2019年四川攀枝花中考数学试题(解析版)

{来源}2019年攀枝花中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级}

2019年四川省攀枝花市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个

选项中只有一项是符合题目要求的.

{题目}1.（2019攀枝花）2

(1)-等于（ ）

A ．1-

B ．1

C ．2-

D ．2 {答案}B

{解析}本题考查了幂的乘方.2

（－1）=（－1）×（－1）=1. {分值}3

{章节:[1-1-5-1]乘方}

{考点:有理数乘方的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}2.（2019攀枝花）在0，1-，2，3-这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A ．0 B ．1- C ．2 D ．3- {答案}A

{解析}本题考查了绝对值的性质、有理数的大小比较.数轴上表示数a 到原点的距离.|0|=0，|－1|=1，|2|=2，|－3|=3.数轴上右边的数大于左边的数.0<1<2<3，因此，选择A . {分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:绝对值的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3.（2019攀枝花）用四舍五入法将130542精确到千位，正确的是（ ） A ．131000 B ．60.13110? C ．51.3110? D ．4

13.110? {答案}C

{解析}本题考查了科学记数法.科学记数法的形式为：n

a ?10，其中，||a ≤<110,n 当原数的绝对值≥10时，n 等于原数的整数位减1或小数点向左移动的位数；当0<原数的绝对值<1时，n 的绝对值等于原数中左起第一个非零实数前零的个数（包括小数点前面的0）或小数点向右移动的位数.本题中130542精确到千位，因此可以写成.?5

13010.因此选择C . {分值}3

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:2－简单}

{题目}4.（2019攀枝花）下列运算正确的是（ ）

A ．222

32a a a -= B ．22

(2)2a a -=-

C ．222

(b)a a b -=- D ．2(1)21a a --=-+ {答案}A

{解析}本题考查了合并同类项、幂的乘方、单项式乘以多项式.2222

32(32)a a a a -=-=，当字母相同、字母的指数也相同时的单项式叫做同类项，合并同类项时，只要将系数相加减，字母和字母的指数不变.故选项A 正确；积的乘方等于各自乘方的积.2

2

2

2

(2)24a a a -=-=-，故选项B 错误；

222(b)2a a ab b -=-+，故选项C 错误；单项式乘以多项式时，单项式和单项式的每一项分别相乘.2(1)22a a --=-+，故选项D 错误.因此选择A .

{分值}3

{章节:[1-2-2]整式的加减} {考点:单项式乘以多项式} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}5.（2019攀枝花）如图,AB ∥CD ,AD CD =,150∠=?，则2∠的度数是（ ）

A ．55?

B ．60?

C ．65?

D ．70? {答案}C

{解析}本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质.∵AB ∥CD ，∴2ACD ∠=∠；又∵AD=CD ，∴

DAC ACD ∠=∠，根据三角形内角和等于180?，∴2ACD ∠=∠=()?-?=?118050652

.故选择C .

{分值}3

{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}

{考点:两直线平行内错角相等}{考点:三角形内角和定理} {类别:常考题} {难度:2－简单}

{题目}6.（2019攀枝花）下列说法错误的是（ ）

A ．平行四边形的对边相等

B ．对角线相等的四边形是矩形

C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D ．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 {答案}B

{解析}本题考查了平行四边形、正方形性质以及矩形、菱形的判定.对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B 错误； {分值}3

{章节:[1-18-2-3] 正方形}

{考点:平行四边形边的性质}{考点:菱形的判定}{考点:正方形的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}7.（2019攀枝花）比较A 组、B 组中两组数据的平均数及方差，一下说法正确的是（ ） A ．A 组，B 组平均数及方差分别相等 B ．A 组，B 组平均数相等，B 组方差大 C ．A 组比B 组的平均数、方差都大 D ．A 组，B 组平均数相等，A 组方差大

{答案}D

{解析}本题考查的是平均数和方差.平均数反映的是一组数据的集中程度，方差反映的是一组数据的离散程度.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，稳定性较差；当这组数据的方差越小，说明这组的波动越小，稳定性越好.反过来，当一组数据的波动越大时，说明它的方差越大，波动越小，方差越小.从图中直接可以看出，它们的平均数相同，但A 组数据的波动比B 组的波动大，因此A 组的方差大.故选择D . {分值}3

{章节:[1-20－2-1]方差} {考点:算术平均数} {考点:方差的性质} {类别:高度原创} {难度:1-最简单}

B 组

A 组

203-114

203-114-2

-2

G

{题目}8.（2019攀枝花）一辆货车送上山，并按原路下山.上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/时.

则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时. A ．

1()2a b + B ．

ab a b + C ．2a b ab + D ．2ab

a b

+ {答案}D

{解析}本题考查的是时间、路程与速度的关系.平均速度是指总路程除以总时间.不妨路程为S ，上山时间=

S a ；下山时间=S

b ；平均速度=S ab S S a b a b

=

++22.故选择D . {分值}3

{章节:[1-20－1-1]平均数} {考点:算术平均数} {类别:常考题} {难度:2－简单}

{题目}9.（2019攀枝花）在同一坐标系中，二次函数2

y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图像可能是

（ ）

A B C D {答案}C

{解析}本题考查了二次函数的图像与一次函数的图像.选项A ，二次函数的图像开口向上，对称轴在y 轴的右侧，因此a >0，b <0，一次函数经过第一、三、四象限，因此b >0，－a <0,即a >0，故选项A 错误；选项B ，二次函数的图像开口向下，对称轴在y 轴的左侧，因此a <0，b <0，一次函数经过第一、二、四象限，因此b <0，－a >0,即a <0，但2

y ax bx =+与y bx a =-没有交点，故选项B 错误；选项C ，二次函数的图像开口向上，对称轴在y 轴的右侧，因此a >0，b <0，一次函数经过第二、三、四象限，因此b <0，－a <0,即a >0，并且2

y ax bx =+与y bx a =-没有交点，故选项C 正确；选项D ，二次函数c =0，因此二次函数的图像一定经过原点，因此，选项D 错误；故选择C . {分值}3

{章节:[1-22－1-4]二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质} {考点:二次函数的系数与图象的关系} {考点:一次函数的图象} {类别:思想方法} {难度:3－中等难度}

{题目}10.（2019攀枝花）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，4BE =，8EC =，将正方

形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G .连接AG ，现在有如下四个结论：①45EAG ∠=?；

②FG FC =；③FC ∥AG ；④14GFC S ?= 其中结论正确的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

x

x

x

x

G

{答案}B

{解析}本题考查了图形的翻折、轴对称的性质、勾股定理、平行线的判定、等腰三角形的性质等.由题易

知AD AB AF ==，则Rt ADG Rt AFG ???（HL ）， ∴GD GF =，DAG GAF ∠=∠，又FAE EAB ∠=∠ ∴11

()4522

EAG GAF FAE BAF FAD BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?，所以①正确； 设GF

x =，则GD GF x ==，又4BE =，8CE = ∴12DC BC ==，

4EF BE == ∴12CG x =-,4EG x =+，

在EDG ?中，由勾股定理可得 222

8(12)(4)x x +-=+ 解得6x = ∴6FG DG CG ===，又60FGC ∠≠?,∴FGC ?不是等边三角形，所以②错误；

由①可知AFG ?和ADG ?是对称型全等，则FD AG ⊥，又FG DG GC ==，

则DFC ?为直角三角形，∴FD CF ⊥，∴FC ∥AG ，∴③成立；

由②可知8EC =∴1242ECG S EC CG ?==g ，又35FCG ECG S FG S EG ??==，∴372

55

FCG ECG S S ??==

∴④错误，故正确结论为①③

{分值}3

{章节:[1-17-1]勾股定理} {考点:等边对等角} {考点:勾股定理} {考点:折叠问题}

{考点:内错角相等两直线平行} {考点:几何填空压轴}

{类别:高度原创} {难度:5－高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题；本大题共6小题，每小题4分，共24分. {题目}11.（2019攀枝花）3-的相反数是 . {答案}－3

{解析}本题考查的相反数的性质.|－3|=3,3的相反数=－3. {分值}4

{章节:[1-1-2－3]相反数}

{考点:绝对值的性质}、{考点:相反数的定义} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}12.（2019攀枝花）分解因式：2a b b -= . {答案}(1)(1)b a a +-

{解析}本题考查的因式分解.因式分解的方法有：提取公因式法形如ma +mb +mc =m (a +b +c )、公式法(()()a b a b a b -=+-22，()a ab b a b ++=+2222，()a ab b a b -+=-222

2.因式分解需要注意的问题是，必须分解到不能再分解为止.22(1)(1)(1)a b b b a b a a -=-=+-. {分值}4

{章节:[1-14-3]因式分解}

{考点:因式分解－提公因式法}{考点:因式分解－平方差}

{类别:易错题} 易没有分解到底.错误地写出：22(1)a b b b a -=- {难度:2-简单}

{题目}13.（2019攀枝花）一组数据1，2，x ，5，8的平均数是5，则该组数据的中位数是 . {答案}5

{解析}本题考查了平均数、中位数.

x ++++=1258

55

，解得x =9,.中位数是将一组数据按照从大到小（或

从小到大）的顺序排列，如果这组数据的个数是奇数，则这组数据的中位数是中间位置的数，若这组数据的个数是偶数，则这组数据的中位数是中间两个数的平均数.本题的个数为5，因此将这组数据出现排列：1、2、5、8、9.处于中间的数是5.故答案为5. {分值}4

{章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {考点:算术平均数}{考点:中位数} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}14.（2019攀枝花）已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x += . {答案}6

{解析}本题考查的一元二次方程中的韦达定理.若x x 12、是一元二次方程ax bx c ++=2

0的两个根，则

,b c

x x x x a a

+=-=1212.由韦达定理可得122x x +=，121x x =-，∴

2222121212()2226x x x x x x +=+-=+=.故本题答案为6.

{分值}4

{章节:[1-21-3] 一元二次方程根与系数的关系} {考点:根与系数关系} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}15.（2019攀枝花）如图是一个多面体的表面展开图，如果面F 在前面，从左面看是面B ，那么从

上面看是面 .（填字母）

{答案}C 或E

{解析}本题考查的图形的折叠与展开.显然，A 的对面是F ，B 的对面是D ，C 的对面是E.面F 在前面，左面看是面B 时，上面可能是面C ，也可能是面E.解决本题最有效的方法是做一个，折叠一下.故本题是C 或E. {分值}4

{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形}

{考点:几何体的展开图}{考点:几何体的三视图} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}16.（2019攀枝花）正方形1112A B C A ， 2223A B C A ，3334A B C A ，…按如图所示的方式放置，点1A ，

2A ，3A ，…和点1B ，2B ，3B ，…分别在直线y kx b =+（0k >）和x 轴上.已知1(0,1)A ，点1(1,0)B ，

E

F

C

A D

B

则5C 的坐标是 .

{答案}(47,16)

{解析}本题考查的是一次函数、正方形的综合应用.由题意可知，直线A A 12的表达式为y =x +1，

(,),(,),(,)A B C 111011021；(,),(,),(,)A B C 222123052；,(,),A B C 333（34），70，（114）

;(,)A B C 44478，（15,0），（23,8）;()A B C 55515，16，（31,0），（47,16）；,,A B 66（3132），（630

）. {分值}4

{章节:[1-19-2-2]一次函数}

{考点:一次函数的性质}{考点:正方形有关的综合题}{考点:几何填空压轴} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或

验算步骤

{题目}17.（2019攀枝花）（本小题满分6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来.

24

352

x x -+->-

{解析}本题考查了解一元一次不等式.解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项，化未知数系数为1.在化未知数系数为1时，注意的是：（1）不等式两边同除以一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式两边同除以一个负数，不等号的方向改变.将不等式的解集在数轴上表示时，需要注意的是：当不等号含有等号时，是实心；当不等号中没有等号时，是空心. {答案}2(2)5(4)30x x --+>- 2452030x x --->- 36x ->- 2x <

{分值}6

{章节:[1-9-2]一元一次不等式}

{考点:数轴表示数}{考点:不等式的解集}{考点:在数轴上表示不等式的解集} {类别:常考题} {难度:2－简单}

{题目}18.（2019攀枝花）（本小题满分6分）如图，在ABC ?中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上

的中线，且BD CE =.求证：（1）点D 在BE 的垂直平分线上；（2）3BEC ABE ∠=∠

x

E

B

{解析}本题考查了垂直平分线的判定、三角形的一个外角等于和其不相邻的两个内角之和.（1）证明点D

在BE 的垂直平分线上，只需证明DB =DE 即可.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解决问题.（2）根据BEC ABE A ∠=∠+∠，A ADE ABE ∠=∠=∠2，即可解决问题. {答案}证明：（1）连接DE

∵CD 是AB 边上的高

∴CD AB ⊥ ∴90ADC ∠=?

∵BE 是AC 边上的中线 ∴AE CE =

∴1

2

DE AC CE AE ===

∵BD CE =

∴DE BD = ∴点D 在线段BE 的垂直平分线上 （2）∵BD DE =

∴22ADE ABE DEB ∠=∠=∠ ∵DE AE =

∴2A ABE ∠=∠

∴3BEC ABE A ABE ∠=∠+∠=∠

{分值}6

{章节:[1-13-1-2]垂直平分线}

{考点:三角形的外角}{考点:垂直平分线的判定} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}19.（2019攀枝花）（本小题满分6分）某市少年宫为小学生开设了绘画、音乐、舞蹈和跆拳道四类

兴趣班，为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，

对学生进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），将调查结果整理后绘制了一幅不完整的统计表

请你根据统计表中提供的信息回答下列问题： （1）统计表中的a = ，b = ；

（2）根据调查结果，请你估计该市2000名小学生中最喜欢“绘画”兴趣的人数；

（3）王姝和李要选择参加兴趣班，若他们每人从A 、B 、C 、D 四类兴趣班中随机选取一类，请用

画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一类的概率.

{解析}本题考查了统计表、频数、频率、估算、概率等知识.（1）=频数

频率总数

.由B 组可以得到，本次调查表的总数=

%1830=60.C 组频率=15

60

=0.25；（2）最喜欢“绘画”的频率=0.35,因此，在2000人中，最喜欢“绘画”的人数=0.35×2000=700人；（3）=A 事件发生的总次数

概率所有等可能事件的总数

.

{答案}解：（1）60a =，0.25b =；（2）最喜欢绘画兴趣的人数为700人 （3）

1

4164

÷=

所以，两人恰好选中同一类的概率为

1

4

{分值}6

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{考点:用样本估计总体}{考点:频数与频率}{考点:两步事件不放回{类别:常考题}

{难度:3－中等难度}

{题目}20.（2019攀枝花）（本小题满分8xOy 中，

一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m

y x

=

x

二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件：CA CB ⊥，且CA CB =，点C 的坐标为(3,

0)-，cos ACO ∠=

. （1）求反比例函数的表达式； （2）直接写出当0x <时，m

kx b x

+<

的解集.

{解析}本题考查了反比例函数、一次函数的图像性质.（1）求反比例函数的表达式，只要知道图像上一点

的坐标即可.显然，根据点C 的坐标为(3,

0)-，cos ACO ∠=AO =6.过点B 作BH x ⊥轴，证明BHC ?≌COA ?，即可得到点B 的坐标；（2）根据图像直接判定m

kx b x

+<的解集.

{答案}（1）如图作BH x ⊥轴于点H

则90BHC BCA COA ∠=∠=∠=? ∴BCH CAO ∠=∠ ∵点C 的坐标为(3,0)-

∴3

OC = ∵cos 5

ACO ∠=

∴AC =6AO = 在BHC ?和COA ?中

有90BC AC BHC COA BCH CAO =??

∠=∠=???∠=∠?

∴BHC ?≌COA ?

∴3BH CO ==，6CH AO == ∴9OH =，即(9,3)B - ∴9327m =-?=- ∴反比例函数解析式为27y x

=-

（2）因为在第二象限中，B 点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方 所以当0x <时，m

kx b x

+<

的解集为90x -<< {分值}8

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:余弦}{考点:全等三角形的判定SAS }{考点:反比例函数与一次函数的综合} {类别:思想方法}{类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}21.（2019攀枝花）（本小题满分8分）攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚

熟芒果远销北上广等大城市.某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量y （千克）与该天的售

售价x （元/千克） … 27.5 25 24.5 22 …

（1（2）设某天销售这种芒果获利m 元，写出m 与售价x 之间的函数关系式.如果水果店该天获利400元，

那么这天芒果的售价为多少元？

{解析}本题考查了一次函数的、一元二次方程的应用.

（1）用待定系数法求当天该芒果的销售量.（2）销售获利=销售量×每个芒果的利润. {答案}（1）设该一次函数解析式为y kx b =+

则2535

2238

k b k b +=??

+=?

解得：160k b =-??=?

∴60y x =-+（1540x ≤≤） ∴当28x =时，32y =

∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克 （2）由题易知(10)m y x =-

(60)(10)x x =-+-

270600x x =-+-

当400m =时，则270600400x x -+-= 整理得：2

7010000x x -+= 解得：120x =，250x =

∵1540x ≤≤ ∴20x =

所以这天芒果的售价为20元

{分值}8

{章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式}{考点:一元二次方程的应用—商品利润问题} {类别:常考题}

{难度:4－较高难度}

{题目}22.（2019攀枝花）（本小题满分8分）

如图1，有一个残缺的圆，请作出残缺圆的圆心O （保留作图痕迹，不写作法）

如图2，设AB 是该残缺圆O e 的直径，C 是圆上一点，CAB ∠的角平分线AD 交O e 于点D ，过

点D 作O e 的切线交AC 的延长线于点E .

（1）求证：AE DE ⊥；（2）若3DE =，2AC =，求残缺圆的半圆面积.

{解析}本题考查了确定圆的圆心、圆的切线的性质、矩形的判定等.

（1）确定圆圆的圆心：根据圆的弦的垂直平分线经过圆心.因此由两条弦的垂直平分线的交点既是该圆的圆心；（2）由题意可知，OD DE ⊥，若要证明AE DE ⊥，只需证明OD ∥AE 即可.由OD =OA ，AD 是CAB ∠的平分线，即可证明；残缺圆的半圆面积，需要知道圆的半径的长.由直径所对的圆周角是直角，易证CEDH 是矩形，根据勾股定理求出半径.

{答案}图1做图题作法：

①在残缺的圆上取两条不平行的弦PQ 和TS ；

②以点P 为圆心大于PQ 一半长为半径在PQ 两侧作圆弧； ③以点Q 为圆心，同样长的半径在PQ 两侧作圆弧与②中的 圆弧交于M ，N 两点；

④作直线MN 即为线段PQ 的垂直平分线；

⑤以同样的方法做线段TS 的垂直平分线LK 与直线MN 交于点O 即为该残缺圆的圆心

图2解答过程：

（1）证明：连接OD 交BC 于H ∵DE 为O e 的切线

∴OD DE ⊥

∵AD 平分CAB ∠ ∴CAD DAB ∠=∠ ∵OD OA =

∴DAB ODA CAD ∠=∠=∠ ∴OD ∥AE ∴AE DE ⊥

（2）解：

∵AB 是O e 的直径 ∴90ACB ∠=? ∵OD ∥AE

∴OD BC ⊥ ∴2BC CH =

四边形CEDH 为矩形 ∴3CH ED == ∴6BC = ∵2AC = ∴210AB = ∴10AO =

x

∴21

=52

S AO ππ=g 半圆

{分值}8

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:垂径定理的应用} {考点:直径所对的圆周角} {考点:确定圆的条件} {考点:切线的性质}、 {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}23.（2019攀枝花）（本小题满分12分）已知抛物线2

y x bx c =-++的对称轴为直线1x =，其图

像与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C .（1）求b ，c 的值；

（2）直线l 与x 轴交于点P .

①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E 、F ，点C 关于直线1x =的对称点

为D ，求四边形CEDF 面积的最大值；

②如图2，若直线l 与线段BC 相交于点Q ，当PCQ ?∽CAP ?时，求直线l 的表达式.

{解析}本题考查了二次函数、相似形等综合应用.（1）对称轴x =-b

a

2,即可求出b 值，点C （0,3），得到c =3；（2）①12

CEDF S CD EF =

g 四边形，

CD 值等于2，只需知道EF 的长.设P （e ,0），则2

(,23)F e e e -++，则(,3)E e e -+，因此FE 的长=2(23)e e -++－(3)e -+=2

3e e -+，可以得到面积的最大值；②需要求直线l 的表达式，需要知道两点坐标或知道一点坐标，再知直线的k 值.由PCQ ?∽CAP ?，可知∠ACP =∠CPQ ，得到AC ∥PQ ，即k =1.再根据45QCP OAC ∠=∠=?，易证ACP BCO ∠=∠.

而

1

tan 3

BCO ∠=，

作PH AC ⊥，设(,0)P m )

1tan

32

m PH ACP CH -==∠=，求出P 的坐标，问题解决.

x

x

图1 图2

{答案}（1）由题可知

123

b

c ?-

=?-??=? 解得23b c =??=?

（2）①由题可知(2,3)D ，CD EF ⊥

∴2CD =

由（1）可知(3,0)A ，(1,0)B - ∴AC l ：3y x =-+

设2

(,23)F e e e -++，则(,3)E e e -+ ∴2

3EF e e =-+

∴1

2

CEDF S CD EF =

g 四边形

22339()24

e e

e =-+=--+

∴当3

2e =

时，四边形CEDF 的面积最大， 最大值为9

4

②由（1）可知45OAC OCA ∠=∠=?

由PCQ ?∽CAP ?可得45QCP OAC ∠=∠=? ∴QCP OCA ∠=∠ ∴ACP BCO ∠=∠ 由(1,0)B -，(0,3)C 可得1tan 3

BCO ∠= ∴1tan 3

ACP ∠= 作PH

AC ⊥于H 点，设(,0)P m ，则3AP m =-

∴)2PH AH m ==

-，)2

CH m =+ )

1tan 32

m PH ACP CH -==∠= 即3133m m -=+ 解得32m = ∴3(,0)2P ∴l ：32

y x =-+

{分值}12

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} {考点:二次函数中讨论相似}

{考点:三角函数的关系}

{考点:二次函数y ＝ax 2+bx +c 的性质} {类别:思想方法} {类别:高度原创} {难度:5-高难度}

{题目}24.（2019攀枝花）在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在3

y x =

的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ .

（1）求线段AP 长度的取值范围；

（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由. （3）当OPQ ?为等腰三角形时，求点Q 的坐标.

{解析}本题考查了动点类综合问题.（1）过点A 作AH OP ⊥ 根据直角三角形的斜边不小于直角边，求出AP 的取值范围；（2）从题意可知点P 是动点，因此点P 在第三象限上，在OH 上，在OH

的延长线上讨论起角度的变化.方法很多，可以用四点共圆，得到QAP ∠=

QOP ∠=30?,是定值；

（3）OPQ ?为等腰三角形，需要分类讨论.OP =OQ 、PO =PQ 、QO =QP .

{答案}（1）作AH OP ⊥，则AP AH ≥

∵点P

在y x =

的图像上 ∴30HOQ ∠=?，60HOA ∠=?

∵(0,2)A ∴sin 60AH AO =?=g

∴

AP ≥

（2）法一：（共圆法） ①当点P 在第三象限时，

由90QPA QOA ∠=∠=? 可得Q 、P 、O 、A 四点共圆

∴30PAQ POQ ∠=∠=?

②当点P 在第一象限的线段OH 上时，

由90QPA QOA ∠=∠=? 可得Q 、P 、O 、A 四点共圆 ∴180PAQ POQ ∠+∠=?，又此时150POQ ∠=? ∴18030PAQ POQ ∠=?-∠=?

③当点P 在第一象限的线段OH 的延长线上时，

由90QPA QOA ∠=∠=? 可得180APQ AOQ ∠+∠=? ∴Q 、P 、O 、A 四点共圆

∴30PAQ POQ ∠=∠=? 法二：（相似法）

如图设直线AP 与x 交于点B ①当点P 在第三象限时，

由90QPA QOA ∠=∠=? 可得QPB ?∽AOB ?

∴

PB QB

OB AB

=

∴QBA ?∽PBO ? ∴30PAQ POQ ∠=∠=?

②当点P 在第一象限且点B 在AP 延长线上时，

由90QPA QOA ∠=∠=? 可得90BPQ BOA ∠=∠=?

∴BPQ ?∽BOA ? ∴

BP BQ

BO BA

=

∴BPO ?∽BQA ? ∴30PAQ POB ∠

=∠=?

③当点P 在第一象限且点B 在PA 延长线上时，

由90QPA QOA ∠=∠=?

可得90BPQ BOA ∠=∠=?

∴BPQ ?∽BOA ? ∴

BP BQ

BO BA

=

∴BPO ?∽

BQA ? ∴30PAQ POQ ∠=∠=?

（3

）设

(,

)3

P

m m ， 则AP l ：623y m

-=

+ ∵PQ AP ⊥ ∴

PQ k =

∴PQ l

：)3y x m m =-+

∴4

(

,0)3m Q - ∴2243OP m =，

22164

93OQ m =+

22449

3

PQ m =-+

①当OP OQ =时，

则224164

393

m m

=+

整理得：2

30m -+= 解得：3m =

∴14,0)Q ， 24,0)Q ②当PO PQ =时，则

22444393

m m =+

整理得：2

230m -=

解得：2

m =或m =

当m =

时，Q 点与O 重合，舍去，

∴m = ∴3(0)Q - ③当QO QP =时，

则22164449393

m m +=+

整理得：2

0m =

解得：m =

∴40)Q

∴14,0)Q 、24,0)Q 、3(0)Q -、4,0)Q . {分值}12

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程} {考点:圆内接四边形的性质} {考点:相似三角形的性质} {考点:几何综合} {类别:思想方法} {类别:发现探究} {难度:5－高难度}