2016上海高考(文科)

2016年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷（文史类）

一. 填空题

1. 设x R ∈，则不等式|3|1x -<的解集为

2. 设32i

z i

+=

，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于 3. 已知平行直线1:210l x y +-=，2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离是

4. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72、1.78、1.80、1.69、1.76，则 这组数据的中位数是 （米）

5. 若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =

6. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=

7. 若x 、y 满足001x y y x ≥??

≥??≥+?

， 则2x y -的最大值为

8. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2]π上的解为

9.

在2)n x

的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于

10. 已知ABC ?的三边长分别为3、5、7，则该三角形的外接圆半径等于

11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水 果相同的概率为

12. 如图，已知点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,1)B -，P 是曲线

y =OP BA ?

取值范围是

13. 设0a >，0b >，若关于x 、y 的方程组1

1

ax y x by +=??+=?

无解，则a b +的取值范围是

14. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*

n N ∈，n S ∈

{2,3}，则k 的最大值为

二. 选择题

15. 设a R ∈，则“1a >”是“2

1a >”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件

16. 如图，在正方体

1111ABCD A BC D -中，

E 、

F 分 别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交 的是（ ）

A. 直线1AA

B. 直线11A B

C. 直线11A D

D. 直线11B C

17. 设a R ∈，[0,2]b π∈，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3

x ax b π

-=+，则满足条件的

有序实数对(,)a b 的对数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

18. 设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于下列命题：① 若()()f x g x +、

()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；

② 若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、

()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）

A. ①和②均为真命题

B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题

D. ①为假命题，②为真命题

三. 解答题

19. 将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，弧

AC 长为

56π，弧11A B 长为3

π

，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧； （1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小；

20. 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边 运走，于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运 到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平 面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)，如图； （1）求菜地内的分界线C 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为

83

， 设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五 边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”；

21. 双曲线2

2

21y x b

-=（0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交

于A 、B 两点；

（1）若l 的倾斜角为

2

π

，1F AB ?是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b =l 的斜率存在，且||4AB =，求l 的斜率；

22. 对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*

{|,}

n A x x a n N ==∈，*{|,}n B x x b n N ==∈，若同 时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =? 且*

A B N = ，则称{}n a 与{}n b 是 无穷互补数列；

（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若2n n a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；

（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通 项公式；

23. 已知a R ∈，函数21

()log ()f x a x

=+； （1）当1a =时，解不等式()1f x >；

（2）若关于x 方程22()log ()0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；

（3）设0a >，若对任意1[,1]2

t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围；

2016年普通高等学校招生全国统一考试

上海数学试卷（文史类）

一. 填空题

1. 设x R ∈，则不等式|3|1x -<的解集为 【解析】131x -<-<，24x <<，解集为(2,4)

2. 设32i

z i

+=

，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于 【解析】3223i

z i i

+==-，虚部为3- 3. 已知平行直线1:210l x y +-=，2:210l x y ++=，则1l 与2l 的距离是

【解析】直接套用两平行线间距离公式，

5d =

=

=4. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72、1.78、1.80、1.69、1.76，则 这组数据的中位数是 （米） 【解析】(1.75 1.77)2 1.76+÷=

5. 若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =

253a =?=±

6. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1

()f x -= 【解析】3

912a a =+?=，12x

y -=，2log (1)x y =-，12()log (1)f x x -=-

7. 若x 、y 满足0,0

1

x y y x ≥≥??

≥+?， 则2x y -的最大值为

【解析】可行域如图，设2x y z -=，即0.50.5y x z =-

z 要最大，即截距最小，如图经过(0,1)点时，截距最小，

即最大值为2-

8. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2]π上的解为 【解析】2

13sin 1cos 22sin 3sin 20sin 2x x x x x =+?+-=?=

，∴6x π=或56

π

9. 在2)n

x

的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于

【解析】22568n

n =?=，常数项2

6

2

82()284112C x

-=?=

10. 已知ABC ?的三边长分别为3、5、7，则该三角形的外接圆半径等于

【解析】2225371cos 5,32532+-??==-??，7sin 5,32R ??==，∴R =

11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水 果相同的概率为

【解析】224222441

6

C C P C C ?==?

12. 如图，已知点(0,0)O 、(1,0)A 、(0,1)B -，P 是曲线

y =OP BA ?

取值范围是

【解析】结合几何意义，可知当P 在(1,0)-时，OP BA ?

最小，最小值为1-，当OP 与BA

同向时，OP BA ? 最大，

[1- 13. 设0a >，0b >，若关于x 、y 的方程组1

1

ax y x by +=??

+=?无解，则a b +的取值范围是

【解析】根据题意，1ab =，1a ≠，1b ≠

，∴a b +>(2,)a b +∈+∞ 14. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*

n N ∈，n S ∈

{2,3}，则k 的最大值为

【解析】当12a =，数列可能为2、0、1、1-或2、1、0、1-或2、1、1-、0；当13a =， 数列可能为3、0、1-、1或3、1-、1、0或3、1-、0、1，∴k 最大值为4

二. 选择题

15. 设a R ∈，则“1a >”是“2

1a >”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分也非必要条件 【解析】范围小的推出范围大的，选A

16. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，

E 、

F 分 别为BC 、1BB 的中点，则下列直线中与直线EF 相交 的是（ ）

A. 直线1AA

B. 直线11A B

C. 直线11A D

D. 直线11B C

【解析】直线11B C 与直线EF 共面，且不平行，所以直线11B C 与直线EF 相交，选D 17. 设a R ∈，[0,2]b π∈，若对任意实数x 都有sin(3)sin()3

x ax b π

-=+，则满足条件的

有序实数对(,)a b 的对数为（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【解析】当3a =时，53b π=

，当3a =-时，4

3

b π=，两种情况，选B 18. 设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于下列命题：① 若()()f x g x +、

()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；

② 若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、

()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）

A. ①和②均为真命题

B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题

D. ①为假命题，②为真命题 【解析】命题①的反例，如图所示，①为假命题；

命题②，()()()()f x g x f x T g x T +=+++，

()()()()g x h x g x T h x T +=+++，作差得， ()()()()f x h x f x T h x T -=+-+，

又∵()()()()f x h x f x T h x T +=+++，

相加得，()()f x f x T =+，同理()()g x g x T =+，()()h x h x T =+，②正确，选D

三. 解答题

19. 将边长为1的正方形11AAOO （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，弧

AC 长为

56π，弧11A B 长为3

π

，其中1B 与C 在平面11AAOO 的同侧； （1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小； 【解析】（1）V Sh π==，2S π=侧 （2）52

63πππ-=

20. 有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边 运走，于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运 到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平 面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为(1,0)，如图； （1）求菜地内的分界线C 的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为

83

， 设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另一边过点M 的矩形的面积，及五 边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”；

【解析】（1）根据抛物线定义，方程为24y x =，01x ≤≤ （2）根据题意，1

(,1)4M ，∴55242

S =?

=矩， 1511

2884

S =++=五，五边形的面积更接近经验值

21. 双曲线2

2

21y x b

-=（0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 过2F 且与双曲线交

于A 、B 两点；

（1）若l 的倾斜角为

2

π

，1F AB ?是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b =l 的斜率存在，且||4AB =，求l 的斜率；

【解析】（1）1(F ，2F ，

2)A b ，2)B b -，

∵1F AB ?是等边三角形，∴2=，

解得b =

y =

（2）2233x y -=，∴1(2,0)F -，2(2,0)F ，设直线:(2)AB y k x =-，设11(,)A x y ，

22(,)B x y ，联立方程得2

2

2

2

(3)4(43)0k x k x k -+-+=，2

122

43k x x k

+=--，

2122433k x x k +=--，22222

121222

36(1)(1)[()4]16(3)

k AB k x x x x k +=++-==-，解得k =

22. 对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*

{|,}

n A x x a n N ==∈，*{|,}n B x x b n N ==∈，若同 时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =? 且*

A B N = ，则称{}n a 与{}n b 是 无穷互补数列；

（1）若21n a n =-，42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若2n n a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和；

（3）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列，且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通 项公式；

【解析】（1）不是无穷互补数列，4n a ≠，4n b ≠，不满足*

A B N =

（2）12a =，24a =，38a =，416a =，16(120)20

248161802S +?=----=

（3）由题意，公差为2，∴24n a n =+，,5

25,6n n n b n n ≤?=?-≥?

23. 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x

=+；

（1）当1a =时，解不等式()1f x >；

（2）若关于x 方程22()log ()0f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；

（3）设0a >，若对任意1

[,1]2

t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不 超过1，求a 的取值范围； 【解析】（1）211log (1)112x x +>?

+>，∴1

1x

>，∴01x << （2）2

221log ()log ()0a x x

++=，22log ()0x ax +=，2

10ax x +-=恰有唯一解，

若0a =，1x =，符合；若0a ≠，0?=，得14a =-

，2x =，符合；∴0a =或14

- （3）21

()log ()f x a x

=+在区间[,1]t t +单调递减，∴()(1)1f t f t -+≤， ∴22211log ()log (

)log 21a a t t +-+≤+，化简得，1211(1)

t a t t t t -+≥-=++，设1m t =-+， 1[0,]2m ∈，∴212

[0,](1)(1)(2)323

t m m t t m m m m -+==∈+---+，∴23a ≥