2019年南京市秦淮区中考数学二模试卷解析版

2019年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷解析版

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）如果a是无理数，那么下列各数中，一定是有理数的是（）A．﹣a B．a2C．D．a0

【分析】根据有理数和无理数的定义解答．

【解答】解：A、如果a是无理数，那么﹣a一定是无理数，故这个选项错误；

B、如果a是无理数，那么a2可能是无理数，也可能是有理数，故这个选项错误；

C、如果a是无理数，那么一定是无理数，故这个选项错误；

D、如果a是无理数，那么a0一定是有理数，因为a0＝1，故这个选项正确．

故选：D．

【点评】本题考查了有理数和无理数的定义，解题的关键是熟练掌握有理数和无理数的定义．

2．（2分）下列各式计算结果不等于211的是（）

A．210+210B．212﹣210C．27×24D．215÷24

【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则逐一判断即可．

【解答】解：210+210＝2×210＝211，故选项A不合题意；

212与210不是同类项，所以不能合并，故选项B符合题意；

27×24＝27+4＝211，故选项C不合题意；

215÷24＝215﹣4＝211，故选项D不合题意．

故选：B．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．3．（2分）下列命题中，是真命题的是（）

A．平行四边形的四边相等

B．平行四边形的对角互补

C．平行四边形是轴对称图形

D．平行四边形的对角线互相平分

【分析】利用平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、平行四边形的四条边不一定相等，故错误，是假命题；

B、平行四边形的对角相等，故错误，是假命题；

C、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故错误，是假命题，

D、平行四边形的对角线互相平分，故错误，是真命题，

故选：D．

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解平行四边形的性质，难度不大．

4．（2分）下列的立体图形中，有4个面的是（）

A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱

【分析】根据棱柱和棱锥的组成情况，分别求得各立体图形的面数，再进行判断．

【解答】解：A、三棱锥有一个底面，三个侧面组成，共4个面．

B、三棱柱有二个底面，三个侧面组成，共5个面．

C、四棱锥有一个底面，四个侧面组成，共5个面．

D、四棱柱有二个底面，四个侧面组成，共6个面．

故有4个面的是三棱锥．

故选：A．

【点评】本题考查了棱柱和棱锥的组成情况．要明确棱柱有两个底面，棱锥有一个底面．5．（2分）在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），则原点到直线AB的距离是（）

A．2B．2.4C．2.5D．3

【分析】由△AOB是直角三角形，利用直角三角形面积相等，将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜边上的高求解；

【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，3）、（﹣4，0），

∴OA＝3，OB＝4，

∴AB＝5，

△AOB是直角三角形，

∴O到AB的距离为＝；

故选：B．

【点评】本题考查坐标平面内点的特征；将将O到AB的距离转化为直角三角形OAB斜

边上的高是解题的关键；

6．（2分）如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，D是边BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B落在点B'处，连接BB'，B'C，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【分析】根据折叠的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：如图1，

当BB′＝B′C时，△BCB'是等腰三角形，

如图2，当BC＝BB′时，△BCB'是等腰三角形，

故若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是2，

故选：C．

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），正确的作出图形是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

7．（2分）根据刘慈欣同名小说改编的电影《流浪地球》将中国独特的思想和价值观念融入对人类未来的畅想与探讨，该电影取得了巨大的成功，国内票房总收入为4 655 000 000

元，用科学记数法表示4 655 000 000是 4.655×109．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：用科学记数法表示4 655 000 000是4.655×109．

故答案为：4.655×109．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

8．（2分）计算的结果是2．

【分析】首先利用二次根式乘法运算法则计算，进而合并同类项得出即可．

【解答】解：＝3﹣＝2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的运算法则是解题关键．

9．（2分）分解因式：﹣x3+2x2﹣x＝﹣x（x﹣1）2．

【分析】先提取公因式﹣x，再利用完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．

【解答】解：﹣x3+2x2﹣x，

＝﹣x（x2﹣2x+1）…（提取公因式）

＝﹣x（x﹣1）2．…（完全平方公式）

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．在提取负号时，要注意各项符号的变化．

10．（2分）甲、乙两个班级各20名男生测试“引体向上”，成绩如图所示：

设甲、乙两个班级男生“引体向上”个数的方差分别为S2甲和S2乙，则S2甲＜S2乙．（填“＞”，“＜”或“＝”）

【分析】由扇形图得出个数的具体分布情况，再判断出“引体向上”个数分布较为稳定的班级即可得．

【解答】解：由扇形图知，甲班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的5人，6个5人，7个5人，8个5人，

乙班男生“引体向上”个数分布情况为：5个的6人，6个4人，7个4人，8个6人，∴甲班男生“引体向上”个数分布较为均匀、稳定，

∴S2甲＜S2乙，

故答案为：＜．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

11．（2分）如图，点A、B在数轴上所表示的数分别是x、x+1，点C在线段AB上（点C 不与点A、B重合）．若点C在数轴上表示的数是2x，则x的取值范围是0＜x＜1．

【分析】根据题意列出不等式组，解之可得．

【解答】解：由题意知，

解得0＜x＜1，

故答案为：0＜x＜1．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12．（2分）对于反比例函数y＝，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点（﹣2，﹣2）；③y随x的增大而减小；④当x＞﹣2时，y＜﹣2．其中所有正确结论的序号是①②．

【分析】根据反比例函数的性质，k＝4＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．

【解答】解：①∵k＝4＞0，∴它的图象在第一、三象限，故正确；

②把点（﹣2，﹣2）代入反比例函数y＝，成立，故正确；

③当x＞0时，y随x的增大而减小，故错误．

④当x＞﹣2时，y＜﹣2或y＞0，所以错误；

故答案为：①②．

【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：

①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．

②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随

x的增大而增大．

13．（2分）等边三角形外接圆的面积是4π，则该等边三角形的面积是3．【分析】如图，⊙O为等边△ABC的外心，连接OB，OC，作OH⊥BC，利用垂径定理得到BH＝CH，利用圆的面积公式得到OB＝2，再计算出∠OBC＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到OH＝1，BH＝，所以BC＝2BH＝2，然后计算△OBC 的面积得到△ABC的面积．

【解答】解：如图，⊙O为等边△ABC的外心，连接OB，OC，作OH⊥BC，则BH＝CH，

∵π?OB2＝4π，

∴OB＝2，

∵∠BOC＝2∠A＝120°，

∴∠OBC＝30°，

在Rt△BOH中，OH＝OB＝1，BH＝OH＝，

∴BC＝2BH＝2，

∴△ABC的面积＝3S△OBC＝3××1×2＝3．

故答案为3．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了等边三角形的性质．

14．（2分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且＝＝，连接AC、

AD，则∠CAD的度数是30°．

【分析】连接OC，OD，利用圆周角定理和三角形的内角和解答即可．

【解答】解：连接OC，OD，

∵AB是⊙O的直径，点C、D在半圆AB上，且＝＝，

∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，

∴∠DAB＝30°，∠CAO＝60°，

∴∠CAD＝30°，

故答案为：30．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

15．（2分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接AC、BE，AC与BE交于点F，则△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是．

【分析】依据AE∥BC即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出结论S四边形CDEF＝S△ABF．

【解答】解：连接CE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥BC，AD＝BC，

∵E是AD的中点，

∴AE＝AD＝BC，即＝，

∴△AEF∽△CBF，

则＝＝＝，

设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，

∴△ACE的面积为3s，

∵E是AD的中点，

∴△CDE的面积为3s，

∴四边形CDEF的面积为5s，

∴S四边形CDEF＝S△ABF，

即△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．

16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．点M1、N1、P1分别在AC、BC、AB上，且四边形M1CN1P1是正方形，点M2、N2、P2分别在P1N1、BN1、BP1上，且四边形M2N1N2P2是正方形，…，点M n、N n、P n分别在P n﹣1N n﹣1、BN n﹣1、BP n﹣1上，且四边形M n N n﹣1N n P n是正方形，则BN2019的长度是．

【分析】根据相似三角形的性质求出BN1，BN2，BN3的值，找出规律即可求出BN2019的长度．

【解答】解：∵N1P1∥AC，

∴△B1N1P1∽△BCA，

∴，

设N1P1＝x，则，

解得：x＝，

∴，

同理，

∵N2P2∥AC，

∴△P1N1B∽△P2N2B，

设P2N2＝y，

∴，

解得：y＝，

∴＝．

同理，BN3＝＝，

∴BN2019的长度是．

故答案为：．

【点评】此题属规律性题目，考查了相似三角形的性质及正方形的性质，解答此题的关键是求出BN1，BN2，BN3的值，找出规律，根据此规律求解．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算（﹣1）3+|﹣6|×2﹣1﹣．

【分析】直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+6×﹣3＝﹣1+3﹣3＝﹣1．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．（6分）化简：÷（x+2﹣）

【分析】首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．

【解答】解：÷（x+2﹣）

＝÷（）

＝?

＝．

故答案为．

【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．

19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，AC平分∠BAD．

（1）给出下列四个条件：①AB＝AD，②OB＝OD，③∠ACB＝∠ACD，④AD∥BC，上述四个条件中，选择一个合适的条件，使四边形ABCD是菱形，这个条件是④（填写序号）；

（2）根据所选择的条件，证明四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论；

（2）根据垂直和角平分线的定义得到∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，根据全等三角形的性质得到AB＝AD，推出AB＝BC，根据菱形的判定定理即可得到结论；

【解答】解：（1）这个条件是④；

故答案为：④；

（2）∵AC⊥BD，AC平分∠BAD，

∴∠BAO＝∠DAO，∠AOB＝∠AOD＝90°，

∵AO＝AO，

∴△ABO≌△ADO，

∴AB＝AD，

∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∴∠BAC＝∠ACB，

∴AB＝BC，

∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是菱形；

【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

20．（8分）在一只不透明的袋子中装有1个红色小球，2个黄色小球和若干个黑色小球，这些小球除颜色以外都一样．已知从袋中任意摸出1个红色小球的概率是．

（1）袋中黑色小球的数量是1个；

（2）若从袋中随机摸出1个小球，记录好颜色后放回袋中并搅匀，再从袋中任意摸出1个小球，求两次摸出的都是黄色小球的概率是多少？

【分析】（1）设袋中黑色小球的数量是x个，根据概率公式列出算式，求出x的值即可得出答案；

（2）先画出树状图得出所有等情况数和两次摸出的都是黄色小球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：（1）设袋中黑色小球的数量是x个，根据题意得：

＝，

解得：x＝1，

经检验x＝1是方程的解，

答：袋中黑色小球的数量是1个；

故答案为：1；

（2）根据题意画树状图如下：

共有16种等情况数，其中两次摸出的都是黄色小球的有4种，

则两次摸出的都是黄色小球的概率是＝．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

21．（8分）我市某校招聘数学教师，本次招聘进行专业技能笔试和课堂教学展示两个项目的考核，这两项考核的满分均为100分，学校将这两个项目的得分按一定的比例计算出总成绩．经统计，参加考核的4名考生的两个项目的得分如下：

考生序号1234专业技能笔试90708675

课堂教学展示70908086（1）经过计算，1号考生的总成绩为78分，求专业技能笔试得分和课堂教学展示得分分别占总成绩的百分比；

（2）若学校录取总成绩最高的考生，通过计算说明4名考生中哪一名考生会被录取？

【分析】（1）可设专业技能笔试得分占总成绩的百分比是a，根据1号考生的总成绩为78分列出方程求解即可；

（2）根据加权平均数公式分别求出4个考生总成绩，再比较大小即可求解．

【解答】解：（1）设专业技能笔试得分占总成绩的百分比是a．

根据题意，得90a+70（1﹣a）＝78．

解这个方程，得a＝40%．

1﹣40%＝60%．

所以专业技能笔试得分和课堂教学展示得分占总成绩的百分比分别是40%，60%．

（2）2号考生总成绩为70×0.4+90×0.6＝82（分）．

3号考生总成绩为86×0.4+80×0.6＝82.4（分）．

4号考生总成绩为75×0.4+86×0.6＝81.6（分）．

因为82.4＞82＞81.6＞78，所以3号考生会被录取．

【点评】本题主要考查加权平均数的计算．解题的关键是熟记加权平均数的计算公式．

22．（8分）如图，某数学兴趣小组准备测量长江某处的宽度AB，他们在AB延长线上选择了一座与B距离为200m的大楼，在大楼楼顶的观测点C处分别观测点A和点B，利用测角仪测得俯角（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）分别为8°和46°．求该处长江的宽度AB．（参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.16，sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）

【分析】如图，连接AC，BC．通过解Rt△CBD和Rt△CAD分别求得BD、AD的长度，然后利用线段间的和差关系解答．

【解答】解：如图，连接AC，BC．

根据题意，得∠CAD＝8°，∠CBD＝46°．

在Rt△CBD中，

∵tan∠CBD＝，

∴CD＝BD?tan∠CBD＝200×1.04＝208（m）．

在Rt△CAD中，

∵tan∠CAD＝，

∴AD＝＝＝1300（m）．

∴AB＝AD﹣BD＝1300﹣200＝1100（m）．

答：该处长江的宽度是1100 m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

23．（8分）点A（﹣1，0）是函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m的图象与x轴的一个公共点．（1）求该函数的图象与x轴的另一个公共点的坐标以及m的值；

（2）将该函数图象沿y轴向上平移4个单位后，该函数的图象与x轴只有一个公共

点．

【分析】（1）将点A坐标代入函数表达式即可求解；

（2）求出抛物线顶点坐标（1，﹣4），即可求解．

【解答】解：（1）在函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m中，

∵a＝1，b＝﹣2，

∴该二次函数图象的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线．

∵点A（﹣1，0）是函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m的图象与x轴的一个公共点，

根据二次函数图象的对称性，

∴该函数与x轴的另一个公共点的坐标是（3，0），

将x＝﹣1，y＝0代入函数y＝x2﹣2x+m2﹣4m中，得0＝3+m2﹣4m．

解这个方程，得m1＝1，m2＝3，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）抛物线顶点坐标为：（1，﹣4），

故函数图象沿y轴向上平移4单位后，该函数的图象与x轴只有一个公共点．

【点评】本题考查的是二次函数与x轴交点问题，将点A代入函数表达式，求出m值是本题的关键．

24．（8分）两个运输小队分别从两个仓库以相同的工作效率调运一批物资，两队同时开始工作．第二小队工作5天后，由于技术问题检修设备5天，为赶上进度，再次开工后他们将工作效率提高到原先的2倍，结果和第一小队同时完成任务．在两队调运物资的过程中，两个仓库物资的剩余量yt与第一小队工作时间x天的函数图象如图所示．

（1）①求线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；

②求点F的坐标，并解释点F的实际意义．

（2）如果第二小队没有检修设备，按原来的工作效率正常工作，那么他们完成任务的天数是9天．

【分析】（1）①设AC的函数表达式为y＝kx+b，将（12，0），（0，360）代入y＝kx+b，利用待定系数法即可求出线段AC所表示的y与x之间的函数表达式；

②根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得第一小队的工作效率为360÷12＝30（t/天），进而得出第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t/天），那么调运物资为60×2＝120（t），得出点E的坐标为（10，120），所以点F的纵坐标为120．将y＝120代入y＝﹣30x+360，求出x，得到点F的坐标，点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t；

（2）先求出第二小队按原来的工作效率正常工作时调运物资120t需要的时间，再加上检修设备前调运物资的工作时间即可．

【解答】解：（1）①设AC的函数表达式为y＝kx+b，

将（12，0），（0，360）代入y＝kx+b，

得，解得

即线段AC所表示的y与x之间的函数表达式为y＝﹣30x+360；

②第一小队的工作效率为360÷12＝30（t/天），

第二小队再次开工后的工作效率为30×2＝60（t/天），调运物资为60×2＝120（t），

即点E的坐标为（10，120），所以点F的纵坐标为120．

将y＝120代入y＝﹣30x+360，可得x＝8，

即点F的坐标为（8，120）．

点F的实际意义是：第一小队工作8天后，两个仓库剩余的物资都为120t；

（2）120÷30＝4（天），

5+4＝9（天）．

故答案为9．

【点评】此题考查了一次函数的应用，涉及到利用待定系数法求一次函数的解析式，工作效率、工作总量与工作时间关系的应用，理解题意从图象中获取有用信息是解题的关键．

25．（8分）已知线段AB与点O，利用直尺和圆规按下列要求作△ABC（不写作法，保留作图痕迹）．

（1）在图①中，点O是△ABC的内心；

（2）在图②中，点O是△ABC的重心．

【分析】（1）内心是角平分线的交点，根据AO和BO分别是∠CAB和∠CBA的平分线，作图即可；

（2）重心是中线的交点，先作AB的垂直平分线，确定AB的中点，根据重心到中点的距离是到顶点距离的，确定中线CO，作图即可．

【解答】解：（1）如图①，△ABC即为所求．

（2）如图②，△ABC即为所求．

【点评】本题是作图题，考查了三角形内心和重心的定义，角平分线和线段垂直平分线的基本作图，三角形重心的性质，掌握基本作图是关键．

26．（10分）某商店第一个月以每件100元的价格购进200件衬衫，以每件150元的价格售罄．由于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫

的进价和数量都有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的2.5倍，该批衬衫仍以每件150元销售．第二个月结束后，商店对剩余的50件衬衫以每件120元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利17500元．设第二批衬衫进价的增长率为x．

（1）第二批衬衫进价为100（1+x）元，购进的数量为200（1+2.5x）件．（都用含x的代数式表示，不需化简）

（2）求x的值．

【分析】（1）根据“购进二批衬衫数量的增长率是进价增长率的2.5倍”解答；

（2）根据销售收入﹣成本＝利润，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）依题意得：

第二批衬衫进价为100（1+x）元，购进的数量为200（1+2.5x）件．

故答案是：100（1+x），200（1+2.5x）；

（2）根据题意，得

200×（150﹣100）+[150﹣100（1+x）][200（1+2.5x）﹣50]+50[120﹣100（1+x）]＝17500．化简，得50x2﹣5x﹣1＝0．

解这个方程，得x1＝，x2＝﹣（不合题意，舍去）．

所以x的值是20%．

【点评】考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

27．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，E为BC的中点．⊙O与边BC相切于点E，并交边AD于点M、N，AM＝3．

（1）求⊙O的半径；

（2）将矩形ABCD绕点E顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°）．在旋转的过程中，⊙O和矩形ABCD的边是否能够相切？若能，直接写出相切时，旋转角α的正弦值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）如图①，连接EO并延长，交AD于点F，连接OM．根据切线的性质得到OE⊥BC，根据矩形的性质得到AD∥BC，AD＝BC＝12，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．推出四边形ABEF和四边形DCEF是矩形．得到AF＝BE，DF＝CE，EF＝AB＝5．求得FM ＝3，设⊙O的半径为r，则OM＝OE＝r，OF＝5﹣r．根据勾股定理即可得到结论；（2）如图②，A'B'与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角α为∠BEB'，作OP⊥B'E，连接OQ，OE，得到四边形QOPB′是矩形，根据矩形的性质得到OQ＝PB′，根据余角的性质得到∠POE＝∠BEB'，根据三角函数的定义得到sin∠BEB'＝sin∠POE＝；如图③，A'D'与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角α为∠BEB'，作OP⊥B'E，连接OQ，OE，同理∠POE＝∠BEB'，根据矩形的性质得到OQ+OP＝A'B'，由（1）得OQ＝OE＝3.4，OP ＝5﹣3.4＝1.6，根据勾股定理得到PE＝3，根据三角函数的定义即可得到sin∠BEB'＝sin ∠POE＝．

【解答】解：（1）如图①，连接EO并延长，交AD于点F，连接OM．

∵⊙O与BC相切于点E，

∴OE⊥BC，

在矩形ABCD中，

∵AD∥BC，AD＝BC＝12，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

∴四边形ABEF和四边形DCEF是矩形．

∴AF＝BE，DF＝CE，EF＝AB＝5．

∵BE＝CE，

∴AF＝DF，

∵OE⊥BC，AD∥BC，

∴OF⊥AD．

∴MF＝NF，

∵AF＝6，AM＝3，

∴FM＝3，

设⊙O的半径为r，则OM＝OE＝r，OF＝5﹣r．

在Rt△OFM中，根据勾股定理，得32+（5﹣r）2＝r2，

解这个方程，得r＝3.4，

即⊙O的半径为3.4；

（2）如图②，A'B'与⊙O相切，切点为Q，

此时旋转角α为∠BEB'，

作OP⊥B'E，连接OQ，OE，

则四边形QOPB′是矩形，

∴OQ＝PB′，

∵OE⊥BC，

∴∠OPE＝∠OEB＝90°，

∴∠POE+∠OEP＝∠OEP+BEP＝90°，

∴∠POE＝∠BEB'，

∴OQ＝PB'＝OE，由（1）得OQ＝PB'＝OE＝3.4，

∴PE＝6﹣3.4＝2.6，

即sin∠BEB'＝sin∠POE＝；

如图③，A'D'与⊙O相切，切点为Q，此时旋转角α为∠BEB'，作OP⊥B'E，连接OQ，OE，

同理∠POE＝∠BEB'，

∵∠A′＝∠B′＝∠QPB′＝90°，

∴四边形A′B′PQ是矩形，

∴OQ+OP＝A'B'，

由（1）得OQ＝OE＝3.4，OP＝5﹣3.4＝1.6，

∴OE2﹣OP2＝PE2，

∴PE＝3，

即sin∠BEB'＝sin∠POE＝．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键