信息学奥赛2009冬令营试题

2009年全国信息学奥林匹克冬令营

NOI Winter Camp 2009

竞赛时间：2008年1月20日上午8:00-13:00

题目名称最短路问题语音识别优化设计

V oice opt

目录 shortest

可执行文件名 shortest V oice N/A

输入文件名 shortest.in voice.in opt1.in~opt10.in 输出文件名 shortest.out voice.out opt1.out~opt10.out 测试点最大时限 10s 6s N/A

测试点数目 10 10 10

每个测试点分值 10 10 10

是否有部分分无有有

题目类型传统传统提交答案

附加文件无无 checker 提交源程序须加后缀

对于Pascal语言 shortest.pas voice.pas N/A

对于C 语言 shortest.c voice.c N/A

对于C++ 语言 shortest.cpp voice.cpp N/A

注意：

除非特殊说明，最终测试时，所有编译命令均不打开任何优化开关

最短路问题

【问题描述】

一个6×n的方格，初始每个格子有一个非负权值。有如下两种操作形式：?改变一个格子的权值（改变以后仍然非负）；

?求两个格子之间的最短路的权值。

【注解与任务】

任意格子P的坐标(x P, y P)满足1 ≤x P≤ 6，1 ≤y P≤n。格子P和Q的曼哈顿距离定义为|x P- x Q|+|y P - y Q|。一个有序方格序列(p1, p2, ..., p n)，若满足任意p i和p i+1的曼哈顿距离为1，则称该序列为一条从p1到p n的路径，其权值为d(p1)+d(p2)+...+d(p n)，其中d(P)表示格子P的权值。两个格子P和Q之间的最短路定义为从P到Q权值最小的路径。

【输入文件】

第一行一个整数n。接下来6行，每行n个整数，第i+1行第j个整数表示初始格子(i, j)的权值。接下来是一个整数Q，后面的Q行，每行描述一个操作。输入的操作有以下两种形式：

操作1："1 x y c"(不含双引号)。表示将格子(x, y)的权值改成c (1 ≤x≤ 6, 1 ≤y ≤n, 0 ≤c≤ 10000) 。

操作2："2 x1y1x2y2"(不含双引号)。表示询问格子(x1, y1)和格子(x2, y2)之间的最短路的权值。（1 ≤x1, x2≤6, 1 ≤y1, y2≤n）

【输出文件】

对于每个操作2，按照它在输入中出现的顺序，依次输出一行一个整数表示求得的最短路权值。

【样例输入】

5

0 0 1 0 0

0 1 0 1 0

0 2 0 1 0

0 1 1 1 0

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

5

2 1 2 1 4

1 1 1 10000

2 1 2 1 4

1 2 3 10000

2 1 2

3 3

【样例输出】

1

2

【数据约定】

测试数据规模如下表所示

数据编号n Q

数据编号n Q

30000

1 10 20 6 10000

2 100 200 7 35000

30000

50000

3 1000 2000 8 50000

60000

10000 9 100000

4 10000

100000

10000 10 100000

5 10000

【特别说明】

本题测试时将使用-O2优化。

语音识别

【题目背景】

与机器进行语音交流，让机器明白你说什么，这是人们长期以来梦寐以求的事情。语音识别技术就是让机器通过识别和理解过程把语音信号转变为相应的文本或命令的高技术。

——百度百科

现在，我们需要你解决的是一个简化版的语音识别问题：

麦克风所录入的信息可以被认为是一些独立的信号，每个信号都按照其电平值被表示为一个非负整数，这些信号组成的有序序列就是麦克风输入的信号序列。

语音信号实例

信号序列可以用一个非负整数序列来描述，形如A = {a1, a2, ... a n}，信号序列A的子序列A'是指A中的一段连续信号A' = {a i, a i+1, ... a j-1, a j}。

实际情况中，麦克风录入的信号序列往往混有为数不多的噪声，为了在语音识别中能够处理噪声带来的问题，需要引入近似匹配的概念：

设A、B是两个信号序列，A对于B近似匹配，是指从A中删除若干个信号之后，所得的信号序列恰好等于B。我们把从A中删除信号的个数称为A对于B近似匹配的差别程度。值得注意的是，为了使得识别有意义，只有那些差别程度不大的近似识别才是有意义的。例如，从信号序列{1, 2, 0}中删除一个信号2就可以得到信号序列{1, 0}，因此{1, 2, 0}对于{1, 0}近似匹配，差别程度为1；同样{1, 2, 0}对于{0}也是近似匹配的，其差别程度为2，但是如果限定近似匹配的差别程度不能超过1，那么{1, 2, 0}对于{0}的近似匹配就将被忽略。特别的，如果两个信号序列完全一致，那么这两个信号序列的匹配可以被认为是差别程度为0的近似匹配。

研究人员已经对很多日常使用的字进行了预处理，得到了和每个字相对应的信号序列，这些字的信号序列所组成的集合称为字典。令A‘是信号序列A的一个子序列，如果A‘对于信号序列B近似匹配，那么A‘就是B在A中的一次近似出现。例如：

对于信号序列A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6} = {3, 3, 3, 1, 2, 0}，那么A1 = {a1, a2, a3}, A2 = {a4, a5}, A3 = {a6}, A4 = {a1, a2}都是A的子序列。

考虑字典∑ = {a = {1}, b = {1, 2}, c = {0}, d = {3, 3}}，且近似匹配的差别程度上限为1，那么A1、A4都是d在A中的一次近似出现，A2是a或者b的近似出现，A3是c的近似出现。

进一步可知字典中的每一个字都可以在信号序列中被检测出来。

a被检测出3次，{a4},{a3, a4},{a4, a5}；

b被检测出3次，{a4, a5}, {a3, a4, a5}, {a4, a5, a6}；

c被检测出2次，{a6}, {a5, a6}；

d被检测出4次，{a1, a2}, {a2, a3}, {a1, a2, a3}, {a2, a3, a4}。

为了对麦克风输入的信号序列作出尽量好的识别，一个最直观的想法是，从输入信号序列中能够识别出来的字越多越好。具体的说，如果能够从信号序列A = {a1, a2, ... a n}中找出一组子序列D1, D2, ... D s，对于字典∑，满足：

1)对于任意i、j，D i和D j没有相交部分；也就是说，如果D i = {a p, a p+1, ... a q}，

D j = {a u, a u+1, ... a v}，那么一定有区间[p, q]和区间[u, v]没有交集，即p > v或

者q < u。

2)任意D i都可以在字典中找到一个字(设为word i）的信号序列，使得D i对于

字word i的信号序列近似匹配；

那么D1->word1, D2->word2, ... D s->word s被称为A的一种识别方案，把这些近似匹配按照出现先后排列起来就可得到识别结果，s就是这种识别方案的长度。最直观的想法就是希望能够找出一组最长的识别方案。

例如，考虑刚才的例子：{A1->d, A3->c}, {A4->d, A2->a, A3->c}，｛A4->d, A2->b, A3->c}都是可行的识别方案，对应的识别结果分别是："dc", "dac", "dbc"。由于不存在长度超过3的识别方案，所以最长的识别方案的长度为3，有两种识别结果"dac"和"dbc"。

【任务】

给定信号序列A，字典∑，和能够允许的近似匹配的差别程度的上限K。要求计算：

?字典中有多少字在A中近似出现，总的近似出现的次数是多少？

?A的最长的识别方案的长度是多少，在识别方案长度最长的前提下，能够识别出的本质不同的序列有多少个？

注意：如果两个识别方案分别对应识别结果words = {word1, word2, ... word p}和words' = {word'1, word'2, ... word'q}，如果words和words'不完全相同，则两个识别方案本质不同。

【输入文件】

第一行有三个整数N、M、K，分别表示待测信号序列的长度、字典的大小和近似匹配差别程度的上限。

第二行有N个用空格隔开的非负整数，描述待测信号序列A。

接下来M行每行描述字典的一个不同的字，对于其中每一行：

先输入一个非负整数L，表示这个字对应信号序列的长度，接下来L个整数给出这个字所对应的信号序列。相邻的整数之间用空格隔开。

注意：不同的字可能对应相同或者类似的信号序列。

【输出文件】

输出文件一共包含两行：

第一行包含两个整数，分别表示字典中可以被检测出来的字的个数，以及近似出现的总次数；

第二行包含两个整数，分别表示最长识别方案的长度，以及能够识别出的本质不同的最长识别方案数（输出的方案数为你所得到的答案对1 000 003取模后的结果）。

注意：每行要求包含且仅包含两个整数，用一个空格隔开，不允许多余的空格和换行，不允许输出不完整。以下的输出均不合法（其中下划线表示空格，\n 表示回车）：

多空格：100__100\n 100_100\n 多回车：

100_100\n

100_100\n

\n

多行首（尾）空格

_100_100\n

100_100_\n

输出不完整

100_100\n

100\n

【样例输入】

6 4 1

3 3 3 1 2 0

1 1

2 1 2

1 0

2 3 3

【样例输出】

4 12

3 2

【样例说明】

样例为在题目背景中给出的例子。

【评分标准】

每个测试点单独评分。

如果输出文件不存在、不合法则该测试点得0分，否则，你的得分为以下4

项得分之和：

能够识别的字的个数正确(2分)

近似出现的总次数正确(4分)

最长识别方案的长度正确(2分)

最长识别方案的个数正确（2分）

【数据约定】

本题共有10个测试点，每个测试点10分，每个测试点单独评分

Test#N≤M≤K≤L≤Test#N≤M≤K≤L≤

1 6 5 1 10 6 10000020

2 15000

2 1000 10 5 100 7 10000020 20 100000

15 5 500008 10000020 20 50000 3 50000

20 20 150009 10000020 20 100000

4 10000

20 20 3000010 10000020 20 100000

5 50000

其中L表示字典中所有字的信号总长度。

优化设计

【问题描述】

生活中总有些事情不能两全，所谓“鱼和熊掌”说的便是这个意思。建筑师小X在最近一个设计中正面临着这样的问题而头痛不已：出于居住环境的考虑，楼间距离应该较大，而为了节约土地资源却应减小楼间距离；朝南的房间应该选择起居室还是卧室；等等……。

为了最优化设计方案，小X决定将问题进行建模，将参数的选择抽象为布尔变量，将各种要求抽象为布尔表达式。目标即为选择参数的设置使得被满足的要求尽量多，对应的，在模型中选择布尔变量的一个赋值使得被满足的布尔表达式尽量多。现在请你帮助小X设置方案中的参数，使得设计方案尽可能优化。

下面将形式化地描述小X的模型。模型包含n个布尔变量x1, x2, …, x n和m 个布尔表达式E1, E2, …, E m。布尔变量的一个赋值为从{x1, x2, …, x n}到{True, False}的一个映射。一个布尔表达式E被满足指该表达式值为真(True).

布尔表达式包含与(&)、或( | )、非( ~ )三种类型运算，可归纳定义如下：基础：

1)单个布尔变量x i组成一个布尔表达式E。E被满足当且仅当x i取

值为真。

归纳：

1)若E是合法布尔表达式，则E’=(E)也是布尔表达式。E’被满足当

且仅当E被满足。

2)若E是合法布尔表达式，则E’= ~E也是布尔表达式。E’被满足

当且仅当E不被满足(即取值为假)。

3)若E1、E2是合法布尔表达式，则E’=E1&E2也是布尔表达式。E’

被满足当且仅当E1、E2均被满足。

4)若E1、E2是合法布尔表达式，则E’=E1|E2也是布尔表达式。E’

被满足当且仅当E1被满足或E2被满足。

所有合法布尔表达式均由以上规则产生。一些合法布尔表达式的例子为：x1&~x2，(x1&~x2)|x3。

布尔表达式的运算符优先级由高到低分别为非、与、或。举例说明，表达式x1&~x2|~x3等价于(x1&(~x2))|(~x3)，即非运算优先计算，与次之。

在本题中，目标即为找到一组赋值，使得给定的m个布尔表达式中被满足的表达式尽可能多。

这是一道提交答案型试题，所有的输入文件opt*.in都已在目录下。

对于每个输入文件，文件第一行包含一个整数n，表示布尔变量的个数。第二行为一个整数m，为布尔表达式的个数。接下来m行，每行为一个布尔表达式，表达式格式同上述定义，并请参看输入文件（表达式中不含空格）。

【输出文件】

对于每一个输入文件，你需要在对应目录下给出对应的输出文件（主文件名不变，扩展名为.out）。

输出文件包含n行，每行为0或1。第i行表示对第i个布尔变量的赋值(1表示赋值为True, 0表示赋值为False).

【样例输入】

3

2

x1&x2&x3

~x1|x2

【样例输出】

1

1

1

【样例说明】

在本题中输出任意的n行0或1均为合法输出。

在本样例中若输出

1

1

1

则两个表达式均被满足；而若输出为

1

1

则仅有第二个表达式被满足；而若输出为

1

则没有表达式被满足。

每个测试点单独评分。

对于每一个测试点，如果你给出的输出文件不合法，如文件格式错误、输出解不符合要求等，该测试点得0分。

否则设你输出的赋值能够使得k个表达式被满足，对于不同的测试点，我们还设有10个评分相关的常数c1≤c2≤c3≤c4≤c5≤c6≤c7≤c8≤c9≤c10，你在该测试点中的得分取决于下列约定：

如果k < c1，得0分。

如果k≥c1，得1分。

如果k≥c2，得2分。

如果k≥c3，得3分。

如果k≥c4，得4分。

如果k≥c5，得5分。

如果k≥c6，得6分。

如果k≥c7，得7分。

如果k≥c8，得8分。

如果k≥c9，得9分。

如果k≥c10，得10分。

如果满足多个条件，取得分最大者为最终得分。

【如何测试你的输出】

你可以使用checker程序检查你的输出，格式为：

./checker TestNo

其中TestNo为测试点编号。例如你已经得到了数据5的输出opt5.out，可以使用命令./checker 5来测试你的输出是否合法。

【特别提示】

请妥善保存输入文件*.in和你的输出*.out，及时备份，以免误删。