2020高考数学复习—函数练习测试题

第Ⅰ卷(选择题，共50分)

一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,请将正确答案代号填在下面的答题框内.) 1

．

函

数

y=

)

23(log 22

1x x -+的定义域是

( )

A.x ≥1＋3或x ≤1－3

B.－1

C.1＋3≤x<3或－1

D.1－3≤x ≤1＋3

2．若函数y=(2

1log a) x 在R 上为减函数，则a 的取值范围是

( )

A.(0，21)

B.(21，1)

C.(2

1，+∞) D.(1，+∞) 3．已知正实数x 1,x 2及函数f(x),满足4x =

)

(1)

(1x f x f -+,且f(x 1)+f(x 2)=1,

则f (x

1

+

x

2

)

的

最

小

值( )

A.4

B.2

C.

54 D.4

1 4．下列函数中既是奇函数，又在区间［－1，1］上单调递减的是 A.f(x)= sinx B.f(x)=－|x+1| C.f(x)=2

1(a x +a －x ) D.f(x)=ln

x

x

+-22 5．若函数y=(2

1

)|x |+m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是

A.m ≤－1

B.－1≤m<0

C.m ≥1

D.0

6．函数y=log a x 在x ∈［2，+∞］上总有|y|>1，则a 的取值范围是

A.0

1或1

1

1

或a>2 7．已知f(x)=???>≤+)0(

log 0)(

),3(3x x x x f ,则

f(－9)等于

（ ）

A.－1

B.0

C.1

D.3

8．定义在R 上的偶函数f(x)满足对任意x ∈R ，都有f(x+8)=f(x)+f(4)，且x ∈［0，4］时f(x)=4－x ，则f(2005)的值为

A.－1

B.1

C.－2

D.0

9．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开

走，那么 （ ）

A.人可在7秒内追上汽车

B.人可在10秒内追上汽车

C.人追不上汽车，其间距离最近为5米

D.人追

不上汽车，其间距离最近为7米

10．在同一平面直角坐标系中，函数y=f(x)和y=g(x)的图象关于直线y=x 对称.现将y=g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数f(x)的表达式为

A.f(x)=?????≤<+≤≤-+20,2201,22x x

x x B.f(x)= ???

??≤<-≤≤--20,22

1,22x x

x x C.f(x)= ?????≤<+≤≤--42,12

2

1,22x x

x x D.f(x)= ???

??≤<-≤≤-42,32

21,62x x

x x

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）

二、填空题 (本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在下面的横线上.)

11．已知f(x)是定义在实数集R 上的函数，且满足f(x+2)－f(x+2)f(x)

－

f(x)=1,f(1)=

2

1,f(2)=－

4

1,则

f(2006)= .

12．若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x 2、值域为{1,4}的“同族函数”共有 个.

13． (创新题)规定记号“?”表示一种运算，即a ?b=ab +a+b(a,b 为正实数)，若1?k=3，则k 的值为 ；函数f(x)=k ?x 的值域为 .

14． (创新题)对于函数f(x)定义域中任意x 1,x 2(x 1≠x 2)有如下结论： ①f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2); ②f(x 1·x 2)=f(x 1)+f(x 2); ③

0)()(2121>--x x x f x f ； ④f(2

2

1x x +)<2)()(21x f x f +.

当f(x)=lgx 时，上述结论中正确结论的序号是 . 三、解答题 (本大题6小题，满分58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（本小题满分10分）

已知函数f(x)＝a ＋b ax x ++2 (a ，b 为实常数). (Ⅰ)若a ＝2，b ＝－1，求f(x)的值域．

(Ⅱ)若f(x)的值域为［0，＋∞］，求常数a ，b 应满足的条件．

16．（本小题满分12分）

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.

(Ⅰ）若存款利率为x,x∈（0，0.048)，试写出存款数量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；

（Ⅱ）问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？

17．（本小题满分12分）

(甲)设函数f(x)在(－∞，+∞)上满足f(2－x)=f(2+x),f(7－x)=f(7+x),且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0.

(Ⅰ)试判断函数y=f(x)的奇偶性；

(Ⅱ)试求方程f(x)=0在闭合区间［－2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论.

1)lgx+1．(乙)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数，且满足关系f(x)=f(

x

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)求f(x)有最大值和最小值，并求对应的x的值.

18．（本小题满分12分）

1|.

已知函数f(x)=|1－

x

(1)是否存在实数a,b(a

19．（本小题满分12分）

若函数y=f(x)是周期为2的偶函数,当x∈［2,3］时,f(x)=x－1,在y=f(x)的图象上有两点A、B,它们的纵坐标相等,横坐标都在区间［1,3］上,定点C的坐标为(0,a)(其中2

参考答案

1.C 解0<3+2x －x 2≤1即得，也可用特殊值法检验.

2.B 由0

1a<1得2

1

3.C

由4x =

)(1)

(1x f x f -+

得出f(x)= 1

414+-x x .由4x 1=)(1)(111x f x f -+,4x 2=

)(1)(122x f x f -+两式相乘，并注意到关系

f(x 1)+f(x 2)=1得

2

1x x +=

)()()]()([1)()()]()([121212121x f x f x f x f x f x f x f x f ++-+++=)()()()(22121x f x f x f x f + =1+)

()(48

21x f x f ≥

1+

2

21)]()([8x f x f +=9(当f(x 1)=f(x 2)=2

1

时取得等号).于是f(x 1+x 2)=14142121+-++x x x x =1－1

4221++x x ≥1－192+=54.

4.D 用排除法，A 是增函数，B 不是奇函数，C 是偶函数.

5.B 由m=－(2

1

)|x |求值域.

6.B 由f(x)=|y|=|log a x|的图象可知|log a 2|>1,分a>1与0

7.C 由题意得f(－9)=f(－9+3)=f(－6)=f(－6+3)=f(－3)=f(－3+3)=f(0)=f(0+3)=f(3)=log 33=1,故选C.

点评：本题考查分段函数的运用及其有关计算问题.

8.B 由f(4)=0知周期为8，则f(2005)=f(5)=f(－3)=f(3)=1. 9.D 本题是一道加速行程问题，需要运用物理知识建立数学模型，

即通过加速运动建立二次函数关系式.

若经t 秒人刚好追上汽车，则S+25=6t,由S=

21t 2,得2

1

t 2－6t+25=0?t 2－12t+50=0.考虑距离差d=(S+25)－6t=2

1

t 2－

6t+25=2

1

(t －6)2+7,故当t=6秒时，d 有最小值7米，即人与汽车

最少相距7米，故选D. 10.A 由图象得函数

h(x)=,1

0,120

2,12

1

?????≤<+≤≤-+x x x x 可知g(x)=

,3

2,422

0,12

1

?????≤<-≤≤-x x x x 再求反函数即得.本题可用特殊值法检验. 11．4 由f(x+2)－f(x+2)f(x)－f(x)=1得： f(x+2)=

)(11)(x f x f -+,又因为f(1)=－21

,f(2)=－4

1,所以f(3)=

)

1(11)1(f f -+=

3

1

,f(4)=

)

2(11)2(f f -+=

5

3,f(5)=

)

3(11

)3(f f -+=2,f(6)=

)4(11)4(f f -+=4,f(7)= )5(11)5(f f -+=－3,f(8)= )6(11)6(f f -+ =－3

5

,f(9)=)7(11)7(f f -+=

－21,f(10)=

)8(11)8(f f -+=－4

1

.由此推得f(x)是以8为周期的周期函数.所以f(2006)=f(8×250+6)=f(6)=4.

12．9 由题意分析知满足题意的函数的定义域有9种:即{－1,－2},{－1,2},{1,－2},{1,2},{－1,－2,2},{1,－2,2},{－1,1,2},{－1,1,－

2},{－1,－2,1,2},所以“同族函数”共有9个.

13．1,［1,+∞］ ∵a ?b=ab +a+b(a,b 为正实数)，∴1?k=k +1+k=3(k 为正数)，

求得k=1.函数f(x)=k ?x=1?x=x +1+x,f 1(x)=x ,

则f 1(x)在［0，+∞］上为增函数.f 2(x)=x+1,则f 2(x)在［0，+∞］上也为增函数.

由此可得f(0)=1为最小值，所以f(x)=x +1+x 的值域为［1，+∞］.

点评：本题考查新定义运算符号问题，由运算关系式写1?k=3为含k 的关系式，求出k 的值.第二个问题利用函数单调性求出f(x)的值域.

14．②③ 由对数函数f(x)=lgx 的图象和性质可得.

15．解析：(Ⅰ)∵x 2＋2x －1＝(x －1)2－2≥－2，∴122-+x x ≥0,∴f(x)的值域为 ［2，+∞)．

(Ⅱ)当a ＝0时，则须x 2＋b 的最小值≤0，∴b ≤0; 当a ≠0时，只须a ＜0，且

x 2＋ax ＋b ＝(x+

2

a )2

+b －42a 的最小值b

－4

2

a ＝a 2，即4

b ＝5a 2.

∴a ＝0，b ≤0或a ＜0，4b ＝5a 2.

点评：函数的值域与函数的最值密切相关，因此已知函数的值域，可利用函数的最值来列出限制条件.

16．(Ⅰ)由题意知，存款量g(x)=kx,银行应该支付的利息h(x)=xg(x)=kx 2,x ∈(0,0.048).

(Ⅱ)设银行可获得收益为y ，则y=0.048kx －kx 2=－k(x －0.024)2+0.0242k,

当x=0.024时，y 有最大值，∴存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益.

17．(甲)解析：（Ⅰ）由????-=-=????+=-+=-)

14()()

4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f f(4－

x)=f(14－x)

f(x)=f(x+10),从而知函数y=f(x)的周期为T=10

又f(3)=f(1)=0，而f(7)≠0，f(－3)=f(－3+10)=f(7)≠0，所以f(－3)≠±f(3)

故函数y=f(x)是非奇非偶函数;

(Ⅱ)又f(3)=f(1)=0,f(11)=f(13)=f(－7)=f(－9)=0

故f(x)在［0,10］和［－10,0］上均有有两个解,从而可知函数y=f(x)在［0,2005］上有402

个解,在［－2005，0］上有400个解,所以函数y=f(x)在［－

2005,2005］上有802个解.

点评：本题重点考查对抽象函数的性质及综合运用函数性质解题的能力，特别是对函数单调性、周期性、奇偶性的讨论，要结合题目所给的条件把三者联系在一起思考.

(乙)解析：(Ⅰ)f(x)=f(x

1)lgx+1 ① 以x 1代入得：f(x 1)=f(x)lg x 1+1，即f(x

1)=－f(x)lgx+1 ② 以②代入①得：f(x)=［－f(x)lgx+1］lgx+1， 整理得：f(x)=

1

)(lg 1

lg 2

++x x . (Ⅱ)令t=lgx,则函数变为：y=

1

1

2

++t t . 去分母得：yt 2+y=t+1，整理得：yt 2－t+(y －1)=0 ∵t ∈R ，∴Δ=1－4y(y －1)≥0， 解得：

221-≤y ≤2

2

1+， 所以，当t=y 21=2

11

-=－(2+1)， 即x=)

12(

10+-时，y min =

2

2

1-； 当t=lgx=

2

11

+=2－1，即x=1

210-－1时，y max =

2

2

1+. 点评：求抽象函数的解析式，有时要通过以变量换变量，然后通过解方程组求出解析式，有时也可以通过取特殊值来求解析式.

18．(1)不存在实数a,b 满足条件.

假设存在实数a,b,使得y=f(x)=|1－x

1|的定义域和值域都是［a,b ］,

而y ≥0,x ≠0,所以应有a>0.又f(x)=???????<<-≥-).10(11),1(1

1x x

x x

①当a,b ∈(0,1)时，f(x)=x

1

－1在（0，1）上为减函数，故有??

?==a

b f b

a f )()(,

即???????=-=-a b

b a 1111

, 由此可推得a=b 矛盾，此时实数a,b 不存在.

②当a,b ∈［1,+∞］时，f(x)=|1－x

1|=1－x

1在［1，+∞］上是增函数，∴??

?==a

b f b

a f )()(,

即???????=-=-b b

a a 1111,∴a,

b 是方程x 2－x+1=0的根，但方程x 2－x+1=0无实根，所以此时实数a,b 也不存在.

③当a ∈(0,1),b ∈［1,+∞)时，显然，1∈［a,b ］,而f(1)=0∈［a,b ］,这不可能.此时实数a,b 也不存在. 综上可知，适合条件的实数a,b 不存在.

(2)若存在实数a,b 使函数y=f(x)的定义域为［a,b ］,值域为［ma,mb ］(m ≠0).

由mb>ma ， b>a 得m(b －a)>0

m>0.而ma>0,所以a>0.仿

（1）可知，当a,b ∈(0,1)或a ∈(0,1),b ∈［1,+∞］时，a,b 不存在.故只可能是a,b ∈［1,+∞］.

∵f(x)=|1－x 1|=1－x

1在区间［1，+∞］上是增函数，

∴,)()(???==mb b f ma a f 即??????

?=-=-mb b

ma a

111

1, ∴a,b 是方程mx 2－x+1=0的两个不等实根，且两实根均大于等于

1，∴????

???

>>+->-=?121,011,041m

m m

解之得0

4

1). 19．∵f(x)是以2为周期的周期函数,当x ∈［2,3］时,f(x)=x －1, ∴当x ∈［0,1］时,f(x)=f(x+2)=(x+2)－1=x+1.

∵f(x)是偶函数,∴当x ∈［－1,0］时,f(x)=f(－x)=－x+1,当x ∈［1,2］时,f(x)=f(x －2)=－(x －2)+1=－x+3.

设A 、B 的横坐标分别为3－t,t+1,1≤t ≤2,则|AB|=(t+1)－(3－t)=2t －2,∴△ABC 的面积为S=2

1

(2t －2)·(a －t)=－t 2+(a+1)t －a(1

≤t ≤2)=－(t －2

1+a )2+

.41

22+-a a ∵2

1+a 时,S 最大值=

.41

22+-a a