自动控制原理第2章习题解

习 题 2

2-1 试证明图2-77(a)所示电气网络与图2 77(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。

图2-77习题2-1图

证明：首先看题2-1图中(a)

()()()s U s U s U C R R -=

()()()()s U Cs R s CsU s U R s I R R R R ??

?

??+=+=

11 ()()s I s C R s U C ????

?

?+=221

()()()[]s U s U s C R s C R s U C R C -???

? ??+???? ??+=112211 ()()s U s C R s C R s U s C R s C R R C ???? ??+???? ??+=??????+???? ??+???? ?

?+112211221

1111 ()()()()()()s U R s C R s C s C R s U R s C R s C s C R R C

11122211122211111+?+=??

????++?+

2-2试分别写出图2-78中各有源网络的微分方程。

图2-78 习题2-2图

解： (a)()()()t u R t u R dt t du C

o r r 211-=+ (b)()()()??

????+-=t u R dt t du C t u R r o 2o 111

(c)

()()()??

?

???+-=t u dt t du C R t u R r c c 211 2-3某弹簧的力一位移特性曲线如图2-79所示。在仅存在小扰动的情况下，当工作点分别为x 0=-1.2，0，2.5时，试求弹簧在工作点附近的弹性系数。

解：由题中强调“仅存在小扰动”可知，这是一道非线性曲线线性化处理的问题。于是有，在x 0=-1.2，0，2.5这三个点处对弹簧特性曲线做切线，切线的导数或斜率分别为：

1）

()()35.5625

.280

5.175.040402

.1==----=

-=x dx

df

2）

200

20

400=--==x dx df 3）

65

.215

5.0320355.2==--==x dx df

2- 4图2-80是一个转速控制系统，其中电压u 为输入量，负载转速ω为输出量。试写出该系统输入输出间

的微分方程和传递函数。

解：根据系统传动机构图可列动态如下：

()()()t u K dt

t di L

t Ri r e =++ω (1) i K T T em = (2)

dt

d J

T i K T T L T L em ω

=-=- (3) 将方程(3)整理后得：

dt

d K J T K i T L T ω+=

1 (4) 将方程(4)代入方程(1)后得：

()t u K dt d K LJ dt dT K L dt d K RJ T K R r e T L T T L T =++++ωωω2

2 (5)

将方程(5)整理后得：

()dt

dT K L T K R t u K dt d K RJ dt d K LJ L

T L

T r e T T --=++ωωω22 (6) 2-5 系统的微分方程组如下

式中，r ，K-，K2，K 。，Kn ，Kj ，T 均为常数。试建立系统r(f)对c(f)的结构图，并求系统传递函数 C(s)／R(s)。

解：首先画系统结构图，根据动态方程有：

然后，根据梅逊公式得：

()()()()()()()()()()()()()()111111111115

433143214325433432

14

32

1++++++++++++=

++++++++=Ts s K K K Ts s Ts K Ts s K s K K K Ts s Ts s Ts s K s K K K Ts s K K K s K Ts K s K K K s Ts K s K K K s s R s C ττττ()()()()()5

433432134322

14321K K K K K K K K s T K K K K Ts K s K K K s R s C +++++++=ττ 2 6 图2-8l 是一个模拟调节器的电路示意图。

① 写出输入u i ，与输出u o 之间的微分方程； ② 建立该调节器的结构图； ③ 求传递函数U o (s)／U r (s)。

解：根据电路分析需要，引入中间变量v o1(t )，v o2(t )，然后，由电路图可知：

()()()s U s C R R s U R s U i o1121o 11???? ??+-=+ （1） ()

()s sU C R s U o223o1-= （2） ()()s U R R s U o24

5

o -

= （3） 采用代入法，将上述3个方程联立求解得：

()()()[]()()()[]s U s U s C R s C R R R R R s U s U R s C R R s C R R R s U o i 1224315

2o i 11222345o 1111++-=++?

?-

= ()()()s U s

C R R s C R s C R R R R R s U i 1521224315

2o 1++-

=

()()()

???

?

??++?=++-=122431152243112431515224312

12243152i o 1

C R C R R R C R R C R R R s s C C R R R R s C R R s C R R R s C R C R R R R R s U s U 2-7某机械系统如图2-82所示。质量为m 、半径为R 的均质

圆筒与弹簧和阻尼器相连(通过轴心)，假定圆筒在倾角为α的斜面上滚动(无滑动)，

求出其运动方程。

解：首先，对圆辊进行受

力分析；根据分析结果可

知：

-

/dt

21

211sin dt x d m dt dx B Kx mg =--α

αsin 11212mg Kx dt

dx

B dt x d m =++ 2 8 图2-83是一种地震仪的原理图。地震仪的壳体固定在地基上，重锤M 由弹簧K 支撑。当地基上下震

动时，壳体随之震动，但是由于惯性作用，重锤的运动幅度很小，这样它与壳体之间的相对运动幅度就近似等于地震的幅度，而由指针指示出来。活塞B 提供的阻尼力正比于运动的速度，以便地震停止后指针能及时停止震动。

①写出以指针位移y 为输出量的微分方程； ②核对方程的量纲。

解：首先，对重锤进行受力分析；根据分析结果可知：

22dt y

d m dt dy B Ky mg =--

mg Kx dt dx

B dt

x d m =++11212

2 9 试简化图2-84中各系统结构图，并求传递函数c(s)／R(s)。

图2-84习题2-9图

解：(a)，根据梅逊公式得：

前向通道传递函数P k ：()()s G s G P 211=；()()s G s G P 232=

回路通道传递函数L i ：()()()s H s G s G L 2211-=；()()s H s G L 122-=

特征方程△：()()()()()s H s G s H s G s G L i 1222111++=∑-=?

由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：121=?=? 系统传递函数为：

()()()()()()()()()()()()

s H s G s H s G s G s G s G s G s G s R s C s 1222132211+++=

=

Φ (b)，根据梅逊公式得：

前向通道传递函数P k ：()()s G s G P 211=；

回路通道传递函数L i ：()()s H s G L 111-=；()()s H s H L 212-= 特征方程△：()()()()s H s H s H s G L i 211111++=∑-=?

由于回路传递函数L 2与前向通路相“不接触”，所以。余子式：()()s H s H 2111+=? 系统传递函数为：

()()()()()()()()()()()

()s G s H s H s H s G s H s H s G s R s C s 2211121111+++==

Φ

(c)，根据梅逊公式得：

前向通道传递函数P k ：()()()()s G s G s G s G P 43211=； 回路通道传递函数L i ：()()()()()s H s G s G s G s G L 143211=；

()()()()s H s G s G s G L 23212-= ()()()s H s G s G L 3323-= ()()()s H s G s G L 4434-=

特征方程△：

()()()()()()()()()()()()()()()

s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s H s G s G s G s G L i 44333223211432111+++-=∑-=? 由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：11=?

系统传递函数为：

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s H s G s G s G s G s G s G s G s G s R s C s 44333223211432143211+++-=

=

Φ2-10试用梅逊公式求解习题2-9所示系统的传递函数C(s)／R(s)。 2-11 系统的结构如图2-85所示。

① 求传递函数C 1(s)/R I (s)，C 1(s)/R 2(s)，C 2(s)/R I (s)，C 2(s) R 2(s)，

② 求传递函数阵G (s)C (s)= G (s)R (s)，其中

()()()??????=s G s G s 21G ，()()()??

????=s R s R s 21R 。

解：C 1(s)/R I (s)，根据梅逊公式得：

前向通道传递函数P k ：

()()()

s G s G s G P 3211=；

()()()()()s G s G s G s G s G P 385712=；

回路通道传递函数∑L i ：()()s G s G L 331-=；

()()()s G s G s G L 8572= ()()s H s G L 253-=

相互“不接触”回路∑L i L j ：

()()()()()s G s G s G s G s G L L 8573321-= ()()()()s H s G s G s G L L 253331=

特征方程△：

j

i i L L L ∑+∑-=?1

()()()()()()()()()()()()()()()()s H s G s G s G s G s G s G s G s G s H s G s G s G s G s G s G 25338573325857331--++-+=

由于回路传递函数都与前向通路相“接触”，所以。余子式：11=? 系统传递函数为：

()+

=

11s C

2-12 试求图2-86所示结构图的传递函数C(s)／R(s)。 解：C 1(s)/R I (s)，根据梅逊公式得： 前向通道传递函数P k ：

()s G P 11=；()s G P 22= ；()()s G s G P 213-=； ()()s G s G P 214-=；

回路通道传递函数∑L i ：()s G L 11-=；()s G L 22-=；()()s G s G L 213=；()()s G s G L 214=；()()s G s G L 215=

图2-85 习题2-11图

图2-86 习题2 12图

特征方程△：

-∑+∑-=?j i i L L L 1

()()()()s G s G s G s G 212131-++=

特征方程余子式△k ：14321=?=?=?=? 系统的传递函数为：

()()()()()()()()()()()

s G s G s G s G s G s G s G s G s R s C s 21212121

312-++-+==

Φ 2-13 已知系统结构如图2-87所示，试将其转换成信号流图，并求出c(s)／R(s)。

解：(a) 根据梅逊公式得：

()()()()()()()()()()()()()s

H s G s H s G s H s G s H s G s G s G s R s C s 22112211211+++==

Φ (b) 根据梅逊公式得：

()()()()()()()()()

s H s G s H s G s G s G s R s C s 2211211++=

=

Φ 2-14 系统的信号流图如图2-88所示，试求C(s)／R(s)。

图2-89 习题2-15图

解：(a) 根据梅逊公式得：

图2-88 习题2-14图

()()()()()()()

()K

s s s K s s K s s K s s s s s K s s K

s R s C s 5.05.35.05.25.015.015.21115.0115.0232222+++=++++=+++++++==Φ (b) 根据梅逊公式得：

()()()()()()()()()

s H s G s H s G s G s G s R s C s 2211211++=

=

Φ 2-15 某系统的信号流图如图2-89所示，试计算传递函数C 2(s)/R 1(s)。若进一步希望实现C 2(s)与R 1(s)解耦，即希望C 2(s)/R 1(s)=0。试根据其他的G i (s)选择合适的G 5(s)。 解：

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

s H s G s G s H s G s G s H s G s G s H s G s G s G s G s G s G s G s G s G s G s R s C 24312124312145143621121++++=

若希望C 2(s)/R 1(s)=0，则有

()()()()()()()()045143621=+s G s G s G s G s G s G s G s G

()()()()s G s G s G s G 3625-=

2-16 已知系统结构图如图2-90所示。 ①求传递函数C (s)/R (s)和C (s) /N (s)。

②若要消除干扰对输出的影响(即C (s) /N (s)=0，问G 0(s )=?

解：①由结构图可知C(s)/R(s)

()()()()

()3

213213213

211111K K K Ts s K K K Ts s K K K Ts s K K K s R s C ++=

+++= ② 由结构图可知C(s)/N(s)

()()

()

()()()

()()3213403213213

4321011111K K K Ts s s K K s G K K K Ts s K K K Ts K K Ts s K K K s G s N s C ++-=

++

+-

+=

若使C(s)/N(s)=0，则意味着

()0340321=-s K K s G K K K

最终求得G 0(s)：

()s K K K s G 2

14

0=

2-17考虑两个多项式p(s)=s 2+2s+1，q(s)=s+1。用Matlab 完成下列计算

① p(s)q(s)

② G(沪悉×鬟×南； ③扩m

略

2-18考虑图2-9l 描述的反馈系统。

①利用函数series 与cloop ，计算闭环传递函数，并用printsys 函数显示结果；

②用step 函数求取闭环系统的单位阶跃响应，并验证输出终值为2/5。 解：略

2-19卫星单轴姿态控制系统的模型如图2-92所示，其中k=10．8E+08，a=1和b=8是控制器参数，J=10。8E+08是卫星的转动惯量。

图2-92 习题2-19图 图2-93 习题2-20图 ①编制MatIab 文本文件，计算其闭环传递函数口θ(s)/θd (s)； ②当输人为θd (s)=10o的阶跃信号时，计算并做图显示阶跃响应； ③转动惯量-，的精确值通常是不可知的，而且会随时间缓慢改变。当‘，减小到给定值的80％和50％时，分别计算并比较卫星的阶跃响应。 2-20考虑图2 93所示的方框图。

①用Matlab 化简方框图，并计算系统的闭环传递函数； ②利用pzmap 函数绘制闭环传递函数的零极点图；

③用roots 函数计算闭环传递函数的零点和极点，并与②的结果比较。

（2）如图所示机械位移系统，求G(s)= Y (s)/ F (s)。

解：首先对质量为m 的物体进行受力分析，得所受的合力为

()()()()2221dt

t y d m t F t F t F =++ 其中，()()t ky t F -=1；()()dt

t dy f t F -=2 于是有

()()()()22dt

t y d m dt t dy f t ky t F =-- 整理得

()()()()t F t ky dt t dy f dt

t y d m =++2

2 解答完毕。