(完整版)机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)

第一、填空题

1.组成优化设计数学模型的三要素是 设计变量 、 目标函数 、 约束条件 。

2.函数()22121212,45f x x x x x x =+-+在024X ??=????点处的梯度为120-??

?

???

，海赛矩阵 为2442-??

??-??

3.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用 来评价设计的优劣，，同时必须是设计变量的可计算函数 。

4.建立优化设计数学模型的基本原则是确切反映 工程实际问题，的基础上力求简洁 。

5.约束条件的尺度变换常称 规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。

6.随机方向法所用的步长一般按 加速步长 法来确定，此法是指依次迭代的步 长按一定的比例 递增的方法。

7.最速下降法以 负梯度 方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为 梯度法，其收

敛速度较 慢 。

8.二元函数在某点处取得极值的充分条件是()00f X ?=必要条件是该点处的海赛矩阵正定

9.拉格朗日乘子法的基本思想是通过增加变量将等式约束 优化问题变成 无 约束优化问题，这种方法又被称为 升维 法。

10改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩

11坐标轮换法的基本思想是把多变量 的优化问题转化为 单变量 的优化问题

12．在选择约束条件时应特别注意避免出现 相互矛盾的约束， ，另外应当尽量减少不必要的约束 。

13．目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1, 空间中描述出来，为了在n 维空间中反映目标函数的变化情况，常采用 目标函数等值面 的方法。

14.数学规划法的迭代公式是 1

k k k k X

X d α+=+ ，其核心是 建立搜索方向， 和 计算最佳步长

15协调曲线法是用来解决 设计目标互相矛盾 的多目标优化设计问题的。

16.机械优化设计的一般过程中， 建立优化设计数学模型 是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。 二、名词解释

1．凸规划

对于约束优化问题

()min f X

..s t ()0j g X ≤ (1,2,3,,)j m =???

若()f X 、()j g X (1,2,3,,)j m =???都为凸函数，则称此问题为凸规划。

2．可行搜索方向

是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。 3．设计空间：n 个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合 4．.可靠度 产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率. 5．收敛性

是指某种迭代程序产生的序列(){}

0,1,k X k =???收敛于1

lim k k X

X +*→∞

=

6.非劣解：是指若有m 个目标()()1,2,i f X i m =???，当要求m-1个目标函数值不变坏时，找不到一个X ，使得另一个目标函数值()i f X 比()

i f X *，则将此X *

为非劣解。

7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。

8.可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。 9.维修度 在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间t 内修复完毕的概率 1、设计变量

答：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数（或 需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数） 2、目标函数

答：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用设计变量所表达成的函数，称为目标函数（或 用设计变量来表达所追求目标的函数） 3、设计约束

答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束（或 对设计变量取值限制的附加设计条件） 4、最优点、最优值和最优解

答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作： ｘ*＝[x1*，x2*，x3*，．．．．，x ｎ*]T

使该设计点的目标函数Ｆ(x*)为最小，点x*称为最优点（极小点）。相应的目标函数值Ｆ(x*)称为最优值（极小值）。一个优化问题的最优解包着最优点（极小点）和最优值（极小值）。把最优点和最优值的总和通称为最优解。 或：

优化设计就是求解n 个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即 min f(x)=f(x*) x ∈Ｒn s.t. ｇu （ｘ）≤0，ｕ＝1,2,．．．,m ； ｈv （ｘ）＝0，ｖ＝1,2,．．．,p

称x*为最优解，f(x*)为最优值。最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解 三、简答题

1．什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？ 1）内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩 在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列。惩罚因子按下式递增1

(1,2,)k

k r cr k -==???，式中c 为惩罚因子的递增

系数，通常取5~10c =

2．共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。 . 对于二次函数，()12

T T f X X GX b X c =++,从k X 点出发，

沿G 的某一共轭方向k

d 作一维搜索，到达1

k X

+点，则1

k X +点处的搜索方向j

d 应满足()()1

0T

j k k d

g

g +-=，即终点

1k X +与始点k X 的梯度之差1k k g g +-与k d 的共轭方向j d 正交。

3．为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进？.

答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改进。

4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。 略

5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。 略

6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说明。 略

7．简述随机方向法的基本思路

答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生若干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X 值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X ，重复以上过程，经过若干次迭代计算后，最终取得约束最优解。

8 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。 数值计算迭代法的基本思想：

数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。（5分） 其迭代法计算的基本格式是：

从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长α(k)，从而到一个新点，即： X(k+1)＝x(k)＋α(k)S(k) k=0,1,2,3………. 式中：x(k)——前一步取得的设计方案（迭代点）。在开始计算时，即为迭代的初始点x(0)； X(k+1)——新的修改设计方案（新的迭代点）；

S(k)——第k 次迭代计算的搜索方向（可以看作本次修改设计的定向移动方向）； α(k)——第k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。

计算题 1．试用牛顿法求()2

2

1285f X x x =+的最优解，设()

[]01010T

X

=。初始点为

()[]0

1010T

X =，则初始点处的函数值和梯度分别为

()()0120

121700

164200410140f X x x f X x x =+?????==????+????

，沿梯度方向进行一维搜索，有

()010000010200102001014010140X X f X αααα-??

????=-?=-=??????

-??????

0α为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件

()

()[]

()()()(){

}

()

α?αααααα

αα

min 14010514010200104200108min min 2

0002

00

01=-?+-?-?+-?=?-=X f X f X f

()001060000596000?αα'=-=，

从而算出一维搜索最佳步长 059600

0.05622641060000

α=

=

则第一次迭代设计点位置和函数值01

010200 1.245283010140 2.1283019X αα--????

==?

???

-??

?? ()124.4528302f X =，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最

优解。

2、试用黄金分割法求函数()20

f ααα

=+

的极小点和极小值，设搜索区间

[][],0.2,1a b =（迭代一次即可）

解：显然此时，搜索区间[][],0.2,1a b =，首先插入两点12αα和，由式

()1()10.61810.20.5056b b a αλ=--=--= ()2()0.20.61810.20.6944a b a αλ=+-=+?-=

计算相应插入点的函数值()()4962.29,0626.4021==ααf f 。 因为()()12f

f αα>。所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，

即[][][]1,,0.5056,1b a b α==。 第一次迭代：

插入点10.6944α=， 20.50560.618(10.5056)0.8111α=+-=

相应插入点的函数值()()1229.4962,25.4690f f αα==，

由于()()12f

f αα>，故消去所以消去区间[]1,a α，得到新的搜索区间[]1,b α，

则形成新的搜索区间[][][]1,6944.0,,1==b a b α。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

3．用牛顿法求目标函数()2

2

121625f X x x =++5的极小点，设()

[]022T

X

=。

解：由 ()

[]022T X

=，则()11022326450100f x x f X x f x ???

???????

???===?????????

???????

()222

11220

22221

2320050f f x x x f X f f x x x ???????????

?

??==??

???????

??????，其逆矩阵为

()1

2010321050f X -???????=????

?????

?

因此可得：()()110200

1

02640322110000

50X X f X f X -????

????????=-??=-=??????????

???????????

?

()

15f X =，从而经过一次迭代即求得极小点[]00T

X *=，()5f X *=

4.下表是用黄金分割法求目标函数 ()20

f αα

=+的极小值的计算过程，请完成下表。

5、 求二元函数f(x 1,x 2)=x 12+x 22-4x 1-2x 2+5在x 0=[0 0]T 处函数变化率最大的方向和数值？ 解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P 表示函数变化率最大和数值是梯度的模II )(0x f ?II 。求f(x 1,x 2)在0x 点处的梯度方向和数值，计算如下：

)(0x f ?=0

21x x f x f ????

??

??????????=0

224221

x x x ????

??--=???

???--24 II )(0x f ?II =22

21)()(

x f

x f ??+??=52)2()4(22=-+- P=?????

?

?????

?-

-=?

?????--=??51525224)()(00x f x f 在21x x -平面上画出函数等值线和0x （0,0）点处的梯度方向P ，如图2-1所

示。从图中可以看出，在0x 点函数变化率最大的方向P 即为等值线的法线方向，也就是同

心圆的半径方向。

6、 用共轭梯度法求二次函数f(x 1,x 2)=x 12+2x 22-4x 1-2 x 1x 2 的极小点及极小值？ 解： 取初始点 x 0 []T

11=

则 g 0=?

?

?

???-=????

??---=?2424422)(012210

x x x x x x f 取 d 0=-g 0=??

?

???-24 沿d 0方向进行一维搜索，得

x 1=x 0+0αd 0=??

?

???-+=?

???

??-+???

???00021412411ααα

其中的0α为最佳步长，可通过f （x 1）=0)(),(min 01

1='α?α?α

求得 0α=

4

1 则 x 1 = ?

?????-+=??????-+??????00

021412411ααα=???

?????212 为建立第二个共轭方向d 1，需计算 x 1 点处的梯度及系数0β值，得

g 1=?f （x 1）=?

?

?

???--=????

??---212442211221x x x x x 4

12052

210==

=

g g β 从而求得第二个共轭方向

d 1=-g 1+0βd 0=???

?????=??????-+??????2322441

21

再沿d 1进行一维搜索，得

x 2=x 1+1αd 1=???

?

????++=????????+????????111232122232212ααα

其中的1α为最佳步长，通过f （x 2）=0)(),(min 12

2='α?α?α

求得 1α=1

则 x 2= ????????++=????????+????????111232122232212ααα=??

?

???24

计算 x 2点处的梯度

g 2=?

f （x 2）=

0002442221221=???

???=?????

?---x x x x x 说明x 2点满足极值必要条件，再根据x 2点的海赛矩阵

G (x 2)=??

??

??--4222

是正定的，可知x 2满足极值充分必要条件。故x 2为极小点，即

??

????==242*x x

而函数极小值为8)(*

-=x f 。 7、求约束优化问题

Minf(x)=(x 1-2)2+(x 2-1)2 s.t. h(x)=x 1+2x 2-2=0 的最优解？

解： 该问题的约束最优解为[]8.0)(,2.06

.1**

==x f x T

。

由图4-1a 可知，约束最优点*x 为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。 用间接解法求解时，可取2μ=0.8，转换后的新目标函数为

)22(8.0)1()2(),(2122212-++-+-=x x x x x μφ

可以用解析法求min ),(2μφx ，即令0=?φ，得到方程组

08.0)2(211

=+-=??x x φ

06.1)1(222

=+-=??x x φ

解此方程组，求得的无约束最优解为：[]8.0),(,2.06

.12**

==μφx x T

其结果和原约束最

优解相同。图4-1b 表示出最优点*

x 为新目标函数等值线族的中心。

图4-1

a ）目标函数等值线和约束函数关系

b ）新目标函数等值线