教师讲义

数的整除

一、知识点

1.整除的概念:整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,则称a能被b

整除(或者说b能整除a),记作b|a,其中a叫做b的倍数,b叫做a的因数。

注意:我们讨论的整除性均在正整数范围内。

2.数的整除特征

(1)一个数的个位数字是0,2,4,6,8中的某一个,那么这个整数就能被2整除。

(2)一个数的个位数字是0或者5,那么这个整数就能被5整除。

(3)一个数各数位上的数字和能被3或9整除,那么这个数就能被3或9整除。

(4)一个数的末两位数能被4(或25)整除,那么这个数就能被4(或25)整除。

(5)一个数的末三位数能被8(或125)整除,那么这个数就能被8(或125)整除。

(6)一个数既能被2整除,又能被3整除,则这个数能被6整除,反之一个数

能被6整除,则这个数一定能被6的因数(1,2,3,6)整除。

(7)能被11整除的数的特征:一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数

字之和的差(大数减小数)是11的倍数,那么这个数就是11的倍数。(8)能被7(11或13)整除的特征:一个数的末三位与末三位以前的数字所

组成的数之差(大数减小数)能被(11或13)整除,那么这个数就能被7(11或13)整除。

3.数整除的性质

(1)如果两个整数a、b都能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被数c整除

(2)如果数a能被数b整除,c是整数,那么ac也能被数b整除。

(3)如果数a能被数b整除,b又能被数c整除,那么数a也一定能被数c整除。

(4)如果数a能同时被数b、c整除,而且b、c互质,那么a一定能被积bc整除。

二、典例剖析

例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔(每人一支),共付人民币9□.2□元。

已知□处数字相同,请问钢笔每支多少元?

例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔(每人一支),共付人民币9□.2□元。已知□处数字相同,请问钢笔每支多少元?

解:9□.2□元=9□2□分,28=4×7并且4与7互质,所以4、7能整除9□2□4整除9□2□则个位数字可能为0、4、8

当个位为0时,28不整除9020,不正确

当个位为4时,28不整除9424,不正确

当个位为8时,28整除9828,正确

所以一共付人民币98.28元,钢笔每支是98.28÷28=3.51(元)

答:钢笔每支3.51元

练一练1.

老师买了72本相同的书,当时没有记住每本书的价格,只用铅笔记下了用掉的总钱数□13.7□元,回校后发现有两个数字已经看不清了,你能帮助补上这两个数字吗?

解:□13.7□元=□137□分,72=8×9且8与9互质

8整除37□则个位为6,即后三位为376

9整除□1376,即□+1+3+7+6=□+17是9的倍数,所以□137□为11376,