同角三角函数的基本关系式知识讲解(学校教学)
同角三角函数基本关系
【学习目标】
1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式: αα
α
ααtan cos sin ,1cos sin 2
2==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法；
2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】
要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：2
2sin cos 1αα+=
(2)商数关系：
sin tan cos α
αα
= (3)倒数关系：tan cot 1?=αα，sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?=
要点诠释：
(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；
(2)2
sin α是2
(sin )α的简写；
(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形：
2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±?=±
2．商数关系式的变形
sin sin cos tan cos tan α
ααααα
=?=
，。 【典型例题】
类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．已知tan α=－2，求sin α，cos α的值。 【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos α
αα
=
=-,求出sin α=－2cos α，然后结合sin 2α+cos 2α=1，求出sin α，cos α。
【解析】 解法一：∵tan α=－2，∴sin α=－2cos α。 ① 又sin 2α+cos 2α=1， ②
由①②消去sin α得(－2cos α)2+cos 2α=1，即2
1cos 5
α=
。 当α为第二象限角时，5
cos α=，代入①得25sin α=。
当α为第四象限角时，5cos α=
，代入①得5sin 5
α=-。 解法二：∵tan α=－2＜0，∴α为第二或第四象限角。
又由sin tan cos ααα
=，平方得22
2sin tan cos ααα=。
∴22
22sin 1tan 11cos cos αααα+=+=，即2
2
1cos 1tan αα
=+。 当α为第二象限角时，22
115
cos 1tan 1(2)5
αα=-
==-++-。 525
sin tan cos (2)55ααα??=?=-?-= ? ???
。
当α为第四象限角时，22
115
cos 1tan 1(2)5
αα=
==++-。 525sin tan cos (2)ααα=?=-=。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中
如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。
举一反三：
【变式1】已知A 是ABC ?的一个内角，且5
tan 4
A =-，求sin ,cos .A A 【思路点拨】根据tan 0A <可得A 的范围：2
A π
π<<再结合同角三角函数的关系式求解.
【解析】
5
tan 0,4
A A =-
<∴为钝角，sin 0,cos 0.A A ∴>< 由sin tan ,cos A
A A
=
平方整理得222
11441cos ,cos 1tan 1tan A A A A =∴=-=-++ 5
sin tan cos 41.41
A A A ∴=?=
例2．已知cos α=m （－1≤m ≤1），求sin α的值。
【解析】（1）当m=0时，角α的终边在y 轴上， ①当角α的终边在y 轴的正半轴上时，sin α=1； ②当角α的终边在y 轴的负半轴上时，sin α=－1。
（2）当m=±1时，角α的终边在x 轴上，此时，sin α=0。 （3）当|m|＜1且m ≠0时， ∵sin 2α=1―cos 2α=1―m 2，
∴①当角α为第一象限角或第二象限角时，2sin 1m α=-
②当角α为第三象限角或第四象限角时，2sin 1m α=--
【总结升华】 当角α的范围不确定时，要对角的范围进行讨论，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的情况。
类型二：利用同角关系求值 例3．已知：tan cot 2,θθ+=求：
（1）sin cos ?θθ的值；（2）sin cos θθ+的值； （3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值
【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形提供了工具与方法。
【答案】（1）
1
2
（2）2±3）0（4）22222222-- 【解析】（1）由已知sin cos 2cos sin θθ
θθ
+=
22sin cos 2sin cos θθ
θθ
+∴
= 1sin cos 2
θθ∴=
（2）
()2
sin cos 12sin cos 112θθθθ+=+=+=
sin cos 2θθ∴+=±（3）
()
2
sin cos 12sin cos 110θθθθ-=-=-=
sin cos 0θθ∴-=
（4）由sin cos 2sin cos 0θθθθ?+=??-=??2sin 22cos 2θθ?
=??
?
?=
??
或2
sin 22cos 2
θθ?
=-??
??
=-??
【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了2
2
sin cos 1θθ+=这个隐含条件。
举一反三：
【变式1】已知sin cos 2
αα+=
，求下列各式的值： （1）2
2
1
tan tan αα
+
；（2）sin 3α+cos 3α。 【解析】 因为sin cos 2
αα+=
， 所以2
2
1(sin cos )22αα+==，