人教版--高一数学必修4全套导学案
第二章平面向量
2.1 向量的概念及表示
【学习目标】
1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量;
2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别;
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】
重点:平行向量的概念和向量的几何表示;
难点:区分平行向量、相等向量和共线向量;
【自主学习】
1.向量的定义:__________________________________________________________;
2.向量的表示:
(1)图形表示:
(2)字母表示:
3.向量的相关概念:
(1)向量的长度(向量的模):_______________________记作:______________
(2)零向量:___________________,记作:_____________________
(3)单位向量:________________________________
(4)平行向量:________________________________
(5)共线向量:________________________________
(6)相等向量与相反向量:_________________________
思考:
(1)平面直角坐标系中,起点是原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?____ (2)平行向量与共线向量的关系:____________________________________________ (3)向量“共线”与几何中“共线”有何区别:__________________________________ 【典型例题】
例1.判断下例说法是否正确,若不正确请改正:
(1)零向量是唯一没有方向的向量;
(2)平面内的向量单位只有一个;
(3)方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是相反向量;
b c,则a和c是方向相同的向量;
(4)向量a和b是共线向量,//
(5)相等向量一定是共线向量;
例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心,在图中标出的向量中: (1)试找出与EF 共线的向量; (2)确定与EF 相等的向量; (3)OA 与BC 相等吗?
【课堂练习】
1.判断下列说法是否正确,若不正确请改正:
(1)向量AB 和CD 是共线向量,则A B C D 、、、四点必在一直线上; (2)单位向量都相等;
(3)任意一向量与它的相反向量都不想等; (4)四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB
CD =;
(5)共线向量,若起点不同,则终点一定不同;
2.平面直角坐标系xOy 中,已知||2OA =,则A 点构成的图形是__________
3. 四边形ABCD 中,
则四边形ABCD 的形状是_________
4.设0a ≠,则与a 方向相同的单位向量是______________
5.若E F M N 、、、分别是四边形ABCD 的边AB BC CD DA 、、、的中点。 求证://EF NM
6.已知飞机从甲地北偏东30的方向飞行2000km 到达乙地,再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km 到达丙地,再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地,问:丁地在
甲地的什么方向?丁地距甲地多远?
【课堂小结】
O
D C
B
A F
E
2.2.1 向量的加法
【学习目标】
1.掌握向量加法的定义;
2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量;
3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量计算 【学习重难点】
重点:向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律; 难点:向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律; 【自主学习】
1.向量的和、向量的加法:
已知向量a 和b ,______________________________________________________ 则向量OB 叫做a 与b 的和,记作:____________________________________ _________________________________叫做向量的加法
注意:两个向量的和向量还是一个向量;
2.向量加法的几何作法: (1)三角形法则的步骤: ① ② ③
OA ∴就是所做的a b +
(2)平行四边形法则的步骤: ① ② ③
OC ∴就是所做的a b +
注意:向量加法的平行四边形法则,只适用于对两个不共线的向量相加,而向量加法的三角
a
b
A
B
O
b
a
形法则对于任何两个向量都适用。
3.向量加法的运算律: (1)向量加法的交换律:
_________________________________________ (2)向量加法的结合律:
_________________________________________
思考:如果平面内有n 个向量依次首尾相接组成一条封闭折线,那么这n 条向量的和是什么?________________
【例题讲解】
例1.如图,已知O 为正六边形ABCDEF 的中心,作出下列向量: (1)OA OC + (2)
例2.化简下列各式 (1)AB BC CD DA EA ++++ (2)AB MB BO OM
+++
(3)AB DF CD BC FA ++++ (4)()AB CD BC DB BC ++++
例3.在长江南岸某处,江水以12.5/
km h 的速度向东流,渡船的速度为25/km h ,渡船
要垂直地渡过长江,其航向应如何确定?
【课堂练习】 1.已知,a b ,求作:a b +
(1) (2)
2.已知O 是平行四边形ABCD 的交点,下列结论正确的有_________ (1)AB
CB AC += (2)AB AD AC +=
(3)AD CD BD +≠ (4)0AO CO OB OD +++≠
3.设点O 是ABC ?内一点,若0OA OB OC ++=,则点O 为ABC ?的______心;
4.对于任意的,a b ,不等式||||||||||a b a b a b -≤+≤+成立吗?请说明理由。
【课堂小结】
b
a
b
a
2.2.2 向量的减法
【学习目标】
1.理解向量减法的概念;
2.会做两个向量的差;
3.会进行向量加、减得混合运算
4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力 【学习重难点】 重点:三角形法则
难点:三角形法则,向量加、减混合运算 【自主学习】 1.向量的减法:
①a 与b 的差:若__________________,则向量x 叫做a 与b 的差,记为__________ ②向量a 与b 的减法:求两个向量差的运算叫做向量的减法;
注意:向量的减法是向量加法的逆运算。 2.向量a
b -的减法的作图方法:
作法:①_______________________________ ②________________________________ ③________________________________ 则BA a b =-
3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 ()a b a b -=+-
4.关于向量减法需要注意一下几点:
①在用三角形法则做向量减法时,只要记住连接两向量的终点,箭头指向被减向量即可.
②以向量
,AB a AD b ==为邻边作平行四边形ABCD ,则两条对角线的向量为
,AC a b =+BD b a =-,DB a b =-这一结论在以后应用还是非常广泛,应加强理
解;
③对于任意一点O ,AB
OB OA =-,简记“终减起”,在解题中经常用到,必须记住.
【例题讲解】
例1.已知向量,,,a b c d ,求作向量:,a b c d --;
思考:如果//a b ,怎么做出a b -?
例2.已知O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,若,,,AB a DA b OC c ===试证
明:b c a OA +-=
本题还可以考虑如下方法: 1.(1)OA OC
CA OC CB CD =+=++
(2)c a OC AB OC DC OD OA AD -=-=-==+
2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和。
例3.化简下列各式 (1)()AB BC
BD AD -+-
(2)AB DA BD BC CA ++-- (3)()()AB DC AC BD ---
【课堂练习】 1.在ABC ?中,90C
∠=,AC BC =,下列等式成立的有_____________
c
d
b
a
a
c
b
B
(1)||||CA CB CA CB -=+ (2)|
|||AB AC BA BC -=-
(3)||||CA BA CB AB -=-
(4)222
||||||CA CB AB AC BA CA +=-+-
2.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交与O 点,且,AO OC BO OD ==, 求证:四边形ABCD 是平行四边形。
3.如图,ABCD 是一个梯形,//,2AB CD AB CD =,,M N 分别是,DC AB 的中
点,已知,,AB a AD b ==试用,a b 表示BC 和MN
【课堂小结】
2.2.3 向量的数乘(1)
【学习目标】
1.掌握向量数乘的定义,会确定向量数乘后的方向和模;
2.掌握向量数乘的运算律,并会用它进行计算;
3.通过本课的学习,渗透类比思想和化归思想 【学习重难点】
重点:向量的数乘及运算律; 难点:向量的数乘及运算律; 【自主学习】 1.向量的数乘的定义:
一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:_______;它的长度和方向规定如下: (1)||||||a a λλ= (2)当0λ
>时,_______________________; 当0λ<时,_______________________; 当0λ=时,_______________________;
______________________________叫做向量的数乘 2.向量的线性运算定义:
___________________________________________统称为向量的线性运算; 3.向量的数乘的作图: 已知,a 作b a λ= 当0λ>时,把a 按原来的方向变为原来的λ倍; 当0λ<时,把a 按原来的相反方向变为原来的λ倍;
4.向量的数乘满足的运算律:
设,λμ为任意实数,,a b 为任意向量,则 (1)结合律
______________________________________ (2)分配律
_______________________________________
注意:(1)向量本身具有“形”和“数”的双重特点,而在实数与向量的积得运算过程中,既要考虑模的大小,又要考虑方向,因此它是数形结合的具体应用,这一点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义;
(2)向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。
【典型例题】
例1.已知向量,a b ,求作: (1)向量 2.5a - (2)23a b -
例2.计算 (1)(5)
4a -
(2)5()4()3a b a b a +---
(3)2(263)3(342)a b c a b c +---+-
注意:(1)向量的数乘与实数的数乘的区别:相同点:这两种运算都满足结合律和分配律。不同点:实数的数乘的结果(积)是一个实数,而向量的数乘的结果是一个向量。 (2)向量的线性运算的结果是一个向量,运算法则与多项式运算类似。
例3.已知,OA OB 是不共线的向量,,()AP t AB t R =∈,试用,OA OB 表示OP
b
a
例4.已知:ABC ?中,D 为BC 的中点,,E F 为,AC BA 的中点,,,AD BE CF 相交于O 点,求证: (1)1
()2
AD AB AC =+ (2)0AD
BE CF ++=
(3)0OA OB OC ++=
【课堂练习】 1.计算:
(1)3(53)2(6)a b a b --+
(2)4(35)2(368)a b c a b c -+---+
2.已知向量,a b 且3()2(2)4()0,x a x a x a b ++---+=求x
3.在平行四边形ABCD 中,,,3,AB a AD b AN NC M ===为BC 的中点,
用,a b 来表示MN
4.如图,在ABC ?中,,,AB a BC b AD ==为边BC 的中线,G 为ABC ?的重心,
求向量AG
【课堂小结】
b
a
G ?
D
C
B
A
2.2.3 向量的数乘(2)
【学习目标】
1.理解并掌握向量的共线定理;
2.能运用向量共线定理证明简单的几何问题;
3.培养学生的逻辑思维能力 【学习重难点】 重点:向量的共线定理; 难点:向量的共线定理; 【自主学习】 1.向量的线性表示:
若果,(0)b a a λ=≠,则称向量b 可以用非零向量a 线性表示; 2.向量共线定理:
思考:向量共线定理中有0a ≠这个限制条件,若无此条件,会有什么结果?
【典型例题】
例1.如图,,D E 分别是ABC ?的边,AB
(1)将DE 用BC 线性表示; (2)求证:BC 与DE 共线; 例
2.
设
12,e e 是两个不共线的向量,已知
1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-,若,,A B D 三点共线,求k 的值。
变式:设12,e e 是两个不共线的向量,已知
12121228,3,2AB e e CB e e CD e e =-=+=-,求证:,,A B D 三点共线。
例3.如图,OAB ?中,C 为直线AB 上一点,,(1),AC BC λλ=≠-
求证:1OA OB
OC λλ
+=
+
思考: (1)当1λ=时,你能得到什么结论?
(2)上面所证的结论:1OA OB
OC
λλ
+=
+表明:起点为O ,终点为直线AB 上一点C 的
向量OC 可以用,OA OB 表示,那么两个不共线的向量,OA OB 可以表示平面上任意一个向量吗?
例 4.已知向量1
21223,23,a e e b e e =-=+其中12,e e 不共线,向量1229c e e =-,
是否存在实数,λμ,使得d a b λμ=+与c 共线
例5.平面直角坐标系中,已知(3,1),(1,3),A B -若点C 满足,OC OA OB αβ=+其中
,,R αβ∈,,A B C 三点共线,求αβ+的值;
【课堂练习】 1.已知向量122122,3(),a e e b e e =-=--求证:,a b 为共线向量;
2.设12,e e 是两个不共线的向量,12122,,a e e b ke e =-=+若,a b 是共线向量,求k 的
值。
3.求证:起点相同的三个非零向量,,32a b a b -的终点在同一直线上。
【课堂小结】
2.3.1 平面向量基本原理
【学习目标】
1. 了解平面向量的基本定理及其意义;
2. 掌握三点(或三点以上)的共线的证明方法: 3. 提高学生分析问题、解决问题的能力。 【预习指导】
1、平面向量的基本定理
如果1e ,2e 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1λ,2λ使a =1λ1e +2λ2e 2.、基底:
平面向量的基本定理中的不共线的向量1e , 2e ,称为这一平面内所有向量的一组基底。 思考:
(1) 向量作为基底必须具备什么条件? (2) 一个平面的基底唯一吗? 答:(1)______________________________________________________ (2)______________________________________________________ 3、向量的分解、向量的正交分解:
一个平面向量用一组基底1e , 2e 表示成a =1λ1e +2λ2e 的形式,我们称它为向量的分解,当1e , 2e 互相垂直时,就称为向量的正交分解。
4、 点共线的证明方法:___________________________________________ 【典例选讲】
例1:如图:平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于一点M ,AB =a ,AD =b 试用 ,,表示 , , 和 。 C
A
a
例2: 设1e ,2e 是平面的一组基底,如果 =31e —22e ,BC =41e + 2e ,
CD =81e —92e ,求证:A 、B 、D 三点共线。
例3: 如图,在平行四边形ABCD 中,点 M 在 AB 的延长线上,且 BM=2
1
AB ,点N 在 BC 上,且BN=
3
1
BC ,用向量法证明: M 、N 、D 三点共线。 D C
N
A B M
【课堂练习】
1、若1e ,2e 是平面内所有向量的一组基底,则下面的四组向量中不能作为一组基底的( )
A 、1e —22e 和1e +22e
B 、1e 与32e
C 、21e +32e 和 - 41e —62e
D 、1e +2e 与1e
2、若1e ,2e 是平面内所有向量的一组基底,那么下列结论成立的是( ) A 、若实数1λ,2λ使1λ1e +2λ2e =0,则1λ=2λ=0
B 、空间任意向量都可以表示为=1λ1e +2λ2e ,1λ,2λ∈R
C 、1λ1e +2λ2e ,1λ,2λ∈R 不一定表示平面内一个向量
D 、对于这一平面内的任一向量 ,使=1λ1e +2λ2e 的实数对1λ,2λ有无数对 3、三角形ABC 中,若 D ,
E ,
F 依次是 四等分点,则以 CB =1e ,CA =2e 为基底时,用1e ,2e 表示CF
A C
4、若a = -1e +3 2e , b = 4 1e +2 2e ,c = - 31e +122e , 写出用1λb + 2λc 的形式表示
【课堂小结】
2.3.2向量的坐标表示(1)
【学习目标】
1、 能正确的用坐标来表示向量;
2、 能区分向量的坐标与点的坐标的不同;
3、 掌握平面向量的直角坐标运算;
4、 提高分析问题的能力。 【预习指导】
1、一般地,对于向量 ,当它的起点移至_______时,其终点的坐标),(y x 称为向量 的(直角)坐标,记作________________________。
2、有向线段AB 的端点坐标为),(,),(2211y x B y x A ,则向量 AB 的坐标为__________________________________________________。
3、若=),(11y x ,)22,(y x =
+=_________________________。 =-________________________。
【典型例题选讲】
例1:如图,已知O 是坐标原点,点A 在第一象限, 060,34=∠=xOA ,求向量
的坐标。
例2:已知A (-1,3),B (1,-3),C (4 ,1) , D (3 ,4), 求向量 CD AO OB OA ,,, 的坐标。
例3:平面上三点A (-2,1),B (-1,3),C (3,4),求D 点坐标,使A,B,C,D 这四个点构成平行四边形的四个顶点。
例4:已知P 1( 11,y x ),P 2( 22,y x ),P 是直线P 1P 2上一点,且)1(21-≠=λλPP P ,求P 的坐标。
【课堂练习】
1、与向量 )5,12(=平行的单位向量为__________________________________
2、若O (0,0),B(-1,3) 且/OB =3,则 /
B 坐标是:___________________
3、已知O 是坐标原点,点A 在第二象限, =2 ,0
150=∠xOA 求向量 的坐标。
4、已知边长为2的正三角形ABC ,顶点A 在坐标原点,AB 边在 x 轴上,点C 在第一象限,D 为AC 的中点,分别求 ,,, 的坐标。
【课堂小结】
人教版--高一数学必修4全套导学案
第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量; 2.通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别; 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点:平行向量的概念和向量的几何表示; 难点:区分平行向量、相等向量和共线向量; 【自主学习】 1.向量的定义:__________________________________________________________; 2.向量的表示: (1)图形表示: (2)字母表示: 3.向量的相关概念: (1)向量的长度(向量的模):_______________________记作:______________ (2)零向量:___________________,记作:_____________________ (3)单位向量:________________________________ (4)平行向量:________________________________ (5)共线向量:________________________________ (6)相等向量与相反向量:_________________________ 思考: (1)平面直角坐标系中,起点是原点的单位向量,它们的终点的轨迹是什么图形?____ (2)平行向量与共线向量的关系:____________________________________________ (3)向量“共线”与几何中“共线”有何区别:__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确,若不正确请改正: (1)零向量是唯一没有方向的向量; (2)平面内的向量单位只有一个; (3)方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是相反向量; b c,则a和c是方向相同的向量; (4)向量a和b是共线向量,//
高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修4知识点汇总 第一章:三角函数 1、任意角①正角:按逆时针方向旋转形成的角 ②负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限 对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制),半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S 则αr l =,l r C +=2,221 21r lr S α== 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离 是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
高中数学必修4第一章知识点总结及典型例题
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角终边 相同的角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ ,弧度制,弧度与角度的换算, 弧长l r α=、扇形面积2 112 2 s lr r α==, 二:任意角的三角函数定义:任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(x ,y ),它与原点的距离是22 r x y =+(r>0),那么角α的正弦r y a =sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式: 1.平方关系: 22 sin cos 1αα+= 2. 商数关系: sin tan cos α αα = 3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 , 正弦 | 余弦 [ 正切 < 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为: 、 、 、 、 。 3、图象的基本变换:相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换:sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换:sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数 sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定,ω有周期确定,φ有特殊点确定。 基础练习: / 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ,该圆心角是1弧度,则扇形的面积= cm 2. 3、设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4 、函数 y =的定义域是_____ __ 5、 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ) (A )向左平移个6π单位 (B )向右平移个6π单位(C )向左平移个3π单位 (D )向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边在 9、下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) 》 A .sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D.sin()23 π=+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是( ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P (-4,3),求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值
新课标高中数学必修1全册导学案及答案
§1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法; 2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数; (5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1.下列说法正确的是( ) (A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是 ( ) A .}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .}01|{2 =+-x x x 3.方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 ( ) A .)}1,1{( B .}1,1{ C .(1,1) D .}1{. 4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B = 5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2 A t t x x B ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在花括号“{ }”内表示集合的方法.当集合中的元素 较少 时,用列举法表示方便. .例:x 2 -3x +2=0的解集可表示为{1,2}. 有些集合元素的个数较多,元素又呈现出一定的规律,在不至于发生误解的情况下,亦可用列举法表示,如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3,…,100},{1,2,3,4,…,n ,…}. 小结 用列举法表示集合时,应把集合中的元素一一列举出来,并且写在大括号内,元素和元素之间要用“,”隔开.花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义,如实数集R 可以写为{实数},但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的. 1 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合;
【最新】高中数学必修四导学案
高中数学《必修四》导学案 班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、了解任意角的概念;正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念,并能判断其为第几象限角,熟悉掌握终边相同的角的集合表示 【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1:回忆初中我们是如何定义一个角的? ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么? ______________________________________________________ 问题2:在体操、跳水中,有“转体0 720”,怎么刻画? 720”这样的动作名词,这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1.角的概念 角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________,射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2.角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角, 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个_________,它的______和_______重合。这样,我们就把角的概念推广到了_______,包括_______、________和________。 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合_________ , 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成。 4.象限角、轴线角的概念 我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便,使角的________与__________重合,角的___________与_______________________重合。那么,角的_________(除端点外)落在第几象限,我们就说这个角是__________________。
高中数学必修4知识总结(完整版)
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α, 即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即 tan (0)y x x α=≠。 (二)设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠.