实变函数论课后答案第三章2

实变函数论课后答案第三章2

第三章第二节习题

1. 举例说明两个不可测集合的并，交，差即可以是不可测集合也可以是可测集.

解：先回忆56P 知：()0,1x ?∈.令

{}

;01,,x x y R x R R x y ξξξ=<<-=?≠ 为有理数则若

,x x R ?是无穷点集，()()

0,10,1x x R ∈= . 在每一个x R 中取出一点x x Z R ∈，令

{};x x S Z x R =∈

. 则我们从书上的论证已知S 是不可测集，()0,1S ∈ .

因此()0,1S - 也不可测.（否则()0,1可测且()()0,10,1S S ??=-- ???

应可测，得矛盾）

但S 与()0,1S - 这两个不可测集的并()0,1却是可测的.

S S S = 不可测，10S S ??+ ???

不可测. 注意：E 可测，{},;a E a x a x E ??+=+∈可测.

,3S S + 这两个不可测集的交为3S S ???=+ ???

. S S S = 不可测，S S -=? 可测，2S S S ??-+= ???

不可测. 如同56P 将()1,1-中全体有理数排成序列12,,n γγγ

E 可测，{},;a E a x a x E ??+=+∈可测.

证明：若,n a R E a ?∈+可测，则取0a E =?可测

为证反面的结果，须证

（1）

()()

,,n n

T E R a R T E a T a E a ??∈+=++

（2）()c c E a E a +=+ 证明：（1）,y T E a z T a y z a ?∈+??∈∈+ ,y E a y T a ∴∈+∈+

()()y T a E a ∴∈++

反过来，()(),,y T a E a y T E a z T w E ?∈++?∈+??∈∈ 使,y z a y w a ∈+=+，w z E T y E T a ∴=∈?=+ .

（2）.c c y E a y a E ?∈+?-=

(),c y a E y a E

y a E ∴-?∴?+∴∈+

反过来，(),,c c y a E y a E y a E y a E ?∈+?+?-?∴-∈.

c y E a ?∈+.

若E 可测，则n T R ??有

()()()c m T m T E m T E =+

由m 的平移不变性

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()

c c c c m T m T a m T a E T a E m T a E a m T a E a m T a a E a m T a a E a m T E a m T E a =-=-+-=-++-+=-+++-++=+++ 故E a +可测.

2. 试在二维空间2R 中作出一不可测集合来. 解：设,p q A R B R ??为一不可测集，则p q A B R +??必不可测

3. 举例说明定理6的结果对任m T *=∞的T 可以不成立. 解：令[][]1,,,n A n T R =∞==-∞∞，则121n n A A A A +???

11,0n n n n E A m A ∞

∞==??==?= ??? ()()()0m T E m E m ***==?=

而()()lim lim n n n n m T A m A **→∞→∞

==∞ 6Th m T *∴<∞中是必需的.

4. 证明对任意可测集合A 和B 都有 ()()()()m A B m A B m A m B +=+ （*） 证明：若()m A B =∞ ，则,A B A B ? ()()()0,,m A B m A m B ?==∞=∞

()()()()m A B m A B m A m B ∴∞=+=++∞ 成立. 若()m A B <∞ 则（*）等价于

()()()()m A B m A m B m A B =+- 注意到()(),A B A B A A B A =--=?

且,A B 可测B A ?-可测

()()()m A B m A m B A =+-

A 可测

()()()()()c m B m A B m A B m A B m B A =+=+- ()()()(),m A B m B A m B m A B ∴<∞-=- ()()()()m A B m A m B m A B ∴=+-

5. 证明：对任意n E R ，及任意0ε>都有n R 中的开集G ，使G E >且 m G m E ε**≤+

证明：{}()10,i i I i

I ε∞=?>?为开区间

使1i i E I ∞=? 1i i i I

m E ε∞*=≤+∑

令1

i i G I ∞== ，则G 为开集，且 ()111i i i i i i m G m I m I I m E ε∞∞

∞****===??=≤=≤+ ???∑∑ 6. 证明对于任意n R 中的可测集合序列{}1k k E ∞

=，都有

()

()liminf liminf k k k k m E m E →∞→∞≤ 若存在0k ，使0k k k m E ∞=??<∞ ???

，则还有 ()

()limsup limsup k k k k m E m E →∞→∞≥ 证明：由9P 定理8，1lim inf k i k m i m E E ∞∞→∞=== ，1lim sup k i k m i m E E ∞∞

→∞=== 故从61P 定理3，64P 定理4知lim inf ,lim sup k k k k E E →∞→∞

都是可测的. 令12,i m m i m E S S S S ∞

==??? 则，

()()()()()111lim inf lim lim lim inf supinf lim inf k i m k m i m m m i i m m m i m

i m i k i m k m m E m E m S m S m E m E m E m E ∞∞∞→∞===∞→∞→∞→∞≥=≥→∞

≥????== ? ?????

??==≤ ???== （()(),inf i j i m i j j m

i m m E m E j m m E m E ∞=∞≥=??≤?≥ ?????∴≤ ??? ） 令 m i i m K E ∞

== ，则11m K K K ?? ，由条件 000,K K i i K K E ∞=?= 满足()

0K m K <∞ 由65P 定理4

()()()()()()00111limsup lim lim lim lim sup lim sup limsup k i m K m k m i m m m K m m i i m m m m i m i m

k k m k i m m E m E m K m K K m K K m K m E m E m E m E ∞∞∞∞→∞====∞→∞→∞→∞→∞=≥→∞→∞

≥????????=== ? ? ? ????????

???===≥= ???= 7. 设E 是n R 中的可测集，mE <∞，证明如果E 的可测子集的序列

{}

1k k E ∞=，使 ()1k

k m E ∞

=<∞∑，则()limsup 0k k m E →∞

= 证明：1lim sup k k k m k m E E ∞

∞→∞=== 令m k k m S E ∞

== ，则m S 可测（k E 可测）且()12m S S S m ???? ()()()110k k k k m m S m E m E m ∞

∞==??=≤→→∞ ???∑ 从()12m S S S m ???? ，()1m S <∞

由65P 定理6有()

()11limsup lim 0k i m m k m m i m m m E m E m S m S ∞∞∞→∞→∞===????==== ? ????? .

证毕.