高数复习笔记
第一章
1、映射：Y中有唯一与x对应的元素，f为x到y的映射，y称为像，x称为原像
条件：x,y均为非空集合，但是y反过来对应的x不一定是唯一的
可以多个x对应一个y，不可一个x对应一个y。
y中所有元素均被对应，f称为满射。一个x对应着一个y是单射，若即是单射又是满射则是双射。
2、函数的有界性：上有界，下有界。恒小于一个值，恒大于一个值。
有界的充要条件是即有上界又有下界（函数绝对值恒小于一正数）
数列收敛的定义
1数列收敛极限唯一
2数列收敛，数列一定有界
3从某一项开始大于零，则其极限大于零
4数列收敛，子数列收敛
两函数相同的条件：定义域，表达式
4、函数极限：
δ，
函数极限定义：定义
、ε
5、极限运算法则
无穷小加无穷小为无穷小
（零是无穷小，但是无穷小不一定为零）有界函数（常数）×无穷小也是无穷小
6、重要极限
7、极限存在准则：
单调有界有极限
夹逼准则
函数的保号性
常见等价无穷小
1、sinx~x~tanx~ln(1+x)~arcsin(x)~arctan(x)~e x-1
2、1-cosx~1/2x2
3、(1+x)a-1
函数连续间断定义
某一点连续（左右极限存在且相等等于该点函数值，称之为连续
1、左极限等于该点函数值——左连续，右极限等于该点函数值——右连续
2、闭区间连续。右左端点处对应左右连续，开区间上连续
间断点类型
1、没定义
2、有定义，极限不存在
3、有定义，极限存在。但是极限不等于函数值
1、第一类间断点
左右极限都存在
（都相等但是不等于函数值——可去间断点）（极限不相等，跳跃间断点）
2、第二类间断点
左右极限至少有一个不存在称为第二类间断点
基本初等函数必连续（三角、反三角，幂函数，指数函数，对数函数）
加减乘除（分母不为零）、复合函数只要原函数连续，则连续
最值定理：闭区间连续函数一定可以取到最大最小值
零点定理：端点处函数值异号，开区间内存在零点（开区间使用）
介值定理：闭区间连续函数，区间内比存在一点，使其函数值取到最大值最小值之间（闭区间使用，且多个函数相加存在）
第二章
函数导数存在就是可导
可导一定连续（可以推出极限值等于函数值）不连续一定不可导
函数倒数存在——函数左右导数存在且相等
验证可导与否，先看是否连续，后看左右导数是否相等
Secx=1/cosx cscx=1/sinx
三角函数N 阶导数——sinx 求导——sin(x+n*pai/2) cosx 同理
1
')(!*)1()1(++-=
+n n
n n b ax a n b ax 乘积函数求N 阶导数
隐函数求导（两侧同时对x 求导，最后解出导数）
参数方程求导
)
(')(')()
(t t f dx dy t x t f y ??=
==
可导《=》可微=>连续
第三章
三个条件
拉格朗日中值定理：
1、拉格朗日等价形式：
)(*])([')()(a b a b a f a f b f --+=-θ
2、三个点，采用两次拉格朗日定理 柯西中值定理：
二阶可导——一阶可导——连续 洛必达法则：（存在局限性，如果上下求导最后极限不存在，但是其极限有可能存在，洛必达法则不适用） 1、0/0型。2、无穷/无穷（0×无穷）3、零的零次方4、 x 区域正无穷增长速度：指数>幂函数>对数函数
麦克劳林公式（取x0=0）佩亚诺余项（前一项的高阶无穷小）
驻点，不可导点，端点处值挑选最大最小
三角带换（适用于含有平方项相加减的积分函数）
倒带换（去除分母中的未知数项） 整体带换（去除根号）
含有三角函数的任意积分函数可以通过转化为tanx/2来代换。整体转化为有理函数积分 对于分式可以通过拆分转变为简单函数进而积分 可导（可微）一定连续，连续一定可积。
积分几大性质：
1、系数可提
2、一个区间可以分段积分
3、如果函数1大于函数2，则同积分限的值也同向大小
4、
5、
6、
7、
8、自变量无穷限反常积分 9、瑕积分（存在使得函数极限为无穷的点，）如果积分存在则收敛。不存在则发散当一闭区间内存在瑕点时，需要分段积分
第六章：定积分应用（元素法）
1、求函数曲线围成的面积（特殊，极坐标看成小扇形面积相加）
2、旋转体体积
3、界面非旋转但是面积与x 之间存在函数关系体积
4、弧长度（采用弧微分公式，分为参数方程，极坐标方程、一般直角坐标方程三类
?
+?2
2d ’‘??）
无数个小扇形相加求得
旋转体看成无数个薄圆柱体相加而成
参数方程求旋转体体积如果截面为非旋转体，且面积为x的函数，则可以通过积分求解
参数方程
如果为极坐标方程同理
第七章：微分方程
微分方程解法：
1、可分离变量的微分方程
2、齐次微分方程
通过将原微分方程转化为y/x的函数。
原微分方程可以通过变成可分离变量的微分方程求解
3、一阶线性微分方程
齐次的特解加非齐次通解常数变易法
4、可降阶的微分方程
高等数学笔记
第1章函数 §1 函数的概念 一、区间、邻域 自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后： 建立某一实数集A与数轴上某一区间对应 区间：设有数a,b,a a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。 去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。 二、函数概念 例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。 文章来源：https://www.360docs.net/doc/5e2876965.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数 集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。 函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。 其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。 当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。 文章来源：https://www.360docs.net/doc/5e2876965.html,/ 注意： （1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。 例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。 （3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。 若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。 函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。 文章来源：https://www.360docs.net/doc/5e2876965.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性 若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。 注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。 最新下载(https://www.360docs.net/doc/5e2876965.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息 数学重点、难点归纳辅导 第一部分 第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。 第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。 第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。 第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理 第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。 第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。 第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质 >区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则 基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用 1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂 高等数学读书笔记 ——定积分与不定积分 马燕妮 四川农业大学 经济学院 经济学 中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。 【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分 【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义 （一）、定积分的定义： 设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83) 导数与极限 （一）极限 1. 概念 （1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） A x f a x =→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。 （2）单侧极限 左极限： =-)0(a f A x f a x =-→)(lim ?0>?ε，0>?δ，当δ<- 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 数学笔记知识点汇总 一、实数 2、平方根： ①如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根。 ②一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方。 ③求一个数a 的平方根运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 3、算术平方根 如果一个正数x 的平方等于a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根 4、立方根： ①如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根。 ②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。 ③求一个数a 的立方根的运算叫开立方，其中a 叫做被开方数。 10、非负数 11、零指数次幂、负指数次幂 二、代数式 3、整式运算： 4、分解因式：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式 （2）方法：提公因式法/运用公式法/分组分解法/十字相乘法 （一提二套三分组） 6、分式的运算： 为同分母的分式，再加减。 0a ≥0≥20 a ≥0a 1(0)a =≠其中1(p p a p a -=≠为正整数,a 0) 7、二次根式 ①性质 ②运算 ③最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽的因数或因式。 ④同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式。 ⑤有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘积不含有二次根式，则他们互为有理化 因式。如：⑥分母有理化：把分母中的根号化去。（方法：分子分母同乘以分母的有理化因式） 三、方程 （二）二次方程 1、概念 ①一元二次方程：只含有一个未知数．．．．．，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程 2、一元二次方程的解法：①直接开平方方法②因式分解法③配方法④公式法 3、一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 的两个实数根为x 1,x 2 则有 如：x 12+x 22=（x 1+x 2）2－2 x 1x 2 4、根的判别式 △=b 2-4ac ①△>0时，方程有两个不相等的实数根②△=0时，方程有两个相等的实数根③△<0时，方程没有实数根。 a c x x a b x x =?-=+2121,0,0)a b =≥≥0,0)a b =≥>0,0) a b =≥≥0,0) a b =≥>2 (0)a a =≥a =±±m 2 122 1 2 1 4)(x x x x x x -+=- ?? 目录 第一讲极限 一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分 一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分） 一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分） 一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程 一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数 一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学 一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学 一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83) 高数一（微积分）总复习笔录 可能考的知识点: 第一章：函数及其图形 (一)对于定义域的求法： 形如y=1/f(x)，要求f(x)不等于0 对于根号f(x)，要求f(x)大于等于0 对于Y=logf(x)，要求f(x)大于0 对于y=arccosf(x)或y=arcsinf(x)，要求f(x)大于等于负1,小于等于正1. *值域：以定义域带进去求。 (二)判断函数的奇偶性： 奇函数：f(-x)=-f(x)，关于原点对称； 偶函数：f(-x)=f(x)，关于Y轴对称。 (1)两个偶函数之和或差是偶函数，两个奇函数之和或差是奇函数； (2)两个偶函数或两个奇函数之积或商是偶函数； (3)一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数。 (三)复合函数的分解： (四)反函数的求法：把x 从y=f(x)中反解出来即可。 * (五)经济学中常用的函数： (1)需求函数：D=(a-P)/b；D=(a-P^2)/b； (2)供给函数：S=aP-b；S=(aP-b)/(cP+d)。 (3)总收益函数。 (4)总成本函数：总成本＝固定成本+可变成本。 (5)总利润函数： 第二章极限与连续 (一)收敛数项级数的极限计算： 1、当等比级数的公比的绝对值小于1时收敛，其和为a/(1-q)；当大于1时发散； 2、荚逼定理：； 3、单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列必有极限。 (二)函数极限： 1、定理：当x->x`时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在x`的左、右极限都存在并均为A。 2、极限的四则运算法则： (三)利用无穷小量与无穷大量的运算法则求极限： 1、无穷小量：无穷小量的和、差、积也都是无穷小量。有界变量与无穷小量的积为无穷小量。 2、两个无穷小量相除：a/b趋于0，a是比b高阶的无穷小，a趋于0的速度比b 快； (四)利用无穷小量与无穷大量的关系求极限： (五)利用两个重要极限求极限： (六)利用函数的连续性求极限： 函数在一点处连续,要求在这一点有定义,函数的极限存在,并且相等. (七)利用等价无穷小的代换求极限： 第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2 ), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) 第一章 1、映射：Y中有唯一与x对应的元素，f为x到y的映射，y称为像，x称为原像 条件：x,y均为非空集合，但是y反过来对应的x不一定是唯一的 可以多个x对应一个y，不可一个x对应一个y。 y中所有元素均被对应，f称为满射。一个x对应着一个y是单射，若即是单射又是满射则是双射。 2、函数的有界性：上有界，下有界。恒小于一个值，恒大于一个值。 有界的充要条件是即有上界又有下界（函数绝对值恒小于一正数） 数列收敛的定义 1数列收敛极限唯一 2数列收敛，数列一定有界 3从某一项开始大于零，则其极限大于零 4数列收敛，子数列收敛 两函数相同的条件：定义域，表达式 4、函数极限： δ， 函数极限定义：定义 、ε 5、极限运算法则 无穷小加无穷小为无穷小 （零是无穷小，但是无穷小不一定为零）有界函数（常数）×无穷小也是无穷小 6、重要极限 7、极限存在准则： 单调有界有极限 夹逼准则 函数的保号性 常见等价无穷小 1、sinx~x~tanx~ln(1+x)~arcsin(x)~arctan(x)~e x-1 2、1-cosx~1/2x2 3、(1+x)a-1 函数连续间断定义 某一点连续（左右极限存在且相等等于该点函数值，称之为连续 1、左极限等于该点函数值——左连续，右极限等于该点函数值——右连续 2、闭区间连续。右左端点处对应左右连续，开区间上连续 间断点类型 1、没定义 2、有定义，极限不存在 3、有定义，极限存在。但是极限不等于函数值 1、第一类间断点 左右极限都存在 （都相等但是不等于函数值——可去间断点）（极限不相等，跳跃间断点） 2、第二类间断点 左右极限至少有一个不存在称为第二类间断点 基本初等函数必连续（三角、反三角，幂函数，指数函数，对数函数） 加减乘除（分母不为零）、复合函数只要原函数连续，则连续 最值定理：闭区间连续函数一定可以取到最大最小值 零点定理：端点处函数值异号，开区间内存在零点（开区间使用） 介值定理：闭区间连续函数，区间内比存在一点，使其函数值取到最大值最小值之间（闭区间使用，且多个函数相加存在） 第二章 函数导数存在就是可导 可导一定连续（可以推出极限值等于函数值）不连续一定不可导 函数倒数存在——函数左右导数存在且相等 验证可导与否，先看是否连续，后看左右导数是否相等 目录： 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 典型整数、小数实际问题——行程问题 行程问题是关于行路时所产生的路程、时间、速度的一类实际问题。解答这类实际问题时，应正确理解题目中的“速度”、“时间”与“路程”之间的关系，它们的基本运算关系如下： 速度×时间=路程 路程÷时间=速度 路程÷速度=时间 行程问题依据题目的特点，可大致分为以下几类： 1、一般的行程问题 这类实际问题中的条件比较明了，只需依据数量关系式路程=速度×时间就可快速度得到答案。 2、相遇问题 两个物体由于相向运动而相遇。解答此类问题的关键是求出两个运动物体的速度和。基本关系式有： 速度和×相遇时间=总路程 总路程÷相遇时间=速度和 总路程÷速度和=相遇时间 (总路程：两运动物体两地、同时相向运动所行的路程) 3、追及问题 两个运动物体同向而行，一快一慢，慢的在前，快的在后，经过一定的时间，快的追上慢的，这就是追及问题。解答追及问题的关键是确定或求出追及距离和两个物体在相同单位时间内的速度差。基本关系式有： 速度差×追及时间=追及距离 追及距离÷追及时间=速度差 追及距离÷速度差=追及时间 追及问题根据运动时间和运动地点的不同，又可分为： 4、火车过桥问题 解答火车过桥问题的关键是要明确火车完全通过大桥所经过的路程，如下图： 由上图不难看出，从车头上桥到车尾完全离开桥，火车一共行驶过的路程是“桥长+1个火车长”，那么只要知道火车的速度或行驶的时间，就可求出另外一个未知量。 第一节统计 一、统计图 1、统计图的类型、意义、特点及作用 2、什么情况下制作什么样的统计图较合适 一般来说，如果几个数量是并列的，只要求表示数量的多少，就画条形统计图。如果要表示一个量或几个量的数量增减变化情况和发展变化趋势，就画折线统计图。如果要表示各部分数量与总数量之间的关 系，就用扇形统计图。 第二节平面图形 一、基本概念 1、三角形 （1）三角形的定义 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 （2）三角形按角分类 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 按角分类直角三角形：有一个角是直角的三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 （3）特殊三角形 等腰三角形：有两条边相等的三角形。 等边三角形：三条边都相等的三角形。每个内角都是60° 2、四边形 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21 )()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 第一章函数与极限 第一节.映射与函数 一．集合 1．集合的概念 1)集合（集）；元素（元）；有限集，无限集；a∈A，a-∈A; 2)在表示数集的字母的右上角“*”来表示该集合中排除0；“+”表示该数集内排除0和负数的集合N:全体非负整数即自然数的集合 N+：全体正整数 Z:全体整数 Q:全体有理数 R:全体实数 R*排除0的实数集 R+:全体正实数 子集，真子集，空集 2．集合的运算 1)并，交，差 并集，全集（基本集），余集（补集）——Ac; 2)运算法则①②交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C),A∩(B∩C)=A∩(B∩ C); 分配律: (A∪B) ∩C=(A∩B)∪(B∩C),(A∩B) ∪ C=(A∪C) ∩(B∪C); 对偶律:(A∪B)c=Ac ∩Bc,(A ∩B)c=Ac∪Bc. 3)直积（笛卡尔乘积）：A×B=｛(x,y)!x∈A,y∈B｝ 3.区间和领域 1)开区间，端点，闭区间，半开区间，有限区间（b-a称为这些区间的长度），无限区间，区间常用I表示 2)邻域：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U(a) 设错误！未找到引用源。是任一正数，则开区间（x-错误！未找到引用源。）就是点a的一个邻域，称为点a的错误！未找到引用源。邻域，记作U(a,错误！未找到引用源。) ，a称为这个邻域的中心； 去心邻域错误！未找到引用源。(a,错误！未找到引用源。);于去错误！未找到引用源。左邻域，去错误！未找到引用源。右邻域； 两个闭区间的直积错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。:x0y平面的一个矩形区域，这个区域在x轴与y轴的投影分别为闭区间错误！未找到引用源。 二.函数 1.映射概念 定义：设X错误！未找到引用源。是两个非空集合，如果存在一个对应法则f,使得对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射，记作f:X错误！未找到引用源。Y; 象，原象 第二节.数列的极限 1. 数列极限的定义：1）设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（无论它有多么小），总存在正整数N，使得当时，不等式都成立，那么就从常数a 张宇数学基础班笔记 一、三种层次 层次一：感知——形式上 层次二：再现——本质上 注1：2013年人数众多、题目特别难 注2：洛必达法则在两种情况下要慎用：（狠下功夫） （1） f(x)/g(x)时，f 、g 为抽象函数 （2） f(x)/g(x)时，f 、g 含参数（半抽象） 注3：洛必达法则的证明及其使用前提、拉格朗日中值定理的证明之类的题要注意 注4：有限个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小。 无限个无穷小的 和不一定是无穷小；无限个无穷小的积也不一定是无穷小。（到此为止） 层次三：融通——解题能力（听课听得懂、看书看得懂，都不算解题能力，应该是在无任何提示的情况下独立做对题目） 1. 泰勒公式：碰上此类难背的工具——具体学、不抽 象学、不单纯背书。 用泰勒公式解决A+/-B 型函数的极限计算 ——泰勒公式是等价替换的精确化；等价替换是近似代换，泰勒公式是精确代换。 ——泰勒公式：事不过三，只记两项。SinX=X-1/6（(X)的三次方） o(X 的m 次方)——代表任何一个X 的m 次方的高阶无穷小 arcsinX-arctanX=1/2(X3) sinX-tanX=-1/2(X3) 注意：lim （A+B ）=limA+limB ——后验逻辑（极限计算：能不能拆？拆了再说。） 注意：通法——目标：干掉f （x ）去掉抽象函数，分母 相同时直接（ 2）式－（ 1 ）式 练习：SinX+X~2X 二、 三、真题——好又多（1987-2001-2012：一、二、三、 四） 四、大纲——不能拘泥大纲 五、特点（高数） 1． 注意：答题纸跟草稿纸非常像，一定小心。不要塞 进草稿纸 2． 高等数学难度加大，远远高于线代、概率。重点在 高数。 3． 重心前移：在二重积分及其以前。 4． 数学二的真题最有价值——最好的习题：数学二、 四。 5． 必备资料： （1） 教材：高等数学：同济大学第六版 （2） 辅导书：（很好）概率：陈希孺院士、高数18 讲 （3） 真题：2013考研数学历年真题分析与演练 第二讲 高等数学考试内容分析 1. 关于函数： (1) 复合——分段函数的复合 (2) （必考）考察函数的微分或者积分形式下的四个性 质：奇偶性、单调性、周期性、有界性。06:54 2. 函数的极限计算 （1） 基础题——其中未定式： 【例】 —— ——D.不 存在 注1：极限若存在，必唯一 注2:正三角——变——倒三角 【解】 （2） 技术题：如：用泰勒公式求极限（A+-B 型） 3. 数列的极限计算： （1） 夹逼定理 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x 第1章函数与极限 1.1 复习笔记 一、映射与函数 1．集合 （1）集合概念 集合（简称集）是指具有某种特定性质的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素（简称元）。常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合的元素。 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 （2）表示集合的方法通常有以下两种： ①列举法，就是把集合的全体元素一一列举出来表示； ②描述法，若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成的，就可表示成M＝{x|具有性质P}。 （3）常见的集合 ①空集，指不包含任何元素的集合，记为φ； ②非负整数集，全体非负整数即自然数的集合，记作N，即N＝{0，1，2，…，n，…}； ③正整数集，全体正整数的集合，记作，即＝{1，2，3，…，n，…}； ④整数集，全体整数的集合，记作Z，即Z＝{…，－n，…，－2，－1，0，1，2，…，n，…}； ⑤有理数集，全体有理数的集合，记作Q，即Q＝{∈z，q∈ 且P与q互质}； ⑥实数集，全体实数的集合，记作R，R为排除数0的实数集，为全体正实数的集合。 （4）集合的关系 ①包含关系 设A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A B（读作A包含于B）或B A（读作B包含A）。规定空集φ是任何集合A的子集，即φA。若且，则称A是B的真子集，记作（读作A真包含于B）。 ②等价关系 若集合A与集合B互为子集，即A B且B A，则称集合A与集合B相等，记作A＝B。 （5）集合的运算 ①并、交、差 a．并集考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)
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