九年级数学下册知识讲义-27相似三角形的应用(附练习及答案)-人教版

一、考点突破

1. 进一步巩固相似三角形的知识，掌握相似三角形和相似多边形的性质，能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题。

2. 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力。

二、重难点提示

重点：运用三角形相似的知识，计算不能直接测量的物体的长度和高度。

难点：灵活运用三角形相似的知识，解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）。

考点精讲

一、相似三角形的应用在实际生活中，面对不能直接测量出长度和宽度的物体及盲区问题，我们可以应用相似三角形的知识来测量，只要将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用线段成比例来求解。

测量物体的高度

（1）利用阳光下的影子

A B C A'

B'C'人的影长（可测）

人

被测物体的影长（可测）

被测物体

（2）利用标杆

A B

M N

旗杆

标杆

（3）利用镜子的反射

A B

人旗杆

【重要提示】

（1）视点：观察者眼睛的位置称为视点；

（2）视线：由视点出发的线称为视线；

（3）仰角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

（4）盲区：人眼看不到的地方称为盲区。

二、相似三角形和相似多边形的性质

1. 相似三角形的性质

两个相似三角形周长的比等于它们的相似比；对应高的比等于它们的相似比；面积的比等于它们相似比的平方。

B C1

B2C2

2. 相似多边形

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。

3. 相似多边形的性质

相似多边形周长的比等于它们的相似比；相似多边形面积的比等于它们相似比的平方。【核心归纳】

相似三角形对应边成比例，回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便。

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题。

典例精讲

例题1如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C、D。

①△OB1C∽△OA1D；

②OA?OC＝OB?OD；

③OC?G＝OD?F1；

④F＝F1。

其中正确的说法有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

思路分析：根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，判断出B1C∥A1D，然后得△OB1C∽△OA1D，判断出①正确；根据相似三角形对应边成比例列式判断②是否正确；根据杠杆平衡原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂列式判断③④是否正确。

答案：∵B1C⊥OA，A1D⊥OA，∴B1C∥A1D，∴△OB1C∽△OA1D，故①正确；∴＝，由旋转的性质得，OB＝OB1，OA＝OA1，∴OA?OC＝OB?OD，故②正确；由杠杆平衡原理，OC?G＝OD?F1，故③正确；∴＝＝＝是定值，∴F1的大小不变，∴F＝F1，故④正确；综上所述，说法正确的是①②③④。故选D。

技巧点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，并准确识图是解题的关键。

例题2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1。

（1）求BD的长；

（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积。

思路分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到对边平行且相等，且对角线互相平分，根据两直线平行内错角相等，得到两对角相等，进而确定出三角形MND与三角形BCN相似，由相似得DN：BN＝1：2，设OB＝OD＝x，表示出BN与DN，求出x的值，即可确定出BD的长；（2）由相似三角形相似比为1：2，得到NC＝2MN，根据三角形MND 与三角形DNC高相等，底边之比即为面积之比，由三角形DCN面积，求出MND面积，进而求出三角形DCM面积，表示出平行四边形ABCD面积与三角形MCD面积，即可求出平行四边形ABCD面积。

答案：（1）∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，

∴∠DMN＝∠BCN，∠MDN＝∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴，

∵M为AD中点，∴MD＝AD＝BC，即＝，∴＝，即BN＝2DN，

设OB＝OD＝x，则有BD＝2x，BN＝OB＋ON＝x＋1，DN＝x－1，

∴x＋1＝2（x－1），解得x＝3，∴BD＝2x＝6；

（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，

∴MN：CN＝1：2，∴S△MND：S△CND＝1：2，

∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为1，∴△MCD面积为3，

∵S平行四边形ABCD＝AD?h，S△MCD＝MD?h＝AD?h，

∴S平行四边形ABCD＝4S△MCD＝12，

∴四边形ABCM的面积＝12－1－2＝9。

技巧点拨：此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键。

例题3某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）。①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐，正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米。根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

思路分析：根据题意，求出∠BAD＝∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可。

答案：由题意得，∠BAD＝∠BCE，

∵∠ABD＝∠CBE＝90°，∴△BAD∽△BCE，

∴＝，即＝，解得BD＝13.6米。

答：河宽BD是13.6米。

技巧点拨：本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息，得到两三角形相等的角，并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点。

提分宝典

【方法提炼】

一般地，两个相似多边形被分成个数相同且对应相似的三角形，来研究相似多边形的性质，遵从将复杂问题转化为简单问题的一般方法，即从三角形入手，将多边形问题转化为三角形问题来处理，体现了转化的数学思想。

【高频疑点】

相似比的应用

相似多边形性质的应用，应注意以下几点：

（1）面积比＝（相似比）2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算；相似比＝；

（2）面积比＝，但。

矫正训练：如果一张矩形纸的整张与半张相似，求整张纸的长和宽的比。

思路分析：本题有两种解法，可根据点E、F是AC、BD的中点，利用相似多边形的对应边成比例求长和宽的比；其实，整张纸长和宽的比就是矩形ABCD和矩形ABFE的相似比，所以本题也可以利用面积关系求相似比。

答案：根据题意可知，矩形ABCD∽矩形AEFB，且＝，

所以＝。

同步练习

（答题时间：30分钟）

1. 如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法，测出了A、B间的距离：先在AB 外选一点C，然后测出AC，BC的中点M、N，并测量出MN的长为12m，由此他就知道了A、B间的距离。有关他这次探究活动的描述，错误的是（）

A. AB＝24m

B. MN∥AB

C. △CMN∽△CAB

D. CM：MA＝1：2

2. 如图所示，正六边形的边向外延长一倍，连接端点后又构成一个大的正六边形，则小正六边形与大正六边形的面积之比是（）

A. B. C. D.

*3. 如图所示，在1×3的矩形内，不重叠地放两个与大矩形相似的较小矩形，且两个较小矩形的每条边与大矩形的边平行或重合，则这两个较小矩形的周长和等于（）

A. 8

B. 6

C. 4

D. 不确定

**4. 王大伯要做一架如图所示的梯子，梯子共有7级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等。已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1＝0.5m，最下面一级踏板的长度A7B7＝0.8m，则第5级踏板的长度为（）

A. 0.6m

B. 0.65m

C. 0.7m

D. 0.75m

*5. 在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB ＝2m ，它的影子BC ＝1.6m ，木杆PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM ＝1.2m ，MN ＝0.8m ，则木杆PQ 的长度为__________m 。

**6. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BE 平分∠ABC 交CD 于E ，且BE ⊥CD ，CE ：ED ＝2：1，如果△BEC 的面积为2，那么四边形ABED 的面积是__________。

7. 为了测量校园内一棵不可攀登的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：如图所示，把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.7米，观察者目高CD ＝1.6米，请你计算出树的高度。（精确到0.1米）

C D

答案

1. D 解析：∵M 、N 分别是AC ，BC 的中点，∴MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴AB ＝2MN ＝2×12＝24m ，△CMN ∽△CAB ，∵M 是AC 的中点，∴CM ＝MA ，∴CM ：MA ＝1：1，故描述错误的是D 选项。

2. B 解析：根据题意可知，这两个正六边形相似，图中三角形是含30°角的直角三角形，它的两直角边分别等于这两个正六边形的边长，所以这两个正六边形的相似比是，面积比是。 *

3. A 解析：设大矩形与最小矩形的相似比是k 1，则最小矩形的“竖”边长是，那么最小矩形的“横”边长为，再设大矩形与较小矩形的相似比是k 2，则较小矩形的“竖”边长是，那么较小矩形的“横”边长是。因为＋＝3，所以＋＝1，所以两个较小矩形的周长和是2×3＋2×（＋）＝6＋2＝8。

**4. A 解析：因为每相邻两级踏板之间的距离都相等，所以A 4B 4为梯形A 1A 7B 7B 1的中位线，根据梯形中位线定理，A 4B 4＝（A 1B 1＋A 7B 7）＝（0.5＋0.8）＝0.65m ，作A 1C ∥B 1B 4，则DB 3＝CB 4＝A 1B 1＝0.5m ，A 4C ＝0.65m －0.50m ＝0.15m ，于是，即解得A 3D ＝0.10m ，A 3B 3＝0.10m ＋0.50m ＝0.60m ，故选A 。

*5. 2.3 解析：过N 点作ND ⊥PQ 于D ，∴，又∵AB ＝2m ，BC ＝1.6m ，PM ＝1.2m ，NM ＝0.8m ，∴QD ＝＝1.5m ，∴PQ ＝QD ＋DP ＝QD ＋NM ＝1.5＋0.8＝2.3（m ）。

**6. 解析：延长BA ，CD 交于点F ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC ，∵BE ⊥CD ，

∴∠BEF ＝∠BEC ＝90°，在△BEF 和△BEC 中，??

??∠=∠=∠=∠BEC BEF BE BE EBC EBF ，∴△BEF ≌△BEC

（ASA ），∴EC ＝EF ，S △BEF ＝S △BEC ＝2，∴S △BCF ＝S △BEF ＋S △BEC ＝4，∵CE ：ED ＝2：1，∴DF ：FC ＝1：4，∵AD ∥BC ，∴△ADF ∽△BCF ，∴＝（）2＝，∴S △ADF ＝×4＝，∴S 四边

形ABCD

＝S △BEF －S △ADF ＝2－＝。

7. 解：因为∠D＝∠B＝90°，∠CED＝∠AEB，所以△CDE∽△ABE，所以。因为CD ＝1.6，DE＝2.7，BE＝8.7，所以，所以AB≈5.2。答：树的高度约是5.2米。

【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳

【初三下学期的数学知识点归纳】初三上数学知识点归纳一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3.“三点定圆”定理 4.垂径定理及其推论 5.“等对等”定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理三、圆换圆的位置关系 1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段 1.相交弦定理 2.切割线定理五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算中心角：内角的一半：(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 、等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 5.两圆相切公切线(连心线) 6.两圆相交公共弦感谢您的阅读！

人教版九年级上册数学培优体系讲义

第二十一章一元二次方程 1．一元二次方程预习归纳 1．等号两边都是整式，只含有一个，并且未知数的最高次数是的方程，叫一元二次方程． 2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的． 3．一元二次方程的一般形式是．例题讲解【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．基础训练 1．下列方程是一元二次方程的是( ) A ．21 10x x =＋＋ B ．2110x x =＋＋ C ．210xy －＝ D ．22 0x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( ) A ．2450x x =－＋ B ．2450x x =＋＋ C ．2450x x =－－ D ．2 450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( ) A ．3、7、4 B ．3、7、﹣4 C ．3、﹣7、4 D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．－2 5．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为． 6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是． 7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值． 9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．

九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点总结（数学） 2017年12月

第二十一章一元二次方程 22.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 （2）直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；

人教版九年级下册数学知识点总结

结点总识学册九教人版年级下数知反比例函数 26 一、反比例函数的概念 1．（）可以写成（）的形式，注意自变量 x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图像与x轴、y轴无交点．二、反比例函数的图像画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图像0?y0?x与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。三、反比例函数及其图像的性质

1．函数解析式：（） 2．自变量的取值范围： 3．图像：（1）图像的形状：双曲线，越大，图像的弯曲度越小，曲线越平直。越小，图像的弯曲度越大。（2）图像的位置和性质：时，图像的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x当的增大而减小；的增大而增大。x随y时，图像的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，当．）在双曲线的）在双曲线的一支上，则（，（，3）对称性：图像关于原点对称，即若（ba ，）对称，即若（另一支。图像关于直线a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（在双曲线的另一支上。． 4．k的几何意义上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于）是双曲线（如图 1，设点Pa，bB点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是1/2|k|）。如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC ⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|。

人教版九年级数学相似形及比例线段讲义 (含解析)

第16讲相似形及比例线段知识定位讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用，通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础。其次主要讲解比例线段的有关概念和性质，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题。最后学习平行线分线段成比例定理，为下面相似三角形的学习奠定基础。知识梳理讲解用时：30分钟相似形的概念及性质 1、相似形的概念把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形。 2、相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例；当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1。

比例线段相关概念及性质 1、比和比例一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b ）；如果::a b c d =（或a c b d = ），那么就说a 、b 、c 、d 成比例。 2、比例的性质（1）基本性质：如果a c b d =，那么ad bc =；如果a c b d = ，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =．（2）合比性质：如果a c b d = ，那么a b c d b d ++=；如果a c b d =，那么a b c d b d --=．（3）等比性质：如果a c k b d ==，那么a c a c k b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强调0b d +≠）。 3、比例线段的概念对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d = ），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 4、黄金分割如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中， 51 0.6182 AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数。 A P B

华师大版九年级[下册]数学知识点总结

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。二次函数的定义域是全体实数。 2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。 ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：

3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

新人教版九年级数学上册讲义

九年级上册数学讲义姓名：电话：

第二十一章一元二次方程 1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如 ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。如：24102 x x -+=满足一般形式ax bx c a 2 00++=≠（），2412 x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。 ●夯实基础例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1） 272y y =- （2） ()()512152y y y +-=- （3）()m x n mx x 2 2 10++-=（是未知数）例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练例5 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．第一讲一元二次方程的定义

人教版九年级上册数学公式汇总完整版

人教版九年级上册数学公式汇总 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

第二十一章二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即53 22要写成53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十三章旋转 1、旋转性质：（1）只改变位置，不改变图形的大小及形状；（2）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等；（3）对应点到旋转中心的距离相等；（4）图形上的每一个点都沿相同的方向旋转相同都角度。 2、把一个图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称， 3、全等的图形不一定是中心对称，而中心对称的两个图形一定全等。中心对称有一个对称中心，绕中心旋转180度，旋转后与另一个图形重合；轴对称有一条对称轴，图形对称折叠，折叠后与另一个图形重合。 4、中心对称性质：（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形。 5、把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。线段、平行四边形是中心对称图形。（1）既是轴对称又是中心对称图形的有：长方形、正方形、圆、菱形等（2）只是轴对称的有：角、五角星、等腰三角形、等边三边形、等腰梯形等 (3)只是中心对称的有：平行四边形等（4）既不是轴对称又不是中心对称图形的有：不等边三角形、非等腰梯形等。两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即P （x,y ）关于原点的对称点为P '(-x,-y)

九年级下册数学知识点归纳总结(附习题)

第二十六章反比例函数 26.1知识点1 反比例函数的定义一般地，形如x k y = （k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数； ⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①x k y = （0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠）， ③k y x =?（定值）（0k ≠）； ⑸函数x k y = （0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x k y =，就不是反比例函数了。 26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数x k y = （0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。 26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值 0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。 26.4知识点4反比例函数的性质 ☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

人教版九年级数学上册讲义(全册)

人教版九年级数学上册讲义（全册）第二十一章二次根式教材内容 1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），=·； =（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a（a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．教学难点 1．对（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制． 3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键 1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点． 2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式3课时 21．2 二次根式的乘法3课时 21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时

人教版数学九年级上册全册基础练习

基础知识反馈卡·21.1 时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若(a－1)x2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程，则() A．a≠0 B．a≠1 C．a＝1 D．a≠－1 2．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x(x－1)化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为() A．－1 B．1 C．－2 D．2 二、填空题(每小题4分，共12分) 3．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m ＝_______________. 4．若关于x的方程mx2＋(m－1)x＋5＝0有一个解为2，则m的值是______． 5．把一元二次方程(x－3)2＝5化为一般形式为________________，二次项为________，一次项系数为__________，常数项为________. 三、解答题(共7分) 6．已知关于x的一元二次方程(2m－1)x2＋3mx＋5＝0有一根是x＝－1，求m的值．基础知识反馈卡·21.2.1

时间：10分钟满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分) 1．用配方法解方程x 2 －23x －1＝0，正确的配方为( ) A.? ????x －132＝89 B.? ????x －232＝59 C.? ????x －132＋109＝0 D.? ? ???x －132 ＝109 2．一元二次方程x 2＋x ＋1 4＝0的根的情况是( ) A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定二、填空题(每小题4分，共12分) 3．方程x 2－4x －12＝0的解x 1＝________，x 2＝________. 4．x 2＋2x －5＝0配方后的方程为____________． 5．用公式法解方程4x 2－12x ＝3，得到x ＝________. 三、解答题(共7分) 6．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0. (1)对于任意实数m ，判断此方程根的情况，并说明理由； (2)当m ＝2时，求方程的根．基础知识反馈卡·21.2.2

九年级数学下册知识点归纳

九年级数学下册知识点归纳第二十六章二次函数 26.1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数能够表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。一般的，自变量x和因变量y之间存有如下关系：一般式 y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，- (4ac-b∧2)/4a) ; 顶点式 y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式; 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线] ; 重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向， a>0时，开口方向向上，a0时，抛物线向上开口;当a0)，对称轴在y 轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0, 所以 b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在 y轴左;当a与b异号时(即ab0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 _______ Δ= b^2-4ac0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0) 特殊值的形式 7.特殊值的形式 ①当x=1时 y=a+b+c ②当x=-1时 y=a-b+c ③当x=2时 y=4a+2b+c ④当x=-2时 y=4a-2b+c 二次函数的性质 8.定义域：R 值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，正无穷);②[t，正无穷) 奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。周期性：无解析式： ①y=ax^2+bx+c[一般式]