第四章 组合优化问题的原始-对偶算法-1
遗传算法与组合优化.
第四章 遗传算法与组合优化 4.1 背包问题（knapsack problem ） 4.1.1 问题描述 0/1背包问题：给出几个尺寸为S 1，S 2，…，S n 的物体和容量为C 的背包，此处S 1，S 2，…，S n 和C 都是正整数；要求找出n 个物件的一个子集使其尽可能多地填满容量为C 的背包。 数学形式： 最大化 ∑=n i i i X S 1 满足 ,1C X S n i i i ≤∑= n i X i ≤≤∈1},1,0{ 广义背包问题：输入由C 和两个向量C ＝(S 1，S 2，…，S n )和P ＝(P 1，P 2，…，P n )组成。设X 为一整数集合，即X ＝1，2，3，…，n ，T 为X 的子集，则问题就是找出满足约束条件∑∈≤T i i C X ，而使∑∈T i i P 获得最大的子集T ，即求S i 和P i 的下标子集。 在应用问题中，设S 的元素是n 项经营活动各自所需的资源消耗，C 是所能提供的资源总量，P 的元素是人们从每项经营活动中得到的利润或收益，则背包问题就是在资源有限的条件下，追求总的最大收益的资源有效分配问题。 广义背包问题可以数学形式更精确地描述如下： 最大化 ∑=n i i i X P 1 满足 ,1C X S n i i i ≤∑= n i X i ≤≤∈1},1,0{ 背包问题在计算理论中属于NP —完全问题，其计算复杂度为O (2n )，若允许物件可以部分地装入背包，即允许X ，可取从0.00到1.00闭区间上的实数，则背包问题就简化为极简单的P 类问题，此时计算复杂度为O (n )。
4.1.2 遗传编码 采用下标子集T 的二进制编码方案是常用的遗传编码方法。串T 的长度等于n(问题规模)，T i (1≤i ≤n )＝1表示该物件装入背包，T i ＝0表示不装入背包。基于背包问题有近似求解知识，以及考虑到遗传算法的特点（适合短定义距的、低阶的、高适应度的模式构成的积木块结构类问题），通常将P i ，S i 按P i /S i 值的大小依次排列，即P 1/S 1≥P 2/S 2≥…≥P n /S n 。 4.1.3 适应度函数 在上述编码情况下，背包问题的目标函数和约束条件可表示如下。 目标函数：∑==n i i i P T T J 1 )( 约束条件：C S T n i i i ≤∑=1 按照利用惩罚函数处理约束条件的方法，我们可构造背包问题的适应度函数f (T )如下式： f (T ) = J (T ) + g (T ) 式中g (T )为对T 超越约束条件的惩罚函数，惩罚函数可构造如下: 式中E m 为P i /S (1≤i ≤n )i 的最大值，β为合适的惩罚系数。 4.2 货郎担问题（Traveling Salesman Problem ——TSP ） 在遗传其法研究中，TSP 问题已被广泛地用于评价不同的遗传操作及选择机制的性能。之所以如此，主要有以下几个方面的原因： (1) TSP 问题是一个典型的、易于描述却难以处理的NP 完全（NP-complete ）问题。有效地 解决TSP 问题在可计算理论上有着重要的理论价值。 (2) TSP 问题是诸多领域内出现的多种复杂问题的集中概括和简化形式。因此，快速、有效 地解决TSP 问题有着极高的实际应用价值。 (3) TSP 问题因其典型性已成为各种启发式的搜索、优化算法的间接比较标准，而遗传算法 就其本质来说，主要是处理复杂问题的一种鲁棒性强的启发式随机搜索算法。因此遗传算法在TSP 问题求解方面的应用研究，对于构造合适的遗传算法框架、建立有效的遗传操作以及有效地解决TSP 问题等有着多方面的重要意义。
遗传算法合集
遗传算法合集 遗传算法简介 遗传算法是一类模拟生物进化的智能优化算法，它是由J.H.Holland于六十年代提出的。目前，遗传算法已成为进化计算研究的一个重要分支。 与传统优化方法相比，遗传算法的优点是： ·群体搜索 ·不需要目标函数的导数 ·概率转移准则 遗传算法研究热点 ·收敛性证明 ·新型高效的遗传算子设计 ·遗传算法与局部优化算法的结合 ·遗传算法在各领域的应用研究 ·软计算与计算智能中的遗传算法 遗传算法著作 1.陈国良等，遗传算法及其应用，国防出版社 2.J.H.Holland,Adaptation in Natural and Artificial Systems, Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1975 3.D.E.Goldberg,Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989 4.L.D.Davis, Handbook of Genetic Algorithms, Van Nostrand Reinhold 5.Z.Michalewicz, Genetic Algorithms + Data Structures=Evolution Programs, Spinger
Press,1996 6.M.Gen,R.Cheng,Genetic Algorithms & Engineering Design, 1997 7.Wiely,Genetic Algorithms in Engineering and Computer Science,1995 8.M.Mitchell,An Introducion to Genetic Algorithms,1996 9.Davis,Genetic Algorithms and Simulated Annealing,1987 10.Davidor,Genetic Algorithms and Robotics,1991 11.Koza,Genetic Programming,1992 12.Bauer,Genetic Algorithms and Investiment Strategies,1994 遗传算法站点 1.The Genetic Algorithms Archive https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,/galist/ 2.Genetic Adaptive Systems LAB (GASLAB) GASLAB is hosted by the Computer Science Department of the University of Nevada-Reno. https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,/~sushil/papers/conference/conf.html https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,/ 3.http://www.mat.sbg.ac.at/~uhl/GA.html 4.https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,/research/gag/ email:kdejong@https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html, publications: (downloading website) https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,/research/gas/pubs.html 5.Illinois Genetic Algorithms Laboratory Prof. David E. Goldberg, Director https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,./illigal.home.html 6.Michigan State University Genetic Algorithms Research and Applications Group (GARAGE) Bill Punch (punch@https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,,517-353-3541) Erik Goodman (goodman@https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,,517-355-6453) https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,/
基于遗传算法的多式联运组合优化
第四章基于遗传算法的集装箱多式联运运输组合优化模型 的求解 4.1 遗传算法简介 4.1.1 遗传算法 遗传算法(Genetic Algorithm,GA)是在20世纪六七十年代由美国密歇根大学的Holland J.H.教授及其学生和同事在研究人工自适应系统中发展起来的一种随机搜索方法,通过进一步的研究逐渐形成了一个完整的理论和方法体系取名为基本遗传算法(Simple Genetic Algorithm)。在接下来几年的研究过程中Holland在研究自然和人工系统的自适应行为的过程中采用了这个算法，并在他的著作《自然系统和人工系统的适配》中对基本遗传算法的理论和方法进行了系统的阐述与描写，同时提出了在遗传算法的理论研究和发展中具有极为重要的作用的模式理论，它的编码技术和遗传操作成为了遗传算法被广泛并成功的应用的基础，经过许多学者多年来的研究，遗传算法逐渐成熟起来，到现在已经成为了一个非常大的体系，广泛的应用于组合优化、系统优化、过程控制、经济预测、模式识别以及智能控制等多个领域。De Jong于1975年在他的博士论文中设计了一系列针对于各种函数优化问题的遗传算法的执行策略，详细分析了各项性能的评价指标。在此基础上，美国伊利诺大学的Goldberg于1989年系统全面的阐述了遗传算法理论，并通过例证对遗传算法的多领域应用进行了分析，为现代遗传算法的研究和发展奠定了基础。 遗传算法是一种模仿基于自然选择的生物进化过程的随机方法，它以类似于基因的编码作为种群的个体，首先，随机的产生初始种群的个体，从这个群体开始进行搜索，根据类似于生物适应能力的适应度函数值的大小，按照不同问题各自的特点，在当前的种群中运用适当的选择策略选择适应能力大的个体，其中所选择出来的个体经过遗传操作、交叉操作以及变异操作产生下一代种群个体。如此反复，像生物的进化过程一样逐代进化，直到满足期望的终止条件为止。
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用 摘要 线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解. 关键词：线性规划；原问题；对偶问题；转化LinearProgrammingistheOriginalProblemandtheTransformationoftheDu alProblemandApplications Abstract:Linearprogramminginoperationalresearchisresearchearlier,rapiddevelopmentandw ideapplication,themethodisanimportantbranchofmature,itisoneofthescientificmanagementofa uxiliarypeoplemathematicalmethod.Canfromdifferentanglestolinearprogrammingdualproble mforpolicymakerstoprovidemorescientifictheorybasis.Thisarticlemainlyprobesintothelinearp rogrammingproblemandtherelationshipbetweenthedualproblem,linearprogrammingproblem andthetransformationofthedualproblem,theapplicationoflinearprogrammingdualproblem.Thi sarticleisthecomplexoftheoriginalproblemintoitsdualproblemtobesolved,simplifiesthelinearp rogrammingproblem,enablesustorapidlyfindtheoptimalsolutionoflinearprogrammingproble m. Keywords:linearprogramming;theoriginalproblem;thedualproblem;conversion 目录
04-第三章 线性规划及其原始-对偶算法-1(第3次课)
第三章 线性规划及其原始－对偶算法（I ） 3.1 线性规划问题的历史 线性规划问题最早是由G .B.Dantzig 在1947年以前设想出来的。他当时作为联邦空军审计员的一名数学顾问，需要开发一个数学规划的工具，用于制定布置、训练、后勤保障的方案。 由于这项工作，他于1948年出版了《线性结构的规划》一书。 1948年夏天：T.C. Koopmans&G .B.Dantzig 提出了“线性规划”的名称； 1949年：G .B.Dantzig 提出了单纯形方法。 在此之前：Fourier, W.Karush, L.V . Kantorovich 等人的工作都曾涉及到线性规划的有关工作。 1950－1960：线性规划的理论得到了进一步的发展； 1975年：L.V . Kantorovich 和T.C. Koopmans 获得诺贝尔经济奖－对资源最优分配理论的贡献； 1979年：L.G .. Khanchian 的椭球算法； 1984年：N. Karmarkar 的投影尺度算法。 3.2 线性规划问题的几何解释 一、线性规划问题的标准型 min ..0 c x Ax b s t x Τ=?? ≥? (LP) 其中,,,n n m m n x R c R b R A R ×∈∈∈∈。 另外，总假设： 的元素都为整数，rank 0.b ≥),,(c b A m A =)(记： 可行域： {:,n P x R Ax b x =∈=≥0}}最优解集： *{:(LP)P x P x =∈是的最优解为了深入理解线性规划的目标函数和约束条件，我们首先介绍一些基本的概念。 二、平面、半空间、多面体
5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论
第五章 组合优化问题的有效算法 5.1 几个重要算法的计算复杂度讨论 一、线性规划问题的单纯形算法不是多项式时间算法 Klee 和Minty 1972给出了第一这样的例子。 首先要有一个有界多面体，它有指数个顶点。例如，一个立方体： 3,2,1,10=≤≤j x j 有23＝8个顶点。 d －维立方体： d j x j ,,2,1,10L =≤≤ 有d 2个顶点。每一个顶点对应于},,,{21d x x x L 的一个子集，使得该子集中的元素等于1，其余为0。
对于2 1 0< <ε，构造立方体： d j x x x x j j j ,,3,2,1,1, 1111L =?≤≤≤≤??εεε 这个有界多面体是d －维立方体的一个摄动，当0→ε时，它趋于d －维立方体。 为了把上述有界多面体化为标准形式，引进d 个松弛变量： d s s s ,,,21L 和d 个剩余变量： d r r r ,,,21L 因此，有d m 2=个方程，d n 3=个变量，最大化d x ，就构造出如下的线性规划问题： 对于2 1 0<<ε，在d 维空间中构造d 2个约束方程，d 3个变量的线性规划问题： 1x 0x 7 x
d j s r x d j s x x r x x s x r x x j j j j j j j j j d ,,2,1, 0,,,,3,2101min 111111L L =≥==++=??=+=????εεε (LP) 定理5.1 对于每个1>d ，存在线性规划问题，它有d 2个约束方程，d 3个变量，并且它的系数的绝对值为不超过4的整数。当用单纯形算法解这个线性规划问题时，其迭代步数可以为12?d 步。 对单纯形算法的进一步讨论： 1．单纯形算法的变形可以改变选入或退出规则（转轴规则）以避免经过每一个 顶点。但是，对于不同的变形的算法，可以找到不同的反例。这使得我们相信单纯形算法及其变形都不是多项式算法。 2．这种怀的例子在真实问题中很少发生。过去几十年的观察表明，对于中等规 模的实际问题，单纯形算法需要m 4至m 6的迭代步数来完成两阶段的计算。据推测，当n 相对于m 来说较大时，迭代次数预计为m α，其中 ????? ? + 机组组合问题的优化方法综述 陈皓勇 王锡凡 (西安交通大学电力工程系 710049 西安) 1998205215收稿。 国家教委博士点基金资助项目。 (上接本刊1999年第4期第56页) 5 拉格朗日松弛法 电力系统是一个非常典型的大系统,是大系统优化和控制理论的一个重要应用领域[42]。大系统的分解协调思想最早见于D an tzig 和W o lfe 对于线性规划问题的分解[43],而用于机组组合问题的主要是拉格朗日松弛(L agrangian relaxati on )法[44～47],该方法产生于70年代,是解决复杂整数和组合优化问题的一类优化算法,它建立在下述思想的基础上:许多困难的整数规划问题可看成是由一些边界约束条件联系在一起的一系列相对容易的子问题组成,利用这个特点,把约束条件被破坏的量和它们各自的对偶变量的乘积加在目标函数上作为惩罚项,形成拉格朗日问题。拉格朗日问题相对容易解决,对于最大(小)化问题,它的优化值是原问题优化值的上(下)界,因此在分支定界法中,它能够取代线性规划法以提供下界。 下面以最大化问题为例来说明这种方法: Z =m ax X {c T X AX ≤b , D X ≤e ,X ≥0且是整数向量} 其中 X 是n 维向量;b ,c ,e 分别为m 维、n 维、k 维向 量;A ,D 分别为m ×n ,k ×n 的矩阵。 假设问题的约束条件可以分为两组,即AX ≤b 和D X ≤e ,并且如果去掉约束AX ≤b ,问题会变得相对容易解决。因此可以构造拉格朗日问题: Z D (u )=m ax X {c T X +u T (b -AX ) D X ≤e , X ≥0且是整数向量} 对偶变量u 的值应该通过解对偶问题Z D =m in u {Z D (u ) u ≥0}来得到。由于Z D (u )对u 是不可 微的,通常用次梯度法来求解,从初始点u 0开始,应用公式u k +1=m ax{0,u k -t k (b -AX k )}迭代求解。其中t k 是标量步长,X k 是第k 步拉格朗日问题的优化解。 拉格朗日松弛法在机组组合问题中应用时,把 所有的约束分成两类,一类是全系统的约束,即文章第1部分模型中的P (X ),一类是可以按单台机组分解的约束,如模型中的R (X ,Z ),M (X ,Z ),U (Z ),P (X )可以写成惩罚项的形式,加入目标函数,形成拉格朗日函数,拉格朗日函数可按单台机组分解成一系列的子问题,子问题一般用动态规划法求解,对偶问题一般用次梯度法[48]求解。 拉格朗日松弛法在机组组合问题中的应用研究始于70年代,80年代逐渐推广,90年代成为主流,有大量的理论和应用成果。早期的应用多结合分支定界法,但在后来的应用中发现分支定界的框架是可以完全抛弃的,直接解对偶问题并结合一些启发式的调整策略即能得出原问题的最优解或次优解。在后来的研究中发现,为解决由于线性费用函数造成的解的振荡问题,需要在目标函数中加入二次惩罚项,采用辅助问题原理(aux iliary p rob lem p rinci p le )和增广拉格朗日法(augm en ted L agrangian )来解决 [49～51] 。文献[52,53]以分支定界法为框架,应用对偶方法求分支定界树各节点的下界,使用近似罚函数法,不但能解对偶问题,而且能为构造原问题的近似优化解提供有用的信息。文献[53]论证了对偶间隙(duality gap ,即原问题的优化值和对偶问题优化值之间的差值)相对值随着机组数增加而减少。由于对偶法提供了主问题紧的下界和构造优化可行解的有用信息,只需检查一个节点,甚至可以完全放弃分支定界框架。随着机组数增加,计算量线性增长。文献[54]直接应用拉格朗日松弛法求解机组组合和水火电负荷经济分配的问题,用次梯度法优化拉格朗日乘子,用动态规划法求解单台热力机组的开停机问题,用罚函数法求解凸水电优化控制问题,用文献[52,53]的方法从对偶问题的解构造原问题的可行解。 文献[55]提出的方法,不用分支定界的框架,而是直接从对偶问题的解构造原问题的解。该方法利用了电力系统的如下特点:若所有投入运行的机组能满足系统的旋转备用要求,则系统的功率一定能够平衡。因此使用特殊的算法来选择拉格朗日乘子,保证在迭代的过程中旋转备用能够满足要求。文献[56]使用拉格朗日松弛法进行分解,用连续逼近 1 51999年3月 电 力 系 统 自 动 化 A utom ati on of E lectric Pow er System s 第23卷 第5期 基于对偶方法的变分光流改进算法 陈兵 重庆理工大学 摘要： 光流模型一：CLG 模型+（灰度守恒假设+梯度守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．． = ),(v u 光流模型二：CLG 模型+（灰度守恒假设+Laplacian 守恒假设）+非二次惩罚+SOR ．．．= ),(''v u 最终光流：对偶迭代),(v u 与),(''v u 理论依据： 光流三要素：光流产生速度场；是一种携带信息并具有光学特性的载体，如像素等；是三维场景运动对二维平面的投影成像。是带有灰度的像素点在图像平面上的运动而产生的瞬时速度场。 1. CLG 光流模型 1981年，Horn 和Schunck[5]假设两帧图像时间间距很小，图像中某点亮度与物体上对应点处的表面的反射率成比例并假设反射率平滑变化没有空间不连续。在排除对象彼此遮挡的情况下提出了光流算法的经典模型。 设),,(t y x f 是图像像素点),(y x 在t 时刻的亮度。假设t+1时刻，此像素点运动到)1,,(+++t v y u x f ，且亮度保持不变。 则有： )1,,(),,(+++=t v y u x f t y x f 对上式Taylor 展开并忽略二阶及其高阶分量有： 0=??+??+??t f v y f u x f 其中，u 、v 是二维光流水平与垂直分量，f 为灰度图像。在此基础上假设图像又具有连续 性和平滑性，加入平滑权重因子α建立光流数学模型 dxdy f vf uf v u E t y x HS )||)((),(22ωα?+++= ?? Ω 其中，222||||||v u ?+?=?ω。上述模型是一种全局光流方法（H-S 方法），该方法也最终成为了变分方法的理论基础。尽管这种算法可以得到稠密的光流场，但对噪声的鲁棒性很差。 同样是1981年，Lucas 和Kanade[8]利用图像的空间强度梯度，使用牛顿-拉夫逊迭代法提出了一种图像配准技术——局部光流方法（L-K 方法），其模型为 2)(*),(t y x LK f vf uf K v u E ++=ρ 其中，ρK 是以ρ为标准差的Gaussian 函数。L-K 方法使得光流在噪声情况下具有很好的鲁 棒性，但也只是得到稀疏的光流场。 Bruhn 等人结合了H-S 方法和L-K 方法的优缺点提出了CLG 光流模型[7]: 1、举例说明什么是关键词堆砌？ 本帖隐藏的内容 答：理论上来说，堆砌是指同义关键词的累积叠加组成的标题，比如男裤长裤直筒裤休闲裤商务裤中年裤热卖这样的标题，影响买家的体验； 事实上，我们在组合标题时，只要是通过我们黄金词助手找出的关键词，都是没有太大问题的； 2、举例说明什么叫品牌词和敏感词？ 本帖隐藏的内容 答：滥用品牌词：宝贝卖的不是耐克、阿迪达斯，标题出现耐克、阿迪达斯 滥用敏感词：高仿，同款等； 尤其是在今年，淘宝严打期间，这样的词是绝对不能用的； 3、标题组合中一般用什么符号隔开？ 本帖隐藏的内容 答：理论上来说，是用空格或者/这两种符号，一般情况下我们习惯用空格，但有的时候为了标题看起来更加的可读，会用到/，比如ipone4/4s，要比ipone4 4s 更加的可读； 4、淘宝标题分词的三个原则是什么？ 本帖隐藏的内容 答：三个原则是紧密优先原则，前后无关原则，偏正组合原则； 这里三个原则的重要程度为紧密优先>前后无关>偏正原则，也就是说我们组合标题时最应该考虑的原则是紧密优先原则； 5、举例说明什么叫紧密优先原则？ 本帖隐藏的内容 答：对于某一个关键词来说，紧密排列要优于分开排列，比如如果我想做男士单肩包这个词，正品男包男士单肩包这样的写法要优于男士正品男包单肩包这样的写法，这是对于某一个关键词来说； 而很多时候我们需要做很多关键词，如果不能将所有的关键词都紧密排列的时候，我们需要做取舍，这些词里一定有我们最想做的词，那么就选择这个词紧密排列，其他的只能分开； 举例：看下图 对于这两个词来说，都是我们可用的黄金词，第一个词搜索指数为7235，竞争宝贝数为2993，第二个词搜索指数为3767，竞争宝贝数为4093，很明显，第一个优于第二个词，那么我们首先应该将第一个词紧密排列，这就是取舍； 6、举例说明什么叫前后无关原则？ 本帖隐藏的内容 答：前后无关是指，对于两个关键词来说，哪个在前，哪个在后没有关系，比如第一关键词+第二关键词=第二关键词+第一关键词； 这里一定要明确，前后无关原则是针对两个独立的关键词来说的； 7、举例说明什么叫偏正组合原则？ 本帖隐藏的内容 weili@https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html, 主要内容 ?组合最优化问题概论 ?现代最优化计算方法 –禁忌搜索（tabu search） –模拟退火（simulated annealing） –遗传算法（genetic algorithms） –人工神经网络（neural networks） –拉格朗日松弛算法（Lagrange slack arithmetic） ?组合最优化（combinatorial optimization ） –是通过对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等 –组合最优化问题的数学模型 其中，f(x)为目标函数，g(x)为约束函数，x 为决策变量，D 表示有限个点组成的集合 D x 0 g(x) .t .s ) x (f min ∈≥ ?组合最优化（combinatorial optimization ） –一个组合最优化问题可用三参数（D,F,f ）表示，其中D 表示决策变量的定义域，F 表示可行解区域F 中的任何一个元素称为该问题的可行解，f 表示目标函数。满足的可行解称为该问题的最优解 –组合最优化的特点是：可行解集合为有限点集 –有可行解一定有最优解 }0)x (g ,D x |x {F ≥∈=}F x |x)(f {min )x (f *∈=*x ?组合最优化问题 例1.（最优投资问题）设一个人的财富为b ，现有n 只价格为、预期收益分别为的股票，如何选择投资策略使得该人投资收益最大？解：用数学模型表示为： )n ,2,1i (a i L =)n ,2,1i (c i L =(3) n ,2,1i },1,0{ x (2) ,b x a .t .s (1) x c max i n 1 i i i n 1 i i i L =∈≤∑∑== 18.433 组合最优化 原始－对偶算法 October 28 授课教师：Santosh Vempala 在这一讲中，我们介绍互补松弛性条件并利用它们得到求解线性规划的原始－对偶方法。 1 互补松弛性 由前面的强对偶定理我们已经知道，下面两个线性规划都有可行解时其最优值是相等的，即 利用上面的结论，我们可以验证原始和/或其对偶问提解的最优性。 定理1. 设和分别是(P)和(D)的可行解，那么和是最优解当且仅当下面的条件成立： 证明：首先，由于和是可行解，故且 对下标和做加和，可得 把上面两式相加并利用强对偶定理，可得， 因此，不等式(1)和(2)一定为等式。故结论得证。□2 原始－对偶算法 定理1主要蕴含的结论是：如果和是可行解且满足互补松弛性条件，则他们是最优解。 这个结论产生了原始－对偶算法和出发，使之越来越满足互补松弛性 条件。 方便起见，我们考虑如下原始和对偶规划： 在这种形式下，互补松弛性条件可简化为： 原始－对偶算法步骤如下： 1、从(D)的一个可行解开始。在多数情况下得到这样的一个可行解要比求解线性 规划简单得多。 令 现在我们需要利用(3)得到(P)的一个可行解满足问题是有没有 一个满足这种性质的可行解。 2、写出限定原始规划(RP)如下： 事实上，(RP)的可行解即满足上述提到的性质(3)。这里，变量为人工变量。 如果为0，那么即为(P)的最优解。 3、如果，那么和是最优的。否则，这时我们写 出(RP)的对偶形式，称为(DRP)，并求其解 4、令来改进（D）的解，其中的取值需满足是可行的，而且 由可行性可知，对有 又因为任意均有 所以当时可取任意正数。故取 则满足且是可行的。 又因为且， 注意，在上面的原始－对偶算法中，求解(DRP)通常要比求解(P)或(D)简单。实际上，在这种方法中，(P)和(RP)都是临时规划，我们真正想解的是(D)。为此，我们先解出(DRP)再用这个解来反复改进。 2.1 实例 考虑下面形式的最大流问题： 值得一提的是，在初始的最大流问题中，前三组约束为等式。但是我们将这三组不等式相加，得到0<=0，这些不等式的弱集蕴涵着等式。我们把上述表示形式作为(D)，取为零向量即 可得到它的一个可行解。现在我们直接给出(DRP): 2007年第2期空间电子技术收稿日期：2006-04-03；收修改稿日期：2006-04-30 粒子群算法和蚁群算法的结合及其在 组合优化中的应用 张长春苏昕易克初 （西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室，西安710071） 摘要文章首次提出了一种用于求解组合优化问题的PAAA 算法。该算法有效地 结合了粒子群算法和蚁群算法的优点，先利用粒子群算法的随机性、快速性、全局性得到 初始信息素分布（即粗搜索），再利用蚁群算法的并行性、正反馈性、求解精度高等优点求 精确解（即细搜索）。将文中提出的算法用于经典TSP 问题的求解，仿真结果表明PAAA 算 法兼有两种算法的优点，同时抛弃了各自的缺点。该算法在时间效率上优于蚁群算法，在 求精效率上优于粒子群算法，是综合了两种算法长处的一种新的启发式算法，达到时间性 能和优化性能上的双赢，获得了非常好的效果。 主题词蚁群算法粒子群算法旅行商问题PAAA 0引言 近年来对生物启发式计算（Bio-inspired Computing ）的研究，越来越引起众多学者的关注和兴趣，产生了神经网络、遗传算法、模拟退火、粒子群算法、蚁群算法等许多用于解决复杂优化问题的新方法。然而，面对各种问题的特殊性和复杂性，每种算法都表现出了自身的优势和缺陷，都存在时间性能和优化性能不能兼得的矛盾。 粒子群优化（Particie Swarm Optimization ，PSO ）算法[1， 2]是由Eberhart 和Kennedy 于1995年提出的一种全局优化算法，该算法源于对鸟群觅食行为的模拟。它的优势在于：（1） 算法简洁，可调参数少，易于实现；（2） 随机初始化种群，具有较强的全局搜索能力，类似于遗传算法；（3）利用评价函数衡量个体的优劣程度，搜索速度快；（4）具有较强的可扩展性。其缺点是：不能充分利用系统中的反馈信息，求解组合优化问题的能力不强。 蚁群算法[3，4]（Ant Coiony Optimization ，ACO ） 是由意大利学者M.Dorigo ，V.Maniezzo 和A.Coiorni 于20世纪90年代初提出的一种新型的智能优化算法，已经被应用到TSP 问题[5，6]、二次分配问题、工 件调度问题、图着色问题等许多经典组合优化问题中，取得了很好的效果。它的优点是：（1）采用一种正反馈机制，通过信息素的不断更新，达到最终收敛于最优路径上的目的；（2）是一种分布式的优化方法，易于并行实现；（3）是一种全局优化的方法，不仅可用于求解单目标优化问题，而且可用于求解多目标优化问题；（4）适合于求解离散优化问题；（5）鲁棒性强。但由于在算法的初始阶段信息素匮乏，所以求解速度较慢。 文章将粒子群算法和蚁群算法有机地结合，提出了PAAA 算法。它利用粒子群算法的较强的全局搜索能力生成信息素分布，再利用蚁群算法的正反馈机制求问题的精确解，汲取各自的优势，以达空间电子技术 SPACE ELECTRONIC TECHNOLOGY !" 遗传算法及其在TSP问题中的应用 摘要：本文首先介绍了遗传算法的基本理论与方法，从应用的角度对遗传算法做了认真的分析和研究，总结了用遗传算法提出求解组合优化问题中的典型问题——TSP问题的最优近似解的算法。其次，本文在深入分析和研究了遗传算法基本理论与方法的基础上，针对旅行商问题的具体问题，设计了基于TSP的遗传算法的选择、交叉和变异算子等遗传算子，提出了求解旅行商问题的一种遗传算法，并用Matlab语言编程实现其算法，最后绘出算法的仿真结果，并对不同结果作出相应的分析。然后，本文还针对遗传算法求解TSP时存在的一些问题对该算法进行了适当的改进。如针对初始群体、遗传算子作出适当改进，或者将遗传算法与其他方法相结合，以及在编程过程中对算法流程的改进。本人在用计算机模拟遗传算法求解TSP问题时，首先分析了用Matlab语言设计遗传算法程序的优越性，接着以遗传算法求解TSP问题为例，深入讨论了各个遗传算子的程序实现，并通过分析实验数据，得到各个遗传算子在搜索寻优过程中所起的作用，最后指出了用Matlab语言编程同用其它高级程序语言编程的差异所在，以及运用Matlab编写遗传算法程序的一些注意事项。最后，本文提出将遗传算法与其它算法相结合来求解一般问题的想法；并将遗传算法的应用范围扩展，提出可以运用遗传算法求解由TSP衍生出的各类TSP扩展问题，如求解配送/收集旅行商问题的遗传算法（TSPD）、遗传算法在货物配送问题中的应用（ST－TSP）、多旅行商问题（MTSP）等。 引言：优化问题可以自然地分为两类：一类是连续变量的优化问题；另一类是离散变量的优化问题，即所谓组合优化问题。对于连续变量的优化问题，一般是求一组实数或一个函数；而在组合优化问题中，一般是从一个无限集或有限的几个无限集中寻找一个对象——它可以是一个整数，一个集合，一个排列或者一个图，也即是从可行解中求出最优解的问题。TSP问题就是其中的典型例子，就本质上而言它可抽象为数学上的组合优化，它描述的是旅行商经N个城市的最短路径问题，因而对TSP问题的求解是数学上，同时也是优化问题中普遍关注的。旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）也称为货担郎问题，是一个较古的问题，最早可以追溯到1759年Euler提出的骑士旅行问题[9]。旅行商问题可以解释为，一位推销员从自己所在城市出发，必须邀访所有城市且每个城市只能访问一次之后又返回到原来的城市，求使其旅行费用最小（和旅行距离最短）的路径。 TSP是一个典型的组合优化问题，并且是一个NP难题，所以一般很难精确地求出其最优解，因而寻找出其有效的近似求解算法就具有重要的理论意义。另一方面，很多实际应用问题，如公安执勤人员的最优巡回路线、流水作业生产线的顺序问题、车辆调度问题、网络问题、切割问题以至机组人员的轮班安排、教师任课班级负荷分配等问题，经过简化处理后，都可建模为TSP问题，因而对旅行商问题求解方法的研究也具有重要的应用价值。再者，在各种遗传算法应用实例中，其个体编码方法大多都是采用二进制编码方法或浮点数编码方法，而TSP问题是一种典型的需要使用符号编码方法的实际问题，所以，研究求解TSP问题的遗传算法，对促进遗传算法本身的发展也具有重要意义。在过去的20年里，在求解旅行商问题的最优解方面取得了极大的进展。尽管有这些成就，但旅行商问题还远未解决，问题的许多方面还要研究，很多问题还在期待满意的回答。 另外，遗传算法就其本质来说，主要是解决复杂问题的一种鲁棒性强的启发式随机 1、C4.5 机器学习中，决策树是一个预测模型；他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。树中每个节点表示某个对象，而每个分叉路径则代表的某个可能的属性值，而每个叶结点则对应从根节点到该叶节点所经历的路径所表示的对象的值。决策树仅有单一输出，若欲有复数输出，可以建立独立的决策树以处理不同输出。 从数据产生决策树的机器学习技术叫做决策树学习, 通俗说就是决策树。 决策树学习也是数据挖掘中一个普通的方法。在这里，每个决策树都表述了一种树型结构，他由他的分支来对该类型的对象依靠属性进行分类。每个决策树可以依靠对源数据库的分割进行数据测试。这个过程可以递归式的对树进行修剪。当不能再进行分割或一个单独的类可以被应用于某一分支时，递归过程就完成了。另外，随机森林分类器将许多决策树结合起来以提升分类的正确率。 决策树同时也可以依靠计算条件概率来构造。决策树如果依靠数学的计算方法可以取得更加理想的效果。 决策树是如何工作的 决策树一般都是自上而下的来生成的。 选择分割的方法有好几种，但是目的都是一致的：对目标类尝试进行最佳的分割。 从根到叶子节点都有一条路径，这条路径就是一条“规则”。 决策树可以是二叉的，也可以是多叉的。 对每个节点的衡量： 1) 通过该节点的记录数 2) 如果是叶子节点的话，分类的路径 3) 对叶子节点正确分类的比例。 有些规则的效果可以比其他的一些规则要好。 由于ID3算法在实际应用中存在一些问题，于是Quilan提出了C4.5算法，严格上说C4.5只能是ID3的一个改进算法。相信大家对ID3算法都很.熟悉了，这里就不做介绍。 C4.5算法继承了ID3算法的优点，并在以下几方面对ID3算法进行了改进： 1) 用信息增益率来选择属性，克服了用信息增益选择属性时偏向选择取值多的属性的不足； 2) 在树构造过程中进行剪枝； 3) 能够完成对连续属性的离散化处理； 4) 能够对不完整数据进行处理。 C4.5算法有如下优点：产生的分类规则易于理解，准确率较高。其缺点是：在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效。此外，C4.5只适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。 来自搜索的其他内容： C4.5算法是机器学习算法中的一种分类决策树算法,其核心算法是ID3算法. 分类决策树算法是从大量事例中进行提取分类规则的自上而下的决策树. 决策树的各部分是: 根: 学习的事例集. 枝: 分类的判定条件. 叶: 分好的各个类. §4.3.2 ID3算法 1.概念提取算法CLS 1) 初始化参数C={E},E包括所有的例子,为根. 软件学报ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html, Journal of Software,2011,22(9):1985?1993 [doi: 10.3724/SP.J.1001.2011.03948] https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html, +86-10-62562563 ?中国科学院软件研究所版权所有. Tel/Fax: ? 组合优化问题简约与算法推演 郑宇军1,2+, 薛锦云1,2, 凌海风3 1(中国科学院软件研究所计算机科学国家重点实验室,北京 100190) 2(江西师范大学江西省高性能计算重点实验室,江西南昌 330027) 3(南京大学管理工程学院,江苏南京 210093) Combinatorial Optimization Problem Reduction and Algorithm Derivation ZHENG Yu-Jun1,2+, XUE Jin-Yun1,2, LING Hai-Feng3 1(The State Key Laboratory of Computer Science, Institute of Software, The Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China) 2(Provincial Key Laboratory of High Performance Computing, Jiangxi Normal University, Nanchang 330027, China) 3(School of Management and Engineering, Nanjing University, Nanjing 210093, China) + Corresponding author: E-mail: yujun.zheng@https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html, Zheng YJ, Xue JY, Ling HF. Combinatorial optimization problem reduction and algorithm derivation. Journal of Software, 2011,22(9):1985?1993. https://www.360docs.net/doc/5f17784115.html,/1000-9825/3948.htm Abstract: A unified algebraic model is used to represent optimization problems, which uses a transformational approach that starts from an initial problem specification and reduces it into sub-problems with less complexity. The model then constructs the problem reduction graph (PRG) describing the recurrence relations between the problem, and derives an algorithm with its correctness proof hand-in-hand. A prototype system that implements the formal algorithm development process mechanically is also designed. This approach significantly improves the automation of algorithmic program design and helps to understand inherent characteristics of the algorithms. Key words: combinatorial optimization problem; problem reduction; algorithm derivation; PAR (partition-and- recur); correctness proof 摘要: 针对组合优化类问题定义了代数结构模型,从问题的形式规约出发,通过一阶谓词和量词演算将问题逐 步简约为搜索空间更小、复杂度更低的子问题,根据问题的简约关系推导出求解算法,并在构造算法的同时也证明 了算法的正确性.开发了原型系统以支持上述形式化的开发过程.这种算法推演技术能够显著提高算法程序设计的 自动化水平,而问题简约的思想也更有利于对算法本质特征的理解. 关键词: 组合优化问题;问题简约;算法推演;PAR(partition-and-recur);正确性证明 中图法分类号: TP301文献标识码: A 组合优化问题是指在离散有限的数学结构中和给定的约束条件下寻找目标函数最优值的问题,它是组合 数学、运筹学和理论计算机科学中长期研究的重要问题之一.传统的组合优化算法设计策略(如动态规划、贪 心、回溯等)有着各自不同的适用范围,而且缺乏策略选择的有效标准[1],因而极大地限制了算法开发的形式化 ?基金项目: 国家自然科学基金(61105073, 60773054); 科技部国际科学技术合作项目(2008DFA11940) 收稿时间: 2009-09-25; 定稿时间: 2010-09-06机组组合问题的优化方法综述2
基于对偶方法的变分光流改进算法
[标题组合优化] 标题组合优化常见问题合集
组合最优化简介
原始-对偶算法
粒子群算法和蚁群算法的结合及其在组合优化中的应用e
遗传算法及其在TSP问题中的应用
机器学习10大经典算法
2011-组合优化问题简约与算法推演