高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭 圆

1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.

2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则

焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹

是以长轴为直径的圆，除去长轴的两

个端点.

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=上，则过0

P 的椭圆的切线方程是00221x x y y

a b +=.

6. 若000(,)P x y 在椭圆22

221x y a b

+=外 ，则过

Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是

00221x x y y

a b

+=. 7. 椭圆22

221x y a b

+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分

别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1

2

2tan 2

F PF S b γ

?=.

8. 椭圆

22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：

10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,

2(,0)F c 00(,)M x y ).

9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交

P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于

两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶

点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和

A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.

11. AB 是椭圆22

221x y a b

+=的不平行于对称

轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则

2

2OM AB b k k a ?=-，

即0

20

2y a x b K AB -=。

双曲线

12. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.

13. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

14. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.

15. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

16. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b

＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y

a b

-=. 17. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b

＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切

线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直

线方程是

00221x x y y

a b -=. 18. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的左右

焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上

任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为1

2

2t 2

F PF S b co γ

?=.

19. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半

径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c

当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.

当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 20. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.

21. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 22. AB 是双曲线

2

2

22

1x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为

AB 的中点，则0

20

2y a x b K K AB

OM =?，即0

20

2y a x b K AB

=。 23. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b

＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的

方程是22

00002222x x y y x y a b a b

-=-.

24. 若000(,)P x y 在双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b

＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方

程是22002222x x y y

x y a b a b

-=-.

椭圆与双曲线的对偶性质--椭 圆

1. 椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞o ）的两个

顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平

行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与

A 2P 2交点的轨迹方程是22

221x y a b

-=.

2. 过椭圆22

221x y a b

+= (a ＞0, b ＞0)上任

一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互

补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且20

20

BC

b x k a y =（常数）. 3. 若P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）

上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan t 22

a c co a c αβ

-=+. 4. 设椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的两

个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端

点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin sin sin c

e a

αβγ==+.

5. 若椭圆

22

221x y

a b

+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e

1时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）上

任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且

仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.

7. 椭圆22

0022

()()1x x y y a b

--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件

是2

2

2

2

2

00()A a B b Ax By C +≥++.

8. 已知椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0），

O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两

动点，且OP OQ ⊥. 1)

2222

1111

||||OP OQ a b +=+; 2) |OP|2

+|OQ|2

的最大值为22

224a b a b +;

3) OPQ S ?的最小值是22

22a b a b

+.

9. 过椭圆22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的右

焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =. 10. 已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）

,A 、B 、是椭圆上的两点，线

段AB 的垂直平分线与x 轴相交于

点0(,0)P x , 则2222

0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞

0）上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则

1) 2

122||||1cos b PF PF θ

=+.

2) 12

2tan 2

PF F S b γ

?=.

12. 设A 、B 是椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞

0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB α∠=,

PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有

(1)22222|cos |

||s ab PA a c co αγ=-.(2)

2tan tan 1e αβ=-.(3)

22222cot PAB

a b S b a

γ?=-. 13. 已知椭圆22

221x y a b

+=（ a ＞b ＞0）的

右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且

BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF

的中点.

14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性

质--双曲线

1. 双曲线

2

2

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，

与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨

迹方程是

22

221x y a b +=. 2. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞

o ）上任一点00(,)A x y 任意作两

条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且20

20

BC

b x k a y =-（常数）. 3. 若P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞

0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,

12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则

tan t 22c a co c a αβ

-=+（或tan t 22

c a co c a βα

-=+）. 4. 设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞

0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记

12F PF α∠=,

12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有

sin (sin sin )c

e a

αγβ==±-.

5. 若双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞

0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当1＜e

≤

1时，可在双曲线上求一点

P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.

6. P 为双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞

0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则

21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y

轴同侧时，等号成立.

7. 双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）

与直线0Ax By C ++=有公共点

的充要条件是22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线

2

2

22

1x y a b -=（b ＞a ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥. （1）

222

21111

||||OP OQ a b

+=-; （2）|OP|2

+|OQ|2

的最小值为22

224a b b a -;

（3）OPQ S ?的最小值是22

22a b b a

-.

9. 过双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞

0）的右焦点F 作直线交该双曲

线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则

||||2

PF e

MN =. 10. 已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b

＞0）,A 、B 是双曲线上的两

点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则

220a b x a +≥或22

0a b x a

+≤-.

11. 设P 点是双曲线22

221x y a b

-=（a ＞

0,b ＞0）上异于实轴端点的任

一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=，则

(1)2

122||||1cos b PF PF θ

=-.(2)

122cot 2

PF F S b γ

?=.

12. 设A 、B 是双曲线22

221x y a b

-=（a

＞0,b ＞0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有

1) 22222|cos |

|||s |

ab PA a c co αγ=-.

2) 2tan tan 1e αβ=-. 3) 22222cot PAB

a b S b a

γ?=+. 13. 已知双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b

＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ，过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.

14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16.双曲线焦三角形中,外点到一焦

点的距离与以该焦点为端点的

焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17.双曲线焦三角形中,其焦点所对

的旁心将外点与非焦顶点连线

段分成定比e.

18.双曲线焦三角形中,半焦距必为

内、外点到双曲线中心的比例

中项.

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。

一. 紧扣定义，灵活解题

灵活运用定义，方法往往直接又明了。 例1. 已知点A （3，2），F （2，0），双曲

线x y 2

23

1-=，P 为双曲线上一点。

求||||PA PF +1

2

的最小值。

解析：如图所示，

双曲线离心率为2，F 为右焦点，由第二

定律知1

2

||PF 即点P 到准线距离。

∴+=+≥=||||||||PA PF PA PE AM 125

2

二. 引入参数，简捷明快

参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。

例2. 求共焦点F 、共准线l 的椭圆短轴端点的轨迹方程。

解：取如图所示的坐标系，设点F 到准线l 的距离为p （定值），椭圆中心坐标为M （t ，0）（t 为参数）

p b

c

=

2

，而c t = ∴==b pc pt 2

再设椭圆短轴端点坐标为P （x ，y ），则 x c t y b pt

====????? 消去t ，得轨迹方程y px 2=

三. 数形结合，直观显示

将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。 例3. 已知x y R ,∈，且满足方程

x y y 2230+=≥()，又m y x =

++3

3

，求m 范围。 解析： m y x =++3

3

的几何意义为，曲线

x y y 2230+=≥()上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示

k m k PA PB ≤≤ ∴

-≤≤+33235

2

m

四. 应用平几，一目了然

用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。

例4. 已知圆()x y -+=3422和直线y mx =的交点为P 、Q ，则||||OP OQ ?的值为________。 解： ??OMP OQN ~ ||||||||OP OQ OM ON ?=?=5

五. 应用平面向量，简化解题

向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。

例5. 已知椭圆：

x y 22

2416

1+=，直线l ：

x y

128

1+=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于一点R ，点Q 在OP 上且满足||||||OQ OP OR ?=2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程。

分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。

解：如图，OQ OR OP →→→

，，共线，设OR OQ →=→λ，OP OQ →=→μ，OQ x y →

=()，，则

OR x y →

=()λλ，，OP x y →=()μμ，

||||||OQ OP OR →?→=→2

∴→=→μλ||||OQ OQ 22

2

∴=μλ2

点R 在椭圆上，P 点在直线l 上

∴+=λλ222224161x y ，μμx y

1281+= 即

x y x y 222416128

+=+ 化简整理得点Q 的轨迹方程为：

()()x y -+-=152153

122（直线y x =-2

3上方部分）

六. 应用曲线系，事半功倍

利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。

例6. 求经过两圆x y x 22640++-=和x y y 226280++-=的交点，且圆心在直线

x y --=40上的圆的方程。 解：设所求圆的方程为：

x y x x y y 2222646280++-+++-=λ()

()()()1166284022+++++-+=λλλλx y x y

则圆心为()-+-+3131λλ

λ

，，在直线

x y --=40上

∴解得λ=-7

故所求的方程为x y x y 227320+-+-=

七. 巧用点差，简捷易行

在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。 例7. 过点A （2，1）的直线与双曲线x y 2

22

1-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中

点的轨迹方程。

解：设P x y 111()，，P x y 222()，，则

x y x y 12122222

211212-=<>

-=<>

?????

??

<2>－<1>得

()()()()

x x x x y y y y 211221122

-+=

-+

即y y x x x x y y 21211212

2--=

++() 设P 1P 2的中点为M x y ()00，，则

k y y x x x y P P 1221210

02=--=

又k y x AM =--001

2

，而P 1、A 、M 、P 2共线

∴=k k P P AM 12，即y x x y 000

122--=∴P P 12中点M 的轨迹方程是24022x y x y --+=

解析几何题怎么解

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0

(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标； （3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.

讲解: 通过读图, 看出'',B A 点的坐标.

(1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘

t B +-11 于是 直线B A ''

的方程为1+-=tx y ；

（2）由方程组???+-==+,

1,122tx y y x 解出),(10P 、),(2

2

21112t t t t Q +-+； （3）t

t k PT 1

001-=--=

, t t t t t t

t t t k QT

11112011222

22

=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.

需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2 已知直线l 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、

S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．

讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,

由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得 .)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程 .02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a 于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=? 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①

在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x=0，求得).,0(),0,(m S k

m R -

令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得???

????=-=??????

?=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12

2

22=+y

b x

a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．

方程12

2

22=+y

b x

a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

例3已知双曲线12222=-b

y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是

.23

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.

讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b

y a x 的距离.

3,1.2322==∴==+=a b c ab

b a ab d .

故所求双曲线方程为 .13

22

=-y x

（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则 0120002

20115515,.2

1313BE

y x x k

x y kx k k k x k

++==?=+=

==---

,000=++∴k ky x 即

7,0,031531152

2

2=∴≠=+-+-k k k k

k k k 又 故所求k=±7. 为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.

例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的

最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．

讲解：（1）设112212||,||,||2PF r PF r F F c ===, 对,21F PF ? 由余弦定理, 得

1)2

(2441244242)(24cos 2

212

22

12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F 0212=-=e ，

解出 .2

2=

e （2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况： i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………①

椭圆方程为),(),,(,1221122

22y x B y x A b y a x =+ 由.2

2=e 得 2222,2c b c a ==.

于是椭圆方程可转化为 222220x y c +-=………………②

将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,

整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k .

则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||k k c x x ++=-，2

21

2221)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=， AB 边上的高,1||2sin ||2

2121k k c F BF F F h +?=∠= c

k k k k c S 21||)211(22212

22+++=

22.== ii) 当k 不存在时，把直线c x -=

代入椭圆方程得2,||,2y c AB S =±== 由①②知S 的最大值为22c 由题意得

22c =12 所以2226b c == 2122=a 故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为：

.12

62

1222=+y x

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………①

（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）

椭圆的方程为：),(),,(,1221122

22y x B y x A b

y a x =+ 由.2

2=e 得：,,22222c b c a ==于是椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……②

把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m

于是21,y y 是上述方程的两根

.

21|||AB y y ==-2

)

2(441222222

++++=m m c c m m

2

)1(2222++=

m m c ,

AB 边上的高2

12m

c h +=

,

从而222

2

22)2(122122)1(22

2

1||2

1++=+?++?==m m c m c m m c h AB S .

221

1

11

2222

22

c m m c ≤+++

+=

当且仅当m=0取等号，即.22max c S = 由题意知

1222=c , 于是 212,26222===a c b .

故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为：

.12

62

1222=+y x

也可这样求解：

||||21

2121y y F F S -?= ||||21x x k c -??=

例5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点

在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率；

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.

讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为???

??=++-=1

1).,(),,(22222211b y a

x x y y x B y x A ，

则由 得

02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,

根据韦达定理，得 ,22)(,2222

212122

221b a b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（2

22

222,b a b b a a ++）.

由已知得2

222222

222222)(22,02c a c a b a b

a b b a a =∴-==∴=+-+，故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为

,02221210),,(000000=?-+-=?--y b x b x y y x 且则

解得 b y b x 5

4

5300==且 由已知得 4,4)5

4()53(,42

2220

20

=∴=+∴=+b b b y x ，故所求的椭圆方程为14822=+y x . 例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，

（1）如果3

2

4||=

AB ，求直线MQ 的方程；（2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.

讲解:（1）由3

2

4||=

AB ，可得 ,3

1

)322(1)2||(

||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得 ,3|||,|||||2=?=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，

523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或， 所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或

①

② ③

（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由点M ，P ，Q 在一直线上，得

(*),22x

y a -=- 由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ?=即(**),14)2(222=+?-+a y x

把（*）及（**）消去a ，并注意到2

)47(22≠=-+y y x

适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

例7 如图，在Rt △ABC 中，∠CBA=90°，AB=2，AC=

2

2

。DO ⊥AB 于O 点，OA=OB ，DO=2，曲线E 过C 点，动点P 在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变. （1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；

（2）过D 点的直线L 与曲线E 相交于不同的两点M 、N 且M 在D 、N 之间，设λ=DN

DM

，试确定实数λ的取值范围．

讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y=

22)2

2

(22222=++∴动点P

的轨迹是椭圆∵1,1a b c ===∴曲线E 的方程是 12

22

=+y x .

（2）设直线L 的方程为 2+=kx y , 代入曲线E 的方程

2222=+y x ，得068)12(22=+++kx x k 设M 1（),(),

221,1y x N y x , 则

??

?

?

?

?

???

+=+-=+>?+-=?.126,128,06)12(4)8(2

212

212k x x k k x x k k i) L 与y 轴重合时，3

1

||||==

DN DM λ ii) L 与y 轴不重合时， 由①得 .2

3

2>k 又∵21x x x x x x DN DM N D M D =--==λ, ∵,012<>x x ∴0＜λ＜1 ,

∴21

2)(122121221++=++=?+λλx x x x x x x x ∵

)

1

2(332)

12(664)(2222122k

k k x x x x +=+=?+

而,232>

k ∴.8)1

2(362<+

∴ ,316)1

2(33242

<

+

16214<++<λλ, 31012<+<λλ,.131,3101,

21,10<

???

?

?

?

???

<+>+<<λλλλλλ∴λ的取值范围是??

?

???1,31 . 值得读者注意的是，直线L 与y 轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

例8 直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点. （1）求证：2214p x x =;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线.

讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2

(P F . 若l ⊥x 轴，则l 的方程为4

,22

21P x x P x ==

显然.若l 不垂直于x

轴，可设)2

(P x k y -=,代入抛物线方程整理得4

,04)21(22122

2P x x P x k P P x ==++-则. 综上可知 2214p x x =. （2）设d c d p d D c p c C ≠且),2(),,2(2

2，则CD 的垂直平分线l '的方程为)4(2222p

d c x p d c d c y +-+-=+-

假设l '过F ，则)42(2202

2p

d c p p d c d c +-+-=+-整理得 0)2)((2

22=+++d c p d c 0≠p

02222≠++∴d c p ，0=+∴d

c . 这时l '的方程为y=0，从而l '与抛物线px y 22=只相交于原点. 而l 与

抛物线有两个不同的交点，因此l '与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线.

此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本

是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！