结构的位移计算和刚度校核
第6章 结构位移计算和刚度校核
到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。
讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该…
杆件结构位移计算 （结构变形+刚度位移）
→
{
刚度校核
截面设计
确定P max
又是超静定结构计算的基础（双重作用）。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移
计算问题。
结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。
§6-1概述
一、
结构的位移
画图：梁、刚架、桁架 （内力N 、Q 、M ——拉伸、剪切、弯曲）
截面C 线位移：C ? 角位移：C ?
结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移： AB ? 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移：
1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。
截面C 线位移：C ?。一般 分解
成水平、垂直两方向：
CH ?、CV ? 角位移：C ?
2、位移的分类：6种
绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向
截面角位移：
杆件角位移：
相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向
两截面相对角位移：
两杆件相对角位移：
统称为：
广义位移：角、线位移；相对、绝对位移
Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔA P、Δat、ΔA C
广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合
二、引起位移的原因
1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移）
2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形
（材料胀缩引起的位移性质同）
3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化)
{刚体位移（制造误差同）
变形位移
三、计算位移的目的
1）刚度验算：最大挠度的限制
（框架结构弹性层间位移限值1/450）
2）为超静定结构的弹性分析打下基础
3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施：
（起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密）四、计算位移的有关假定（简化计算）
1）弹性假设
2）小变形假设
建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系
3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦）
变形体系{ 线性变形体系（线弹性体系）
荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消
失，无残余变形，（可用位移叠加原理）
非线形变形体系
（分段线形叠加）
4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）
§6-2 变形体系的虚功原理
一、 位移
实位移：外因作用下结构实际位移
虚位移：根据解题需要，虚设位移状态 （满足变形协调＋边界条件） 统称为：广义位移
二、
功：
力所做的功：该力大小乘以力方向上的相应位移
常力的功： T ＝P ×Δ＝P ×D ×cos a （大小、方向、作用点不变） 变力的功：Ｔ＝?s dT ＝?s P ×cos （P ，d s ）×d s
力偶所做的功：
功两要素：力与位移P ：广义力（力、力偶、相对力、相对力偶）
Δ：和广义力相对应的广义位移（线、角、相对线、相对角）
注意：在定义功T 时，没有说位移Δ是由力P 引起的，可能由P 或其它原因，但P 力照样作功。
例：简支梁，两个集中力，分别作用，先后作用。
可以看出：不论位移是否由内力引起，只要在力的作用方向上有位移，该力就对位移作
功。
引出功的形式有两种：
实功：力与位移相关。 力在其本身引起的位移上所做的功。积分得：T=P ×相对位移/2，恒正
虚功：力与位移无关。
力在由其它原因（别的力、温度变化……）引起的位移上所做的功，T’＝力×位移
注：①力：广义力；位移：广义位移
②虚功并非不存在之意，力和位移是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，只强调
作功的力与位移彼此独立无关：做功的位移不是由力引起的，而是由其它因素（其它力、其它外因）引起的
③作虚功的位移，并不限于荷载引起的，也可以由其它原因引起的。 ④实功恒为正，虚功可正可负
2
11 Δ21 P 1 1 2 Δ12
Δ22
P 2实功：W 1=1/2P 1Δ11 实功：W 2=1/2P 2Δ22 虚功：W=P 1Δ12
⑤两种功计算方法不同
本章讨论虚功原理，目的是为了研究结构的实际状态： 1）未知力：虚位移 2）求位移：虚力
所以作虚功时，力状态和位移状态是彼此无关的，其中任一可以虚设，但并不是随便假设。
所以对于虚功，应该强调两点：
1）假设的这种虚位移（或虚力）和所研究的实际力系（或实际位移）完全无关，可以独立地按照我们的目的而虚设；
2）假设的虚位移（或虚力）在所研究的结构上应该是可能存在的位移（或力）状态；
也就是：位移状态：应该满足结构的变形协调条件，边界条件
力状态：应该满足结构的平衡条件。
关于虚功的几点说明
1、广义力和广义位移对应（虚功的几种形式）
2、无关
3、其他外因
4、一个实际、一个虚设、解决两类问题
5、独立按求解目的假设
6、满足相应条件
三、刚体虚功原理（简单回顾一下）
对于某一刚体体系，存在一个力状态，满足静力平衡条件
同时存在一个位移状态，满足变形协调条件＋边界条件 两种状态无关 ，对于力状态中所有外力对位移状态中对应的位移所做虚功总和为0。 注意：力状态、位移状态可以分别是虚设的，则：虚功原理有两种形式： 虚位移原理：求力 虚力原理：求位移
1、虚位移原理，求静定结构的约束力（支反力或内力）（结合例题）
步
骤
{
取实际力状态，解除待求约束力的约束，用约束力代替，静定结构→可变
（刚体体系）
沿待求约束力方向虚设单位位移，以刚体体系产生的位移状态
虚位移状态 →虚功原理
单位位移法：在拟求未知力X 方向虚设单位位移，利用几何关系求δP 。 特点：利用几何方法求解静力平衡问题。 2、虚力原理，求刚体体系的位移（结合例题）
单位荷载法：在待求位移方向虚加一个单位荷载（两者对应，以达作虚功的目的）
特点：用静力平衡的方法来求解几何问题。推广到变形体的位移计算。 3、静定结构在支座移动时的位移计算（结合例题）
上面2的方法可以推广一下：从上节课的分析可知，静定结构在支座移动时，不产生任何内力及变形，因此结构的位移纯属刚体位移，可以利用刚体体系的虚功方程求解。 例：
四、变形体体系的虚功原理
1、弯曲转角、轴向伸缩变形、横向剪切错动： 刚体体系的虚功原理不再适用，但可以将之推广：
由能量守恒：E H W ?＝＋ H ：外部吸收的能量；W ：外力所做的功
U T E ＋＝? T ：动能；U ：变形能的增加(内力做功)；E ：结构能量的改变 若加载缓慢，不考虑能量损耗：
W ＝U 外力所做的功＝结构形变能的变化=内力所做的功
变形体体系上第Ⅰ状态的外力沿第Ⅱ状态中相应的位移所作的虚功（外力虚功）=变形体体系上第Ⅰ状态的内力沿第Ⅱ状态中相应的变形（应变）所作的虚功（内力虚功）。
3、虚功方程
∑?∑?∑?∑?++=??Md Qrds Ndu d P . 外力虚功=内力虚功
例：
实际力状态：外力：P ；
内力：N 、Q 、M 满足平衡条件
实际位移状态：位移：Δ；
变形：du rds ?d 满足相容条件 虚位移状态：虚位移：?δ
虚变形：u δδηδ? 虚力状态：虚外力：P 虚内力：N Q M Q
虚位移原理：实际力状态+虚位移状态
()∑???∑++=?δ?δηδδM Q u N P .
虚力原理：实际位移状态+虚力状态
()∑???∑++=??d M rds Q du N P .
注： 1）
也就是说：
作功的外力和内力组成力状态应满足平衡条件；位移和应变（变形）、位移状态应满足变形协调条件和边界条件。这两种状态是彼此无关的，其中一个可以虚设，计算结构位移时应取实际的位移状态，再虚设一种平衡的力状态进行求解（虚力原理）。 2）上式变形体体系的虚功原理适用于所有变形体体系（二维板壳结构和三维块体），我们用于一维杆件结构的变形体体系的虚功原理。
3）实际的力状态或虚设的力状态（内外力）均应满足的静力平衡条件。
4）杆件结构的每一个杆件的位移状态（实际或虚设）均应满足：①任一微段满足应变～位移关系；②边界位移满足约束边界条件。
这两个条件即为变形协调条件，如果一个杆件的位移状态满足这两个条件，则称这种状态能满足变形协调条件或称他是几何可能的位移状态。
功能原理 力与位移无关
虚功原理
力系平衡
位移相容
虚位移原理 虚力原理
实 实
虚 虚
§6-3位移计算的一 般公式（单位荷载法）
一、基本公式的推导：
一刚架：在外荷载、支座位移及温度变化等作用下而发生变形→产生位移，要求：任一
点K 沿指定方向K-K 的位移分量Δka ，实际位移状态5-14a ，C a 实际的支座位移，εa 、γa 、κa ，实际的轴向应变、剪切角、曲率。
仿照刚体体系求位移方法（单位荷载法）：取实际的位移状态作为位移状态，虚设一个力状态，越简单越好，且要求和Δka 相对应，使虚功方程含Δka ，要求对Δka 作虚功，所以沿K-K 方向虚加一无量纲的单位荷载P K =1（单位荷载法），则结构在虚单位荷载作用下，支座C 产生虚反力'k R ，''k R ，产生内力k N ，k Q ，k M 组成一个平衡的力状态，和原位移状态无关（虚）。例：5-14b ）
外力虚功∑+?=+++?=C R C R C R C R P K K K .1332211 内力虚功()
∑???++=?d M rds Q du N 由虚力原理建立虚力方程得：
∑+?C R K .1()
∑???++=?d M rds Q du N 因此：∑???∑+++-=?)(rds Q d M du N C R k ?
二、公式应用说明：
1、引起位移的外因可以是荷载，也可以是初应变、支座位移、温度变化、装配误差、制造误差、材料胀缩等。
2、引起位移的变形可以是弯曲变形，也可以是轴向变形或剪切变形，同时含刚体位移。
3、所能计算的位移可以是线位移，也可以是角位移或相对线（角）位移，也就是广义位移。
4、杆件结构的类型可以是梁、刚架、桁架、拱或组合结构，它们可以是静定的，也可以是超静定的。
5、材料可以是弹性，也可以是非弹性的。
6、应用这个公式每次可以求一个广义位移分量。沿待求位移方向加虚单位力时指向可以任意假设，若求得的位移为正值，则表示实际位移的指向和假设单位力的指向相同。
7、所加的虚单位广义力应该和所求的广义位移对应。
1）求某点（截面）的线位移：水平、竖向、某方向、总的线位移，沿所求线位移方向加单位力。
ΔCVΔCV
（方向未知时，求ΔCV、ΔCH→ΔC）
2）结构上某截面C的角位移，单位力偶。
3）杆件角位移θAB，加两集中力组成的单位力偶
4）A、B两点沿其连线方向的相对位移ΔAB，其连线上加两个方向相反的单位力
5）两截面相对角位移，两截面上加两方向相反的单位力偶。
θC左右θAB 6）两杆件的相对角位移
两个方向相反的单位力偶如图，每个单位力偶由两个集中力形成。 前述广义位移主要有六种形式，相应的广义力也有六种，两者一致。
§6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
一、一般公式
∑???∑+++-=?)(rds Q d M du N C R k ?
若引起位移的外因仅是荷载，即仅考虑荷载作用：
1）支座位移C =0，也无温度影响；
2）微段变形du ，rds ，d ?是由实际荷载在ds 微段引起的轴向、剪切和弯曲变形,记为：du P ，r P ds ，d P ?。设N P 、Q P 、M P 分别表示实际荷载作用下结构内微段的轴力、剪力、弯矩。
对于线弹性材料，由材料力学公式知：
EA ds N du P P =
， GA ds Q k ds P P =γ， EI
ds
M d P P =? 注：①杆件的拉伸刚度 剪切刚度 弯曲刚度
②*
222dA b
S I A k A ?=——剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，和截面形状有关。
{
矩形截面：k=1.2 圆形截面：k=10/9
工字形截面：k=A/A 1，A 1（腹板面积） 薄壁圆环形截面：k=2
3）代入位移公式，得由荷载引起：
∑?∑
?∑
?++=?ds r Q d M du N P
P
P kP ?
∑???++=?).(ds EI
M M ds GA Q Q k ds EA N N P
p P kp
这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。
单位荷载法：沿所求位移方向虚设单位荷载1=P 求所求结构位移的方法
二、 公式说明
1、N 、M 、Q ：1=P 引起的内力 对于静定结构均可由平衡条件求解
P N 、P M 、P Q ：实际荷载引起的内力。两组内力符号规定一致
2、EA 、EI 、GA ：抗拉、抗弯、抗剪刚度。位移与截面有关
3、?：杆件长度积分；∑：各杆件和积分值求和——积分法 建立内力函数时，实际状态与虚拟状态的坐标应取为一致。
4、对于不同类型的结构，上式可以简化：
1）梁、刚架：以弯曲变形为主，轴向、剪切变形很小，可以略去。（结合例题说明）
∑?=?ds EI
M M P
kp 2）桁架：只有轴力，且同一杆件的轴力k N 、N P 及EA 沿杆长度l 均为常数。
∑∑?
==?EA
l
N N ds EA N N P P kp . 3）拱：∑???
++=+?).(ds EI
M M ds GA Q Q k ds GA N N P
p P kp 一般取一项，但当拱轴线→压力线成为合理拱轴时，N 为主要时取两项。 4）组合结构：
{
梁式杆，只考虑M 轴力杆，只考虑N
∑∑?=
?轴力杆梁式杆＋EA
l
N N ds EI M M P P kp 5、计算基本步骤：
（1）1＝P ；（2）P N 、P M 、P Q ；（3）N 、M 、Q ；（4）代入公式
三、公式应用：
这种直接利用公式积分求位移的方法：积分法。
注意：①各杆可根据需要取不同坐标轴，列内力表达式；
②同一杆两种状态内力表示时，坐标轴应相同； ③同一杆件，两种状态下，内力正负号规定应相同； ④须对所有杆件叠加，不能遗漏。
§6-5 图乘法
梁式杆件在荷载作用下位移计算公式：
∑?
=?ds EI
M M P
kp .1 因为一般情况下，每杆的k M 、M P 变化规律各不相同，同一杆荷载复杂时，分好几段列方程，你必须每个杆取一坐标系，列弯矩方程、积分、叠加。当1）杆件较多；2）荷载较复杂时，求解起来比较困难。将内力与内力图联系起来——图乘法 一、图乘计算原理及计算公式 1、条件：①对于一段等截面直杆；
②当EI 沿长度方向不变时，（工程中梁、刚架、组合结构的杆件大多是等截
面直杆且由同一材料做成）；
③分别作出该段杆的k M 、M P 图，若其中有一个图形乃直线图形。 杆段图：
∑?∑?∑?=ds
xM EI tg ds EI M xtg ds EI M M p P P α
α＝
∑∑∑
?
===EI y x EI tg xd EI tg c c .??α
?α 说明：（dw= M P (x)dx ；dx 很小→小矩形）=
??B
A
dw x EI
tga ，几何意义：微面积dw 对y 轴的面积矩；??B
A dw x ：A
B 段M P 图的面积w p 对y 轴的面积矩。用x 0表示M P 面积的形心到y 轴的距离，则根据材力（理力）的分析：M P 图的面积w p 对y 轴的面积矩=M P 图的面积w p *该图形的形心到y 轴的距离x 0，也就是：??B
A dw x =w p ?x 0。所以：上式=
k P P P y w EI
tga x w EI x w EI tga 0001
1??=??=?? 其中y 0k 为k M 图中与M P 图的形心相对应的竖标。
当然：如果M P 图为直线图形，k M 图为直线或曲线图形，可得类似结果。
结论：对于一般EI=常数的等截面直杆，求由弯矩引起的位移时，若k M 图是直线图形：ds EI M M P K ?
=k P y w EI 01??；若M P 图为直线图形：ds EI M M P K ?=P K y w EI
01
??，这两个式子就是图乘公式。
如果结构上每一个杆均可图乘，则Σ
ds EI
M M P K ?=ΣEI
y w 0
? 图乘法求位移把列弯矩方程，求积分的问题→作M 图，求面积、形心、竖标的问题，如果作M 图比较熟练，那么当1）杆件较多，2）荷载较复杂，图乘法比积分法方便、
优越。
二、公式应用说明：
1、注意应用的三个条件
2、符号：k M 图和M P 图在同侧（积分值为正，所以…），（w 和y 0在杆件基线的同侧时）w 、y 0为+，否则为- 。面积、形心、竖标三者关系。
3、几种常见图形的面积和形心位置（P115页图7-14。）
a) 三角形：面积w=lh/2，形心2l/3（直角）；面积w=lh/2，形心(l+a)/3 b) 全二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心l/2 c) 二次抛物线（上凸）：面积w=2lh/3，形心5l/8 d) 二次抛物线：面积w=lh/3，形心3l/4 e) 三次抛物线：面积w=lh/4，形心4l/5
f) n 次抛物线：面积w=lh/(n+1)，形心(n+1)l/(n+2) 抛物线顶点：顶点处的切线与基线平行。
4、图乘法的关键：求w ；形心的位置；y 0，但应注意其三个应用条件。对于简单图形，确定w 、形心的位置及y 0均比较容易；对于复杂图形，确定w 、形心的位置及y 0均比较困难，这时可将图形分成许多简单图形的叠加，分别定面积、形心和竖标，分别图乘叠加，求代数和。注意：弯矩图的叠加是竖标的叠加，而非图形的叠加。 图乘法应用时的几个具体问题。
1) 如两个弯矩图形均是直线，则标距y 0可取自其中任一图形（对应）。 2) 如一个为曲线，另一个是几段直线组成的折线，则分段叠加。 3) 两个梯形图乘（公式计算）（变化形式，有正负、异侧）
4) 均布荷载作用区段，区段叠加法、分解（对应），弯矩竖标叠加而非图形叠加。
(a+b)图乘c=a 图乘c+b 图乘c ，图乘法的优势：利用大家比较熟悉的内力图的作法。 下面我们再讨论两个题目：
例：
M P 1M
)31
212323232221313281323221(122221l ql l l ql l l l ql l ql l EI P ???+????+??+????=
? （图乘法）
4
1211ql EI
=
§6-6静定结构温度变化时的位移计算
静定结构由于温度变化，不产生内力，但由于材料自由伸缩引起各微段发生变形。 温度引起的位移计算的一般公式：
∑?∑?∑?++=?ds r Q d M du N t
t
t kt ?
式中：
1、微段ds 轴向变形t du ：假设温度变化沿截面高度成直线变化，此时温度变化时截面仍保持为平面。
t 1、t 2：为截面上、下边缘温度变化；
??? ??+=2112t h h t h
h t ，为杆轴线处的温度变化,若截面对称，则221t
t t +=
杆件轴线处：tds ds t h h t h
h
h h ds t ds t ds t du t ααααα=??? ??+=-+=21121121)(
2、微段ds 弯曲转角t d ?：
()
h
tds
h
t t h
ds
t ds t d t ?=
-=
-=
αααα?1212
12t t t -=?
3、微段ds 剪切变形r t ：
r t =0，由于对于杆件结构，温度变化不引起剪切变形 4、代入公式：
∑?∑
??+=?h
tds
M
tds N kt αα
?
∑∑??+=h
ds
M t ds N t αα 轴向变形+弯曲变形 ?∑∑??+=ds M h
t
ds N t αα 若为等截面杆
∑
∑?+=M N h
t
t ωαωα N ω、M ω：分别为N 、M 图形的面积。
5) 公式应用注意说明：
①正负号规定：由于公式右边为内力所作的变形虚功，故当实际温度变形与虚拟内力方向一致时其积为正，相反时为负。一般规定： t 以升温为正； 轴力N ：以拉力为正；
弯矩M ：以弯曲变形与t ?引起的变形一致为正 ②对于具体结构公式可以简化：
梁、刚架：一般略去轴向变形的影响。∑
?=?M kt h
t
ωα
桁架：∑∑==?tl N t N kt αωα 组合结构：综合考虑梁式杆、轴力杆
③当桁架由于制造误差，其杆件长度与设计长度不符时，所引起的位移计算：
l N km ?=?∑.
式中，l ?为各杆长度的误差，升长为正，缩短为负；N 以拉力为正。 6、计算步骤：
（1）1＝P ；（2）绘N 、M 图，计算图形面积；（3）计算杆轴线处温度变化 （4）代入公式
§6-7静定结构支座移动时的位移计算
静定结构由于支座移动引起的位移计算属于刚体体系问题。 一、一般公式： 由单位荷载法公式：
∑???∑+++-=?)(rds Q d M du N C R k ?
若只考虑支座移动影响，则公式简化为： ∑-=?C R kc 式中：R ：虚拟状态下的支座反力；
C ：实际位移
正负号规定：若R 与实际支座位移c 方向一致时，其积为正，相反时为负。 二、求解步骤：
（1）1＝P ；（2）R ；（3）代入公式
§6-8 线弹性结构的互等定理
线性变形体系有四个互等定理，这些互等定理在求位移和超静定结构的内力时是十分有用的。互等定理的应用条件是：
1）材料处于弹性阶段，σ、ε成正比 }
线性变形体系 2）结构变形很小，不影响力的作用
一、 功的互等定理
例：同一种结构的两种受力状态：状态1、2。①取状态1上的力系为作功的力系，取状态2上的位移作为虚位移，则
∑∑??∑?++==ds r Q du N d M U W 2121211212?
（状态1的外力在状态2位移上的虚功=状态1上各微段内力在状态2变形上所做虚功）
∑∑??∑?++=ds GA
kQ
Q EA ds N N EI ds M M 212121
②取状态2上的力系为作功的力系，取状态1上的位移作为虚位移，则
∑∑??∑?++==ds r Q du N d M U W 1212122121?
（状态2的外力在状态1位移上的虚功=状态2上各微段内力在状态1变形上所做虚功） ∑∑??∑?++=ds GA
kQ
Q EA ds N N EI ds M M 121212 ③2112W W =
结论：在一线性变形体系中，状态Ⅰ的外力由于状态Ⅱ的位移所作的虚功=状态Ⅱ的外力由于状态Ⅰ的位移所作的虚功。同一位置的广义力和广义位移应该对应。 注：现在讨论这两个力按不同的次序先后作用于这一结构上时所作的功：
先P 1、后P 2；先P 2、后P 1。这两种加载情况，外力先后次序虽不同，但最后的荷载及变形情况是相同的，则两者加载情况所作的总功应相等。也就是：外力所作的功和加载次序无关。
二、 位移互等定理
两种状态，只作用一广义力：12112.?=P W
21221.?=P W
由功的互等定理：
1
21212P P ?=?，即： 2112δδ=（单位力P 2=1引起的P 1作用点沿P 1方向的位移=单位力P 1=1引起的P 2作用点沿P 2方向的位移）
结论：在一线性变形体系中，单位力P 2=1引起的P 1作用点沿P 1方向的位移（在数值上）=单位力P 1=1引起的P 2作用点沿P 2方向的位移 应用：力法计算超静定结构时使用。 例：
三、 反力互等定理
同一体系中任意两个约束1、2：
状态1：支座1发生单位位移Δ1=1，在支座2产生反力r 21 状态2：支座2发生单位位移Δ2=1，在支座1产生反力r 12 根据功的互等定理： r 21Δ2= r 12Δ1
r 21= r 12
结论：对于一线性变形体系，支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r 21等于支座2
由于支座1的单位位移所引起的反力r
21
。
应用：位移法计算超静定结构
（两种状态中，同一支座的反力、位移应对应）四、反力位移互等定理
同一体系中任意两个状态：
状态1：支座1发生单位位移Δ
1=1，在2处产生位移
21
状态2：2处作用单位力P
2=1，在支座1处产生反力r
12
’
根据功的互等定理：W
21=r
12
’×1+1×δ
21
’
W12=0
因此： r
12’=-δ
21
’
结论：对于一线性变形体系，由于单位荷载P2=1所引起的结构某一支座1处的反力r12’=因支座1发生与反力方向相一致的单位位移时所引起的单位荷载作用处（2处）的位移，但符号相反
应用：混合法计算超静定结构。
注：后三个互等定理均是功的互等定理的特例。
关于结构侧向刚度的计算
关于结构侧向刚度的计算 1. 关于侧向刚度 《高层建筑混凝土结构技术规程》JGJ3-2010（以下简称“《高规》”）有若干处出现了关于楼层侧向刚度的规定，其相应计算方法和适用范围不尽相同。 1.1 判别结构竖向布置规则性（《高规》3.5.2） 对于以剪切变形为主的框架结构（即结构中不含有剪力墙）的楼层侧向刚度比1γ的计算方法做出了规定，即： 111i i i i V V γ++?=? （《高规》3.5.2-1） 式中，1γ为楼层侧向刚度比，i+1i V V 、分别为第i 层和第i+1层的地震剪力标准值（注意，对于不同的地震作用计算方法，如分别采用底部剪力法和阵型分解反应谱法，该值的具体数值可能不同，但不影响楼层侧向刚度比1γ的计算），i+1i ??、分别为第i 层和第i+1层在地震作用标准值作用下的层间位移。 该公式的物理意义清晰明了，代表第i 层侧向刚度与第i+1层侧向刚度的比值，即： 111i i i i V V γ++= ?? 《高规》规定10.7γ≥，10.8γ'≥，1γ'的定义如下，即第i 层的侧向刚度与相 邻上部三层的侧向刚度的比值： 112312313i i i i i i i i V V V V γ++++++?'=??++ ?????? 对于其他结构形式，如框架-剪力墙结构、板柱-剪力墙结构、剪力墙结构、框架-核心筒结构、筒中筒结构，侧向刚度比2γ的计算公式有所不同，要考虑层高修正（原因是这类结构其楼面体系对结构侧向刚度贡献较小，当层高变化时刚度变化不明显），即： 1211i i i i i i V h V h γ+++?=? （《高规》3.5.2-1） 《高规》要求，当11.5i i h h +≤时，20.9γ≥；当11.5i i h h +>，2 1.1γ≥。
结构的刚度计算
建筑力学行动导向教学案例教案提纲
模块六：静定结构的位移计算及刚度校核 6.1.1 杆系结构的位移 杆系结构在荷载或其它因素作用下，会发生变形。由于变形，结构上各点的位置将会移动，杆件的横载面会转动，这些移动和转动称为结构的位移。 图6-1 刚架的绝对位移图6-2刚架的相对位移 我们将以上线位移、角位移及相对位移统称为广义位移。 除荷载外，温度改变、支座移动、材料收缩、制造误差等因素，也将会引起位移，如图11.3(a) 和图11.3(b)所示。 图6-3其他因素引起的位移 6.1.2 计算位移的目的 在工程设计和施工过程中，结构的位移计算是很重要的，概括地说，计算位移的目的有以下三个方面： 1、验算结构刚度。即验算结构的位移是否超过允许的位移限制值。 2、为超静定结构的计算打基础。在计算超静定结构内力时，除利用静力平衡条件外，还 需要考虑变形协调条件，因此需计算结构的位移。 3、在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先知道结构的变形情况，以便采取一 定的施工措施，因而也需要进行位移计算。 建筑力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为基础的。本章先介绍虚功原理，然后讨论在荷载等外界因素的影响下静定结构的位移计算方法。 6.2.构件的变形与刚度校核 6.2.1轴心拉压变形 一、纵向变形 1、拉压杆的位移：等直杆在轴向外力作用下，发生变形，会引起杆上某点处在空间位 置的改变，即产生了位移△l。 2、计算公式
N N F F l l dx dx dx E EA EA σ ε?====??? 图6-4轴心受拉变形 EA l F l N =?—— EA 称为杆的拉压刚度 （4-2） 上式只适用于在杆长为l 长度N 、E 、A 均为常值的情况下， 即在杆为l 长度内变形是均匀的情况 [例6.2-1]某变截面方形柱受荷情况如图6-5所示，F=40KN 上柱高3m 边长为240mm,下柱高4m 边长为370mm ，E=0.03×105 Mpa 。试求：该柱顶面A 的位移。 解：1.绘内力图 图6-5 二、横向变形 1、横向变形 (公式6-1) 2.横向变形因数或泊松比 （公式6-2） 【例6.2-2】 一矩形截面钢杆，其截面尺寸b ×h =3mm ×80mm ，材料的E =200GPa 。经拉伸试验测得：在纵向100mm 的长度内，杆伸长了0.05mm ，在横向60mm 的高度内杆的尺寸缩小了0.0093mm ，试求：⑴ 该钢材的泊松比；⑵ 杆件所受的轴向拉力F P 。 解：（1）求泊松比。 求杆的纵向线应比ε 求杆的横向线应变ε′ 求泊松比μ （2）计算杆受到的轴向拉力 由虎克定律σ=ε·E 计算图示杆件在F P 作用下任一横截面上的正应力 σ=ε·E =5×10-4×200×103=100MPa 333 3 52522.4010310120104100.03102400.03103701.86BC BC AB AB AB BC AB BC N l N l l l l EA EA ?=?+?=+-???-???=+ ????=-求变形： a a d -1=?a a ?-= 'εε εν' =νεε-='4105100 05 .0-?==?= l l ε4 '1055.160 0093.0-?-=-=?=a a ε31.010 51055.14 4 '=??-==--εεμA F N = σ
结构设计之刚度比详解
第三章 刚度比 2014.7.16 一、定义： 刚度比是指结构竖向不同楼层的侧向刚度比值。 二、计算公式： ⑴规范要求： ①、②《抗震规范》第3.4.2和3.4.3条及《高规》第3.5.2条均规定：其楼层侧向刚度不宜小于上部相邻楼层侧向刚度的70％或其上相邻三层侧向刚度平均值的80％。 ③《高规》第E.0.2条规定当转换层设置在第2层以上时，按本规程式（3.5.2-1）计算的转换层与其相邻上层的侧向刚度比不应小于0.6。 ④《抗震规范》第6.1.14-2条规定：结构地上一层的侧向刚度，不宜大于相关范围地下一层侧向刚度的0.5倍；地下室周边宜有与其顶板相连的抗震墙。 ⑵计算公式： 框架：i 1i 1i i △△++=V V γ ；其他（框剪、剪…）:1 i i i 1i 1i i h h +++?=△△V V γ 详见《高规》P15 ⑶应用范围： ①《抗震规范》第3.4.2和3.4.3条用来判断竖向不规则 ②《高规》第3.5.2条规定的工程刚度比计算。用来避免竖向不规则 ③《高规》第E.0.2条用来计算转换层在二层以上时的侧向刚度比 ④《抗震规范》第6.1.14条规定的工程的刚度比的计算方法1。用于判断地下室顶板能否作为上部结构的嵌固端。 注：SATWE 软件在进行“地震剪力与地震层间位移比”的计算时“地下室信息”中的“回填土对地下室约束相对刚度比”里的值填“0”； 2、按剪切刚度计算 ⑴规范要求： ①《高规》第E.0.1条规定：当转换层设置在1、2层时，可近似采用转换层与其相邻上层结构的等效剪切刚度比γ表示转换层上、下层结构刚度的变化，γ宜接近1，非抗震设计时γ不应小于0.4，抗震设计时γ不应小于0.5。 ②《抗震规范》第6.1.14-2条规定：结构地上一层的侧向刚度，不宜大于相关范围地下一层侧向刚度的0.5倍；地下室周边宜有与其顶板相连的抗震墙。 ⑵计算公式： 1 22211h h ?=A G A G γ 详见《高规》P177 ⑶应用范围： ①《高规》第E.0.1条用来计算转换层在一二层时的侧向刚度比 ②《抗震规范》第6.1.14条规定的工程的刚度比的计算方法2。用于判断地下室顶板能否作为上部结构的嵌固端。 3、按剪弯刚度计算 ⑴规范要求： ①《高规》第E.0.3条规定：当转换层设置在第二层以上时，尚宜采用图E 所示的计算模型按公式（E.0.3)计算转换层下部结构与上部结构的等效侧向刚度比γe 2。γe 2宜接近1，非抗震设计时γe 不应小于0.5，抗震设计时γe 不应小于0.8。 ⑵计算公式： 2 112H H △△=γ 详见《高规》P178
正确计算转换结构的上下层刚度比
审 图 专 家 解 疑 第一作者简介：姜学诗，男，1939年12月出生，研究生学历，教授级高级工程师。 9 应正确计算转换层上部与下部结构的侧向刚度比 姜学诗 （中国建筑设计研究院审图所 北京 100044） 在高层建筑结构的底部，当上部楼层的部分竖向构件（剪力墙、框架柱）不能直接落地时，应设置结构转换层，并在结构转换层布置结构构件。转换层的转换结构构件可采用梁、桁架、箱形结构等，但最常采用的梁即是“转换梁”。结构整体计算时，带转换层的高层建筑结构应定义为“复杂高层结构”，并在《特殊构件定义》中将托墙梁或托柱梁定义为“转换梁”，与转换梁相连的柱则定义为“框支柱”。在“转换层所在层号”项内填入转换层所在的结构自然层号，若有地下室则包括地下室层号在内。 底部带转换层的高层建筑结构，由于部分竖向抗侧力构件不连续，转换层上部与下部结构的侧向刚度会发生突变，为了防止落地剪力墙过早开裂和破坏，必须对这种刚度突变加以限制。这就是《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ3－2002）要求对底部带转换层的高层建筑结构，其转换层上部与下部结构的侧向刚度比及其限值应正确计算并应符合该规程附录E 的规定的原因。 对于底部带转换层的高层建筑结构，楼层侧向刚度比不能采用“层剪力与层间位移之比”的方法来计算。采用“层剪力与层间位移之比”的方法来计算转换层上部与下部结构的侧向刚度比，其结果明显偏小，偏于不安全。正确计算转换层上部与下部结构的侧向刚度比的方法是： （1）当转换层位于层1时，采用“等效剪切刚度法”来计算转换层上部与下部结构的侧向刚度比γ。γ宜接近1，非抗震设计时不应大于3，抗震设计时不应大于2。γ可按下式计算： γ=（G 2A 2/G 1A 1）×(h 1/h 2) 式中各符号的意义见《高规》附录E。 （2）当转换层位置大于层1时，采用“等效侧向刚度法”来计算转换层上部与下部结构的侧向刚度比γe 。γe 宜接近1，非抗震设计时不应大于2，抗震设计时不应大于1.3。γe 可按下式计算： γe =Δ1H 2/Δ2H 1 式中各符号的意义见《高规》附录E。 要注意的是，H 1和H 2不能取错。H 1为转换层及其下部结构(计算模型1)的高度，如图1（a）所示；当上部结构嵌固于地下室顶板时，取地下室顶板至转换层结构顶面的高度；H 2为转换层上部若干层结构(计算模型2)的高度,如图1(b)所示，其值应等于或接近计算模型1的高度H 1，且不大于H 1。 当转换层设置在层3及层3以上时，除了采用“等效侧向刚度法”来计算转换层上部与下部结构的侧向刚度比外，还应按照“层剪力与层间位移之比”的方法再算一次，并使转换层本层的侧向刚度不应小于转换层相邻上一层侧向刚度的60％。 也就 是说转换层设置在层 3及层 3以上时，结构要计算两次，才能正确控制转换层上部与下层结构侧向刚度的突变。 图1 带转换层的高层建筑结构计算模型 此外，结构工程师还应特别注意，转换层是楼层竖向抗侧力构件不连续的薄弱层，不管程序判断转换层是否满足上述刚度比要求，都应将转换层设置为薄弱层进行计算。
桥式起重机主梁强度、刚度计算
桥式起重机箱形主梁强度计算 一、通用桥式起重机箱形主梁强度计算(双梁小车型) 1、受力分析 作为室内用通用桥式起重机钢结构将承受常规载荷G P 、Q P 和H P 三种基本载荷和偶然载荷S P ，因此为载荷组合Ⅱ。 其主梁上将作用有G P 、Q P 、H P 载荷。 主梁跨中截面承受弯曲应力最大，为受弯危险截面；主梁跨端承受剪力最大，为剪切危险截面。 当主梁为偏轨箱形梁时，主梁跨中截面除了要计算整体垂直与水平弯曲强度计算、局部弯曲强度计算外，还要计算扭转剪切强度，弯曲强度与剪切强度需进行折算。 2、主梁断面几何特性计算 上下翼缘板不等厚,采用平行轴原理计算组合截面的几何特性。
图2-4 注：此箱形截面垂直形心轴为y-y 形心线，为对称形心线。因上下翼缘板厚不等，应以x ’— x ’为参考形心线,利用平行轴原理求水平形心线x —x 位置c y 。 ① 断面形状如图2-4所示,尺寸如图所示的H 、1h 、2h 、B 、b 、0b 等。 ② 3212F F F F ++=∑ [11Bh F =，02bh F =，23Bh F =] ③ Fr q ∑= (m kg /) ④ 3 21232021122.)21(2)2(F F F h F h h F h H F F y F y i i c +++++- =∑?∑= (cm ) ⑤ 2 233 22323212113 112 212)(212y F Bh y F h h H b y F Bh J x ?++?+--+?+= (4cm ) ⑥ 202032231)2 2(21221212b b F h b B h B h J y ++++= (4cm )
梁的刚度计算
梁得强度与刚度计算 １．梁得强度计算 梁得强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度与折算应力,设计时要求在荷载设计值作用下,均不超过《规范》规定得相应得强度设计值。 (1)梁得抗弯强度 作用在梁上得荷载不断增加时正应力得发展过程可分为三个阶段,以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁得抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 ?????(5-3) 双向弯曲时 ?????(5-4） ｙ轴式中：M x 、M y——绕x轴与y轴得弯矩(对工字形与H形截面,x轴为强轴， 为弱轴); W nx、Ｗny——梁对x轴与y轴得净截面模量; ——截面塑性发展系数,对工字形截面,;对箱形截面,;对其她截面，可查表得到; f ——钢材得抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳,当梁受压翼缘得外伸宽度b与其厚度t之比大于，但不超过时,应取。 需要计算疲劳得梁，按弹性工作阶段进行计算,宜取。 (2)梁得抗剪强度 一般情况下,梁同时承受弯矩与剪力得共同作用。工字形与槽形截面梁腹板上得剪应力分布如图5-3所示。截面上得最大剪应力发生在腹板中与轴处。在主平面受弯得实腹式梁,以截面上得最大剪应力达到钢材得抗剪屈服点为承载力极限状态。因此,设计得抗剪强度应按下式计算 ???????（5-5） 式中:V——计算截面沿腹板平面作用得剪力设计值; S——中与轴以上毛截面对中与轴得面积矩；
I——毛截面惯性矩; t w——腹板厚度; f v——钢材得抗剪强度设计值。 图５－３腹板剪应力 当梁得抗剪强度不满足设计要求时,最常采用加大腹板厚度得办法来增大梁得抗剪强度。型钢由于腹板较厚,一般均能满足上式要求,因此只在剪力最大截面处有较大削弱时,才需进行剪应力得计算。 (３）梁得局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁得翼缘受有沿腹板平面作用得固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋,或受有移动得集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘得局部承压强度。 在集中荷载作用下,翼缘类似支承于腹板得弹性地基梁。腹板计算高度边缘得压应力分布如图5-4c得曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2、5(在h y高度范围)与１∶1（在ｈR高度范围)扩散,均匀分布于腹板计算高度边缘。梁得局部承压强度可按下式计算 ???????（５-6) 式中:F——集中荷载,对动力荷载应考虑动力系数； ——集中荷载增大系数:对重级工作制吊车轮压,=１、３5；对其她荷载，＝１、0; ——集中荷载在腹板计算高度边缘得假定分布长度，其计算方法如下
8.3.5 梁的刚度计算
8.3.5 梁的刚度计算 梁的刚度计算，通常是校核其变形是否超过许用挠度[ f ]和许用转角[θ]，可以表述为： ≤y f []max ≤θθ[]max 式中y max 和θmax 为梁的最大挠度和最大转角。 在机械工程中，一般对梁的挠度和转角都进行校核；而在土木工程中，常常只校核挠度，并且以许用挠度与跨长的比值l f []作为校核的标准，即： ≤l l f y []max （8.17） 土木工程中的梁，强度一般起控制作用，通常是由强度条件选择梁的截面，再校核刚度。 例8.9 简支梁受力如图8.11所示，采用22a 号工字钢，其弹性模量=E 200GPa ，=l f 400 []1，试校核梁的刚度。 解：由附录查表可得=I 3400cm z 4，=EI y ql 3845max 4。于是 =<=????==??l f l EI ql y 600400 []1138438420010MPa 340010mm 554N/mm 6000mm 344 max 333 所以梁的刚度满足要求。下面介绍提高梁弯曲刚度的一些措施。在不改变荷载的条件下，梁的变形与抗弯刚度EI 成反比，与跨长的n 次幂（n 可取1、2、3或4）成正比。所以，提高弯曲刚度的一些措施有： （1）增大EI 。这方面可以考虑采用惯性矩较大的工字形、槽形、箱形等截面形状。须指出的是，高强钢与普通钢的弹性模量相差无几，所以采用高强钢对提高刚度的作用并不明显。 （2）调整跨长或改变结构。减小跨长对变形的影响较为明显，如龙门吊车大梁就采用了两端外伸的结构形式。此外，增加约束形成超静定梁，也能显著减小梁的变形，同时还可以提高弯曲强度。有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）
液压机横梁的强度与刚度的计算
横梁的强度与刚度的计算 由于横梁是三个方向上尺寸相差不太多的箱体零件，用材料力学的强度分析方法不能全面地反应它的应力状况。目前，在进行初步设计计算时，还只能将横梁简化为简支梁进行粗略核算，而将许用应力取得很低。按简支梁计算出的横梁中间截面的应力值和该处实测应力值还比较接近，因此作为粗略核算，这种方法还是可行的。但无法精确计算应力集中区的应力，那里的最大应力要大很多。 有限单元法的以展提供了比较精确地计算横梁各部分应力的可能性，因此，目前在设计横梁时，普遍使用有限单元法计算。但作为分析强度的基础，下面将介绍支梁算法。 当上下横梁刚度不够时，会给立柱带来附加弯矩。上横梁刚度如太小，或两个方向上刚度不一样，在液压缸加载时，上横梁和工作缸法兰的接触面会形成局部接触，使工作缸过早损坏。一般对横梁的刚度要求为立柱间每米跨度上挠度不超过0.15mm。由于横梁均属于跨度比较小而高度相对比较大的梁，因此在计算挠度时，除了考虑弯矩引起的挠度外，还必须计算由于剪力引起的挠度。 一、上横梁的强度与刚度的计算： 由于上横梁的刚度远大于立太平的刚度，因此可以将上横梁简化为简支梁，支点间距离为宽边立柱中心距。 （1）单缸液压机工作的公称力简化为作用于法兰半圆环重心上的两个集中力，如下图：
单缸液压机上横梁受力简图 最大弯矩在梁的中点： M max =P/2（1/2－D/∏） 式中：P—液压机公称压力（N）； D—缸法兰的环形接触面平均直径（cm）； L—立柱宽边中心距（cm）。 最大剪力为： Q =P/2 最大挠度在梁的中点： ?0=P/48EJ×(L/2－D/∏)×[3L2－4（L/2－D/∏）2]＋KPL/4GA[1－2（D/∏L）] ＝PL3/48EJ×[1－6（D/∏L）2＋4（D/∏L）3]＋KPL/4GA[1－2（D/∏L）] 式中：E—梁的弹性模量（N/㎝2）； J—梁的截面惯性矩（cm2）； G—梁的剪切弹性模量（N/㎝2）； A—梁的截面积（cm2）； K—截面形状系数，见式（2—80）。
梁的刚度计算
梁的刚度计算 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 f W M nx x x ≤= γσ （5-3） 双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4） 式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对 箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。
为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。 （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算 v w f It VS ≤= τ （5-5） 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。
梁的强度与刚度
第八章梁的强度与刚度 第二十四讲梁的正应力截面的二次矩 第二十五讲弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲弯曲切应力简介 第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度
第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩 目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学难点：平行移轴定理及其应用。 教学内容： 第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时梁的正应力 一、纯弯曲概念： １、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： １、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。 ２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式： （１）、任一点正应力的计算公式： （２）、最大正应力的计算公式： 其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理 一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数： １、矩形截面： ２、圆形截面和圆环形截面： 圆形截面 圆环形截面 其中：
梁的强度和刚度计算
梁的强度和刚度计算 1．梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段，以双轴对称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 f W M nx x x ≤=γσ （5-3） 双向弯曲时 f W M W M ny y y nx x x ≤+=γγσ （5-4） 式中：M x 、M y ——绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和H 形截面，x 轴为强轴，y 轴为弱轴）； W nx 、W ny ——梁对x 轴和y 轴的净截面模量； y x γγ,——截面塑性发展系数，对工字形截面，20.1,05.1==y x γγ；对箱形截面，05.1==y x γγ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其厚度t 之比大于y f /23513 ，但不超过y f /23515时，应取0.1=x γ。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取0.1==y x γγ。 （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。在主平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算
v w f It ≤=τ （5-5） 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ——中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ——毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。 （3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。 在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。腹板计算高度边缘的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以1∶2.5（在h y 高度范围）和1∶1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局部承压强度可按下式计算
第六章静定结构位移计算习题.doc
静定结构位移计算试题 一、是非判断： １．变形体虚功原理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） ２．虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任何一个都可看作是虚设的。（ ） ３．功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。（ ） ４．位移反力互等定理对线弹性的静定结构和超静定结构均适用。（ ） ５．图1-５(a)、(b)各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。（ ） 题1-5图 题1-6图 ６．如图题1-6所示斜梁EI ＝常数，则截面A 的转角EI ql A 243 = ?（顺时针）。（ ） ７．图题1-7(a)、(b) 各杆EA 相同，则两图中C 点的竖向位移相等。（ ） 题1-7图 ８．M P 图、M 图1-8(a)、(b)所示，EI=常数。下列图乘结果是正确的： )8 5 323221(1l al l al EI CH ?+?=?。 （ ） 题1-8图 ９．图题1-9中，下列图乘结果是正确的： )3 1(1))(31(132221111y b l EI y b a l y b l EI ?+?-+?。 （ ） 10．图1-10中，下列图乘结果是正确的： )8 5 323221(1d bc d ac EI ?+?。 （ ） 11．对于静定结构，没有内力就没有变形。（ ） 12．对于静定结构，没有变形就没有位移。（ ） 13．用单位荷载法计算结构位移时，用于计算外力虚功的广义力是虚设的广义单位力，而相应的广义位移是拟求的实际位移。（ ） q (a) (b) l a a q A B P (b)M 图
题1-9图 题1-10图 14．如果结构是由线弹性材料制成的，但在有温度变化的情况下，功的互等定理不成立。（ ） 二、填空 1．虚功原理有两种不同的应用形式，即 原理和 原理。其中 原理等价于变形协调条件。 2．位移计算时，虚拟广义单位力的原则是使外力虚功的值恰好等于 值。 3．用图乘法计算梁和刚架位移的适用条件是 。 4．如图2-4所示结构支座A 下沉a ，支座B 向右移动b ，则结点C 、D 的相对转角为 。 题2-4图 题2-5图 题2-6图 5．如图2-5所示结构中的AB 杆比原设计长度做短了1.5cm ，由此引起C 点的竖向位移为 ；引起支座A 的水平反力为 。 6．如图2-6所示三铰刚架，EI=常数。铰C 的竖向位移为 。 7．如图2-7所示结构，EI=常数。铰C 两截面的相对转角为 。 8．已知图2-8所示连续梁支座B 的反力为)(16 11 ↑=P R B ，则该连续梁在支座B 下沉1=?BV 时，D 点的竖向位移DV ?为 。 题2-7图 题2-8图 9．已知图2-9(a)所示简支梁在C 点作用集中力P =1kN 时，截面B 的角位移为0.005弧度，则该梁在截面 a b 1ω 2ω 3ω EI 1 EI 2 (a)M P 图 y 2 (a)M P 图 (b)M 图 C C P D B DV ? 1 =BV (a) (b)
结构的位移计算和刚度校核
第6章 结构位移计算和刚度校核 到上节课为止，我们把五种静定杆件结构的计算问题全讨论过了。我们知道内力计算问题属强度问题→是结力讨论的首要任务。 讲第一章时，结力的第二大任务：刚度问题，而要解决…，首先应该… 杆件结构位移计算 （结构变形+刚度位移） → { 刚度校核 截面设计 确定P max 又是超静定结构计算的基础（双重作用）。另外本章主要讨论各种杆件结构的位移 计算问题。 结构位移计算的依据是虚功原理，所以本章先讨论刚体、变形体的虚功原理，然后推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论各种具体结构的位移计算。 §6-1概述 一、 结构的位移 画图：梁、刚架、桁架 （内力N 、Q 、M ——拉伸、剪切、弯曲） 截面C 线位移：C ? 角位移：C ? 结点的线位移： 两点（截面）相对线位移： 杆件的角位移： AB ? 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 1、位移定义：由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生（相对）移动（线位移），使杆件横截面产生（相对）转动（角位移）。 截面C 线位移：C ?。一般 分解 成水平、垂直两方向： CH ?、CV ? 角位移：C ?
2、位移的分类：6种 绝对位移：点（截面）线位移——分解成水平、垂直两方向 截面角位移： 杆件角位移： 相对位移：两点（截面）相对线位移——沿连线方向 两截面相对角位移： 两杆件相对角位移： 统称为： 广义位移：角、线位移；相对、绝对位移 Δki：k：产生位移的方向；i：引起位移原因。如ΔA P、Δat、ΔA C 广义力：集中力、力偶、分布荷载，也可以是上述各种力的综合 二、引起位移的原因 1、荷载作用：（荷载→内力→变形→位移） 2、温度改变：静定结构，温度改变，→0应力非0应变→结构变形 （材料胀缩引起的位移性质同） 3、支座移动；(无应力，无应变，但几何位置发生变化) {刚体位移（制造误差同） 变形位移 三、计算位移的目的 1）刚度验算：最大挠度的限制 （框架结构弹性层间位移限值1/450） 2）为超静定结构的弹性分析打下基础 3）预先知道变形后的位置，以便作出一定的施工措施： （起重机吊梁、板）（屋架安装）（建筑起拱）（屋窗、门、过梁）（结构要求高，精密）四、计算位移的有关假定（简化计算） 1）弹性假设 2）小变形假设 建立平衡、应变与位移、位移与荷载成线性关系 3）理想约束（联结，不考虑阻力摩擦） 变形体系{ 线性变形体系（线弹性体系） 荷载和位移呈线性关系，且荷载全撤除后位移将全部消 失，无残余变形，（可用位移叠加原理） 非线形变形体系 （分段线形叠加） 4）位移叠加原理（类似内力、反力叠加）
盈建科YJK计算参数详解—结构总体信息
结构总体信息 加强层所在层号：如果设置了加强层，软件将按规范要求进行设计，该参数除了在设计参数中设置外，还可在楼层属性中手工指定。 底框层数：只有在底框结构（底层框架结构）下，该参数才可以设置。 施工模拟加载步长：即指按照施工模拟3或者施工模拟1计算时，每次加载的楼层数量，软件隐含的加载步长是1，即每次加载1个自然层。对于层数较多的高层建筑，为了提高计算效率也可以将加载步长改为大于1的数；软件对于转换层、梁托柱层等一些特殊的楼层，会自动合并其相邻的几个楼层作为一个施工加载次序，不受本参数的约束。 恒活荷载计算信息：竖向荷载加载顺序，施工模拟三比其他几种更符合实际情况。梁托柱楼层、悬挑梁托柱楼层会造成内力异常，检查方法为恒载的计算模型与活载差异大，并且恒载变形异常、与活载变形明显不同。故此建议一般对多、高层建筑首选模拟施工3。对钢结构或大型体育馆 仅供个人学习参考
类（指没有严格的标准层概念）结构应选一次加载。对于长悬臂结构或有吊柱结构，由于一般是采用悬挑脚手架的施工工艺，故对悬臂部分应采用一次加载进行。设计。当有吊车荷载时，不应选用模拟施工3。 风荷载计算信息：一般计算方式（假定迎风面和背风面的受风面积是相同的，在自动计算风 荷载时，只考虑顺风向，不考虑横向风的影响。一般方法不能计算屋顶的风吸力和风压力。）；精细计算方式（横向风和风吸力影响较大的结构） 地震作用计算信息：按照规范规定，依据当地抗震等级及工程实际情况进行选择。8度9度时的大跨度和长悬臂结构及9度时的高层建筑，应计算竖向地震作用。 计算吊车荷载：如果设计人员在建模中输入了吊车荷载，则软件会自动勾选该项。如果工程 中输入了吊车荷载而又不想在结构计算中考虑时，可取消该选项。吊车荷载是在建模中布置和自动生成的，自动生成的吊车荷载沿着吊车布置的跨度成对布置在各个柱顶节点，可以根据边跨、抽柱、 楼板、因 0.3。 行折减，同时在计算前处理的特殊墙下增加了“徐变折减”菜单，可以对各层不需要考虑折减的剪力墙修改折减系数为1。 墙刚度折减系数：配合“竖向…系数”使用。 仅供个人学习参考
盈建科YJK计算参数详解—结构总体信息
结构总体信息 红色为必填项，其余根据项目合理选选填 地下室层数：对整体结构分析与设计有重要影响。如侧向约束的施加位置、地下室外墙平面外设计、风荷载起算位置、底部加强区起算位置等。 嵌固端所在层号：对嵌固层以下的各层的抗震等级和抗震构造措施的抗震等级逐层降低，但不低于四级。 与基础相连构件最大底标高：用于嵌固端不在同一标高的情况。 裙房层数：作为带裙房的塔楼结构剪力墙底部加强区高度的判断依据，按规范要求，如强区取到裙房屋面上一层。注：该参数的加强措施仅限于剪力墙加强区，程序没有对裙房顶部上下各一层及塔楼与裙房连接处的其他构件采取加强措施，此项工作需要用户完成。 转换层所在层号：程序没有自动搜索转换构件和自动判断转换层的功能，设计人员应指定转换层号，以实现规范对转换构件地震内力放大的规定。如有转换层必须输入转换层号，允许输入多个转换层号，数字之间以逗号或空格隔开。初始值为0。若有地下室，转换楼层号从地下室起算。 加强层所在层号：如果设置了加强层，软件将按规范要求进行设计，该参数除了在设计参数中设置外，还可在楼层属性中手工指定。 底框层数：只有在底框结构（底层框架结构）下，该参数才可以设置。 施工模拟加载步长：即指按照施工模拟3或者施工模拟1计算时，每次加载的楼层数量，软件隐含的加载步长是1，即每次加载1个自然层。对于层数较多的高层建筑，为了提高计算效率也可以将加载步长改为大于1的数；软件对于转换层、梁托柱层等一些特殊的楼层，会自动合并其相邻的几个楼层作为一个施工加载次序，不受本参数的约束。
恒活荷载计算信息：竖向荷载加载顺序，施工模拟三比其他几种更符合实际情况。梁托柱楼层、悬挑梁托柱楼层会造成内力异常，检查方法为恒载的计算模型与活载差异大，并且恒载变形异常、与活载变形明显不同。故此建议一般对多、高层建筑首选模拟施工3。对钢结构或大型体育馆类（指没有严格的标准层概念）结构应选一次加载。对于长悬臂结构或有吊柱结构，由于一般是采用悬挑脚手架的施工工艺，故对悬臂部分应采用一次加载进行。设计。当有吊车荷载时，不应选用模拟施工3。 风荷载计算信息：一般计算方式（假定迎风面和背风面的受风面积是相同的，在自动计算风荷载时，只考虑顺风向，不考虑横向风的影响。一般方法不能计算屋顶的风吸力和风压力。）；精细计算方式（横向风和风吸力影响较大的结构） 地震作用计算信息：按照规范规定，依据当地抗震等级及工程实际情况进行选择。8度9度时的大跨度和长悬臂结构及9度时的高层建筑，应计算竖向地震作用。 计算吊车荷载：如果设计人员在建模中输入了吊车荷载，则软件会自动勾选该项。如果工程中输入了吊车荷载而又不想在结构计算中考虑时，可取消该选项。吊车荷载是在建模中布置和自动生成的，自动生成的吊车荷载沿着吊车布置的跨度成对布置在各个柱顶节点，可以根据边跨、抽柱、柱距不等等情况生成不同的吊车荷载。计算程序根据这些布置的吊车荷载做吊车荷载计算。 计算人防荷载：如果设计人员在建模中输入了人防荷载，则软件会自动勾选该项。如果工程中输入了人防荷载而又不想在结构计算中考虑时，可取消该选项。对于用户输入了人防等效静荷载的地下室楼层，程序可对该楼层及其以下楼层的梁、柱、墙完成人防设计。 考虑预应力等效荷载工况：该功能主要用于非预应力构件考虑预应力影响，它必须在预应力梁设计完成后执行。 生成传给基础的刚度：该参数用来控制上部结构计算时是否生成传给基础的凝聚刚度，勾选该项，则基础计算时可考虑上部结构刚度的影响。 凝聚局部…底部层数：在考虑上部结构对基础的刚度贡献时，软件可以考虑上部结构的全部楼层或者只考虑底部的部分楼层。如果填0则考虑全部楼层。如果基础计算时需要仅考虑上部几个楼层的刚度，而不是全部楼层的刚度时，可在这里输入一个非0的楼层数，软件将仅输出底部的几个楼层的刚度。勾选此项，将需消耗一定的计算时间，考虑的楼层数越多需要的计算时间越多。 上部结构计算考虑基础结构：在上部结构计算时可以选择上部结构加入基础结构的协同计算，从而可使上部结构计算考虑基础和地基的影响。与基础建模计算的“生成上部基础共同分析的基础模型”配合使用（需先进行基础建模计算，然后再回到上部结构，勾选计算并考虑基础结构） 生成绘等值线用数据：选中该参数之后，后处理中的“等值线”才有数据，用来画墙、弹性楼板、转换梁以及框架梁转连梁的应力等值线。因为生成绘等值线用的数据需要消耗计算时间，因此作为选项，当不需要看等值线是可以节省计算时间。 计算温度荷载：该参数用来控制是否计算温度荷载。该选项同时影响荷载组合，勾选该项，则荷载组合时将考虑温度荷载。用户通过指定节点处温差来定义温度荷载，程序在有限元分析过程中统一计算温度荷载对结构的影响。通常情况在高层、大跨等对温度敏感的结构才考虑温度效应。 考虑…系数：对于混凝土结构，考虑到徐变应力松弛特性等非线性因素，实际的温度应力并没有弹性计算的结果那么大。因此用户可以视情况在组合系数的基础上乘以徐变应力松弛系数。对钢结构不应考虑此项折减。 竖向…系数：勾选此项参数后软件将自动对全楼的剪力墙在恒载和活载计算时的轴向刚度进行折减，同时在计算前处理的特殊墙下增加了“徐变折减”菜单，可以对各层不需要考
常用建筑结构设计计算软件和结构概念设计
常用结构计算软件与结构概念设计 1、结构计算软件的局限性、适用性和近似性。 随着计算机结构分析软件的广泛应用和普及，它使人们摆脱了过去必须进行的大量的手工计算，使人们的工作效率得以大幅度的提高。与此同时，人们对结构计算软件的依赖性也越来越大，有时甚至过分地相信计算软件，而忽略了结构概念设计的重要性。由于种种原因，目前的结构计算软件总是存在着一定的局限性、适用性和近似性，并非万能。如：结构的模型化误差；非结构构件对结构刚度的影响；楼板对结构刚度的影响；温度变化在结构构件中产生的应力；结构的实际阻尼(比)；回填土对地下室约束相对刚度比；地基基础和上部结构的相互作用等等。有些影响因素目前还无法给出准确的模型描述，也只能给出简化的表达或简单的处理，受人为影响较大。加之，建筑体型越来越复杂，这就对结构计算软件提出了更高的要求，而软件本身往往又存在一定的滞后性。正是因为如此，结构工程师应对所用计算软件的基本假定、力学模型及其适用范围有所了解，并应对计算结果进行分析判断确认其正确合理、有效后方可用于工程设计。 2、现阶段常用的结构分析模型 实际结构是空间的受力体系，但不论是静力分析还是动力分析，往往必须采取一定的简化处理，以建立相应的计算简图或分析模型。目前，常用的结构分析模型可分为两大类：第一类为平面结构空间协同分析模型；另一类为三维空间有限元分析模型。 1) 平面结构空间协同分析模型。将结构划分若干片正交或斜交的平面抗侧力结构，但对任意方向的水平荷载和水平地震作用，所有正交或斜交的抗侧力结构均参与工作，并按空间位移协调条件进行水平力的分配。楼板假定在其自身平面内刚度无限大。这一分析模型目前已经很少采用。其主要适用于平面布置较为规则的框架结构、框－剪结构、剪力墙结构等。 2) 三维空间有限元分析模型。将建筑结构作为空间体系，梁、柱、支撑均采用空间杆单元，剪力墙单元模型目前国内有薄壁杆件模型、空间膜元模型、板壳单元模型以及墙组元模型。楼板可假定为弹性，也可假定在其自身平面内刚度无限大，还可假定楼板分块无限刚。该模型以节点位移为未知量，由矩阵位移法形成线性方程组求解。
梁的刚度计算
1 ?梁的强度计算 梁的强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度和折算应力，设计时要求 在荷载设计值作用下，均不超过《规范》规定的相应的强度设计值。 （1）梁的抗弯强度 作用在梁上的荷载不断增加时正应力的发展过程可分为三个阶段， 以双轴对 称工字形截面为例说明如下： 梁的抗弯强度按下列公式计算： 单向弯曲时 M x x W nx 双向弯曲时 M x 式中：M 、M ---- 绕x 轴和y 轴的弯矩（对工字形和 H 形截面，x 轴为强轴，y 轴 为弱轴）； W W ――梁对x 轴和y 轴的净截面模量； x , y ――截面塑性发展系数，对工字形截面， x 1.05, y 1.20 ；对箱 形截面，x y 1.05 ；对其他截面，可查表得到； f ——钢材的抗弯强度设计值。 为避免梁失去强度之前受压翼缘局部失稳，当梁受压翼缘的外伸宽度b 与其 厚度t 之比大于13._ 235/ f y ，但不超过15, 235/ f y 时，应取x 1.0。 需要计算疲劳的梁，按弹性工作阶段进行计算，宜取 x y 1.0 o （2）梁的抗剪强度 一般情况下，梁同时承受弯矩和剪力的共同作用。工字形和槽形截面梁腹板 上的剪应力分布如图5-3所示。截面上的最大剪应力发生在腹板中和轴处。 在主 平面受弯的实腹式梁，以截面上的最大剪应力达到钢材的抗剪屈服点为承载力极 限状态。因此，设计的抗剪强度应按下式计算 (5-3) (5-4) x W nx y W ny
VS It w 式中：V ——计算截面沿腹板平面作用的剪力设计值； S ――中和轴以上毛截面对中和轴的面积矩； I ――毛截面惯性矩； t w ——腹板厚度； f v ——钢材的抗剪强度设计值。 图5-3 腹板剪应力 当梁的抗剪强度不满足设计要求时，最常采用加大腹板厚度的办法来增大梁 的抗剪强度。型钢由于腹板较厚，一般均能满足上式要求，因此只在剪力最大截 面处有较大削弱时，才需进行剪应力的计算。 （3）梁的局部承压强度 图5-4局部压应力 当梁的翼缘受有沿腹板平面作用的固定集中荷载且该荷载处又未设置支承 加劲肋，或受有移动的集中荷载时，应验算腹板计算高度边缘的局部承压强度。 在集中荷载作用下，翼缘类似支承于腹板的弹性地基梁。 腹板计算高度边缘 的压应力分布如图5-4c 的曲线所示。假定集中荷载从作用处以 1 ：（在h y 高度 范围）和1 ： 1（在h R 高度范围）扩散，均匀分布于腹板计算高度边缘。梁的局 部承压强度可按下式计算 F c t w 1 z 式中：F ——集中荷载，对动力荷载应考虑动力系数; 集中荷载增大系数：对重级工作制吊车轮压， 二；对其他荷载, l z ——集中荷载在腹板计算高度边缘的假定分布长度，其计算方法如下 跨中集中荷载 l z = a+5h y +2h R 梁端支反力 I z = a++ai a --- 集中荷载沿梁跨度方向的支承长度，对吊车轮压可取为 50mm (5-5) (5-6)