 又∵AM ∥CC 1，∴DE 1∥CC 1.

又∵D 是BC 的中点，∴E 1是BC 1的中点． ∴DE 1＝12CC 1＝1

2AA 1. ∴AM ＝1

2AA 1，∴MA ＝MA 1.

∴AM ＝MA 1是截面MBC 1⊥侧面BB 1CC 1的充要条件．

考点8：平行与垂直的综合问题

1.如图所示，在直角梯形ABEF 中，将DCEF 沿CD 折起使∠FDA ＝60°，得到一个空间几何体． (1)求证：BE ∥平面ADF ；

(2)求证：AF ⊥平面ABCD ； (3)求三棱锥E —BCD 的体积．

【解析】 (1)由已知条件，可知BC ∥AD ，CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变．

又因为BC ?平面ADF ，AD ?平面ADF ，所以BC ∥平面ADF .同理CE ∥平面ADF . 又因为BC ∩CE ＝C ，BC ，CE ?平面BCE ，所以平面BCE ∥平面ADF . 所以BE ∥平面ADF .

(2)由于∠FDA ＝60°，FD ＝2，AD ＝1，

所以AF 2＝FD 2＋AD 2－2×FD ×AD ×cos FDA ＝4＋1－2×2×1×1

2＝3. 即AF ＝ 3.

所以AF 2＋AD 2＝FD 2.所以AF ⊥AD . 又因为DC ⊥FD ，DC ⊥AD ，AD ∩FD ＝D ，所以DC ⊥平面ADF .又因为AF ?平面ADF ，所以DC ⊥AF .

因为AD ∩DC ＝D ，AD ，DC ?平面ABCD ，所以AF ⊥平面ABCD .

(3)因为DC ⊥EC ，DC ⊥BC ，EC ，BC ?平面EBC ，EC ∩BC ＝C ，所以DC ⊥平面EBC .又因为DF ∥EC ，AD ∥

BC ，∠FDA ＝60°，

所以∠ECB ＝60°. 又因为EC ＝1，BC ＝1，所以S △ECB ＝12×1×1×32＝3

所以V E －BCD ＝V D －EBC ＝13×DC ×S △ECB ＝13×1×34＝3

12.

2.如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.

<1>求证：DE ∥平面A 1CB ； <2>求证：A 1F ⊥BE ；

<3>线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ 说明理由．

【解析】 (1)因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .

又因为DE ?平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .

(2)由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .

所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC . 而A 1F ?平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F . 又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE . 所以A 1F ⊥BE .

(3)线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下：

如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，连接PQ ，QE ，PD ，则PQ ∥BC .

因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ . 所以平面DEQ 即为平面DEP . 由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .