千题百炼高中数学100个热点问题第75炼几何问题的转换
第75炼 几何问题的转换
一、基础知识:
在圆锥曲线问题中,经常会遇到几何条件及代数条件的相互转化,合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用,极大的简化运算的复杂程度,在本节中,将列举常见的一些几何条件的转化。
1、在几何问题的转化中,向量是一个重要的桥梁:一方面,几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量;另一方面,向量在坐标系中能够坐标化,从而将几何图形的要素转化为坐标的运算,及方程和变量找到联系
2、常见几何问题的转化: (1)角度问题:
① 若及直线倾斜角有关,则可以考虑转化为斜率k
② 若需要判断角是锐角还是钝角,则可将此角作为向量的夹角,从而利用向量数量积的符号进行判定 (2)点及圆的位置关系
① 可以利用圆的定义,转化为点到圆心距离及半径的联系,但需要解出圆的方程,在有些题目中计算量较大
② 若给出圆的一条直径,则可根据该点及直径端点连线的夹角进行判定:若点在圆内,ACB ∠为钝角(再转为向量:0CA CB ?<;若点在圆上,则ACB ∠为直角(0CA CB ?=);若点在圆外,则ACB ∠为锐角(0CA CB ?>)
(3)三点共线问题
① 通过斜率:任取两点求出斜率,若斜率相等,则三点共线 ② 通过向量:任取两点确定向量,若向量共线,则三点共线 (4)直线的平行垂直关系:可转化为对应向量的平行及垂直问题,从而转为坐标运算:
()()1122,,,a x y b x y ==,则,a b 共线1221x y x y ?=;a b ⊥12120x x y y ?+=
(5)平行(共线)线段的比例问题:可转化为向量的数乘关系 (6)平行(共线)线段的乘积问题:可将线段变为向量,从而转化为向量数量积问题(注意向量的方向是同向还是反向)
3、常见几何图形问题的转化
(1)三角形的“重心”:设不共线的三点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ,则ABC 的重心123123,33x x x y y y G ++++??
???
(2)三角形的“垂心”:伴随着垂直关系,即顶点及垂心的连线及底边垂直,从而可转化为向量数量积为零
(3)三角形的“内心”:伴随着角平分线,由角平分线性质可知(如图):,IP AC IQ AQ ⊥⊥
I 在BAC ∠的角平分线上
AI AC AI AB AP AQ AC
AB
???=?
=
(4)P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点
DP DA DB ?=+
C
(5)P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点:P 在AB 垂直平分线上
(6)共线线段长度的乘积:若,,A B C 共线,则线段的乘积可转化为向量的数量积,从而简
化运算,(要注意向量的夹角)例如:AC AB AC AB ?=?,
AC BC AC BC ?=-?
二、典型例题:
例1:如图:,A B 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左右顶点,F 为
其右焦点,2是,AF FB 的等差中项,3是
,AF FB 的等比中项
(1)求椭圆C 的方程
(2)已知P 是椭圆C 上异于,A B 的动点,直线l 过
点A 且垂直于x 轴,若过F 作直线FQ AP ⊥,并交直线l 于点Q 。证明:
A
B
A
,,Q P B 三点共线
解:(1)依题意可得:()()(),0,,0,,0A a B a F c -
,AF c a BF a c ∴=+=-
2是,AF FB 的等差中项 42AF FB a c a c a ∴=+=++-= 2a ∴=
3
是
,AF FB
的等比中项
()()2
222AF FB a c a c a c b ∴
=?=+-=-=
23b ∴=
椭圆方程为:22
143
x y +=
(2)由(1)可得:()()()2,0,2,0,1,0A B F -
设():2AP y k x =+,设()11,P x y ,联立直线及椭圆方程可得:
()
()22
22223412
4316161202x y k x k x k y k x ?+=??+++-=?
=+?? 22112
21612684343
A k k x x x k k --∴=?=++ ()112
12243k
y k x k ∴=+=+ 2226812,4343k k P k k ??-∴ ?++??
另一方面,因为FQ AP ⊥ 1
FQ k k
∴=-
()1:1FQ y x k ∴=--,联立方程:()1132,2
y x Q k k x ?
=--?
???-? ????=-? ()2,0B
()303224BQ
k k k -
∴==--- 2222
1201234368164243BP
k
k k k k k k k -
-+===---+
BQ BP k k ∴=
,,B Q P ∴三点共线
例2:已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的右焦点为F ,M 为上顶点,O 为
坐标原点,若△OMF 的面积为21
,且椭圆的离心率为2
2. (1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线l 交椭圆于P ,Q 两点, 且使点F 为△PQM 的垂心?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(1)1
11222
OMF S OM OF bc =??==
::2
c e a b c a =
=?= 1b c ∴== 2222a b c ∴=+=
∴椭圆方程为:2
212
x y +=
(2)设),(11y x P ,),,(22y x Q 由(1)可得:()()0,1,1,0M F
1MF k ∴=-
F 为△PQM 的垂心
MF PQ ∴⊥ 11PQ MF
k k ∴=-
=
设:PQ y x m =+
由F 为△PQM 的垂心可得:MP FQ ⊥
()()1122,1,1,MP x y FQ x y =-=-
()()1212110MP FQ x x y y ∴?=-+-= ①
因为,P Q 在直线y x m =+上
1
122y x m
y x m
=+?∴?=+?,代入①可得: ()()()1212110x x x m x m -++-+=
即0)1)((222121=-+-++m m m x x x x ② 考虑联立方程:
22
22
y x m x y =+??+=? 得022432
2=-++m mx x . ()22216122203m m m ?=-->?<
1243m
x x ∴+=-
,322221-=m x x .代入②可得: ()22
22421033m m m m m -???+-?-+-= ???
解得:43
m =-或1m =
当1=m 时,△PQM 不存在,故舍去
当3
4-=m 时,所求直线l 存在,直线l 的方程为3
4-
=x y 小炼有话说:在高中阶段涉及到三角形垂心的性质,为垂心及三角形顶点的连线垂直底边,所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件,在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系)
例3:如图,椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦
点是()1,0F ,O 为坐标原点.
(1)若椭圆短轴的两个三等分点及一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(2)设过点F 且不垂直x 轴的直线l 交椭圆于,A B 两点,若直线l 绕点
F 任意转动,恒有2
2
2
OA OB AB +<, 求a 的取值范围.
解:(1)由图可得:1
0,3M b ?? ??? 由正三角形性质可得
:,6
3
MF MFO k π
∠=
=-
1
3013
MF
b k -∴==-
-
b ∴= 2224a b
c ∴=+=
∴椭圆方程为:22
143
x y +
= (2)设():1l y k x =-,()()1122,,,A x y B x y
222
OA OB AB +<
2
2
2
cos 02OA OB AB
AOB OA OB
+-∴∠=
<
AOB ∴∠为钝角
12120OA OB x x y y ∴?=+<
联立直线及椭圆方程:()()222222222222211y k x b x a k x a b b x a y a b
=-???+-=?+=??,整
理可得:
()22
2222222220a k
b x a k x a k a b +-+-=
222222
1212222222
2,a k a k a b x x x x a k b a k b
-∴+==++ ()()()22221212121211y y k x x k x x k x x k ∴=--=-++
222222222222
22
2222222
2a k a b a k k b a b k k k k a k b a k b a
--=?-?+=++= 222222222
1212222
0a k a b k b a b k x x y y a k b -+-∴+=<+
2222222220a k a b k b a b k -+-<恒成立
即()2222222k a b a b a b +-<恒成立
22220a b a b ∴+-< 221b a =-
()2222110a a a ∴---<
解得:12
a +>
a ∴
的取值范围是?
+∞???
例4:设,A B 分别为椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右顶点,椭圆长半
轴的长等于焦距,且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 (1)求椭圆的方程;
(2)设P 为直线4x =上不同于点()4,0的任意一点, 若直线,AP BP 分别及椭圆相交于异于,A B 的点,M N ,证明:点B 在以MN 为直径的圆内
解:(1)依题意可得2a c =,且到 右焦点距离的最小值为1a c -= 可解得:2,1a c ==
b ∴=∴椭圆方程为22
143
x y +
= (2)思路:若要证B 在以MN 为直径的圆内,只需证明MBN ∠为钝角,即MBP ∠为锐角,从而只需证明0BM BP ?>,因为,A B 坐标可求,所以只要设出AM 直线(斜率为k ) ,联立方程利用韦达定理即可用k 表示出M 的坐标,从而BM BP ?可用1k 表示。即可判断BM BP ?的符号,进而完成证明
解:由(1)可得()()2,0,2,0A B -,设直线,AM BN 的斜率分别为k ,
()11,M x y ,则
():2AM y k x =+ 联立AM 及椭圆方程可得:
()2
2
23412
y k x x y =+???+=??,消去y 可得:()2222
431616120k x k x k +++-= 22112
21612684343
A k k x x x k k --∴=?=++ 112
12243k
y kx k k ∴=+=+,即2226812,4343k k M k k ??- ?++??
设()04,P y ,因为P 在直线AM 上,所以()0426y k k =+=,即()4,6P k
()22216122,6,,4343k k BP k BM k k ??
-∴== ?++??
22
22232124060434343
k k k BP BM k k k k -∴?=+?=>+++
MBP ∴∠为锐角, MBN ∴∠为钝角 M ∴在以MN 为直径的圆内
例5:如图所示,已知过抛物线24x y =的焦点F 的直线l 及抛物线相交于,A B 两点,及椭圆
22
33142
y x +=的交点为,C D ,是否存在直线l 使得AF CF BF DF ?=??若存在,求出直线l 的方程,
若不存在,请说明理由
解:依题意可知抛物线焦点()0,1F ,设:1l y kx =+
AF CF BF DF ?=? AF DF BF
CF
∴=,不妨设
AF DF BF
CF
λ=
=
则,AF FB DF FC λλ==
设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y
()()1122,1,,1AF x y FB x y ∴=--=- ()()3344,1,,1CF x y FD x y =--=-
12
34x x x x λλ-=?∴?-=? 考虑联立直线及抛物线方程:2214404y kx x kx x y
=+??--=?=?
()1222
122144
x x x k x x x λλ+=-=-??∴?=-=-?? ,消去2x 可得:()22
14k λλ-=-- ① 联立直线及椭圆方程:()22
22
16314634y kx x kx x y =+??-+=?+=?
,整理可得: ()2
236610k
x kx ++-=
()34422344
26136136k x x x k x x x k λλ?
+=-=-??+∴??=-=-
?+?
()
2
2
2
13636
k k λλ
-∴
=--+ ② 由①②可得:
2
2
236436
k k k -=-+,解得:211k k =?=±
所以存在满足条件的直线,其方程为:1y x =±+
例6:在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线()220x py p =>的准线方程为1
2
y =-,过点()4,0M 作抛物线的切线MA ,切点为A (异于点O ),直线l 过点M 及抛物线交于两点,P Q ,及直线OA 交于点N (1)求抛物线的方程 (2)试问
MN MN MP
MQ
+的值是否为定值?若是,求出定值;若不是,
请说明理由
解:(1)由准线方程可得:1122
p
p -=-?=
∴抛物线方程:22x y =
(2)设切点()00,A x y ,抛物线为21
2
y x =
'y x ∴= ∴ 切线斜率为0k x =
∴ 切线方程为:()000y y x x x -=-,代入()4,0M 及20012
y x =
可得:()2
000142
x x x -=-,解得:00x =(舍)或08x =
()8,32A ∴ :4OA y x =
设:4PQ x my =+
,,,M P N Q 共线且M 在x 轴上
11P Q N N N N
P Q P Q P Q y y MN MN y y y y MP
MQ
y y y y y y ??
+∴
+
=
+=+=? ? ???
联立PQ 和抛物线方程:()22
2424
x y my y x my ?=?+=?
=+?,整理可得: ()2282160m y m y +-+= 22
2816
,P Q P Q m y y y y m m
-∴+=
?= 再联立,OA PQ 直线方程:416
414N y x y x my m =??=
?
=+-?
22
2816
21614P Q N P Q m
y y MN MN m y MP MQ y y m
m -+∴+=?=?=-
例7:在ABC 中,,A B
的坐标分别是(
)),,点G 是ABC 的重心,y 轴上一点M 满足GM ∥AB ,且MC MB = (1)求ABC 的顶点C 的轨迹E 的方程
(2)直线:l y kx m =+及轨迹E 相交于,P Q 两点,若在轨迹E 上存在点
R ,使得四边形OPRQ 为平行四边形(其中O 为坐标原点),求m 的取值范围
解:(1)设(),C x y 由G 是ABC 的重心可得:
,33x y G ?? ??? 由y 轴上一点M 满足平行关系,可得0,3y M ??
???
由MC MB =
=
化简可得:()22
1026
x y y +=≠
C ∴的轨迹E 的方程为:()22
1026
x y y +
=
≠ (2)
四边形OPRQ 为平行四边形
OR OP OQ ∴=+
设()()1122,,,P x y Q x y ()1212,R x x y y ∴++
R 在椭圆上
()()2
2
121236x x y y ∴+++=
()()2
222
1
122121233626x
y x y x x y y +++++= ①
因为,P Q 在椭圆上,所以22
11222236
36
x y x y ?+=??+=??,代入①可得:
121212126212633x x y y x x y y ++=?+=- ②
联立方程可得:
()22222
326036
y kx m
k x kmx m x y =+??+++-=?+=? 212122226
,33
km m x x x x k k -∴+=-=++
()()()22
2
2
121212122363
m k y y kx m kx m k x x km x x m k -∴=++=+++=+
代入②可得:
2222222
636332333
m m k m k k k --?+=-?=+++ ()2
223260k
x kmx m +++-=有两不等实根可得:
()()222244360k m k m ?=-+->,即2236180m k -++>,代入2223k m =- ()22236231800m m m ∴-+-+>?>
另一方面:22230m k -=≥ 23
22m m ∴≥?≥
或2
m ≤-
6,,m ???
∴∈-∞+∞ ????
??
例8:已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
,直线l 过点
()()4,0,0,2A B ,且及椭圆C 相切于点P
(1)求椭圆C 的方程
(2)是否存在过点()4,0A 的直线m 及椭圆交于不同的两点,M N ,使得2
3635AP AM AN =??若存在,求出直线m 的方程;若不存在,请说明理由
解(1)1
2
c
e a == ::2a b c ∴=
∴椭圆方程化为:22
222221341243x y x y c c c
+=?+=
l 过()()4,0,0,2A B
∴设直线1
:
12422
x y l y x +=?=-+
联立直线及椭圆方程:222
34121
22
x y c y x ?+=??=-+??消去y 可得:2
2
21342122x x c ??
+-+= ???
整理可得:222430x x c -+-=
l 及椭圆相切于P
()2444301c c ∴?=--=?=
∴椭圆方程为:22143x y +=,且可解得31,2P ??
???
(2)思路:设直线m 为()4y k x =-,()()1122,,,M x y N x y ,由(1)可得:
31,2P ??
???
,再由()4,0A 可知2454AP =,若要求得k (或证明不存在满足
条件的k ),则可通过等式2
3635AP AM AN =?列出关于k 的方程。对于AM AN ?,尽管可以用两点间距离公式表示出,AM AN ,但运算较为复杂。观察图形特点可知,,A M N 共线,从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为,AM AN 同向,所以AM AN AM AN ?=?。写出
,AM AN 的坐标即可进行坐标运算,然后再联立m 及椭圆方程,运用
韦达定理整体代入即可得到关于k 的方程,求解即可
解:由题意可知直线m 斜率存在,所以设直线
()()()1122:4,,,,m y k x M x y N x y =-
由(1)可得:31,2P ??
???
()2
2
2
345
14024AP ??∴=-+-= ???
,,A M N 共线且,AM AN 同向 AM AN AM AN ∴?=?
()()11224,,4,AM x y AN x y =-=-
()()()121212121244416AM AN x x y y x x y y x x ∴?=--+=+-++
联立直线m 及椭圆方程:
()
223412
4x y y k x ?+=??
=-??消去y 并整理可得:()2222433264120k x k x k +-+-= 22121222326412,4343k k x x x x k k -∴+==++
()()2
2
12122364443
k y y k x x k ∴?=--=+
()2222
2222
3616412363241643434343
k k k k AM AN k k k k +-∴?=+-?+=++++ 2
3635AP AM AN =?,代入2
45
4AP =,()2236143
k AM AN k +?=+可得: ()22
36145
3635443
k k +?=?+
可解得:21
84
k k =?=±
,另一方面, 若方程()2222433264120k x k x k +-+-=有两不等实根 则()()()2
2223244364120k
k k ?=-+->
解得:112
2k -<< 4
k ∴=±
符合题意
∴直线m 的方程为:)44
y x =±
-,即:
4y x =
-4
y x =-+例9:设椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左,右焦点分别为12,F F ,上顶点
为A ,过点A 及2AF 垂直的直线交x 轴负半轴及点Q ,且12220F F F Q +=
(1)求椭圆C 的离心率
(2)若过2,,A Q F 三点的圆恰好及直线:330l x y --=相切,求椭圆C 的方程
(3)在(2)的条件下,过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 及椭圆C 交于,M N 两点,在x 轴上是否存在点(),0P m 使得以
,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m 的取值范围;
如果不存在,请说明理由
解:(1)依题意设()()()()1200,,,0,,0,,0A b F c F c Q x -
()()12202,0,,0F F c F Q x c ∴==- 12220F F F Q +=
00403c x c x c ∴+-=?=-
()3,0Q c ∴- 2,3AQ AF b b
k k c c
∴=
=- 由2AQ AF ⊥可得: 2
2
222133AQ AF b k k b c c
?=-=-?=
2222234a c c a c ∴-=?=
12
e ∴=
(2)由(1)可得:::2:3:1a b c =
2AQ AF ⊥
2,,A Q F ∴的外接圆的直径为2QF ,半径设为r
()()23,0,,0Q c F c ∴- 21
22
r QF c ∴=
= ,圆心(),0c -
由圆及直线相切可得:32342
c d c c c --=
=?+=
解得:1c =
2,a b ∴==
∴ 椭圆方程为22
143
x y +
= (3)由(2)得()()121,0,1,0F F -:设直线():1l y k x =- 设()()1122,,,M x y N x y ,若,PM PN 为邻边的平行四边形是菱形 则P 为MN 垂直平分线上的点
()()22
112222
121222
2234123403412
x y x x y y x y ?+=??-+-=?+=?? ()()()()12121212340x x x x y y y y ∴+-++-=
设,M N 中点()00,x y
00033404x x ky y k
∴+=?=-
MN ∴的中垂线方程为:()001
y y x x k
-=-
-,即000x ky ky x +--= 代入(),0P m 可得:120001048
x x
m ky x m x +--=?==
联立方程:()
()22
22223412
43841201x y k x k x k y k x ?+=??+-+-=?
=-?? 2
122843
k x x k ∴+=+
222
110,34344k m k k ??
∴==∈ ?+??
+
所以存在满足题意的P ,且m 的取值范围是10,4?? ???
例10:已知抛物线C :()220y px p =>的焦点为F ,直线4y =及y 轴的交点为P ,及抛物线的交点为Q ,且5
4
QF PQ =
(1)求抛物线C 的方程
(2)过F 的直线l 及抛物线C 相交于,A B 两点,若AB 垂直平分线'l 及C 相交于,M N 两点,且,,,A M B N 四点在同一个圆上,求l 的方程 解:(1)设()0,4Q x ,可的2008
42px x p
=?=
8,4Q p ??∴ ??? ()0,4P 8
PQ p ∴= 0822
p p QF x p =+
=+且5
4
QF PQ =
858
24p p p
∴
+=?解得2p = ∴抛物线2:4C y x =
(2)由(1)可得()1,0F 可设直线:1l x my =+
联立方程2244401
y x
y my x my ?=?--=?=+?
设()()1122,,,A x y B x y ,则有12124,4y y m y y +==-
()21212242x x m y y m ∴+=++=+ AB ∴的中点()221,2D m m +
且()21241AB y y m =-=+ 由直线:1l x my =+可得'l 的斜率为m -
设()()'2
:221l y m m x m ??-=--+?? 整理可得:21
23x y m m
=-
++ 及24y x =联立消去x 可得:()224
4230y y m m
+-+= 设()()3344,,,M x y N x y
()234344
,423y y y y m m ∴+=-
=-+ ()223434214
4646x x y y m m m m ∴+=-+++=++
MN ∴的中点222
223,E m m
m ??++- ???
(
2241m MN m
+=
,因为,,,A M B N 共圆,
所以2
2
2
2DE AD r ME
+==
2
22
1144
DE AB MN ?+
= ()()()
2
222
2
2224
4121222241m m m m m m m
++????
?+++++=
? ?????
整理后可得:2101m m -=?=±
l ∴的方程为:10x y --=或10x y +-=