高等流体力学第2讲
第二讲 流体运动微分方程
一、应力张量
作用在流体上的力可以分为两类，即质量力和表面力两大类。作用在连续介质表面上的表面力通常用作用在单位面积上的表面力——应力来表示，参见图2-1，即
0lim n A A
?→?=?P
p （2-1）
式中 n 为表面积ΔA 的外法线方向；ΔP 为作用在表面积ΔA 上的表面力。p n 除了与空间位置和时间有关外，还与作用面的取向有关。因此，有
(,,)n n M t =p p n
需要特别指出，○
1应力p n 表示的是作用在以n 为外法线方向的作用面上应力，其下标n 并不表示应力的方向，而是受力面的外法线方向，见图2-1；○
2一般来说，应力p n 的方向并不与作用面的外法线n 一致，p n 除了有n 方向的分量p nn 外，还有τ方向
的分量p n τ。只有当p n τ=0时p n 才与n 的方向一致；○
3图中ΔA 右侧的流体通过ΔA 作用在左侧流体上的力为ΔP =p n ΔA ，而ΔA 左侧的流体通过ΔA 作用在右侧流体上的
力为ΔP =p －n ΔA ，这两个力互为作用力和反作用力，所以有
n n A A -?=-?p p
可得
p n =-p -n （2-2）
n －
x y z n n n =++n i j k （2-3）
设ΔABC 的面积为ΔS ，于是ΔMBC 、ΔMCA 、ΔMAB 的面积可分别以ΔS x 、ΔS y 、ΔS z 表示为
x x y y z
z S Sn S Sn S Sn
?=???
?=????=?? （2-4）
四面体的体积可表示为
1
3
V Sh ?=?
式中h 为M 点到ΔABC 的距离。根据达朗贝尔原理，可给出四面体受力的平衡方程为
0x x y y z z n S S S S V ---?+?+?+?+?=p p p p f
当四面体趋近于M 点时，h 为一阶小量，ΔS 为二阶小量，ΔV 为三阶小量，略去高阶小量后可得
0x x y y z z n S S S S ---?+?+?+?=p p p p
再考虑式（2-2）和（2-4）可得
n x x y y z z n n n =++p p p p （2-5）
上式在直角坐标系中的投影可表示为
nx x xx y yx z zx p n p n p n p =++
ny x xy y yy z zy p n p n p n p =++ （2-6） nz x xz y yz z zz p n p n p n p =++
上式也可以用矩阵形式表示为
xx
xy xz nx
ny
nz x
y
z yx
yy yz zx zy
zz p p p p p p =n n n p p p p p p ????
?????????????
?
（2-7） 也可以表示为
n =?p n P
式中 P =xx
xy xz yx
yy yz zx zy
zz p p p p p p p p p ???
?
?????
?
（2-8）
称为应力张量。
这里需要着重指出的是：○1应力张量各分量的两个下标中，第一个下标表示的是该应力作用面的法线方向；第二个下标表示的是该应力的投影方向，例如p xy表示它是作用于外法线为x轴正向的面积元上的应力p x在y轴上的投影分量。○2应力张量P描述的是某一点处的应力状态，过该点的任意一个曲面上的应力p n均可由式（2-7）确定。○3与矢量相似，张量也是客观的，正如矢量确定以后，它的大小和方向不会随着坐标系的改变而改变，所改变的只是在不同坐标系下其分量的大小。
无粘流体或静止流场中，由于不存在切向应力，即p ij=0（i≠j），此时有
P=
00
00
00
xx
yy
zz
p
p
p
??
??
??
??
??
=
00
00
00
p
p
p
-??
??
-
??
??
-
??
=-p
00
00
001
1??
??
1
??
??
??
= -p I
式中I为单位张量，p为流体静压力。
流体力学中，常将应力张量表示为
p
=-+
P I T（2-9）式中p为静压力或平均压力，由于其作用方向与应力定义的方向相反，所以取负值；T称为偏应力张量，即
T=
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
τττ
τττ
τττ
??
??
??
??
??
（2-10）
偏应力张量的分量与应力张量各分量的关系为：i＝j时，p ij为法向应力，τii= p ij- p；当i≠j时p ij为粘性剪切应力，τij=p ij。τii=0的流体称为非弹性流体或纯粘流体，τii≠0的流体称为粘弹性流体。
二、应变张量
与刚体相比，连续介质运动过程中还有可能发生变形，因此连续介质的运动比刚体的运动要复杂得多。在这里，首先回顾一下刚体运动速度分解定理。刚体的运动可以分解为随质心的平动和绕质心的转动，即
0δ
=+?
u u r
ω
其中u0为刚体质心的平动速度；u为刚体内部任意一点处的运动速度；ω为刚体绕质心的旋转角速度；d r为质心至某点的微元矢量。
在t时刻的连续介质中取出包括点M0（x，y，z）的任意微元体积，同时取微元体积内的另一点
图2-3一点邻域的速度
M （x+d x ，y+d y ，z+d z ），如图2-3所示。假设点M 0的速度为u （x ，y ，z ），当d r =（d x ，d y ，d z ）为小量时，M 点的速度可用M 0的速度的泰勒展开式来表示，即
0(M)(M )d =+u u u 0(M )d d d x y z y z ???=+++???u u u
u x （2-11）
或分量形式
0(M)(M )d u u u =+0(M )d d d u u u u x y z x y z ???=+++??? 0(M)(M )d v v v =+0(M )d d d v v v v x y z x y z ???=+
++??? 0(M)(M )d w w w =+0()d d d w w w
w M x y z x y z
???=+
++??? 显然，d u 或(d u ，d v ，d w )是M 点相对于M 0点的相对运动速度，它可以用矩阵
的形式为
d d d d d d u u u x
y z u x v v v v y x
y z w z w w w x
y
z ?????????????????????????
=??????
?????????????????????????
（2-12） 上式中的方形矩阵可分解为
1102211022110
22u v u w u u u y x z x x y z v v v v u v w x y z x y z y w w w w u w v x
y
z x z y z ????
???????????--?? ? ???????????
????
????????????????????=--?? ? ??????????
???????????????
??????????--
? ????????????????
?
?
112211221122u u v u w x y x z x u v v v w y x y z y u w v w w z x z y z ???????????++??
? ???????????
???
???????????+++ ? ??????????????
???????????++ ? ??????????????
= R ＋D （2-13）
上式中第一个矩阵R 是反对称的，第二个矩阵D 是对称的，这两个矩阵在流体力学中也称为二阶张量，下面就来具体分析这两个张量的物理意义。
反对称矩阵R 中的九个分量中只有三个独立分量，即
112w v y z ω????=-
?????，212u w z x ω????=- ?????，3
12v u x y ω??
??=- ?????
（2-14） 这三个分量恰好就是流体微团旋转角速度矢量的三个分量，因此，将R 称为旋转张
量。同时ω=ω1i +ω2j +ω3k 也就是速度矢量的旋度的一半，即
12
=?u ω? （2-15）
对称矩阵D 中的九个分量中只有六个独立分量，
xx u D =
x ??，xx u D =x ??，xx u
D =x
??，12xy yx u v D =D =y x ????+ ?????
12yz zy v w D =D =z y ??
??+ ?????
，12xz zx u w D =D =z x ????+ ????? （2-16）
D ii (i =x ，y ，z )恰好是流体力学中研究过的流体微团在三个坐标轴方向上的线应变速
率，而D ij (i =x ，y ，z ；j =x ，y ，z 且i ≠j )也恰好是其角变形速度。因此，流体力学中将张量D 称为应变速率张量，或简称为应变张量，将R ＋D 称为速度梯度张量，用grad u 表示。 在非牛顿流体力学中，也常用一阶Rivlin-Ericksen 张量A 来表述应变速率的大小，它与D 的关系为
A =2D （2-17）
一阶Rivlin-Ericksen 张量A 的分量直角坐标系中的表达式可由式（2-16和17）得出，其在柱坐标系和球坐标系中的表达式的推导比较复杂，其结果见表2-1。
表2-1 一阶Rivlin-Ericksen 张量A 的分量在柱坐标系和球坐标系中的表达式
由矩阵分析可知，对称张量A 有三个不变量，即
I tr ii A =A =
1
122
211II tr 22ij ij A A ????
== ? ?????A （2-18）
III det ij A ==A
其中最常用的是第二不变量，用来描述流场的剪切速率的大小，在简单剪切流动中
常用γ&来表示。。 例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动
u ky =，0v =，0w = 式中k 为常数，且k =u 0/b 。
解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得
/20/200000k k ????=-??????R
00200000k D k ??
??==??
????
A 再由式(2-18)可得
I tr 0ii xx yy zz A A A A ==++=A =
1
12
2
2
1
2
220000000111II tr tr 0000tr 0
022*********
0k k k u k k k k b
?????? ? ? ???
===== ? ? ? ??? ? ? ?
?????
?
A
所以II=k =u 0/b 。
00
III det 000000
k k ===A
流动的旋转张量R 的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A =0表明流动为不可压缩流动，II=k 表明了流场的剪切速率为常数。
图2-4 简单剪切流动
三、以应力表示的运动方程
以应力表示的运动方程是将于动量定理改写为适用于控制体的形式后所得到的数学表达式。
在连续介质中取一个如图2-6所示微元体。假设微元体中心处的应力张量为
P =xx xy xz yx
yy yz zx zy
zz p p p p p p p p p ?????????
?
则作用在图中右、前和上三个侧面上的应力分量如图所示。作用在微元体上的所有
表面力在x 方向上的合力为
d d [()()]d d 22xx xx xx xx p p x x
p p y z x x ??+--??（在垂直于x 轴的面上的合力）
d d [()()]d d 22yx yx yx yx p p y y
p p x z z z ??+--??（在垂直于y 轴的面上的合力）
d d [()()]d d 22
zx zx zx zx p p z z
p p x y z z ??+--??（在垂直于z 轴的面上的合力）
简化后可得控制体内的流体所受的表面力的合力在x 方向的分量为
(
)d d d yx xx zx
x p p p F x y z x y z
???=++??? 作用在微元体上的动量变化率在x 方向上的分量为
图2-6微元体受力示意图
2
xy x ?d 2
xz xz p x
p x ?+?d 2
xx xx p x
p x ?+?d 2
zz zz p z
p z ?+?d 2
zy p z z ??p
d d d d d d d d d x M mu u
x y z
t t t
ρ== 代入动量定理后两端同除以微元体内的流体的质量ρd x d y d z 后，可得
1d ()d yx xx zx p p p u
X ρx y z t
???+++=??? （2-23a ）
同理，利用y 、z 两个方向上的动量定理可得 1d ()d xy yy zy p p p v Y ρx y z t ???+
++=??? （2-23b ） 1d ()d yz xz zz p p p w Z ρx y z t
???+
++=??? （2-23c ） 式中的Ｘ，Ｙ和Ｚ分别是作用在单位质量流体上的质量力在x ，y 和z 三个坐标轴方向
上的分量。这便是以应力表示的粘性流体运动方程，也称为柯西应力方程，其矢量形式为
d 1
d t ρ=+?u f P ? （2-24） 式中，?P ?为拉普拉斯算符与应力张量的内积。式(2-23)是柯西应力方程在直角坐
标系中的表达式，它们在柱坐标系中的表达式见表2-2。
表2-2 柱坐标系中的连续方程和运动方程
连续方程
11()0z
r u u ru r r r z
θθ???+=??? 动力学方程
r 分量：21()r r r z rr r rz r z r u u u u u u rT T T T u u f t x r r z r r r r z θθθθθθρθ?????????
++-+=++++ ??????????
θ分量：2221()r r x r z u u u u u u u r T T T u u f t x r r z r r r z θθθθθθθθθθθθρθ?????????++-+=+++ ??????????
z 分量：
1()z z z z rz z zz r z z u u u u u rT T T u u f t x r z r r r z θθθρθ?????????+++=+++ ??????????
注：表2-2的公式中的f r ，f θ，和f ｚ分别是作用在单位质量流体上的质量力在r ，θ和z 三个坐标轴方向上的分量。
柯西应力方程对任何粘性流体、任何运动状态都适用。很容易看出，柯西应力
方程只包含三个方程，加上一个连续性方程也不过4个方程，而其中未知变量却有9个(6个应力分量和三个速度分量)，所以，这组方程是不封闭的。为使该方程组在理论上可解，必须进一步考虑应力和应变率之间的关系——本构方程，作为补充方程以获得封闭的方程组。
四、本构方程
流变学中对本构方程的定义是：在某些假定条件下，材料力学行为的数学描述，著名的牛顿内摩擦定律、虎克定律便是最原始形式的流体及弹性体的本构方程。在非牛顿流体力学中，本构方程特指应力张量与应变张量之间的关系方程，非牛顿流体不同于牛顿流体，它没有一个单一的本构方程，因为非牛顿流体类型繁多，特性各异，不能指望用一个本构方程来描述，下面就简单介绍几种常用的本构方程。
（一）纯粘流体的本构方程
在流体力学中的本构方程，是在某些假设下，连续介质的力学行为的数学描述，如弹性力学中的虎克定律和流体力学中的牛顿内摩擦定律等。在非牛顿流体力学中，本构方程给出的是偏应力张量和应变张量之间的函数关系，即间接地给出了偏应力张量与速度之间的关系，本构方程、连续性方程和以应力表示的运动方程便可构成封闭的方程组。本构方程作为流变学的重要研究内容，所涉及的内容浩繁复杂。在这一小节中主要着重介绍石油工程中常用的几种本构方程。 1.平均压力的引入
将流体静力学中的静压力引入到应力张量后，得到了以式(2－10)表示的应力张量，其中的偏应力张量可表示为
P = xx xy xz yx
yy yz zx zy
zz p p p p p p p p p ????
?????
?
（2-25） 严格意义上讲，只有在静止流体和理想流体中才存在静压力p ，在实际流体的
流场中不存在静压力，这是因为在实际流体的流场中p xx 、p yy 和p zz 会随着坐标系方向的不同而变化。幸运的是，对于各项同性的流体，应力张量的第一不变量为常数，讲这个不变量定义为平均压力，即
()1
++3
xx yy zz p p p p =-
因此，可以把平均压力看作是静压力。引入平均压力后，式（2-21）可写做
d 11
d p t ρρ
=-?u f T ?+? （2-26） 至此，连续性方程（2-22）和运动方程（2-26）中，一共有u 、p 、T 三个未知
数，如果再加上本构方程T =f （u ）后便可构成一个封闭的方程组。 2.纯粘流体的本构方程
假设或直接说希望存在一种流体，它满足
μ=T A （2-27）
或以分量的形式表示为
ij ij A τμ= （2-28）
式中μ是一标量函数。上式所定义的一类流体确定存在，比如牛顿流体。
下面仍以图2－7所示的稳定库特流为例来研究对象来研究粘性流体的本构方程，流场的边界条件为
0(0)
()y u u y b =?=?
=?当时当时 将以式（2-28）表示的应力分量T ij 代入柯西应力方程（2-23），并利用连续方程
可得到
220p u
x y
μ??-+=?? （2-29） 0p
y
?=? （2-30） 式（2-30）表明p 不是y 的函数。再假设体系在x 方向压力梯度为0，则可得到
22d 0d u
y μ= （2-31） 解之可得
u u y b
=
（2-32） 由式（2-35、15和17）可知A 的非零分量只有：
0II xy yx u
A A b
γ====&
（2-33） 因为应力τij 正比于A ij 对应的分量，所以由式（2-28）可以得到，应力张量T 的非零分量为
0xy yx u
==μb
ττ （2-34）
这就是牛顿内摩擦定律在初等流体力学中一般采用的形式。比较严格的定义是通过方程（2-27），其中使μ等于常数。
现在再回到方程式（2-27），μ是一个标量系数的情形。特别是这意味着η可能是某个函数，而不像牛顿流体那样μ为常数。在这种情况下，我们把μ称为非牛顿视粘度或粘度系数。
对于其它流体而言，其视粘度μ究竟是哪些变量的函数呢？这里不准备去验证某些想法，而是假设μ只依赖于由应变张量A 的分量定义的流变学量。由于μ是一
图2－7库特流
个标量，而A 的却是一个张量，所以标量μ不能直接表示成张量A 的函数，若想在两者之间建立起函数关系，必然要先引入一种变换或者运算将张量A 的转换成标量。
首先讨论一个比较熟悉的问题，质点的动能依赖于它的速度矢量的大小。但动能是一个标量，而速度却是矢量。这个问题的解决方法在于，存在着一个矢量的标量函数，即
2222
x y z
u u u u ==++u u ? （2-35） 速度的平方u 2是一个标量，它与坐标系的选择无关，这类与坐标系无关的矢量函数
称为不变量。任何矢量V 都可以组成唯一的标量函数V·V 。由此可以推广到，任何张量V 也都可以组成唯一的标量函数V·V 。由此不禁使我们想到了应变张量的三个不变量，再回想前面已经分析过的平板间的简单剪切流动，其三个不变量中只有第二不变量II 不为零，由此不难想到，对于不满足式（2-27）的非牛顿流体，其视粘度函数必然是应变张量A 的第二不变量II 的函数，即
(II)()ηηηγ==& （2-36） 因此，对于满足式（2-27）的非牛顿流体简单剪切流动而言，偏应力张量中不为0
的两个分量为：
()II xy yx ττηγ==&
（2-37） 由于满足式（2-7）或（2-28）的流体的法向应力τii =0，称之为纯粘流体或广义牛
顿流体。
（二）几种常用的本构模型
前面讨论的纯粘流体或广义牛顿流体的视粘度为常数，其本构关系比较简单，即粘性切应力与应变张量成正比例关系。但是，石油工程中常见的非牛顿流体的本构方程比纯粘流体复杂，大致可划分为塑性型、假塑型、屈服假塑型和膨胀型等不同的类型，下面就来探讨一下这几种类型流体的本构方程。 1.宾汉模型
尤金·库克·宾汉，美国化学家。曾任拉法耶特学院化学系教授与系主任。宾汉和马尔克斯·雷纳一起开创了流变学这一学科，并于1929年创造了“rheology”（流变学）这一词汇。宾汉在流变学的理论研究和实际应用方面均有较多贡献，最著名的是提出宾汉模型，在该模型中，当应力小于某一临界值时，流体呈现弹性体特征，应变速率为零。当应力大于临界值时，流体呈现为牛顿流体。符合这一描述的流体称为宾汉流体。1948年宾汉逝世后，流变学协会每年颁发宾汉奖章，为流变学领域的最高奖赏之一。
由图2-8所示不同类型非牛顿流体的流变曲线中，单独将塑性流体流变曲线拿出来分析，由图2-8所示的流变曲线可以看出，当所流体受
到的切应力低于某一数值时不会流动，而当所
受到的切应力超过这一数值时才开始流动，这一数值称为塑性流体的极限静切应力；当应变速率较小时，粘性切应力与剪切速率成曲线关系；当应变速率较大时，粘性切应力与剪切速率成线性关系。流变曲线的直线段的斜率，称为塑性粘度或结构粘度，该直线段的延长线与
切应力轴的交点，称为屈服应力或极限动切应力。因此，塑性流体符合宾汉模型，其本构方程可以用宾汉公式表示为
0p ττηγ=+&
（2-38） 或
0p ττηγ-=&
（2-39） 式中 τ0为屈服应力或极限动切应力，Pa ；ηp 为塑性粘度或结构粘度，Pa·s 。
宾汉流体的视粘度为
p ττ
ττ
ηηγγ>=
=+&& （2-40） 上式表明，视粘度η是剪切速率γ&的单调减函数，且随着剪切速率γ&的增大逐渐趋于塑性粘度ηp 。 2.幂律模型
符合幂律模型的流体简称幂律流体，其流变曲
线如图2-9所示，幂律模型常被用来描述拟塑性流体和膨胀性流体的流变性，其本构方程为
n
k τγ=& （2-41）
式中 k 为稠度系数，Pa·s n ；n 为流性指数，无量纲
指数。对于拟塑性型（剪切稀化）流体来说，n ＜1；对于膨胀型（剪切稠化）流体来说，n ＞1；当n =1时则为牛顿流体；n 与1的差值越大则流体的非牛顿特性越强。
幂律流体的视粘度为
剪切速率γ& 图2-8塑性流体的流变特性曲线
粘性切应力τ
剪切速率γ&
图2-9 幂律流体的流变特性曲线
粘性切应力τ
1
n k τηγγ-=
=&&
（2-42） 由此可见，幂律流体的视粘度与稠度系数k 成正比，当n ＞1时为剪切速率γ&的单增函数，当n ＜1时为剪切速率γ&的单减函数。 3.卡森模型
石油工程中的另一个常用的带屈服值的流变模型为卡森模型，是卡森于1959年提出的，其本构方程为
11112222
c c ττηγ=+& （1-23）
式中 ηc 为卡森粘度，Pa ·s ；τc 为卡森屈服值，Pa 。满足卡森模型的流体称为卡森流体，卡森流体的流变曲线如图2-10所示。 卡森流体的视粘度为
()
111
2222c c τηητγγ-==+&&
（2-43）
4.带屈服应力的幂律模型
上述三种模式均是采用双参数来描述非牛顿流体的流变特性的，另外还有一些三参数的流变模型。这里首先介绍图2-10所示的带屈服应力的幂律模型，又称为Herschel —Buckley 模型，满足这一模型的流体称为Herschel —Buckley 流体，其本构方程为
0n
k ττγ=+& （2-44）
该模型相当于宾汉模型和幂律模型的综合，因此本构方程中各量的意义等同于宾汉模型和幂律模型中各参数的意义。
带屈服应力的幂律流休的视粘度为
10n k ττηγγγ-==+&&& （2-45）
5.罗伯逊一斯蒂夫模型
罗伯逊-斯蒂夫模型的形式为
()B A C τγ=+& （2-46）
式中 A 为稠度系数，Pa·s B ；B 为流性指数，无因次；C 为变形速度校正值，s -1。
罗伯逊-斯蒂夫模型也是一个三参数描述带屈服应力的非牛顿流体流变性的模型。
罗伯逊-斯蒂夫流体的视粘度为
1/
τ
图2-9 幂律流体的流变曲线
图2-9 Herschel —Buckley 流体 的流变特线
粘性切应力τ
1
()B A C τηγγγ-=
=+&&&
（2-47） 五 初始条件和边界条件
柯西应力方程是一个与时间有关的非线性偏微分方程组，理论上只要方程组封闭便可得到方程组的通解，且在给定的初边值条件下还可以得到方程组的特解。工程实际中的很多的场都是有限的，初始条件和边界条件也都是给定的。因此，理论上可以得到任何流动的速度场、应变场和应力场。
解析方法是流体力学各种研究方法中最为准确的和最为理想的方法。解析方法首先要详细分析问题的物理学本质，通过适当的简化建立物理模型，之后运用物理定律建立数学模型，通常是建立起微分方程或微分方程组，确定流动方程边界条件和初始条件，最后运用数学方法求解出流动方程的解析解并与实验方法所得的结果进行比较，以检验物理模型和数学模型的合理性。
前面已经介绍了流动方程，后两种方法中，都离不开流场的初始条件和边界条件，下面就来简单介绍一下非牛顿流体力学中所涉及的初始条件和边界条件。
（一）初始条件
初始条件是指流动在t =t 0的初始时刻，流体运动应满足的初始状态，或是给出流场中各物理量及其对时间的导数值。如速度、压强、密度和温度的初始值为
()()()()()()000000,,,,,,,,,,,,,,,x y z t x y z p x y z t p x y z ρx y z t ρx y z ?=?
=??=?
u u （2-48） 其中u 0(x , y , z )、p 0(x , y , z )和ρ0(x , y , z )为已知函数。
（二）边界条件
边界条件是指流体运动的边界上方程组的解应满足的条件。边界条件有很多种
形式，如固壁边界条件、无穷远条件及对称边界条件等。
1. 固壁边界
固壁条件是最常用的边界条件，存在于固体和流体之间。考虑到流体不能流入固体也不能沿固体壁面滑移，因此固壁条件可表述为
f s =u u （2-49）
式中u f 和u s 分别表示流体和固体在边界处的速度。这一条件也称为粘附条件或无滑
移条件。固壁静止时可表示为
f 0=u （2-50）
2. 无穷远条件
无穷远条件指在无限大的流场中（如飞机所处的流场），无穷远处的边界条件为无穷远处的相应的流动参数值。即当r →∞时，
()()(),,,,,,,,,x y z t p p x y z t ρρx y z t ∞∞∞=??
=??=?
u u （2-51） 其中u ∞(x , y , z , t )、p ∞(x , y , z , t )和ρ∞(x , y , z , t )为已知函数。
3. 对称边界条件
在求解流体力学问题时经常会遇到流场对称的情况，为了减小工作量常常仅仅求解其中的半个流场，而没有必要对整个流场进行求解。在运用数值方法求解时这种简化会带来更高的计算效率。假设研究对象是平面上关于y 轴对称的流动，这样我们可以仅仅研究左半个或者右半个流场，得到其中任何半个流场则另一半的流动情况也就不用在进行研究了。
习 题
1.试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S 方程）。
第1章 流体力学的基本概念
第1章 流体力学的基本概念 流体力学是研究流体的运动规律及其与物体相互作用的机理的一门专门学科。本章叙述在以后章节中经常用到的一些基础知识，对于其它基础内容在本科的流体力学或水力学中已作介绍，这里不再叙述。 1.1 连续介质与流体物理量 1.1.1 连续介质 流体和任何物质一样，都是由分子组成的，分子与分子之间是不连续而有空隙的。例如，常温下每立方厘米水中约含有3×1022个水分子，相邻分子间距离约为3×10－8 厘米。因而， 从微观结构上说，流体是有空隙的、不连续的介质。 但是，详细研究分子的微观运动不是流体力学的任务，我们所关心的不是个别分子的微观运动，而是大量分子“集体”所显示的特性，也就是所谓的宏观特性或宏观量，这是因为分子间的孔隙与实际所研究的流体尺度相比是极其微小的。因此，可以设想把所讨论的流体分割成为无数无限小的基元个体，相当于微小的分子集团，称之为流体的“质点”。从而认为，流体就是由这样的一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所谓的“连续介质”。同时认为，流体的物理力学性质，例如密度、速度、压强和能量等，具有随同位置而连续变化的特性，即视为空间坐标和时间的连续函数。因此，不再从那些永远运动的分子出发，而是在宏观上从质点出发来研究流体的运动规律，从而可以利用连续函数的分析方法。长期的实践和科学实验证明，利用连续介质假定所得出的有关流体运动规律的基本理论与客观实际是符合的。 所谓流体质点，是指微小体积内所有流体分子的总体，而该微小体积是几何尺寸很小（但远大于分子平均自由行程）但包含足够多分子的特征体积，其宏观特性就是大量分子的统计平均特性，且具有确定性。 1.1.2 流体物理量 根据流体连续介质模型，任一时刻流体所在空间的每一点都为相应的流体质点所占据。流体的物理量是指反映流体宏观特性的物理量，如密度、速度、压强、温度和能量等。对于流体物理量，如流体质点的密度，可以地定义为微小特征体积内大量数目分子的统计质量除以该特征体积所得的平均值，即 V M V V ??=?→?'lim ρ （1-1） 式中，M ?表示体积V ?中所含流体的质量。 按数学的定义，空间一点的流体密度为 V M V ??=→?0 lim ρ （1-2）
高等流体力学笔记第2讲
第二章 流体运动学 §2.1描述流体运动的两种方法 一、拉格朗日法（Lagrange methord ） 从流体质点为研究对象研究流体运动的一种方法。也叫质点系法。在拉格朗日法中，流体质点的运动轨迹的方程可表示为： ?? ???===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （2—1） 式中x,y,z 为流体质点的轨迹座标值。a,b,c 称为拉格朗日变量，是流体质点的标识符，不同的流体质点a,b,c 的值不同t 为时间变量。 式（2—1），当a,b,c 为一组常数时t 为变数时，表示某个确定的流体质点随时间t 运动的运动轨迹座标值轨迹线。当t 为固定值，a,b,c 为一组变数时，表示该组质点在某一固定时刻所处的位置（即空间位置的座标值）。 流体质点的轨迹也可用向径表示： ),,,(t c b a r k z j y i x r =++= 对于某个确定的流体质点，其速度向量V 可用向径随时间的变化率表示： dt dF V = 对于不同质点的流体质点，a,b,c 为变数所以速度向量应表示为r 对时间的偏导数形式： ),,,(t c b a V t r V =??= 在直角正交坐标系中速度向量的表达为： k w j v i u V ++= 其中 t x u ??=，t y v ??=，t z w ??= 质点的加速度： ),,,(22t c b a a t F t V a =??=??= k a j a i a a z y x ++= 22t x t u a x ??=??=,22t y t v a y ??=??=,2 2t z t w a z ??=??= 同样，其它流体质点的物理量也均可表示成为拉格朗日变数的函数：
流体力学第一章1
工程流体力学
中南大学 能源与动力工程学院 主讲教师: 陈 卓 Email: chenzhuo@https://www.360docs.net/doc/5d17643157.html,
第一章 导论
绪言
? 什么是流体?
——液体、气体 ——在切向力作用下将产生无限变形（流动）的物质
第一章 导论
绪言
? 流体力学
——研究流体在外力作用下平衡和运动规律的科学 侧重点：流体在外力作用下的宏观机械运动，而非个别分 子的微观行为。
ü 力学的一个分支，与刚体力学、弹性力学、材料力学 并列为四大力学.
? 流体力学
l 流体力学的基础理论由三部分组成。
? 流体处于平衡状态时，各种作用在流体上的力之间关系 的理论，称为流体静力学；
? 流体处于流动状态时，作用在流体上的力和流动之间关 系的理论，称为流体动力学；
? 气体处于高速流动状态时，气体的运动规律的理论，称 为气体动力学。
? 流体力学
v 工程流体力学是研究流体（液体、气体）处于平衡状态和流 动状态时的运动规律及其在工程技术领域中的应用。
v 研究范畴 —— 将流体流动作为宏观机械运动进行研究，而 不是研究流体的微观分子运动，主要研究流体的质量守恒、 动量守恒和能量守恒及转换等基本规律。
? 流体力学研究对象及其发展
ü 它的研究对象随着生产的需要与科学的发展在不断地更新、深化和扩大。
ü 60年代以前，它主要围绕航空、航天、大气、海洋、航运、水利和各种 管路系统等方面。 à 研究流体运动中的动量传递问题，即局限于研究流体的运动规律，和它与固 体、液体或大气界面之间的相互作用力问题。
ü 60年代以后，能源、环境保护、化工和石油等领域中的流体力学问题逐 渐受到重视，这类问题的特征是：尺寸小、速度低，并在流体运动过程 中存在传热、传质现象。 à 流体力学除了研究流体的运动规律以外，还要研究它的传热、传质规律。同 样，在固体、液体或气体界面处，不仅研究相互之间的作用力，而且还需要 研究它们之间的传热、传质规律。
1
第一章-流体力学基础习题
1 第一章 流体力学 【1-1】 椰子油流过一内径为20mm 的水平管道，其上装有一收缩管，将管径逐渐收缩至12mm ，如果从未收缩管段和收缩至最小处之间测得的压力差为800Pa ，试求椰子油的流量。 【1-2】 牛奶以2×10－3m 3/s 的流量流过内径等于27mm 的不锈钢管，牛奶的粘度为×10－ ，密度为1030kg/m 3，试确定管内流动是层流还是紊流。 【1-3】 用泵输送大豆油，流量为×10－4m 3/s ，管道内径为10mm ，已知大豆油的粘度为40×10－，密度为940kg/m 3。试求从管道一端至相距27m 的另一端之间的压力降。 【1-7】某离心泵安装在高于井内水面 5.5m 的地面上，吸水量为40m 3/h 。吸水管尺寸为4114?φmm ，包括管路入口阻力的吸水管路上的总能量损失为kg 。试求泵入口处的真空度。（当地大气压为×105 Pa ） 【1-9】每小时将10m 3常温的水用泵从开口贮槽送至开口高位槽。管路直径为357?φmm ，全系统直管长度为100m ，其上装有一个全开闸阀、一个全开截止阀、三个标准弯头、两个阻力可以不计的活接头。两槽液面恒定，其间垂直距离为20m 。取管壁粗糙度为0.25mm 、水的密度为1000kg/m 3、粘度为1×10－。试求泵的效率为70％时的轴功率。 【1-10】用泵将开口贮槽内密度为1060kg/m 3、粘度为×10－的溶液在稳定流动状态下送到蒸发器内，蒸发空间真空表读数为40kPa 。溶液输送量为18m 3/h 。进蒸发器水平管中心线高于贮槽液面20m ，管路直径357?φmm ，不包括管路进、出口的能量损失，直管和管件当量长度之和为50m 。取管壁粗糙度为0.02mm 。试求泵的轴功率（泵的效率为65％）。 【1-13】拟用一台3B57型离心泵以60m 3/h 的流量输送常温的清水，已查得在此流量下的允许吸上真空H s ＝5.6m ，已知吸入管内径为75mm ，吸入管段的压头损失估计为0.5m 。试求： 1) 若泵的安装高度为5.0m ，该泵能否正常工作该地区大气压为×104Pa ； 2) 若该泵在海拔高度1000m 的地区输送40℃的清水，允许的几何安装高度为若干米当地大气压为×104Pa 。
流体力学第1～5章思考题解答
《工程流体力学》思考题解答 第1章 绪论 1.1 答：流体与固体相比，流体的抗剪切性能很差，静止的流体几乎不能承受任何微小的 剪切力；在一般情况下，流体的抗压缩性能也不如固体的抗压缩性能强。 液体与气体相比，液体的压缩性与膨胀性均很小，能够承受较大的外界压 力，而气体由于压缩性和膨胀性都很大，所以气体不能承受较大的外界压力。气 体受压时，变形通常会非常明显。 1.2 答：④ 1.3 答：① 1.4 答：④ 1.5 答：① 1.6 答：④ 1.7 答：④ 1.8 正确。 1.9 错误。 1.10 答：量纲：是物理量的物理属性，它是唯一的，不随人的主观意志而转移。而单位是 物理量的度量标准，它是不唯一的，能够受到人们主观意志的影响。本题中，时间、力、面积是量纲，牛顿、秒是单位。 1.11 基本，导出。 1.12 答：量纲的一致性原则。 1.13 答：若某一物理过程包含n+1个物理量（其中一个因变量，n 个自变量），即： q =f(q 1，q 2，q 3，…，q n ) 无量纲π数的具体组织步骤是： （1）找出与物理过程有关的n ＋1个物理量，写成上面形式的函数关系式； （2）从中选取m 个相互独立的基本物理量。对于不可压缩流体运动，通常取三个基本物理量，m=3。 （3）基本物理量依次与其余物理量组成［（n ＋1）－m ］个无量纲π项： c b a q q q q 3 2 1 = π 4 4432144c b a q q q q = π 5553 2 1 55c b a q q q q = π （1） ………… n n n c b a n n q q q q 321= π 式中a i 、b i 、c i 为各π项的待定指数，由基本物理量所组成的无量纲数π1＝π2＝π3 ＝1。
流体力学第一章选择
* * [单选][B] 与牛顿内摩擦定律有关的因素是： [A]压强、速度和粘度； [B]流体的粘度、切应力与角变形率； [C]切应力、温度、粘度和速度； [D]压强、粘度和角变形。 [单选][D] 在研究流体运动时，按照是否考虑流体的粘性，可将流体分为：( ) [A]牛顿流体及非牛顿流体； [B]可压缩流体与不可压缩流体； [C]均质流体与非均质流体； [D]理想流体与实际流体。 [单选][A] 流体的切应力。 [A]当流体处于静止状态时不会产生； [B]当流体处于静止状态时，由于内聚力，可以产生； [C]仅仅取决于分子的动量交换； [D]仅仅取决于内聚力。 [单选][D]
* * 流体是 一种物质。 [A]不断膨胀直到充满容器的； [B]实际上是不可压缩的； [C]不能承受剪切力的； [D]在任一剪切力的作用下不能保持静止的。 [单选][D] 下面四种有关流体的质量和重量的说法，正确而严格的说法是 。 [A]流体的质量和重量不随位置而变化； [B]流体的质量和重量随位置而变化； [C]流体的质量随位置变化，而重量不变； [D]流体的质量不随位置变化，而重量随位置变化。 [单选][A] 将下列叙述正确的题号填入括号中：由牛顿内摩擦定律dy du μ τ=可知，理想流体( ) [A]动力粘度μ为0； [B]速度梯度 du dy 为0； [C]速度μ为一常数； [D]流体没有剪切变形 [单选][B]
* * 理想液体的特征是（ ） [A]粘度为常数； [B]无粘性； [C]不可压缩； [D]符合RT p =ρ。 [单选] 水的密度为1000kg/m 3，运动粘度为1×10-6m 2/s ，其动力粘度为（ ） [A]1×10-9Pa ·s [B]1×10-6Pa ·s [C]10-3Pa ·s [D]1×10-1Pa ·s [单选] 无粘性流体是（ ） [A]符合 ρ P =RT 的流体 [B]ρ=0的流体 [C]μ=0的流体 [D]实际工程中常见的流体 [单选]
高等流体力学习题
第一讲绪论 习题： 1.综述流体力学研究方法及其优缺点。 2.试证明下列各式： (1)grad(φ±ψ)=grad(φ)±grad(ψ) (2) grad(φψ)=ψgrad(φ)+φgrad(ψ) (3)设r= x i+y j+ z k，则= (4) 设r= x i+y j+ z k，求div(r)=？ (5) 设r= x i+y j+ z k，则div(r4r)= ? 3.给定平面标量场f及M点处上已知两个方向上的方向导数和，求该点处的grad f 第二讲应力张量及应变张量 例2-1试分析下板不动上板做匀速运动的两个无限大平板间的简单剪切流动 ，， 式中k为常数，且k=u0/b。 解：由速度分布和式(2-14、16和17)可得 再由式(2-18)可得 所以II=k=u0/b。 流动的旋转张量R的分量不全为零说明流动是有旋流动，I=tr A=0表明流动为不可压缩流动，II=k表明了流场的剪切速率为常数。
第三讲流体的微分方程 习题：试由纯粘流体的本构方程和柯西方程推导纳维尔-斯托克斯方程（N-S方程）。 第四讲流动的积分方程 【例3－1】 在均匀来流速度为V的流场中放置一个垂直于来流的圆柱体，经过若干距离后测得的速度分布如图所示，假设图示的控制体边界上的压力是均匀的，设流体为不可压缩的，其密度为ρ，试求: (1)流线1-2的偏移量C的表达式； (2)单位长度圆柱体的受力F的表达式。 解： (1)无圆柱体时流管进出口一样大（即流线都是直线，无偏移），进出口的流速分布也是相同的，而放入圆柱体之后出口处的流速分布变成图示的那样，即靠近中心线部分的流速变小，由于已经假定流体是不可压缩的流体，若想满足进出口流量相同——连续性方程，必然会导致流管边界会向外偏移，也就是说出口处流管的截面会增大。因此，求解时可由进出口流量相等入手，设入口处平均流速为V，取宽度为L，所得的连续性方程应为： 求得C=a/2 (2)在流管的进出口截面1-1与2-2之间使用动量方程，即圆柱体的阻力应等于单位时间内流出2-2面的流体的动量与流入1-1面的流体的动量差，列x方向的动量方程可表示为 则，F=-R 【例3－2】试求如图所示的射流对曲面的作用力。 解：假设水平射流的流量为Q，因曲面对称且正迎着射流，则两股流量可以认为相等，等于Q/2。x方向动量方程为 。 所以，射流对壁面的作用力为
高等流体力学第3讲
第三讲 流体静力学 一、 静止流体中的应力特性 静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。即 n p =-p n （3-1） 式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。上式也可以写成张量形式 P ==000000p p p -????-????-??=-p 00000011?? ??1?? ???? = -p I （3-2） 式中I 为单位张量。 静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。 二、 欧拉平衡方程 惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即 0∑=F （4-3） 在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为 d ρττ ???f （a ） 表面力可表示为 d d A A p A p A -=-???? n n （b ） 根据第一个平衡条件（3-3）可得 d d =0A ρτp A τ -????? f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有 d =d A p A p ττ ?????? n （d ）
将（d ）式代入（c ）式则可得 d 0ρp ττ -?=???（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有 =0ρp -?f 或 1=p ρ ?f （3-4） 这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为 111x y z p f ρx p f ρy p f ρz ??=?????=?????= ??? （3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。 三、 静压流场的质量力条件（自学） 对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得 1111==+=p p p p ρρρρ?????? ?????????????? ? ? ??????? （）f 上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之 p ???（） =p p p x y z ?? ?????++ ??????i j k = x y z p p p x y z ????????????i j k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ???? ??????????????---+- ? ? ??????????????????? i j k =0（矢量）
流体力学第一章答案
第一章习题简答 1-3 为防止水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，通常在水暖系统顶部设有膨胀水箱，若系统内水的总体积为10m 3，加温前后温差为50°С，在其温度范围内水的体积膨胀系数αv ＝0.0005/℃。求膨胀水箱的最小容积V min 。 锅炉 散热器 题1-3图 解：由液体的热胀系数公式dT dV V 1V = α ， 据题意， αv ＝0.0005/℃，V=10m 3，dT=50°С 故膨胀水箱的最小容积 325.050100005.0m VdT dV V =??==α 1-4 压缩机压缩空气，绝对压强从4 108067.9?Pa 升高到5 108840.5?Pa ，温度从20℃升高到78℃，问空气体积减少了多少？ 解：将空气近似作为理想气体来研究，则由 RT P =ρ 得出 RT P = ρ 故 () 34 111/166.120273287108067.9m kg RT P =+??==ρ () % 80841 .5166.1841.5/841.578273287108840.52121 211213 5 222=-=-=-=-=?=+??==ρρρρρρρm m m V V V V m kg RT P 1-5 如图，在相距δ＝40mm 的两平行平板间充满动力粘度μ＝0.7Pa·s 的液体，液体中 有一长为a ＝60mm 的薄平板以u ＝15m/s 的速度水平向右移动。假定平板运动引起液体流
动的速度分布是线性分布。当h＝10mm时，求薄平板单位宽度上受到的阻力。 解：平板受到上下两侧黏滞切力T1和T2作用，由 dy du A Tμ =可得 12 U1515 T T T A A0.70.0684 0.040.010.01 U N h h μμ δ ?? =+=+=??+= ? -- ?? （方向与u相 反） 1-6 两平行平板相距0.5mm，其间充满流体，下板固定，上板在2 N/m2的力作用下以0.25m/s匀速移动，求该流体的动力黏度μ。 解：由于两平板间相距很小，且上平板移动速度不大，则可认为平板间每层流体的速 度分布是直线分布，则 σ μ μ u A dy du A T= =，得流体的动力黏度为 s Pa u A T u A T ? ? = ? ? = ? = =- - 4 3 10 4 25 .0 10 5.0 2 σ σ μ 1-7 温度为20°С的空气，在直径为2.5cm的管中流动，距管壁上1mm处的空气速度为3cm/s。求作用于单位长度管壁上的黏滞切力为多少？ 解：温度为20°С的空气的黏度为18.3×10-6 Pa·s 如图建立坐标系，且设u=ay2+c 由题意可得方程组 ?? ? ? ? + - = + = c a c a 2 2 ) 001 .0 0125 .0( 03 .0 0125 .0 解得a= -1250，c=0.195 则u=-1250y2+0.195
高等流体力学
高等流体力学 第一章 流体力学的基本概念 连续介质：流体是由一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所 谓的连续介质。 流体质点：是指微小体积内所有流体分子的总和。 欧拉法质点加速度：时变加速度与位变加速度和 z u u y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x ??+??+??+??== 质点的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用dt d 表示。在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下： x k k Q u t Q dt dQ ??+??= 式中Q 可以是标量、矢量、张量。质点的随体导数公式对任意物理量都成立，故将质点的 随体导数的运算符号表示如下： x k k u t dt d ??+??= 其中 t ?? 称为局部随体导数，x k k u ??称为对流随体导数，即在欧拉法描述的流动中，物理 量的质点随体导数等于局部随体导数与对流随体导数之和。 体积分的随体导数：质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数。则在由流体质点组成的流动体积V 中标量函数Φ（x, t ）随时间的变化率就是体积分的随导函数。 由两部分组成①函数Φ 对时间的偏导数沿体积V 的积分，是由标量场的非恒定性引起的。②函数Φ通过表面S 的通量。由体积V 的改变引起的。 ()dV divv dt d dV v div t dS u dV t dV dt d v v n s v v ?? ? ???Φ+Φ=??????Φ+?Φ?=Φ+?Φ?=Φ??????????????()dV adivv dt da dV av div t a dS au dV t a adV dt d v v n s v v ?? ????+=??????+??=+??=?????????????? 变形率张量： 11ε 12ε13ε D ij = 21ε 22ε 23ε 31ε 32ε 33ε
第二章流体力学第一讲知识点汇总
第二章流体力学基础 第一讲 1.物质的三种状态: 固、液、气 2.流动性：在切向力的作用下，物质内部各部分之间就会产 生相对运动，物体的这一性质称为流动性。 3.流体：具有流动性的物体，具体指液体和气体。 4.流体力学: 将流体看作无数连续分布的流体粒子组成的 连续介质. 5.黏滞性：实际流体流动时内部存在阻碍相对运动的切向内摩擦力。 6.流体的分类：实际流体和理想流体 7.压缩性：实际流体的体积随压强的增大而减小，即压缩性。 8.实际流体：具有压缩性存在黏滞性流体。 9.理想流体：研究气体流动时，只要压强差不太大，气体的压缩性可以不考虑，黏滞性弱的流体（水和酒精）的黏滞性也可不考虑，故绝对不可压缩完全没有黏滞性的流体即为理想流体。 10.流体运动的描述：a.(拉格朗日法)追踪流体质点的运动, 即从个别流体质点着手来研究整个流体的运动. 这种研究方法最基本的参数是流体质点的位移. 由质点坐标代表不同的流体质点. 它们不是空间坐标, 而是流体质点的标
号.b.(欧拉法)是从分析流体流动空间中的每一点上的流体质点的运动着手来研究整个流体运动. 即研究流体质点在通过某一个空间点时流动参数随时间的化规律. 注：在流体运动的实际研究中, 对流体每个质点的来龙去脉并不关心, 所以常常采用欧拉法来描述流体的运动. 11.流场：流体流动的空间 12.流线：a.线上每一点的切线方向表示流体粒子流经该点时流速的方向。 b.通过垂直于流速方向上单位面积流线的条数等于流体粒子流经该点时流速的大小。 c.流线的疏密程度可以表示流速的大小。 d．流线不能相交，因为流体流速较小时，流体粒子流经各点时的流速唯一确定。 e.流体作稳定流动时, 流线形状保持不变, 且流线与流体粒子流动轨迹重合. 13.稳定流动：一般情况下, 流体流动时空间各点的流速随位置和时间的不同而不同, 若空间各点流速不随时间变化，流速只是空间坐标的函数v=v(x,y,z),而与时间无关，则称该流动为定常流动(稳定流动).所以，定常流动的流场是一种流速场，也只有在定常流动中，流线即为粒子运动轨迹。而且，速度不随时间变化，不一定是匀速，只是各点速度一定。 14.流管：如果在运动流体中取一横截面S1, 则通过其周边各
流体力学第二版课后习题答案
第一章习题答案 选择题（单选题） 1.1 按连续介质的概念，流体质点是指：（d ） （a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 1.2 作用于流体的质量力包括：（c ） （a ）压力；（b ）摩擦阻力；（c ）重力；（d ）表面张力。 1.3 单位质量力的国际单位是：（d ） （a ）N ；（b ）Pa ；（c ）kg N /；（d ）2/s m 。 1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是：（b ） （a ）剪应力和压强；（b ）剪应力和剪应变率；（c ）剪应力和剪应变；（d ）剪应力和流速。 1.5 水的动力黏度μ随温度的升高：（b ） （a ）增大；（b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。 1.6 流体运动黏度ν的国际单位是：（a ） （a ）2/s m ；（b ）2/m N ；（c ）m kg /；（d ）2/m s N ?。 1.7 无黏性流体的特征是：（c ） （a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合 RT p =ρ 。 1.8 当水的压强增加1个大气压时，水的密度增大约为：（a ） （a ）1/20000；（b ）1/10000；（c ）1/4000；（d ）1/2000。 1.9 水的密度为10003 kg/m ，2L 水的质量和重量是多少？ 解：10000.0022m V ρ==?=（kg ） 29.80719.614G mg ==?=（N ） 答：2L 水的质量是2kg ，重量是19.614N 。 1.10 体积为0.53m 的油料，重量为4410N ，试求该油料的密度是多少？ 解：44109.807 899.3580.5 m G g V V ρ= ===（kg/m 3） 答：该油料的密度是899.358kg/m 3 。 1.11 某液体的动力黏度为0.005Pa s ?，其密度为8503 /kg m ，试求其运动黏度。
流体力学第一章答案
第一章习题简答 1-S为防I上水温升高时，体积膨胀将水管胀裂，通常在水暧系统顶部设有膨胀水箱， 若系统内水的总体积为10ms加温前后温差为5O°C ,在其温度范用内水的体积膨胀系数 dV = a v VclT = O.OOO5 x!0x50= 0.25/n3 IT压缩机压缩空气，绝对压强从9?8067xlO4 Pa升髙到5.8840xl05 Pa,温度从 20C升髙到78°C,问空气体积减少了多少？ 解：将空气近似作为理想气体来研究，则由- = RT得出P m m △—匕= 1.166 = 80% V, _w P\ 5.841 P\ 1-5如图，在相距6 =+0mm的两平行平板间充满动力粘度卩=0.7Pa?s的液体，液体中有一长为a=60mm的薄平板以u=15m/s的速度水平向右移动。假左平板运动引起液体流动的速度分布是线性分布。当h=10mm时，求薄平板单位宽度上受到的阻力。 9.8067 xlO4 287x(273 + 20) =\A66kg/m s 5.8840x10' 287x(273 + 78) =5?841匕/沪 a v=0.0005/°Co求膨胀水箱的最小容积V mm o 据题意，a、?=O.OOO5/°C, V=10m5, dT=5O°C 故膨胀水箱的最小容积
解：平板受到上下两侧黏滞切力匚和1\ 作用，由T = //A —可得 〃y T = T] += //A —— + //A — = 0.7 x 0.06 x 5 _h h U 相反） 1-6两平行平板相距0.5mm,英间充满流体，下板固立，上板在2 N/nP 的力作用下以 O.25m/s 匀速移动，求该流体的动力黏度卩。 解：由于两平板间相距很小，且上平板移动速度不大，则可认为平板间每层流体的速度 分布是直线分布，则T = /zA —= /zA-,得流体的动力黏度为 dy a T T b “ 0.5x 10"3 片 in _4D A 丄 A u 0.25 b 1-7温度为20弋 的空气，在直径为2.5cm 的管中流动，距管壁上1mm 处的空气速度为 3cm/s c 求作用于单位长度管壁上的黏滞切力为多少？ 解：温度为20叱 的空气的黏度为1S.5X10-6 Pa-s 如图建立坐标系，且设"二?P+c 由题意可得方程组 0 = 6/0.0 1 252+C < 0.03 = 67(0.0125-0.00 l)2+c 解得 a= -1250, uO.195 贝lj u=-l250)^+0.193 则 ^=J(-1250r +0.195)= 25()()y dy dy 10.04-0.01 0.01； = 847V (方向与
高等流体力学第5讲
第五讲 气动函数及压力波 一、 气流参数 （一）滞止参数 如果按照一定的过程将气流速度滞止到零，此时气流的参数就叫做滞止参数。滞止状态的概念可以很形象地用图5-1来表示。它是假想把某一点处的气流引入一个容积很大的贮气箱，使其速度滞止到零。 根据一元稳定绝能流动的能量方程式 22 1122 1122 h v h v +=+ 可知气体的焓值随气流速度的减小而增大。如果把气流由速度v 1=v （焓h 1=h ）绝能地滞止到v 2=0，此时所对应的焓值h 2就称为滞止焓，用符号h *表示，则 *21 2 h h v =+ 如果研究的是定热比容的完全气体，h =c p T ，则式（9一22）可改 p c v T T /2 12 * + = （5－1） 式中 T *称为滞止温度，它是把气流速度绝能滞止到零时的温度。 将式(5—1)两边同除以T ，则有 2 * 222 1111/1/()12212p kR k v T T v c T v T k c -=+=+=+ - 所以 *21 1Ma 2 k T T -=+ （5－2） 前面得到了滞止温度与温度的比与Ma 数的关系式，下面我们来推导一下其它滞止参数的表达式。完全气体的状态方程和滞止状态的状态方程可表示为p =ρRT 和p *=ρRT * ，两者相除则有 ***()()p p ρρT T =。 （a ） 对等熵流动有p */ ρ*k =常数，p / ρk =常数，两者相比，则有 **()k p p ρρ=。 （b ） 由式（a ）和（b ）可得 图5-1 滞止参数模型
** 21 1 1() (1Ma )2 k k k k k p p T T ---==+ （5－3） 11 * * 21 1 1()(1Ma )2 k k k ρρT T ---==+ （5－4） 由式（9－2、3、4）可知，气流参数与其滞止参数的比值只是气流Ma 数的函数。这种函数关系是分析和计算气体流动的基础，在气体动力学中占有非常重要地位。 这里应强调的是，在气体动力学中，引进滞止状态的概念是把它作为一个参考状态。对一元流动来讲，每个截面都对应有自己的滞止状态，而与实际流动中的过程无关。也就是说，滞止参数是一个点函数。 引入滞止焓后，一元稳定流动的能量方程可表式为 * 1*2h h w q s -=- （5－5） 对绝能流动而言，有 * *21h h =或*h =常数。 由此可知：一元稳定绝能流动的滞止焓沿流程为一常数，同佯对完全气体，因为 h *=c p T *，所以其滞止温度也保持不变。通过进一步的理论分析可证明，在绝能等熵流动中，所有的滞止参数沿流程都不变。 （二）临界状态参数 将c 2=kRT 及c *2=kRT *引入到绝能等熵的能量方程后，则有 22*121 c v k RT k k +==--常数 （5－6） 由上式可知，c 与v 的关系函数满足椭圆方 程，关系曲线如图5-2所示。从中可以看出， 在气流由滞止状态绝能地向最大流速状态 的变化过程中，必然要经历这样一种状态.即v =c 或Ma=1的状态。气体动力学中称这种状态为临界状态，所对应的气流参数称为气 流的临界状态参数，并标以下标cr ，如p cr 、T cr 、v cr 和c cr 等。显然，v cr =c cr 。 在式(5－6)中令c =v =c cr ，则可得 cr c = （5－7） max /cr v c = （5－8） 利用Ma 数的定义、式(5－2)、(5－3)和（5－4），可得 */2/(1)cr T T k =+， （5－9） * 1 /[2/(1)]k k cr p p k -=+， （5－10） 1*1 /[2/(1)] k cr ρρk -=+。 （5－11） 图5-2 c v 曲线 c
高等流体力学讲义
高等流体力学 授课提纲 第一章概论 §1.1 流体力学的研究对象 §1.2 流体力学发展简史 §1.3 流体力学的研究方法 §1.3.1 一般处理途径 §1.3.2 应用数学过程 §1.3.3 流体力学方法论：一般方法 §1.3.4 流体力学方法论：特殊方法 ●Lagrange描述和Euler描述 ●无量纲化 ●线性化 ●分离变量法 ●积分变换法 ●保角映射法 ●奇点法（孤立奇点法、分布奇点法、Green函数法） ●控制体积法 ●微元法 第一章概论 §1.1 流体力学的研究对象 （1）物质四态： ●四态：固态—液态—气态—等离子态；等离子体=电离气体 ●界限：彼此无明确界限（高温下的沥青；冰川），取决于时间尺度； ●流体力学的具体研究对象：液体、气体、等离子体（电磁流体力学、 等离子体物理学）； ●液体与气体的差别： 液体—有固定容积、有自由面、不易压缩、有表面张力； 气体—无固定容积、无自由面、易压缩、无表面张力。 （2）流体的基本性质： 易流动性：静止流体无剪切抗力； 压缩性（膨胀性）：压差、温差引起的体积改变，判据：马赫数； 粘性：运动流体对剪切的抗力，判据：雷诺数； 热传导性：温差引起的热量传递，普朗特数。 （3）流体的分类： i）按有无粘性、热传导性分：
真实流体（有粘性、有热传导、与固体有粘附性无温差）； 理想流体（无粘性、无热传导、与固体无粘附性有温差）； ii）按压缩性分： 不可压缩流体，可压缩流体； iii）按本构关系分： 牛顿流体（牛顿粘性定律成立）， 非牛顿流体（牛顿粘性定律不成立），下分 纯粘性流体（拟塑性流体，涨塑性流体）； 粘塑性流体（非宾汉流体、宾汉流体）； 时间依存性流体（触变流体、振凝流体）； 粘弹性流体 拟塑性流体（剪切流动化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减 小，如淀粉浆糊、玻璃溶液、 高分子流体、纤维树脂； 涨塑性流体（剪切粘稠化流体）：剪切应力随剪切速度增加而减 小，如淀粉中加水、某些水- 砂混合物； 粘塑性（非宾汉和宾汉流体）：存在屈服应力，小于该应力无流 动，如粘土泥浆、沥青、油漆、 润滑脂等，所有粘塑性流体为 非宾汉流体，宾汉流体为近似； 触变流体（摇溶流体）：粘性或剪切应力随时间减小，如加入高 分子物质的油、粘土悬浊液； 振凝流体：粘性或剪切应力随时间增大，如矿石浆料、膨润土溶 胶、五氧化钒溶液等； 粘弹性流体：兼有粘性和弹性性质的流体，能量不像弹性体守恒， 也不像纯粘性体全部耗散。 （4）流体力学学科的研究对象 流体力学——研究流体的机械运动以及它与其它运动形态相互作用的科 学。 其它运动形态：固体运动－与界面的相互作用；热运动－传热、传质；电 磁－电磁流体力学。 §1.2 流体力学发展简史 流体力学大事年表 公元前3世纪阿基米德（287－212BC）发现浮力定律（阿基米德原理）；发明阿基米德螺旋提水机； 1644 托里拆里（E.Torricelli,1608-1647）制成气压计；导出小孔出流公式； 1650 帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出液体中压力传递的帕斯卡原理；
最新流体力学第一章 选择
[单选][B] 与牛顿内摩擦定律有关的因素是： [A]压强、速度和粘度； [B]流体的粘度、切应力与角变形率； [C]切应力、温度、粘度和速度； [D]压强、粘度和角变形。 [单选][D] 在研究流体运动时，按照是否考虑流体的粘性，可将流体分为：( ) [A]牛顿流体及非牛顿流体； [B]可压缩流体与不可压缩流体； [C]均质流体与非均质流体； [D]理想流体与实际流体。 [单选][A] 流体的切应力。 [A]当流体处于静止状态时不会产生； [B]当流体处于静止状态时，由于内聚力，可以产生； [C]仅仅取决于分子的动量交换； [D]仅仅取决于内聚力。 [单选][D] 流体是一种物质。 [A]不断膨胀直到充满容器的； [B]实际上是不可压缩的； [C]不能承受剪切力的； [D]在任一剪切力的作用下不能保持静止的。 [单选][D] 下面四种有关流体的质量和重量的说法，正确而严格的说法是。 [A]流体的质量和重量不随位置而变化； [B]流体的质量和重量随位置而变化； [C]流体的质量随位置变化，而重量不变； [D]流体的质量不随位置变化，而重量随位置变化。 [单选][A] 将下列叙述正确的题号填入括号中：由牛顿内摩擦定律 dy du μ τ= 可知，理想流体( ) [A]动力粘度 μ为0； [B]速度梯度du dy 为0；
[C]速度μ为一常数； [D]流体没有剪切变形 [单选][B] 理想液体的特征是（ ） [A]粘度为常数； [B]无粘性； [C]不可压缩； [D]符合RT p =ρ。 [单选] 水的密度为1000kg/m 3，运动粘度为1×10-6m 2/s ，其动力粘度为（ ） [A]1×10-9Pa ·s [B]1×10-6Pa ·s [C]10-3Pa ·s [D]1×10-1Pa ·s [单选] 无粘性流体是（ ） [A]符合ρP =RT 的流体 [B]ρ=0的流体 [C]μ=0的流体 [D]实际工程中常见的流体 [单选] 流体静止时，不能承受( ) [A]压力 [B]剪切力 [C]重力 [D]表面张力 [单选][B] 与牛顿内摩擦定律有关的因素是： A 、压强、速度和粘度；
高等流体力学1混沌-1
高等流体力学(Advanced Fluid Mechanics)
开设本课程的目的 1. 获得研究生学位的基本要求 …在本学科领域掌握了坚实宽广的基础理论和深入系统的专事科 专门知识，具有独立从事科研工作的能力，达到了…
2在科学领域进行流研究的需要 2. 在科学领域进行一流研究的需要 世界著名难题的解决； 世界著名难题解决 新现象和新规律的发现； 新理论和新学说的创建； 促使新分支学科的形成。 为什么要研究我们周围的流体世界？
二十世纪下半叶，包括近代流体力学在内的近代科学得以迅速发展。不断提出新概念，探索新方法，创建新理论。 探索创建 p p “The last few decades have seen three important developments in non-linear classical physics, all of which extend across the board of physical disciplines.” Chaos Nonlinear Waves Soliton Eryk Infeld & George Rowlands, Nonlinear Waves, Solitons and Chaos, Cambridge Univ. Press, 2000 (2nd Edition) Foreword to the first edition C b id U i P2000(2d Editi)F d t th fi t diti 以上三大创新成果的源头活水在何处？ 以上三大创新成果的“源头活水”在何处？
流体力学知识讲解
第一章1.连续介质模型：把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质，流体的密度、压强、速度、温度等物理量一般在空间和时间上都是连续分布的，都应该是空间坐标和时间的单值连续可微函数。 2.作用在流体上的力：表面力，质量力 3.表面力：流体分离体以外的物体作用在分离体上的表面力。 在分离体表面的点b取一微小面积δA，作用在它上面的表面力为δF。一般情况下可将δF分解为沿外法线方向n的δF n和沿切线方向t的δF t。以δA除δF，并令δA→0而取极限，可得作用在点b的表面应力： P n=lim δA→0δF δA =dF dA 4.质量力（体积力）：某种力场作用在流体全部质点（全部体积）上的质量力（体积力）。 5.流体的压缩性和膨胀性：流体在一定温度下，压强增高，体积缩小；在一定压强下，温度升高，体积膨胀，这是所有流体的共同属性。 6.牛顿粘性应力公式：τ=μdV x dy ，表明各流层间的切向应力和流体微团的角变形速度成正比，比例系数为流体的动力粘度。 7.流体粘性的形成因素：一是流体分子间的引力在流体微团相对运动时形成的粘性，二是流体分子的热运动在不同流速流层间的动量交换所形成的粘性。 形成气体粘性主要因素是分子的热运动。 形成液体粘性的主要因素是分子间的引力。 8.浸润现象：当液体和固体壁面接触时，若内聚力小于附着力，液体将在固体壁面上伸展开来，湿润固体壁面。 9.毛细现象：当液体和固体壁面接触时，若内聚力大于附着力时，液体将缩成一团，不湿润固体壁面。 第二章 10.流体静压强的两个特性: 一、流体静压强的作用方向沿作用面的内法线方向。
二、静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，是点的坐标的连续可微函数。 11.欧拉平衡微分方程物理意义：f-1 ρ ?p=0，在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。 12.压强差公式：dp=ρ（f x dx+f y dy+f z dz），该式表明，流体静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量。 13.等压面：在流场中压强相等的点组成的面。 14.等压面的微分方程：f·d r=0该式表明，在静止流体中，作用于任一点的质量力垂直于经过该点的等压面。 15.在重力场中等势面和等压面都是水平面。质量力不仅垂直于它们，而且始终指向势函数减小，即压强增加的方向。 正压流场：等压面与等密度面平行的流场。 正压流体：简称正压流场的流体为正压流体，不可压缩的流体是正压流体。 16.流体静力学基本方程的物理意义：z1+p1 ρg =z2+p2 ρg 第一项z是单位重量流体的位势能。 第二项p ρg 是单位重量流体的压强势能。 物理意义：在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变。 几何意义：在重力作用下，静止的不可压缩流体的静水头线和计示静水头线均为水平线。 17.压强的计量： 绝对压强：以完全真空为基准计量的压强。p = p a+ρgh 计示压强：以当地大气压为基准计量的压强。p e = p?p a=ρgh 当流体的绝对压强低于大气压强，计示压强为负。负计示压强称为真空 p v=-p e=p a-p 18. F p=ρgx c sinαA=ρgh c A即液体作用在平面上的总压力等于以该平面为底、平面形心的淹深为高的柱体的液体重量，并垂直指向平面。(书P47) 19.压力中心位置：若通过形心的坐标系中有任何一轴是平面的对称轴，则I cxy=0，