学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 结构图
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 导数的概念
§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念课时目标 1.了解导数的概念及实际背景.2.会求函数在某一点的导数，并理解其实际意义．设函数y ＝f(x)，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f(x 0)变到f(x 1)，函数值y 关于x的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y=f （x ）在x 0点的瞬时变化率,.在数学中，称瞬时变化率为函数y=f(x)在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x →f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 一、选择题1．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－22．下列各式正确的是( )A.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)x B.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0－Δx )＋f (x 0)Δx C.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx D.f ′(x 0)＝0lim x ∆→f (x 0＋Δx )＋f (x 0)Δx 3.设f(x)在x= x 0处可导，则0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0)C ．f ′(x 0)D ．2f ′(x 0)4．函数y ＝x 2－1在x ＝1处的导数是( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都不对5．曲线y ＝－1x在点(1，－1)处的导数值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－16．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( )A ．－1B .12C .13D ．1 题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t 3－5t 2，则t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是__________．8．已知函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数为11，则0limx ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________ 9．设函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝______.三、解答题10．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．11.心理学家研究发现，学生的接受能力G 和教师提出概念所用的时间x(时间单位：分钟)有如下关系：G(x)＝0.1x 2＋2.6x ＋43，计算G ′(10)．能力提升12．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f(x)≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 13．设一物体在t 秒内所经过的路程为s 米，并且s ＝4t 2＋2t －3，试求物体在运动开始及第5秒末时的速度．1．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：(1)求函数的增量Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝0lim x ∆→Δy Δx2．导数就是瞬时变化率，可以反映函数在某一点处变化的快慢．§2 导数的概念及其几何意义2.1 导数的概念作业设计1．B2．C3.A [0limx ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =0lim x ∆→－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx =－0lim x ∆→f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝－f ′(x 0)．] 4．C5.A6．D7．4 m /s解析 s ′(2) =0lim x ∆→2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－(2×23－5×22)Δt ＝4.解析 0limx ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx =－0lim x ∆→f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11.9．2 解析 ∵f ′(1)=0limx ∆→a (1＋Δx )－a Δx ＝a ＝2. ∴a ＝2.10．解 ∵Δy ＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx －11 ＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx 1＋Δx·(1＋1＋Δx )， ∴Δy Δx ＝－11＋Δx·(1＋1＋Δx )， ∴0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→－11＋Δx·(1＋1＋Δx )=－11＋0·(1＋1＋0)＝－12， ∴y ′|x=1＝f ′(1)＝－12. 11．解 G ′(10)=0lim x ∆→G (10＋Δx )－G (10)Δx =0lim x ∆→0.1(10＋Δx )2＋2.6(10＋Δx )－0.1×102－2.6×10Δx ＝4.6.12．2解析 由导数的定义，得f ′(0)=0lim x ∆→f (Δx )－f (0)Δx ＝0lim x ∆→a (Δx )2＋b (Δx )＋c －c Δx ＝0lim x ∆→＝b. 又⎩⎨⎧Δ＝b 2－4ac ≤0a>0，∴ac ≥b 24，∴c>0. ∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 13．解 s ′(0) =0lim x ∆→4(0＋Δt )2＋2Δt －3－(4×02＋2×0－3)Δt ＝2；=0lim x ∆→4(5＋Δt )2＋2(5＋Δt )－3－(4×52＋2×5－3)Δt ＝42， 故物体在运动开始的速度为2 m /s ，第5秒末时的速度为42 m /s .。
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：第四章 单元检测B
第四章 导数应用(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．5．若函数f (x )＝a sin x ＋sin x 在x ＝π3处有极值，那么a 等于( ) A ．2 B ．－1 C.233D ．0 6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1的单调减区间为( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)D ．(0,2)7．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )8．方程x 3＋x 2＋x ＋a ＝0 (a ∈R )的实数根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．函数y ＝4x －x 4在x ∈上的最大值，最小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (1)与f (2)C ．f (－1)与f (2)D ．f (2)与f (－1)10．函数f (x )＝2x 2－13x 3在区间上的最大值是( ) A.323 B.163C ．12D ．9 11．对于函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)，正确的是( )A ．有极大值和极小值B ．有极大值无极小值C ．无极大值有极小值D ．无极大值无极小值12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值是( )A ．a ＝－11，b ＝4B ．a ＝－4，b ＝11题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若f (x )＝－12x 2＋b ln x ＋2在(0，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是__________． 14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________． 15.如图所示，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈表示过原点的曲线，且在x ＝±1处的切线的倾斜角均为34π，有以下命题： ①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈．②f (x )的极值点有且只有一个．③f (x )的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值． (1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；(2)若对x ∈，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．19.(12分)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．20．(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，一年付出的保管费用60 000元，则60 000150×4 000＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图像在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．第四章 导数应用(B)1．B2．D3．C 4．A 5．B6．D7．A8．B9．B10．A11．D12．D13．(－∞，0]解析 ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＝－x 2＋b x， 又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，即f ′(x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，又x >0，故－x 2＋b ≤0在(0，＋∞)上恒成立，即b ≤x 2在(0，＋∞)上恒成立．∴b ≤0.14．4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1x3， 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4. 所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4；当x <0，即x ∈．故①正确．由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝233. 根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.∴x ＝－233是极大值点也是最大值点． x ＝233是极小值点也是最小值点． f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确．17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立，且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立．由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0，即x 2－1≤a (x －1)．∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5，①由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0，即x 2－1≥a (x －1)．∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1. 又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7，②∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.经检验a ＝5或a ＝7都符合题意，∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7.18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－43a ＋b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－12，b ＝－2. f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－23或x >1， 令f ′(x )<0，得－23<x <1. 所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈， 由(1)知，当x ＝－23时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值，要使f (x )<c 2，x ∈恒成立，则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.19．解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在(－1,3)上f ′(x ) >0，所以f (x )在上单调递增，又由于f (x )在上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间上的最大值和最小值．于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间上的最小值为－7.20．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为12x 台，所以每年的保管费用为12x ·4 000·10%元，而每年的订货电脑的其它费用为5 000x·1 600元，这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%元． 令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%， y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋12·4 000·10%. 令y ′＝0，解得x ＝200(台)．也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ，于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增．于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)．而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0，即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x. ∵x >1时，f ′(x )>0，∴f(x)在上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)证明令F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2－23x3＋ln x，∴F′(x)＝x－2x2＋1x ＝x2－2x3＋1x＝x2－x3－x3＋1x＝(1－x)(2x2＋x＋1)x.∵x>1，∴F′(x)<0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数，∴F(x)<F(1)＝12－23＝－16<0.∴f(x)<g(x)．∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图像在g(x)＝23x3＋12x2的下方．。
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 函数的极值
1.2 函数的极值课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极大值点和极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为________________，其函数值f (x 0)为函数的________________________．2．函数的极小值点和极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都_________，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的__________．3．极值和极值点极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为__________．极值是函数在一个适当区间内的局部性质．一、选择题1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图像如图，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点2．已知函数f (x )，x ∈R ，且在x ＝1处，f (x )存在极小值，则( )A ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0B ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0C ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0D ．当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<03．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( ) A ．极小值B ．极大值C ．既有极大值又有极小值D ．极值不存在4．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <126．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )A ．－1<a <2B ．－3<a <2C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______. 8．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.9．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是__________．三、解答题10．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝x e －x .11．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值；(2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝(x －a )2(x －b )(a ，b ∈R ，a <b )．(1)当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.1．求函数的极值问题要考虑极值取到的条件，极值点两侧的导数值异号．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，利用极值可以解决一些函数解析式以及求字母范围的问题．1.2函数的极值知识梳理1．函数y＝f(x)的极大值点极大值2．大于x0点的函数值极小值3．极值极值点作业设计1．C2．C3．A4．A5．A6．D7．3解析f′(x)＝2x(x＋1)－(x2＋a)(x＋1)2＝x2＋2x－a(x＋1)2.∵f′(1)＝0，∴1＋2－a4＝0，∴a＝3.8．1－3解析因为f′(x)＝3ax2＋b，所以f′(1)＝3a＋b＝0.①又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②由①②解得a＝1，b＝－3.9.⎝⎛⎭⎫22，＋∞解析∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a或x<－a，f′(x)<0时，得－a<x<a. ∴当x＝a时，f(x)有极小值，x＝－a时，f(x)有极大值．由题意得：⎩⎨⎧a3－3a3＋a<0，－a3＋3a3＋a>0.a>0解得a>22.10．解(1)函数f(x)的定义域为R.f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从表中可以看出，当x ＝－2时，函数f (x )有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；当x ＝2时，函数f (x )有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16.(2)f ′(x )＝(1－x )e －x .令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1e. 11．解 (1)f ′(x )＝3x 2－9x ＋6.因为x ∈(－∞，＋∞)，f ′ (x )≥m ，即3x 2－9x ＋(6－m )≥0恒成立，所以Δ＝81－12(6－m )≤0，解得m ≤－34， 即m 的最大值为－34. (2)因为当x <1时，f ′(x )>0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝52－a ； 当x ＝2时，f (x )取极小值f (2)＝2－a ， 故当f (2)>0或f (1)<0时，f (x )＝0仅有一个实根．解得a <2或a >52. 12．(1)解 当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝(x －1)2(x －2)， 因为f ′(x )＝(x －1)(3x －5)，故f ′(2)＝1，又f (2)＝0，所以f (x )在点(2,0)处的切线方程为y ＝x －2.(2)证明 因为f ′(x )＝3(x －a )(x －a ＋2b 3)，由于a <b ，故a <a ＋2b 3， 所以f (x )的两个极值点为x ＝a ，x ＝a ＋2b 3. 不妨设x 1＝a ，x 2＝a ＋2b 3， 因为x 3≠x 1，x 3≠x 2，且x 3是f (x )的零点， 故x 3＝b .又因为a ＋2b 3－a ＝2(b －a ＋2b 3)， x 4＝12(a ＋a ＋2b 3)＝2a ＋b 3， 此时a ，2a ＋b 3，a ＋2b 3，b 依次成等差数列， 所以存在实数x 4满足题意，且x 4＝2a ＋b 3.。
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习： 导数的几何意义
2.2导数的几何意义课时目标 1.理解导数的几何意义；2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．1．函数y＝f(x)在的平均变化率是过A(x0，f(x0))，B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的________，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．2．函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处__________，反映了导数的几何意义．一、选择题1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于()A．2 B．4C．6＋6Δx＋2(Δx)2D．62．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有()A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在3．下面说法正确的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么()A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直6．已知函数f(x)的图像如图所示，下列数值的排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是______________．9．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.三、解答题10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率．11.设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．能力提升12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值．1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y －f(x 0)＝f ′(x 0) (x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f(x 0))，表示出切线方程，然后求出切点．2.2 导数的几何意义知识梳理1．斜率2．切线的斜率作业设计1．D ＝6x 2.∴y ′＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.]2．C3．C4．B5．B6．B 时，曲线上x ＝2处切线斜率最大，k ＝f (3)－f (2)3－2＝f(3)－f(2)>f ′(3)．] 7．－18．2x －y ＋4＝0解析 由题意知，Δy ＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx 2＋2Δx ，∴y ′=0lim x ∆→Δy Δx＝2.∴所求直线的斜率k ＝2.则直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.9．2解析 ∵点P 在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3，又∵f ′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f ′(5)＝3－1＝2.10．解 设切点坐标为(x 0，y 0)，则有y 0＝x 20.因y ′=0lim x ∆→Δy Δx =0lim x ∆→(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝2x. ∴k ＝y ′＝2x 0.因切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，将点(1，－3)代入，得：－3－x 20＝2x 0－2x 20，∴x 20－2x 0－3＝0，∴x 0＝－1或x 0＝3.当x 0＝－1时，k ＝－2；当x 0＝3时，k ＝6.∴所求直线的斜率为－2或6.11．解 ∵Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)＝(x 0＋Δx)3＋a(x 0＋Δx)2－9(x 0＋Δx)－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1) ＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a)Δx ＋(Δx)2. 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于3x 20＋2ax 0－9. 即f ′(x 0)＝3x 20＋2ax 0－9.∴f ′(x 0)＝3⎝⎛⎭⎫x 0＋a 32－9－a 23. 当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取最小值－9－a 23. ∵斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，∴该切线斜率为－12.∴－9－a 23＝－12.解得a ＝±3. 又a<0，∴a ＝－3.12．解 f ′(x)＝0lim x ∆→a (x ＋Δx )2＋b (x ＋Δx )－7－ax 2－bx ＋7Δx =0lim x ∆→(a·Δx ＋2ax ＋b)＝2ax ＋b. 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －7＝12a ＋b ＝4，解得a ＝－4，b ＝12.。
《学案导学与随堂笔记》北师大版数学选修1-2全套备课精选同步练习第二章章末检测(A)
章末检测(A)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列表示旅客搭乘火车的流程，正确的是()A．买票→候车→上车→检票B．候车→买票→上车→检票C．候车→买票→检票→上车D．买票→候车→检票→上车2．要描述一工厂的某产品的出厂过程，应用()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图3．下列判断不正确的是()A．画工序流程图类似于算法的流程图，从上到下，逐步细化B．在工序流程图中可以出现循环回路C．工序流程图中的流程线表示两相邻工序之间的衔接关系D．结构图中基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系4．根据二分法原理求解方程x2－2＝0得到的流程图可称为()A．程序框图B．工序流程图C．知识结构图D．组织结构图5．按照下图的程序计算，若开始输入的值为3，则最后输出的结果是() A．6 B．21 C．156 D．2316．下列结构图中，体现要素之间是逻辑先后关系的是()7．将x＝2输入以下程序框图，得结果为()A．3 B．5 C．8 D．128．下面是对三角形分类的结构图，其中不正确的是()9．如图所示的结构图中“工程部门”的上位是()A．技术研发部门B．综合办公室C．总经理D．股东大会10．下图为Sum＝1＋3＋5＋…＋101的程序框图，其中①应为()A．A＝101? B．A≤101?C．A>101? D．A≥101?11．如图所示的是成品加工流程图，从图中可以看出，即使是一件不合格产品，也必须经过的工序的道数是()A．6或8 B．5或7 C．4或5 D．7或812．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是()A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．有一程序框图如图所示：该算法解决的是_________________________________________________________．14．景泰蓝是深受人们喜爱的手工艺品，现在我们把它的制作流程叙述一下：第一步制胎，第二步掐丝，第三步点蓝，第四步烧蓝，第五步打磨，第六步镀金．请你用工序流程图，在图中描述出以上工序：→→→烧蓝→→15．已知框图如图所示：若a＝5，则输出b＝________.16．下图是某公司的组织结构图，后勤部的直接领导为____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)用流程图表示解“简单的线性规划问题”的一般步骤．18．(12分)建立数学模型一般都要经历下列过程：从实际情境中提出问题，建立数学模型，通过计算或推导得到结果，结合实际情况进行检验．如果合乎实际，就得到可以应用的结果，否则重新审视问题的提出、建模、计算或推导得到结果的过程，直到得到合乎实际的结果为止．设计一个流程图表示这一过程．19．(12分)观察如图所示的程序框图，说明它所表示的函数．20.(12分)设计判断数列{a n}是否为等比数列的流程图．21．(12分)到银行办理个人异地汇款(不超过100万)时，银行要收取一定的手续费，汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5 000元，按汇款额的1%收取；超过5 000元但不超过100万，一律收取50元手续费，超过100万则不予办理．请画出求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元的流程图．22．(12分)某中学行政机构关系如下：校长下设两名副校长和校长办公室，两名副校长又各自管理教务处、教科室和保卫科、政教处、总务处，各科室共同管理和服务各班级，试画出该校的行政组织结构图，并由结构图说明学校的管理工作是怎样进行的？第二章框图(A)答案1．D2．B3．B4．A5．D6．C7．D8．B9．B10．B11．B12．A13．输出不大于990且能被15整除的正整数解析由算法流程图知从n＝1开始，a＝15n为15的倍数．又根据n>66即结束，则a为从15开始到15×66的66个整数．由于15×66＝990，则该算法解决的是输出不大于990且能被15整除的所有正整数．14．制胎掐丝点蓝打磨镀金15．26解析若a＝5，程序执行“否”，计算b＝52＋1＝26.故b＝26.16．专家办公室17．解 参考流程图如图所示．阅读题目↓ 写出约束条件↓ 写出目标函数↓作出平面区域表示可行域↓在可行域内平行移动目标函数所在直线，使目标函数取得最大(小)值↓解方程组，求得最优解↓代入最优解，求得目标函数的最值18．解 流程图如图所示：19．解 由题意知，程序框图表示的函数为y ＝⎩⎨⎧x2＋3 (x <0)，0 (x ＝0)，x2－5 (x >0).20．解 如图所示．21．解 要计算手续费，首先建立汇款额与手续费之间的函数关系式，依题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0<x ≤100，x ×0.01， 100<x ≤5 000，50， 5 000<x ≤1 000 000.流程图如图所示：22．解 该校的行政组织结构图如下：由图可知：学校的现有管理工作由校长总负责，然后由两名副校长分别负责教学工作和后勤工作，校长办公室对校长负责，处理学校工作，班级是学校的基本单位，各部门科室都有责任管理和服务于班级，班级工作是最基础的学校工作．。
学案导学与随堂笔记北师大数学选修全套备课精选同步练习：第三章 章末检测B
章末检测(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列推理过程是类比推理的是()A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为1 2B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D．由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数2．下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是()A．推理正确B．推理形式不正确C．大前提错误D．小前提错误3．勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有() A．p＋q＋r＝dB．p2＋q2＋r2＝d2C．p3＋q3＋r3＝d3D．p2＋q2＋r2＋pq＋pr＋qr＝d24．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出一般式子为()A．1＋122＋132＋…＋1n2<12n－1(n≥2)B．1＋122＋132＋…＋1n2<2n＋1n(n≥2)C．1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n(n≥2)D．1＋122＋132＋…＋1n2<2n2n＋1(n≥2)5．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；④若ab＝0，则a＝0或b ＝0.对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：①a·b ＝b·a ； ②(a·b )c ＝a (b·c )；③若a·b ＝b·c ，b ≠0，则a ＝c ； ④若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0. 其中结论正确的有( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 010等于( ) A ．0B ．－ 3C. 3D.327．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点8．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a ，b ，c9．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( ) ①2 006能被2整除； ②一切偶数都能被2整除； ③2 006是偶数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①10．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( ) A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确11．定义A *B 、B *C 、C *D 、D *B 分别对应下列图形，那么下面的图形中，可以表示A *D ，A *C 的分别是( )A ．(1)，(2)B ．(2)，(3)C ．(2)，(4)D ．(1)，(4)12．已知f (x )＝x 3＋x ，a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于零B ．一定等于零C ．一定小于零D ．正负都有可能二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________.14．对于“求证函数f (x )＝－x 3在R 上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D 的函数f (x )，若对任意x 1，x 2∈D 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)<0，则函数f (x )在D 上是减函数”，小前提是“__________________________”，结论是“f (x )＝－x 3在R 上是减函数”．15. 在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一般表达式f (n )＝__________.16．下面的四个不等式： ①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ； ②a (1－a )≤14；③a b ＋ba ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中不成立的有________个．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)设f (x )＝x 2＋ax ＋b ，求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.18．(12分)已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫1x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12.若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，12且x 1≠x 2，求证：12>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.19.(12分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：a ＋12＋b ＋12≤2.20．(12分) 如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．(1)求证：DF∥平面ABC；(2)求证：AF⊥BD.21.(12分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)中的a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．22．(12分)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，…问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2 008是第几行的第几个数？第三章 推理与证明(B)答案1．B 2．A 3．B 4．C 5．B 6．C 7．C 8．A 9．C 10．D 11．C 12．A13．在四面体A —BCD 中，G 为△BCD 的重心， 则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．对于任意x 1，x 2∈R 且x 2－x 1>0，有f (x 2)－f (x 1)＝－x 32＋x 31＝－(x 2－x 1)(x 22＋x 1x 2＋x 21) ＝－(x 2－x 1)·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋x 122＋34x 21<015.n (n ＋1)2解析 当n ＝1时，1＝1×22；当n ＝2时，3＝2×32；当n ＝3时，6＝3×42；当n ＝4时，10＝4×52；…，猜想：f (n )＝n (n ＋1)2.16．1解析 由a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca ) ＝12 ＝12≥0， 故①正确．由14－a (1－a )＝14－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122≥0， 故②正确．(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)－(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2－a 2c 2－2acbd －b 2d 2 ＝a 2d 2＋b 2c 2－2abcd ＝(ad －bc )2≥0，故④正确． ∵a b ＋b a ≥2或a b ＋ba ≤－2，∴③不正确． 17．证明 假设|f (1)|<12，|f (2)|<12，|f (3)|<12，于是有－12<1＋a ＋b <12①－12<4＋2a ＋b <12② －12<9＋3a ＋b <12③ ①＋③，得－1<10＋4a ＋2b <1， 所以－3<8＋4a ＋2b <－1， 所以－32<4＋2a ＋b <－12.由②知－12<4＋2a ＋b <12，矛盾，所以假设不成立，即|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.18．证明 要证原不等式成立，只需证明 ⎝⎛⎭⎫1x 1－1⎝⎛⎭⎫1x 2－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12， 事实上，∵0<x 1，x 2<12，x 1≠x 2，∴⎝⎛⎭⎫1x 1－1⎝⎛⎭⎫1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12 ＝1x 1x 2－1x 1－1x 2－4(x 1＋x 2)2＋4x 1＋x 2＝(x 1－x 2)2(1－x 1－x 2)x 1x 2(x 1＋x 2)2>0.∴⎝⎛⎭⎫1x 1－1⎝⎛⎭⎫1x 2－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12， 即有lg ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x 1－1⎝⎛⎭⎫1x 2－1>lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2－12，故12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 19．证明 ∵1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14.∴12(a ＋b )＋ab ＋14≤1. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1. 从而有2＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. 即⎝⎛⎭⎫a ＋12＋⎝⎛⎭⎫b ＋12＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. ∴⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4. ∴a ＋12＋b ＋12≤2. 20．证明 (1)取AB 的中点G ，连接FG ，CG ， 可得FG ∥AE ，FG ＝12AE ，又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE，CD＝12AE，∴FG∥CD，FG＝CD.又∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE的中点，∴AF⊥BE，∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，∴DF⊥AB，又DF⊥FG，FG∩AB＝G，∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，又∵DF∩BE＝F，∴AF⊥平面BDF，又BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.21．证明假设方程f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＋c＝0.①因为f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，所以a＋b必为偶数，当k为偶数时，令k＝2n (n∈Z)，则ak2＋bk＋c＝4n2a＋2nb＋c＝2n(2na＋b)＋c必为奇数，与①式矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1 (n∈Z)，则ak2＋bk＋c＝(2n＋1)(2na＋a＋b)＋c为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数，必为奇数，也与①式矛盾，故假设不成立．综上可知方程f(x)＝0无整数根．22．解(1)由表知，每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n －1.(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2n －1－1，第n 行的第一个数为2n －1，第n 行的最后一个数为2n －1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，S n ＝2n －1(2n －1＋2n －1)2＝22n －3＋22n －2－2n －2. (3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差数列的通项公式得，2 008＝1 024＋(n －1)·1，所以n ＝985，所以2 008是第11行的第985个数．。
北师大版选修1-2高中数学2.2结构图word导学案
陕西省榆林育才中学高中数学第2章《框图》结构图导学案（无答案）北师大版选修1-2一、学习目标一、通过实例，明白得结构图的概念；2、能绘制简单问题的结构图，体会结构图在揭露事物联系中的作用.教学重点、难点：运用结构图梳理已学的知识,整理搜集到的资料信息，依照所给的结构图,用语言描述框图所包括的内容.二、研讨互动，问题生成一、结构图的概念（1）结构图是一种静态图示，是一种描述的图示.（2）结构图一样由组成系统的和表达各要素之间关系的组成，连线通常依照、的方向（方向箭头依照箭头所指的方向）表示要素的或 .（3）结构图可分为、和其他结构图.（4）知识结构图的各要素之间常有或从属关系，从属关系经常使用“”形结构，组成系统的要素一样至少有一个“上位”或“”要素“”形结构常在表达逻辑前后关系时显现.（5）一样来讲，组织结构图呈“”结构，结构图中的各部门从上到下是关系.二、如何确信结构图中各元素之间的关系？题型二画组织结构图例2 某行政大楼的一楼是大堂，二楼是大会议厅，三楼是教育类，从左至右是成人教育办公室、特殊教育办公室、小学教育办公室、中学教育办公室、主任办公室；四楼是计生类，从左至右是办证室、外来务工人员记录室、主任室；五楼是平安类，从左至右是消防办公室、安检办公室、主任室；六楼是行政类，从左至右是局长办公室、四个副局长办公室、接待室.请依照上述资料，绘制一个平面图.变式训练2 北京期货商组织结构设置如下：（1）会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会与会长办公会共辖理事会；（2）会长办公会下设会长，会长治理秘书长；（3）秘书长分管：秘书处、标准自律委员会、效劳推行委员会、进展创新委员会.依照以上资料绘制其组织结构图.以下图为某集团组织结构图（1）请据图分析财务部门和人力资源部的隶属关系；（2）集团组织内并列关系的人员有哪些？要点归纳，反思总结画结构图要从头到尾抓住要紧脉络分解成假设干步，再将每一步提炼成简练语言放在矩形框内，最后把各步按逻辑顺序排列并用线段连接，专门要注意实际问题的逻辑顺序和概念上的从属关系.。
《学案导学与随堂笔记》北师大版数学选修1-2全套备课精选同步练习3.1归纳与类比
第三章 推理与证明 §1 归纳与类比课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳与类比2.合情推理归纳和类比都是合情推理，得出的结论____________________．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．已知数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n －1＋1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n的一个表达式是( )A ．n 2－1B ．(n －1)2＋1C ．2n －1D ．2n －1＋13．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 ……A ．1111110B ．1111111C ．1111112D ．1111113 4．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. 其中结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. 观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A ．■B ．C ．□D ．○二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是__________________________．7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为____________________．8．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.三、解答题9．观察等式sin 220°＋sin 240°＋sin 20°·sin 40°＝34；sin 228°＋sin 232°＋sin 28°·sin 32°＝34.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．10.已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n (n ∈N *)，求出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式．.能力提升11．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )12．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆C 上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．1．归纳推理具有由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，归纳推理的一般步骤： (1)通过观察个别情况发现某些相同性质．(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．2．运用类比推理必须寻找合适的类比对象，充分挖掘事物的本质及内在联系．在应用类比推理时，其一般步骤为：①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想．③检验这个猜想．第三章 推理与证明 §1 归纳与类比答案知识梳理作业设计 1．B 2．C 3．B 4．B 5．A6．正四面体的内切球的半径是高的14解析 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是高的14.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．962解析 观察各式容易得m ＝29＝512，注意各等式右面的表达式各项系数和均为1，故有m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1，将m ＝512代入得n ＋p ＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n ＋14p －1，化简整理得n ＋4p ＋200＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋p ＋350＝0，n ＋4p ＋200＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－400，p ＝50.∴m －n ＋p ＝962.9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°， 而cos 60°＝12，sin 60°＝32，由此题的条件猜想，若α＋β＝60°， 则sin 2α＋sin 2β＋sin α·sin β＝sin 2(α＋β)＝34.10．解 由a 1＝S 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1得，a 1＝1a 1， 又a 1>0，所以a 1＝1.当n ≥2时，将S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n ， S n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1的左右两边分别相减得a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n －12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，整理得a n －1a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，所以a 2－1a 2＝－2，即a 22＋2a 2＋1＝2， 又a 2>0，所以a 2＝2－1.同理a 3－1a 3＝－22，即a 23＋22a 3＋2＝3， 又a 3>0，所以a 3＝3－ 2.可推测a n ＝n －n －1.11．D12．证明 类似性质为：若M 、N 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与P 点位置无关的定值．其证明如下：设P (x ，y )，M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b 2＝1，即n 2＝b 2a 2(m 2－a 2)．∴k PM ＝y －nx －m ，k PN ＝y ＋nx ＋m ， 又x 2a 2－y 2b 2＝1，即y 2＝b 2a2(x 2－a 2)， ∴y 2－n 2＝b2a 2(x 2－m 2)．∴k PM ·k PN ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a2. 故k PM ·k PN 是与P 点位置无关的定值．。
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§2结构图
课时目标 1.通过具体实例，了解结构图.2.会画简单问题的结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用.3.能够解读结构图，并灵活运用结构图．
1．结构图可以表示结构设置的________，清楚表示事物的________；结构图的各部分之间存在某种________关系．
2．常用的结构图：组织结构图，知识结构图．
一、选择题
1．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是()
2．如图所示是一个集合运算的结构图，在框中应填入()
A．空集B．补集C．子集D．全集
3．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是()
A．流程图是用来描述一个动态过程
B．结构图是用来刻画系统结构的
C．流程图可以用带箭头的流程线表示各单元的先后关系
D．结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系
4．如图是“集合”一章的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在()
A．“集合的概念”的下位
B．“集合的表示方法”的下位
C．“集合之间的关系”的下位
D．“集合运算”的下位
5．下列结构图中要素之间表示从属关系的是()
二、填空题
6．如图所示是“集合”的知识结构图，则该结构图属于____________形结构，“集合的运算”相对于“集合”是________要素，相对于“基本运算”是________要素．
7．如图所示是一商场某段时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有________个．
8．实数系的结构图如图所示，其中1,2,3三个方格中的内容分别是________，________，________.
三、解答题
9．画出必修1“集合”一章的知识结构图．
10．某大学的学校组织结构图如图所示，由图回答下列问题：
(1)学生工作处的下位要素是什么？
(2)学生工作处与其下位要素是什么关系？
能力提升
11．下图为某集团组织结构图，请据图分析财务部和人力资源部的隶属关系．
12．为迎接世博会，某咨询公司做人事调整：设总经理一个，配有总经理助理一名；设副总经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副总经理A管理生产部、安全部和质量部；副总经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗．请根据以上信息设计并画出该公司的组织结构图．
1．知识结构图的画法
先对所画结构图的每一部分内容有一个深刻的理解和透彻的掌握，理清各部分之间的并列或从属关系，然后从头开始，抓住主要脉络进行粗略分解，再进一步细化．2．画组织结构图时先理清各大部门的并列关系，再理清大部门与各小部门的从属关系即可，一般常用树形结构图表示．
3．解读结构图，分析各要素间的逻辑或从属关系时，可按画结构图的顺序去浏览分析：下位要素与上位要素间，同一要素的下位要素间等往往是从属或并列关系，有箭头的连线往往揭示逻辑关系．
§2结构图
答案
知识梳理
1．层次 分类 逻辑 作业设计 1．A 2．B 3．D 4．C 5．C
6．树 下位 上位
解析 本题考查对结构图的认识，是树形结构图． 7．3
解析 影响“计划”的主要是其上位要素：政府行为、策划部和社会需求． 8．有理数 整数 零 9．解 集合
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⎪⎪⎪ —集合的概念—集合的表示—⎪⎪
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—列举法—描述法—集合的关系与运算
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—包含关系—子集—⎪⎪⎪
—真子集—相 等
—集合运算—⎪⎪⎪⎪
—交集—并集
—补集
10．解(1)由图可知学生工作处的下位要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．
(2)学生工作处与其下位要素的关系是从属关系．
11．解由组织结构图分析可得：
财务部直属总裁管理；而总裁又由董事长管理，董事长服从于董事会．
人力资源部由董事长助理直接管理，董事长助理服从于董事长，董事长又服从于董事会，董事会是最高管理部门．
12．解。