数列知识点和常用的解题方法归纳
数列知识点和常用的解题方法归纳
一、 等差数列的定义与性质
() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2
()()前项和n S a a n na
n n d n n =
+=+
-112
12
{}性质：是等差数列a n
（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+
{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--
（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则
；421
21
a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52
a S an bn a
b n n n ?=+
0的二次函数）
{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2
项，即：
当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11000
><≥≤??
?+
当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11
000
0<>≤≥??
?+
{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123
（由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331
()又·，∴S a a a
a 3132
22
3311
3
=
+===
()()∴·S a a n a a n n
n n n =
+=+=+?? ???=-121221312
18 ∴=n 27）
二、等比数列的定义与性质 定义：
（为常数，），a a q q q a a q n n
n n +-=≠=1
110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ?==±2
()
前项和：（要注意）n S na q a q q q n n ==--≠???
?
?
111111()()!
{}性质：是等比数列a n
（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法
1、公式法
2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111
3、求差（商）法
{}如：满足
……a a a a n n n n 12121
2251122+++=+<>
解：n a a ==?+=11
22151411时，，∴
n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121
2
215
212211时，……
<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21
，∴a n n n n ==≥???+1412
21()()
［练习］
{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=
=++1115
3
4 （注意到代入得：
a S S S S n n n n n
+++=-=111
4 {}又，∴是等比数列，S S S n n n
144==
n a S S n n n n ≥=-==--23411
时，……·
4、叠乘法
{}例如：数列中，，
，求a a a a n
n a n n n n 1131
==++
解：
a a a a a a n n a a n
n n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a n
n 133
== 5、等差型递推公式
由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()
n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=?
??
?
?
??-22321321时，…………两边相加，得：()()()
a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］
{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 11
1132==+≥--
()
（）a n n
=
-12
31 6、等比型递推公式
()
a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1
()?=+--a ca c x n n 11
令，∴()c x d x d c -==-11
∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d
c c n +
-???
???+
-11
1 ∴·a d c a d c c n n +
-=+-?? ???-1111
∴a a d c c d
c n n =+-??
???-
--1111
［练习］
{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+
（）a n n =-?? ?
?
?
+-84311
7、倒数法
例如：，，求a a a a a n n n n 11122==
++ ，由已知得：1
221211a a a a n n n n
+=+=+
∴
111
21
a a n n +-
= ， ∴??????
=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴
=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21
三、 求数列前n 项和的常用方法
1、公式法：等差、等比前n 项和公式
2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 {}如：是公差为的等差数列，求
a d a a n k k k n
1
1
1+=∑ 解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-?? ?
?
?≠
∴11111111a a d a a k k k n
k
k k n
+=+=∑∑=-?? ?
??
=
-??
???+-?? ???++-?? ?????????=
-?? ??
?++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……
［练习］ 求和：…………111211231123+
++++++++++n
（…………，）a S n n n ===-+21
1
3、错位相减法：
{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n
{}和，可由求，其中为的公比。S qS S q b n n n n -
如：……S x x x nx
n n =+++++<>-123412
3
1
()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341
()<>-<>-=++++--121121
：……x S x x x
nx n n n ()()
x S x x nx x
n
n
n
≠=---
-11112
时，
()x S n n n n ==++++=
+112312
时，……
4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++???
?
?--121121…………相加
()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］
已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++?? ???++?? ???++?? ???=
22
11212313414
（由f x f x x x x x x x x ()+?? ?
??=
++?? ??
?+?? ?
?
?=+++=1111111112
2
2
2222 ∴原式=++?? ?????????++?? ?????????++?? ??
??????
?f f f f f f f ()()()()1212313414
=
+++=12111312）
例1设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }前8项的和为（ ）
A ．128
B ．80
C ．64
D ．56 （卷第3题）
略解：∵ a 2 +a 7= a 1+a 8=16，∴{a n }前8项的和为64，故应选C ．
例2 已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64
B ．81
C ．128
D ．243 （全国Ⅰ卷第7题）
答案：A ．
例3 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）
A ．30
B ．45
C ．90
D ． （北京卷第7题）
略解：∵a 5-a 2=3d=9，∴ d=3，b 1=26a =，b 5=a 10=30，{}n b 的前5项和等于90，
故答案是C ．
例4 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7 （错误!未找到引用源。第4题） 略解：∵422412,3S S S d d --===,故选B. 例5在数列{}n a 中，542
n a n =-
，212n a a a an bn +++=+L ，*
n N ∈,其中,a b 为常数，则ab = ．（卷第15题）
答案：－1．
例6 在数列{}n a 中，12a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，则n a =（ ）
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++（卷第5题） 答案：A ．
例7 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________．（卷第16题） 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口．
略解：∵112,1n n a a a n +==++ ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，
()2331n n a a n --=+-+，K ，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+．将以上各式相
加，得()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++????L ()()11112
2
n n n n n -+=++=+，故
应填
(1)
2
n n ++1． 例8 若(x +12x
)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4
项的系数为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 (卷第10题) 答案：B ．
使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．卷第1题，卷第4题，卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．
例9 已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N*）在函数y =x 2
+1
的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛b n ｝满足b 1=1，b n +1=b n +2n a
，求证：
b n ·b n +2＜b 2n +1. （卷第20题）
略解：（Ⅰ）由已知，得a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n =1+(n -1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，a n =n ，从而b n +1-b n =2n ，b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+（b 2-b 1）+b 1=2n -1+2n -2
+…
+2+1=2n
-1．∵. b n ?b n +2-b 2
1+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n+1-1)2= -2n
＜0, ∴ b n ·b n +2＜b 2
1+n ．
对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：
∵ b 2=1,b n ·b n +2- b 2
1+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1
)- b 2
1+n =2n +1·b n +1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n （b n +1-2n +1
）=2n
（b n +2n
-2n +1
）=2n
（b n -2n
）= (2)
（b 1-2）=-2n
<0，∴ b n -b n +2
n +1.
例10 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设1
2
n
n n a b -=
．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（全国Ⅰ卷第19题）
略解：（Ⅰ）1n n b b +-=1122n n n n a a +--=122n n n a a +-=22n
n =1，则{}n b 为等差数列，11b =，
n b n =，12n n a n -=．
（
Ⅱ
）
0121
1222(1)22n n n S n n --=+++-+g g L g g ，12121222(1)22n n
n S n n -=+++-+g g L g g ．
两
式
相
减
，
得
01121222221n n n n n S n n -=----=-+g g L g =(1)21n n -+．
对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b 2-b 1=1，b 3-b 2=1等有限个的验证归纳得到{}n b 为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很
高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．
例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有卷第18题，卷第19题，卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．
例11 等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，
{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)求和：
12111n
S S S +++L ．（卷第19题）
略解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意有222
33(6)64,
(93)960.
S b d q S b d q =+=??
=+=?解之，得2,8;d q =??=?或6,
540.
3d q ?=-????=??
(舍去，为什么？)故132(1)21,8n n n
a n n
b -=+-=+=．
（
Ⅱ
）
35(21)(2)
n S n n n =++++=+L ，∴
121111111
132435(2)
n S S S n n +++=++++???+L L 111111
(1232435
=-+-+-+11)2n n +-+L 1111
(1)2212
n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-
++． “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．
使用解答题形式考查数列的试题，其容还往往是一般数列的容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．
例12 设数列{}n a 的前n 项和为22n
n n S a =-，（Ⅰ）求14,a a ；（Ⅱ）证明： {}
12n n a a +-是等比数列；（Ⅲ）求{}n a 的通项公式．（卷第21题）
略解：（Ⅰ）∵1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==．由22n n n a S =+知，
1
1122n n n a S +++=+
1
12n n n a S ++=++得，
1
12n n n a S ++=+ ①∴
222122226,8a S S =+=+==，
3332328216,24
a S S =+=+==，
443240a S =+=．
（Ⅱ）由题设和①式知，()()
11222n n n n n n a a S S ++-=+-+122n n +=-2n =，∴
{}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅲ）
()()()21112211222222n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+L ()112n n -=+?
此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应
注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．
例13 数列{}n a 满足,2,021==a a 2
22(1cos
)4sin ,1,2,3,,22
n n n n a a n ππ+=++=L （I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1321k k S a a a -=+++L ，
242k k T a a a =+++L ， 2(2k
k k
S W k T =
∈+)N *，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．（卷第20题）
略解：（I ）
2
2
311(1cos )4sin 44,
2
2
a a a π
π
=++=+=22422(1cos )4sin 24,
a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *
-∈=时，
2
2212121(21)(21)[1cos
]4sin 4,22
k k k k k a a a ππ
+----=++=+即2121 4.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).k a k -=-当
2()n k k N *∈=时，2
2222222(1cos )4sin 2,22
k k k k k a a a ππ
+=++=所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k
k a =故数列{}n a 的通项公式为
22(1),21(),2,2().
n n n n k k N a n k k N **?-=-∈?=??=∈?
（II ）由（I ）知，
1321
k k S a a a -=+++L =
044(1)2(1),k k k +++-=-L 242k k
T a a a =+++L 2122222,k k +++=-L 1
2(1)
.22k k k k S k k W T --=
=+ 于是，10,W =21,W =33,2W =
43,2W =55,4W =61516
W =. 下面证明:
当
6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，
11(1)(1)(3)0,222
k k k k k
k k k k k k W W +-+---=
-=<即1.k k W W +<又61,W <所以当6k ≥时，1.k W <故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.
数列解题技巧归纳总结---好(5份)
知识框架 111111(2)(2)(1)(1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-? ?-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ??????????????????? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??????????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和 求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握 了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+
数列知识点归纳及
数列知识点归纳及例题分析
《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…） 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和 公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项 公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）
数列知识点及常用结论
数列知识点及常用结论 一、等差数列 （1）等差数列的基本公式 ①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差） ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=?? =+-??-=?-? ②前n 项和公式：11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+ （2）证明等差数列的法方 . ①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）?{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ?{}n a 为等差数列 即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+ ④前n 项和公式法：2 n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ?{}n a 为等差数列 即：关于n 的不含常数项的二次函数 （3）常用结论 < ①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列. ②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a ③在等差数列{}a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍
数列知识点及常用解题方法归纳总结
数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===
数列知识点归纳及例题分析
《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通 项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题： 单调性法；图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）
例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）
例题： 例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列．
数列知识点及常用结论
数列知识点及常用结论 一、等差数列 （1）等差数列的基本公式 ①通项公式：1(1)n a a n d =+- （从第1项1a 开始为等差） ()n m a a n m d =+- （从第m 项m a 开始为等差） ()n m n m n m a a nd a a n m d a a d n m -=?? =+-??-=?-? ②前n 项和公式：11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+ （2）证明等差数列的法方 ①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）?{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）?{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0) ?{}n a 为等差数列 即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+ ④前n 项和公式法：2 n S pn qn =+ (p ， q 为常数) ?{}n a 为等差数列 即：关于n 的不含常数项的二次函数 （3）常用结论 ①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}n n a b ±，{}n ka b + (k ， b 为非零常数)均为等差数列. ②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +. 特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a ③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ??????仍为公差为3d 的等差数列)
数列知识点及常用结论
数列知识点及常用结论 -、等差数列 （1）等差数列的基本公式 ①通项公式：a^ a i （n - 1）d （从第1项印开始为等差） a n = a m - （n- m）d （从第m项a m开始为等差） 比代二nd a n=a m+（ n-m）d=仁a n-a m d = ---- — m L.n ②前n项和公式：皿且2訂务 2 2 （2）证明等差数列的法方 ①定义法：对任意的n,都有a ni -a. =d（d为常数）二{a.}为等差数列 ②等差中项法：2a n^a n■ a n 2（n，N ）= {a n}为等差数列 ③通项公式法：a n=pn+q （p , q为常数且p z 0）u {a n}为等差数列 即:通项公式位n的一次函数，公差d = p，首项a^ p q 2 ④前n项和公式法：S n = p n +qn （p , q为常数）={a n}为等差数列 即:关于n的不含常数项的二次函数 （3）常用结论 ①若数列{a n}, {b n}为等差数列，则数列{a n k} , {kLa n} , {a n - b n}, {ka n b} （k , b为非零常数）均为等差数列. ②若m+n=p+q （m, n, p, q N*），贝U a. a m=a p a q. 特别的，当n+m=2k时，得a n' a m= 2a k
③在等差数列{a n}中，每隔k（k ? N*）项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍 为等差数列，且公差为（k+1）d（例如：a1, a4, a7, a10 仍为公差为3d的等差数列) ④若数列｛a*｝为等差数列，则记2 =6 ? a?山. 宀比,S2k -S k二a k i ? a k 2宀.... 宀a2k, 2 S3k _S2^a2k 1 a2k 2 .... ' a3k，则S k , Sk , S k 仍成等差数列，且公差为k d S ⑤若S n为等差数列｛a n｝的前n项和，则数列｛」｝也为等差数列. n f S|,( n = 1) ⑥a n二此性质对任何一种数列都适用 ! S n - S二，(n-2) ⑦求S n最值的方法： a兰0 I：若a i>0，公差d<0，则当彳时，则S n有最大值且S k最大； (A卑兰0 N _ 0 若a i<0，公差d>0，则当时，贝V S n有最小值，且S k最小； I a k i 一0 II :求前n项和S n pn ? qn的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k , 当n二k时，S k为最值，是最大或最小，通过S n的开口来判断。 二、等比数列 (1)等比数列的基本公式 ①通项公式：n 1 a n =aq (从第1项a i开始为等比) a二a q (从第m项a开始为等差) ②前n项和公式： —,(q ~1)，Sfq-1) (2)证明等比数列的法方 ①定义 法：对任意的n,都有a n 1 = qa n(a n = 0)= 色」=q (q = 0)= {a n}为等比数列a n
2020届高三数学复习 数列解题方法集锦
2020届高三数学复习 数列解题方法集锦 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出 现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。 一、数列的基础知识 1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系 它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ； 1.1 已知S n 求a n 对于这类问题，可以用公式a n =???≥-=-) 2()1(11 n S S n S n n . 1.2 已知a n 求S n 这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相 减法和通项分解法。 2．递推数列：?? ?==+) (11n n a f a a a ，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设 法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。 例1 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n+3,求数列{a n }的通项a n ，并判断数列{a n }是否为 等差数列。 解：由已知：S n =n 2-2n+3，所以，S n-1=(n-1)2-2(n-1)+3=n 2-4n+6, 两式相减，得：a n =2n-3(n ≥2),而当n=1时,a 1=S 1=2,所以a n =???≥-=) 2(32)1(2 n n n . 又a 2-a 1≠a 3-a 2，故数列{a n }不是等差数列。 注意：一般地，数列{a n }是等差数列?S n =an 2 +bn ?S n 2 ) (1n a a n +. 数列{a n }是等比数列?S n =aq n -a. 例2 已知数列{a n }的前n 项的和S n = 2 ) (1n a a n +,求证：数列{a n }是等差数列。 证明：因为S n = 2)(1n a a n +，所以，2 ) )(1(111++++=n n a a n S
数列解题技巧
数列解题技巧 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
第四讲数列与探索性新题型的解题技巧 【命题趋向】 从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】
高三复习数列知识点总结
数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33 ，； （2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2)
例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四：累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1
数列常见解题方法
数列解题方法 一、基础知识： 数列： 1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每 一个数叫做数列的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示 项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类： ①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ； ②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化X 围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数 关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N +或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数
列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项 a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1，a n -2，…）间关系可以用一个公式a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n =1n i i a =∑=a 1+a 2+… +a n ，如果S n 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系： 通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2)n n n S n a S S -=?=?-≥? 等差数列与等比数列：
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等差数列前n 项和的最值问题： 1、若等差数列{}n a 的首项1 a >，公差0d <，则前n 项和n S 有 最大值。 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大?1 n n a a +≥?? ≤? ； （ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p -的非零自然数 时n S 最大； 2、若等差数列{}n a 的首项1 0a <，公差0d >，则前n 项和n S 有 最小值 （ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小?1 n n a a +≤?? ≥? ； （ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2q p -的非零自然数 时n S 最小； 数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知n S （即1 2 ()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{1 1 ,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。 已知1 2() n a a a f n =求n a ，用作商法： (1),(1)() ,(2) (1)n f n f n a n f n =??=?≥?-? 。 ⑶已知条件中既有n S 还有n a ，有时先求n S ，再求n a ；有时 也可直接求n a 。 ⑷若1 ()n n a a f n +-=求n a 用累加法：1 1 2 2 1 ()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1 a +(2)n ≥。 ⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12 1 121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 ⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比
数列知识点总结及题型归纳
数 列 一、数列的概念 （1 项叫第1项（或首项）第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a （1）(2)2010（2例如：①：1 ，2 ，②：4131211，，，说明： ①{}n a 表示数列，n a 的通项公式； ② 同一个数列的(1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一 个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 n a 来代替()f n ，其图象是一 . 有穷数列和无穷数、 … … 和n S 与通项n a 的关系： 322 +=n ，求数列}{n a 的通项公式 2项起，每一项与它的d 表示。用递推公式表示为1)。 = (1)n d +-； d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ） 3.等差数列,12-=n a n 题型三、等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?A （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a A ．120 B ．D ．75 2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质： ()n m a a n m d =+-， 且m n p q +=+，则 n 。 ) 127...a a a +++= （D ）n n n 项和，已知23a =， 611a =，则7S 等于( )
高中数学数列复习题型归纳解题方法整理
数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较
4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
(推荐)高中数学数列知识点精华总结
数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形
3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)
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数列解题技巧归纳总结 基础知识： 1．数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 ． 2．数列的项的性质：① 有序性 ；② 确定性 ；③ 可重复性 ． 3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形 式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，（…），简记作 {a n } ．其中a n 是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法． 4．数列的一般性质：①单调性 ；②周期性 ． 5．数列的分类： ①按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ； ②按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动数列 、其他； ③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； ④按项的变化范围分：有界数列、无界数列． 6．数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与它的序号n 之间的函数关系可以用一个公式a n =f （n ）（n ∈N + 或其有限子集{1，2，3，…，n}） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 ．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 ．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一． 7．数列的递推公式：如果已知数列{a n }的第一项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a n -1（或前几项a n-1， a n -2，…）间关系可以用一个公式 a n =f （a 1n -）（n =2，3，…） （或 a n =f （a 1n -,a 2n -）(n=3，4，5，…)，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 ． 8．数列的求和公式：设S n 表示数列{a n }和前n 项和，即S n = 1 n i i a =∑=a 1 +a 2 +…+a n ，如果S n 与项数n 之间的函数 关系可以用一个公式 S n = f （n ）（n =1，2，3，…） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 ． 9．通项公式与求和公式的关系： 通项公式a n 与求和公式S n 的关系可表示为：11(1) (n 2) n n n S n a S S -=?=? -≥? 等差数列与等比数列： 等差数列 等比数列 文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。 符号定义 1n n a a d +-= 1 (0)n n a q q a +=≠ 分类 递增数列：0d > 递减数列：0d < 递增数列：1101001a q a q >><<<，或，
数列解题技巧
数列解题技巧 Revised by Liu Jing on January 12, 2021
第四讲数列与探索性新题型的解题技巧 【命题趋向】 从2007年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a n与S n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等.因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a n与S n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】