湖南省长沙市长郡中学20192020学年高三下学期第七次月考文科数学试题

绝密★启用前湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高三下学期第七次月考文科数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若集合{||2|2}A x x x =+=+，{}2|9=<B x x ，则A B =（ ）A ．()3,3-B ．(2,3)-C ．(3,2]-D ．[2,3)-2．已知实数a ，b 满足11abi i=+-（i 为虚数单位）则复数z a bi =+的共轭复数为（ ） A ．12i -B ．2i -C ．2i +D ．12i +3．设曲线C 为双曲线，则“C 的方程为221x y -=”是“C 的渐近线方程为y x =±”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．如果函数()f x 的图象与函数()x g x e =的图象关于直线y x =对称，则2(4)f x x -的单调递增区间为（ ） A ．(0,)+∞B ．(2,)+∞C ．(0,2)D ．(2,4)5．下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为（ ）…外…………○…………装………○……※※请※※不※※…内…………○…………装………○……A．0，0 B．0，5 C．5，0 D．5，56．《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，成书于公元一世纪左右，内容十分丰富．书中有如下问题：“今有圆堢瑽，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢瑽就是圆柱体，它的体积112V=⨯（底面的圆周长的平方⨯高），则该问题中的体积为估算值，其实际体积（单位：立方尺）应为（）A．528πB．6336πC．704πD．2112π7．已知向量(1,1)a=-，OA a b=-，OB a b=+，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为（）．A．1 B．2 C D．8．如图所示，在平面直角坐标系中，角α和角β均以Ox为始边，终边分别为射线OA和OB，射线OA，OC与单位圆的交点分别为34,55A⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C-．若6BOCπ∠=，则cos()βα-的值是（）A B．310+C D．410+9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，E，F分别为线段CD和11A B上的动点，………装…………○……………线…………__________姓名：___________班级：__………装…………○……………线…………且满足1CE A F =，则四边形1D FBE 所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（ ）A ．有最小值32B ．有最大值52C ．为定值3D ．为定值210．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（ ）A ．25B ．710C ．815D ．71511．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．1012．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，PM =A 的值为（ ）……线…………○…………线…………○……A B C．8D．16第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知数列{}n a满足1(1)n nna n a+=+，且612a=，则12a=__________．14．已知直线3450x y++=与圆222:()0O x y r r+=>相交于A，B两点，且120AOB∠=︒，则r=__________．15．在平行四边形ABCD中，BD CD⊥，AB BD⊥，2AB CD==，BD=．沿BD把ABD△翻折起来，形成三棱锥A BCD-，且平面ABD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的体积为__________．16．设函数eln,0()2020,0xxf x xx x⎧>⎪=⎨⎪-⎩，函数2()[()]()2g x f x mf x=-+，若函数()g x恰有4个零点，则整数m的最小取值为__________．三、解答题17．已知公差不为零的等差数列{}n a，满足37a=，且11a-，21a-，41a-成等比数列．（1）求{}n a的通项公式；（2）在平面直角坐标系中，设(),k kA k a，(,0)kB k，*k N∈，记以k A，k1A+，k B，…○…………线……____…○…………线……18．如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，AB BC ⊥，平面ABCD ⊥平面11ABB A ，160BAA ∠=︒，1236AB AA BC CD ====．（1）求该四棱柱的体积；（2）在线段1DB 上是否存在点M ，使得CM ∥平面11DAA D ？若存在，求1DMDB 的值；若不存在，说明理由．19．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足tan 2tan CB=-． （1）证明：2223a c b =-； （2）若cos 9A =，且ABC ，求c ． 20．已知函数21()2x f x ax e b =-+． （1）若该函数在(1,(1))f 处的切线为y ex =，求,a b 的值；（2）若该函数在1x ，2x 处取得极值()120x x <<，且213x x ，求实数a 的取值范围． 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，与x 轴交于点1A ，2A ，过x轴上一点Q 引x 轴的垂线，交椭圆C 于点1P ，2P ，当Q 与椭圆右焦点重合时，121PP =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线11A P 与直线22A P 交于点P ，是否存在定点M 和N ，使||PM PN ||-||为定值．若存在，求M 、N 点的坐标；若不存在，说明理由． 22．已知过点()0,0P x 的直线l 的倾斜角为6π，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴（1）求曲线C 的直角坐标方程并写出直线l 的一个参数方程；（2）若直线l 和曲线C 交于A 、B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数0x 的值． 23．设函数()|21|f x x =-．（1）若函数()()F x f x ax =+有最小值，求a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()|21|||f x x x m +-+的解集为A ，且3,24A ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】首先确定集合,A B 中的元素，再由交集定义求解． 【详解】由题意{|2}A x x =-，{|33}B x x =-<<，∴[2,3)A B ⋂=-， 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素． 2．B 【解析】 【分析】已知等式变形为两个复数相等，由复数相等的定义求出,a b ，得z 后可得其共轭复数． 【详解】由题意,a b ∈R ，且(1)(1)(1)(1)a i bi b b i =-+=++-，则11a b b =+⎧⎨=⎩，21a b =⎧⎨=⎩，∴2z i =+，2z i =-， 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的乘除法的定义，考查复数相等的共轭复数的概念，掌握复数相关的定义是解题基础． 3．A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】221x y -=的渐近线方程为y x =±，而渐近线为y x =±时，C 方程不一定为221x y -=，故选：A ．本题考查充分必要条件的判断，考查双曲线的渐近线，掌握双曲线的渐近线的概念是解题关键． 4．C 【解析】 【分析】根据反函数知识求出()f x ，得复合函数2(4)f x x -，由对数型复合函数的性质可求得增区间． 【详解】由題知，()ln f x x =，故()()224ln 4f x x x x -=-，定义域为(0,4)，(0,4)x ∈时，24y x x =-在(0,2)是递增，∴2(4)f x x -的单调递增区间为(0,2)．故选：C ． 【点睛】本题考查反函数的概念，考查对数型复合函数的单调性，掌握对数函数性质是解题关键． 5．B 【解析】 【分析】由茎叶图得各个数据，由平均数相等可得,x y 的关系5x y +=，从而可得结论 【详解】两组数据和相等，则802757065807027570x y ⨯++++=+⨯+++，即5x y +=，则0x =，5y =．只有B 适合． 故选：B ． 【点睛】本题考查茎叶图，考查平均数，正确认识茎叶图是解题关键． 6．B 【解析】 【分析】求出底面半径，由圆柱体积公式计算，设r 为底面半径，则248r π=，24r π=，又11h =，∴22246336()11V r h ππππ==⨯⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查圆柱的体积，解题关键是求出底面半径，得底面面积，再由体积公式可得． 7．B 【解析】 【分析】OAB 为等腰直角三角形，则有||||OA OB =及OA OB ⋅，【详解】由题知，||||0OA OB a b a b a b =⇒+=-⇒⋅=，220||||OA OB a b a b ⋅=-=⇒=， 故||||2==OA OB ，则2OAB S =△， 故选：B ． 【点睛】本题考查向量的数量积，掌握向量的模、向量的垂直与数量积的关系是解题关键． 8．C 【解析】 【分析】由三角函数定义得cos ,sin αα，由诱导公式得cos ,sin ββ，再由两角差的余弦公式可求值． 【详解】由题知，3cos 5α=，4sin 5α，cos 2β=-，1sin 2β=，则4cos()cos cos sin sin 1010βαβαβα-=+=-+410-=， 故选：C ．本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．9．D【解析】【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面的投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．10．B【解析】【分析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率．【详解】⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有500.10525C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键． 11．A 【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=.12．A 【解析】 【分析】由题意设出(20)0Q a a ,＞，用a 表示出R 点坐标以及M 点坐标，根据PM =利用距离公式求出Q 坐标，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A ． 【详解】解：设(2,0),0Q a a >，函数()sin(x+)f x A ϖϕ=（其中0,0,||2A πωφ>>≤）与坐标轴的三个交点P Q R、、满足4PQR π∠=，∴(0,2a)R -，M 为QR 的中点，∴(,)M a a -，PM =，=解得4a =，80Q ∴（，），又20P （，）， 18262T ∴=-=， 2T 12πω∴==，解得6π=ω． 函数经过(20)(08)P R -，，，， ∴sin 206 sin086A A πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，||2πϕ≤，,3πϕ∴=-，解得A =，【点睛】本题考查由sin x y A ωϕ=+（）的部分图象确定其解析式，求得Q 点与P 点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题． 13．24 【解析】 【分析】 已知式变形为11n n a a n n +=+，得一常数列{}n an，从而易得n a ，得12a 【详解】 由题知11n n a a n n +=+，故626n a an ==，故1224a =． 故答案为：24． 【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是已知等式变形后构造出一个常数列． 14．2 【解析】 【分析】求出圆心到弦的距离，在等腰三角形中易求得半径． 【详解】直线到圆心距离1d ==，由120AOB ∠=︒，故22r d ==．故答案为：2． 【点睛】本题考查直线与圆相交问题．解题关键是掌握垂径定理． 15．323π 【解析】 【分析】由于题中的垂直及折叠后的平面垂直，因此把三棱锥可补形为长、宽、高分别为2，2的长方体，其外接圆直径易得，即半径易得．由此可求得体积．该三棱锥可补形为长、宽、高分别为，2，2的长方体，故其外接圆直径为24R ==，2R =，故体积为343233V R ππ==． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是把几何体补成一个长方体，长方体的对角线就是外接球直径． 16．4 【解析】 【分析】作出()f x 的图象，结合已知条件得方程2()20g t t mt =-+=有两正根1t ，2t ，且1(0,1)t ∈，212(2,)t t =∈+∞，可得m 的取值范围． 【详解】作出()f x 的图象，易知要使()0g t =有两正根1t ，2t ，且1(0,1)t ∈，212(2,)t t =∈+∞，故112(3,)m t t =+∈+∞，故m 的最小整数值为4． 故答案为：4．【点睛】本题考查函数零点个数，考查转化思想，通过作出函数图象，问题转化二次方程根的分布问题，由此可得m 的取值范围．17．（1）21n a n =+（2）()213212n S S S n n -+++=+…【解析】 【分析】（1）由11a -，21a -，41a -成等比数列求得公差d ，可得通项公式； （2）求出四边形面积k S ，可得()132112212n n S S S a a a -+++=+++…，由等差数列前n 项和公式可得．【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则1312162a a d d -=--=-，216a d -=-，416a d -=+， 依题意，()()()2214111a a a -=--， 即2(6)(62)(6)d d d -=-+，化简得：220d d -=，又0d ≠，故2d =．3(3)21n a a n d n =+-=+．（2）由题知，四边形11k k k k A A B B ++为直角梯形， 故()111122k k k k k a a S a a +++=+⋅=， 故()()2132112211(341)22222n n n nS S S a a a n n -++⋅+++=+++=⋅=+…．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项和公式，及等比数列的性质．掌握等差数列通项公式和前n 项和公式是解题基础． 18．（1）2）存在，113DM DB = 【解析】 【分析】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ，由面面垂直求出棱柱的高，然后由体积公式计算体积； （2）连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ．可证得DNMC 是平行四边形，从而得线线平行后得线面平行． 【详解】（1）过1A 作1A H AB ⊥于点H ,由平面ABCD ⊥平面1ABB A 知，1A H ⊥平面ABCD，1A H =故1111-=ABCD A B D C V S梯形11(26)32⋅=⨯+⨯⨯=ABCD A H （2）当113DM DB =时，CM ∥平面11DAA D ， 证明：连结1DA ，在1DB 上取113DM DB =，在1DA 上取113DN DA =，连接MN ． 则11MN A B ∥，且2MN =．则MN DC =∥，故四边形CMND 为平行四边形．故CM DN ∥，CM ⊄平面11AA D D ，DN ⊂平面11AA D D ．故CM ∥平面11AA D D ． 【点睛】本题考查求棱柱的体积，考查线面平行和证明．求体积时，利用面面垂直得线面垂直，从而得棱柱的高．19．（1）见解析（2）c =或 【解析】 【分析】（1）已知等式切化弦后应用正弦定理和余弦定理化角为边，进行翴的恒等变形可得；（2）由余弦定理及（1）的结论得2b c =或3b c =，由面积可得bc ，然后可求得c ． 【详解】（1）证明：由题知，tan 2tan C B =-， 即sin cos 2sin cos C B B C ⋅=-⋅， 由正弦定理和余弦定理知，222222222a c b a b c c b ac ba+-+-⋅=-⋅， 即222222222a c b a b c +-=--+， 即2223a c b =-．（2）由余弦定理知：2222cos b c a bc A +-=，又2223a c b =-，代入消去a 得，22203b c -+=，即(2)03b b ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．即b =或b =．又sin (0,))A A π=∈，且1sin 2ABC S bc A ==△，ⅰ．当2b c =时，则2182⋅=c =；ⅱ．当3b c =时，2183⋅=c =．故c =或 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查三角形面积公式．属于中档题． 20．（1）2a e =，b e =．（2）ln3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】 【分析】（1）求出导函数，由导数几何意义可得,a b ；（2）由极值点得1212x x e e a x x ==，研究()xe h x x=的性质得1201x x <<<，结合213x x ． 分类：1103x <≤和1113x <<．前者由()h x 的单调性可得a 的最小值，后者转化为1213x x <<，则由单调性121(3)()()h x h x h x <=，这样可得1x 的取值范围，然后 可求得a的范围．最后总结可得结论． 【详解】（1）由题知：()x f x ax e '=-，故()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为：()(1)2ay a e x e b =--+-+， 即()2ay a e x b =--+． 易知：2a e =，b e =．（2）由题知：1x ，2x 为()f x 的极值点，则12120xx ax e ax e-=-=．即1212x x e e a x x ==． 令()x e h x x=，2(1)()x e x h x x '-=． 故()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 则1201x x <<<，且213x x ． ⅰ．若1103x <，由2(1,)x ∈+∞，故123x x >， ()h x 在(0,1)单调递减，故13a h ⎛⎫= ⎪⎝⎭．ⅱ．若1113x <<，此时1213x x <，()h x 在(1,)+∞单调递增， 故()1213112133x x x e e e h x x x x ==，即123x e ，11ln32x ． 此时，ln 32ln 3ln 32ln 32ea h ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 故实数a 的取值范围为ln3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性、函数的极值．由不等式恒成立转化为求函数的最小值．解题时注意极值点到a 的关系．21．（1）2214xy +=（2）存在，M 为(0)，N ．【解析】 【分析】（1）12PP 是椭圆的通径，由此已知条件可表示为,,a b c 的两个等式，结合222a b c =+可求得,a b ，得椭圆方程；（2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ．P 在直线11A P 可得00,,,P P x y x y 的关系，同理由P 在直线22A P 又得一关系式，消去00,x y 可得P 点轨迹方程，轨迹是双曲线，由双曲线定义可作答．【详解】（1）由题知：221c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 故椭圆C 的方程为2214x y +=． （2）设P 点坐标为(),P P x y ，()100,P x y ，()200,P x y -，不妨设1(2,0)A -，2(2,0)A ．则P ，1P ，1A 三点共线，0022P P y y x x =++，① 同理：0022P P y y x x -=--，② ⨯①②得：22022044P P y y x x -=--， 又1P 在椭圆上，()2200144y x =-， 代入整理得：2214P P x y -=． 即P 点的轨迹为双曲线2214x y -=， 取M 、N 为该双曲线的左、右焦点．即(M，N ．此时||||||4PM PN -=为定值，故M为(0)，N ．【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交的定值问题．本题解法是求出动点P 的轨迹方程，由轨迹方程确定图形为双曲线，由双曲线定义可得结论．22．（1）2220x x y -+=．012x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）01x =±【解析】【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得C 的直角坐标方程，由一点的坐标及倾斜角可得直线的参数方程；（2）由（1）中参数方程几何意义，把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程可得12t t ，12t t PA PB =，由此再求得0x【详解】（1）由2cos ρθ=，22cos ρρθ=．得曲线C 的方程为：222x y x +=，即2220x x y -+=． 直线l的参数方程可为：0212x x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）．（2）把直线l 的参数方程代入2220x x y -+=得：2200020t t x x ++-=． 由>0∆，得013x -<<．设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12||||2t t PA PB =⋅=． 即20022x x -=，即20022x x -=±．解得：01x =±又0(1,3)x ∈-，故01x =【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程．掌握直线的标准参数方程中参数t 的几何意义是解题关键．23．（1）[2,2]a ∈-（2）11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值符号得()F x ，分析其有最小值的条件是左减右增，于是可得a 的范围．（2）由不等式在3[,2]4上恒成立得||2x m +在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．转化为22x m -+．max min (2)(2)x m x ---+，即可得结论．【详解】（1）1(2)1,2()()1(2)1,2a x x F x f x ax a x x ⎧+-⎪⎪=+=⎨⎪-+<⎪⎩， 使()F x 有最小值的充要条件为2020a a +⎧⎨-⎩． 即[2,2]a ∈-．（2）由题知：|21||21|||x x x m -+-+在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立． 即||21(21)x m x x ++--．即||2x m +在3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． 则22x m -+．故max min (2)(2)x m x ---+．得1104m -．故实数m的取值范围为11,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查含绝对值的函数与不等式，解题时可根据绝对值的定义分类去绝对值符号后再分析求解．。