圆相关定理

弦切角定理

一、弦切角

1、弦切角定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做(弦切角就是与弦所夹的角）

如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB，∠TCA，∠PCA，∠PCB都为弦切角。

二、弦切角定理

1、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半

2、弦切角定理证明（分三种情况讨论）：

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证：弦切角定理

①圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角

②圆心O在∠BAC的内部

过A作直径AD交⊙O于D,若在优弧m所对的劣弧上有一点E，连接EC、ED、EA

∴∠CED=∠CAD ∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

B

③圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

∴∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

三、弦心角推论

1、推论内容：若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

2、应用：

Eg.如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C

求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD.

圆幂定理——相交弦定理

一、相交弦定理

1、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）

几何语言：

∵弦AB、CD交于点P

∴PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的

比例中项的概念：如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项。

2、性质：b2=a*c

几何语言：

∵AB是直径，CD垂直AB于点P

∴PC2=PA·PB（相交弦定理推论）

二、相交弦定理证明

证明：连结AC，BD

由的推论

得∠A=∠D，∠C=∠B（推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）

∴△PAC∽△PDB，

∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD

圆幂定理——切割线定理

一、切割线定理

1、切割线定理：从圆外一点引圆的和，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT2=PA·PB（切割线定理）

2、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）/(）

由上可知:PT2=PA·PB

即PT2=PC·PD

二、切割线定理证明

已知：如图ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，

证明：PT2=PA·PB

证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT()

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT2=PA·PB

圆幂定理——割线定理

一、割线定理

1、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等从圆外一点P引两条·LB=LC·LD。如图所示。(LT是切线）

二、割线定理证明

已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线

证明：PA·PB=PC·PD

证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由，

∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP,

即PA·PB=PC·PD