七年级上册平面图形的认识(一)(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为O,A、B两点同时从点O出发，点A沿直线m向左运动，点B沿直线n向上运动.

（1）若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P，在点A、B的运动过程中，∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

（2）若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q，AP的延长线交QB的延长线于点C，在点A、B的运动过程中，∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化，请说明理由.

【答案】（1）解：不变化.理由：∵AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，∠AOB=90°，∴∠APB=180°（∠OAB+∠ABO）=180° ×90°=135°

（2）解：都不变.

理由：∵AQ和BQ分别是∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线，AP和BP分别是∠BAO和∠ABO的平分线，

∴∠CAQ=∠QBP=90°，又∠APB=135°，

∴∠Q=45°，∴∠C=45°

【解析】【分析】根据角平分线定义和三角形内角和定理得到∠APB=180° ?（∠OAB+∠ABO）；根据邻补角的平分线互相垂直，得到∠CAQ=∠QBP=90°，由∠APB的度数，求出∠Q和∠C的度数.

2．如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P.

（1）如果∠A=80°，求∠BPC= ________.

（2）如图②,过点P作直线MN∥BC,分别交AB和AC于点M和N,试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)________.

（3）将直线MN绕点P旋转。

(i)当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

(ii)当直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,如图④,试问(i)中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由。

【答案】（1）130°

（2）90°﹣∠A

（3）解：(i)∠MPB+∠NPC= ? ∠A.

理由如下：

∵∠BPC= +∠A，

∴∠MPB+∠NPC= ?∠BPC=180°?( + ∠A)= ?12 ∠A.

(ii)不成立,有∠MPB?∠NPC= ? ∠A.

理由如下：

由题图④可知∠MPB+∠BPC?∠NPC= ，

由(1)知：∠BPC= + ∠A，∴∠MPB?∠NPC= ?∠BPC= ?( + ∠A)=

? ∠A.

【解析】【解答】(1)

故答案为：

( 2 )由 = 得∠MPB+∠NPC= ?∠BPC= 1?( + ∠A)= ? ∠A；故答案为：∠MPB+∠NPC= ? ∠A

【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理及∠A的度数，求出∠ABC+∠ACB的值，然后再利用三角形的内角和就可求出∠BPC的度数。

（2）根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)，再根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），∠ABC+∠ACB=180°-∠A ，代入计算即可得出结论。

（3）(i)根据∠MPB+∠NPC= 180 ° ?∠BPC和∠BPC= 90 ° + ∠ A，代入即可得出结论；(ii)根

据∠BPC= 90 ° + ∠ A及∠MPB?∠NPC= 180 ° ?∠BPC，代入求出即可得出结论

3．如图，已知点，且，满足 .过点分别作轴、轴，垂足分别是点A、C.

（1）求出点B的坐标；

（2）点M是边上的一个动点（不与点A重合），的角平分线交射线于点

N，在点M运动过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由. （3）在四边形的边上是否存在点，使得将四边形分成面积比为1：4的两部分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：由得：

,解得：

∴点的坐标为

（2）解：不变化

∵轴

∴BC∥x轴

∴

∵平分

∴

∴

∴

（3）解：点P可能在OC,OA边上，如下图所示，

由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形的面积为15

若点P在OC边上，可设P点坐标为，则

三角形BCP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为；

若点P在OA边上，可设P点坐标为，则

三角形BAP的面积为，

剩余部分面积为，

所以，解得，

P点坐标为 .

综上,点的坐标为， .

【解析】【分析】（1）由绝对值和算术平方根的非负性可知由两个非负数的和为0，则这两个数都为0，由此可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出B点坐标；（2）根据平行线和角平分线的性质可证明，所以比值不变化；

（3）点P只能在OC,OA边上，表示出两部分的面积，依比值求解即可.

4．如图(1)，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF.

（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF.

（2）如图(2)，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF 之间的关系.

（3）如图(3)，已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由.

（4）已知∠BEQ= ∠BEP，∠DFQ= ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系.(直接写结论) 【答案】（1）证明：如图1,过点P作PG∥AB,

∵AB∥CD，

∴PG∥CD，

∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，

又∵∠1+∠2=∠EPF，

∴∠AEP+∠CFP=∠EPF

（2）解：如图2

由(1)，可得

∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，

∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ

∴

（3）解：如图3,

，

由(1)，可得

∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，

∵

∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ

∴

（4）解：由(1)，可得

∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，

∵

∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ

∴

【解析】【分析】（1）如图1,过点P作PG∥AB,根据两直线平行，内错角相等，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，从而可得∠AEP+∠CFP=∠EPF.

（2）由(1)，可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，利用角平分线的定

义，可得∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP），利用平角定义，可得∠BEP+∠DFP=360°-（∠AEP+∠CFP）=360°-∠EPF，从而可得∠EPF+2∠EQF=360°.（3）同（2）方法，即可得出∠P+3∠Q=360°.

（4）同（2）方法，即可得出结论.

5．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为________度。

（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在(2)的条件下，①如果点P运动到D点右侧（不包括D点），则∠APC与α、β之间的数量关系为________．②如果点P运动到B点左侧（不包括B点），则∠APC与α、β之间的数量关系________.（直接写出结果）

【答案】（1）100°

（2）解：∠APC=α+β，

理由是：如下图，过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.

（3）∠APC=α-β；∠APC=β-α

【解析】【解答】（1）解：如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，

∴∠APE=55°，∠CPE=45°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.

（ 3 ）解：如下图所示，当P在BD延长线上时，

过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1=∠PAB=α，

∵∠1=∠APC+∠PCD

∴∠APC=∠1-∠PCD，

∴∠APC=α-β，

如下图所示，当P在DB延长线上时，

过P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α

又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，

∴∠APC=β-α.

【分析】（1）过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC

（2）过P作PE∥AB，交AC于E，推出 AB∥PE∥CD ，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β

，即可得出答案。

（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠APE=α，∠CPE=β ，即可得出答案。

6．

（1）如图，已知C为线段AB上的一点，AC=60cm，M、N分别为AB、BC的中点.

①若BC=20cm，则MN=________cm；

②若BC=acm，则MN=________cm.

（2）如图，射线OC在∠AOB的内部，∠AOC=60°，OM平分∠AOB，射线ON在∠BOC 内，且∠MON=30°，则ON平分∠BOC吗？并说明理由.

【答案】（1）30；30

（2）解：平分

理由：∵OM分别平分∠AOB，

∴∠BOM= ∠AOB

= （∠AOC+∠BOC）

=30°+ ∠BOC.

又∵∠BOM=∠MON+∠BON=30°+∠BON，

∴∠BON= ∠BOC.

∴ON平分∠BOC.

【解析】【解答】解：（1）①∵BC=20，N为BC中点，

∴BN= BC=10.

又∵M为AB中点，

∴MB= AB=40.

∴MN=MB-BN=40-10=30.

故答案为30；

②当BC=a时，AB=60+a，

BN= a，MB= AB=30+ a，

∴MN=MB-BN=30.

故答案为30；

【分析】（1）①由已知得到AB=80，根据线段中点求出MB和BN的值，计算MB-BN即可得结果；②分别用a表示出BN、MB，根据MN=MB-BN计算即可；（2）根据OM分别平分∠AOB，用∠BOC表示出∠BOM，再用∠BON表示出∠BOM，两个式子进行比较即可得出结论.

7．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角尺（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方.

（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2.

①求t值；

②试说明此时ON平分∠AOC；

（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON=α，∠COM=β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；

（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON?请说明理由.

【答案】（1）解：①∵∠AOC=30°，OM平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COM=2∠BOM=150°，∴∠COM=∠BOM=75°.

∵∠MON=90°，∴∠CON=15°，∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，∴∠AON=∠CON，∴t=15°÷3°=5秒；

②∵∠CON=15°，∠AON=15°，∴ON平分∠AOC

（2）解：∵∠AOC=30°，∴∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC，∴30°－α=90°－β，∴β=α+60°

（3）解：设旋转时间为t秒，∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，∠CON=45°，∴30°+8t=5t+45°，∴t=5.

即t=5时，射线OC第一次平分∠MON.

【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质以及余角补角的性质即可得出结论；（2）根

据∠NOC=∠AOC－∠AON=90°－∠MOC即可得到结论；（3）分别根据转动速度关系和OC 平分∠MON列方程求解即可.

8．如图①，已知AB//CD， AC//EF

（1）若∠A=75°，∠E=45°，求∠C和∠CDE的度数；

（2）探究：∠A、∠CDE与∠E之间有怎样的等量关系？并说明理由.

（3）若将图①变为图②，题设的条件不变，此时∠A、∠CDE 与∠E之间又有怎样的等量关系，请直接写出你探究的结论.

【答案】（1）解：在图①中，

∵AB∥CD

∴∠A+∠C=180°，

∵∠A=75°，

∴∠C=180°-∠A=180°-75°=105°，

过点D作DG∥AC，

∵AC∥EF，

∴DG∥AC∥EF，

∴∠C+∠CDG=180°，∠E=∠GDE，

∵∠C=105°，∠E=45°，

∴∠CDG=180°-105°=75°，∠GDE=45°，

∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，

∴∠CDE=75°+45°=120°；

（2）解：如图①，通过探究发现，∠CDE=∠A+∠E.

理由如下：∵AB∥CD，

∴∠A+∠C=180°，

过点D作DG∥AC，

∵AC∥EF，

∴DG∥AC∥EF，

∴∠C+∠CDG=180°，∠GDE=∠E，

∴∠CDG=∠A，

∵∠CDE=∠CDG+∠GDE，

∴∠CDE=∠A+∠E；

（3）解：如图②，通过探究发现，∠CDE=∠A-∠E.

∵AB∥CD，

∴∠A+∠C=180°，

∵AC∥EF，

∴∠E=∠CHD，

∵∠CHD+∠C+∠CDE=180°，

∴∠E+∠C+∠CDE=180°，

∴∠E+∠CDE=∠A，

即∠CDE=∠A-∠E.

【解析】【分析】（1）利用平行线的性质定理可得∠C，过点D作DG∥AC，可得DG∥AC∥EF，利用平行线的性质定理可得∠CDG，由∠CDE=∠CDG+∠GDE，代入数值可得结果；

（2）利用平行线的性质和同角的补角相等得∠A=∠CDG，由角的和及等量代换可得；（3）利用平行线的性质定理和三角形的内角和定理可得结论.

9．如图，三角形ABC，直线，CD、BD分别平分和．

（1）图中，，，求的度数，说明理由．

（2）图中，，直接写出 ________．（3）图中，， ________．

【答案】（1）解：

，

，

如图1过D点作，

，

，，

，即

又、BD分别平分和．

，同理

（2）

（3）

【解析】【解答】

如图2过D点作，

，

，，

，即

又、BD分别平分和．

，同理，

，

，

即，

，

，

，，

故答案为．

如图3过D点作，

，

，，

，即

又、BD分别平分和．

，同理，

，

，

即，

，

，

，

，

故答案为．

【分析】（1）过点作，根据平行线的性质，得出，，则，再根据、分别平分和，得出，同理，即可解答；（2）根据（1）的思路即可解答；（3）根据（2）的思路即可解答.

10．直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动.

（1）如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB 的度数.

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.

（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数.

【答案】（1）解：∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，

∴∠ABO=50°.

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠EAB= ∠OAB=35°，∠EBA= ∠OBA=25°，

∴∠AEB=180°-35°-25°=120°

（2）解：不发生变化，理由如下：

如图，延长BC、AD交于点F，

∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，

∴∠FAB= ∠PAB= （180°-∠OAB），∠FBA= ∠MBA= （180°-∠OBA），

∴∠FAB+∠FBA= （180°-∠OAB）+ （180°-∠OBA）= （180°+∠AOB）=90°+ ∠AOB，∵∠AOB=60°，

∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°- ∠AOB=60°，

同理可求∠CED =90°- ∠F=60°；

（3）∠DCE的度数40°或80°

【解析】【解答】解：（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；

②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE= =80°；

③当∠DCE= ∠CDE时，∠DCE= =40°，

综上可知，∠DCE的度数40°或80°.

【分析】（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义

以及三角形内角和可得∠F =90°- ∠AOB，∠CED =90°- ∠F，即可得出∠CED的度数；（3）分三种情况求解即可.

11．学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题：

（1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在

内部作射线．

①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向；

②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且

，求的度数.

（2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小.

【答案】（1）解：①∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射线OC表示的方向为北偏东60°

②∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴4∠NOC＝90°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON

＝180°﹣90°﹣45°

＝45°

（2）解：①如图1：

∵∠AOB＝α，∠BOC＝β

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，

∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；

②如图2，

∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；

③如图3，

∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．…

∴∠MON为或或．

【解析】【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向；②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；（2）分射线OC在∠AOB 内部和外部两种情况讨论即可．

12．如图1，将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点O，其中一个三角板的顶点C落在另一个三角板的边OA上，已知∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=45°，∠COD=60°作∠AOD的平分线交边CD于点E。

（1）求∠BOE的度数。

（2）如图2，若点C不落在边OA上，当∠COE=15°时，求∠BOD的度数。

【答案】（1）解：∵∠COD=60°，OE为∠COD的平分线，

∴∠COE=30°，

∴∠BOE=∠AOB+∠COE

=45°+30°

=75°；

（2）解：∵∠COE=15°，

∴∠DOE=∠DOC-∠OCE=60°-15°=45°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOD=2∠DOE=2×45°=90°，

∴∠BOD=∠AOD+∠AOB=90°+45°=135°.

【解析】【分析】（1）OE为∠COD的平分线，求出∠COE的度数，则∠BOE的度数等于∠AOB和∠COE的度数之和；

（2）现知∠COE的度数，则∠DOE度数可求，结合OE平分∠AOD，则∠AOD可求，于是∠BOD的度数可得；