复变函数总结
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数总结完整版
第一章复数1 i 2=-1 i = ∙, -1 欧拉公式z=x+iy实部Re Z 虚部Im Z2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2)乙Z2③=χ1 iy1 χ2 iy2X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2=X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y22 2 2 2Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2⑤z = X - iy 共轭复数z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应，与向量--- 对应辐角当z≠0时，向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3…把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz04如何寻找arg Zπ例：z=1-i4πz=i2πz=1+i4z=-1 π5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71例2 f Z = C 时有(C )=0可得到z=re°Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方n n in 「nZ Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根，记作CO =^Z☆当丄二f Z o时，连续例1 证明f Z =Z在每一点都连续证：f（Z f（Z o ）= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续3导数f Z o Jm fZ一f zoz-⅛z°Z-Z o,2n第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f z = zZ—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限df(z lZ=Zo1例2 f Z = C 时有(C )=0根据C-R 条件可得2x =0,2y = 所以该函数在Z =O 处可导4解析若f z 在Z 00= X = 0,^0的一个邻域内都可导，此时称用C-R 条件必须明确u,v 四则运算 f 一 g =「- g rkf =kf f g = f g f gf Z 在Z 0处解析。
复变函数总结
n
复数数列收敛等价于 u 和 v 分别收敛 级数绝对收敛比值法 a=|zn+1/zn|,a<1 收 a>1 发 幂级数 收敛圆 Abel 第一定理
lim k ck 1 0 ck
(4)高阶导数公式
f (n) ( z) n! 2 i
(3)有界 Cauchy 积分公式
m 1
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( )d s 是？ ck k! 2i s ( z0 )k 1
bk
1 f ( )d 2i ( z 0 ) k 1 s
(8)留数 res f(z0)
b1 1 2 i
(9)留数定理
s
f ( z )dz
(7) Laurent 级数 R1<|z-z0|<R2
f ( z)
k
唯一性
b (z z
k
0
)k
唯一性 s 是？
收敛半径 R 1/ (12)极点 res f(z0)
1 d ( z z0 )m f ( z ) z z0 (m 1)! dz m 1 lim
m
f ( x)eipx dx 2 i res[ f ( z )eipz ]z z k
k 1
0
m
(1) 由 CR 条件和 Green 公式推得。对于任意解析区域都适用。 另一种方法,由于围道内没有奇点, 所以(9)式的右边为 0。 z z 积分与路径无关：定积分 F ( z )z0 f ( )d cz0 f ( )d F ( z )F ( z0 ). (2)复连通区域可划成单连通区域, 即得 (3) l 可化为绕 z 的无穷小围道,这时 f(ζ )趋于常数 f(z),提到积分外, 剩下部分的积分部分正好为 2πi 另一种方法，将 f(ζ )在 z 附近 Taylor 展开，f(z)正好是－1 次 项系数，而积分后其他幂次项为 0. (4) 将(3)式两边对 z 求导即得 (5) (3)式在无穷远点留数为 0 即得 (6) 对(3)式的 1/(ζ -z)用幂级数展开,结合(4)即得 它是(7)的 f(z)在 R1 内不含奇点的情形 S 是圆域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (7) 对(3)式的 1/(ζ -z)在 R2 用幂级数展开，得正幂次项部分,在 R1 展开对 k 做替换得负幂次项部分,最后对它们的系数用(2)归 纳便可得到该结论 S 是圆环域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (8) 令(7)的 k= -1 得 (9) (8)和(2)结合即得 (10) 这是定义 (11) 将(9)代入(10)即得 (12) 把 f(z)的 Laurent 展开式写出经式中的运算,结果正好是 b-1 (13) 用 1/z 替换(10)中的 z, 然后求 z=0 的留数即可,
复变函数初步例题和知识点总结
复变函数初步例题和知识点总结一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数。
一个复变函数通常可以表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z ＝ x ＋ iy$ 是复数，＄x$ 和＄y$ 分别是实部和虚部，＄w ＝ u ＋ iv$ 也是复数，＄u$ 和＄v$ 分别是其实部和虚部。
例如，函数＄f(z) ＝ z^2$ 就是一个简单的复变函数。
将＄z ＝ x ＋iy$ 代入，可得：＼＼begin{align}f(z)＆＝（x ＋ iy)＾2\＼＆＝x^2 y^2 ＋ 2ixy＼end{align}＼从而得到实部＄u ＝ x^2 y^2$，虚部＄v ＝ 2xy$。
二、复变函数的极限与连续（一）极限如果对于任意给定的正数＄＼epsilon$，都存在正数＄＼delta$，使得当＄0 ＜｜z z_0| ＜＼delta$ 时，有＄｜f(z) A| ＜＼epsilon$，则称＄A$ 为函数＄f(z)＄当＄z$ 趋向于＄z_0$ 时的极限，记作＄＼lim_{z ＼to z_0} f(z) ＝ A$。
例如，考虑函数＄f(z) ＝＼frac{z}｛｜z|｝＄，当＄z$ 沿着实轴正方向趋近于＄0$ 时，极限为＄1$；当＄z$ 沿着实轴负方向趋近于＄0$ 时，极限为＄－1$。
由于这两个极限不相等，所以该函数在＄z ＝ 0$ 处极限不存在。
（二）连续如果函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处的极限存在且等于＄f(z_0)＄，则称函数＄f(z)＄在点＄z_0$ 处连续。
例如，函数＄f(z) ＝ z$ 在整个复数域上都是连续的。
三、复变函数的导数复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程。
设函数＄f(z) ＝ u(x, y) ＋ iv(x, y)＄，则其导数为：＼f'（z) ＝＼lim_{＼Delta z ＼to 0} ＼frac{f(z ＋＼Delta z) f(z)｝｛＼Delta z}＼柯西黎曼方程为：＼＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}，＼quad ＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＼例如，函数＄f(z) ＝ z^2 ＝（x ＋ iy)＾2 ＝ x^2 y^2 ＋ 2ixy$，则＄u ＝ x^2 y^2$，＄v ＝ 2xy$。
复变函数公式及常用方法总结
复变函数公式及常用方法总结复变函数是指在复平面上定义域为复数集的函数。
复变函数与实变函数不同，其定义域和值域都是复数集合，因此需要引入复数的运算和性质来研究这类函数。
复变函数在数学以及物理、工程学等领域有广泛的应用，如电路分析、信号处理、流体力学等。
1.复变函数的定义与性质：复变函数可以用以下形式表示：f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + iy；u(x, y)和v(x, y)为实变量x和y的实函数。
复变函数的一些性质如下：(1)复变函数可以进行加减、乘法和除法运算；(2)复变函数的连续性：若f(z)在特定点z0处连续，则其实部和虚部在该点均连续；(3)复变函数的解析性：若f(z)在特定点z0处可导，则其在该点解析；若f(z)在定义域内每一点都解析，则称其为全纯函数；(4)复变函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程式：∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2=0和∂^2v/∂x^2+∂^2v/∂y^2=0。
2.常用的复变函数：(1)幂函数：f(z)=z^n，其中n为整数；(2) 指数函数：f(z) = e^z = e^(x+iy) = e^x * e^(iy) = e^x * (cosy + isiny)；(3) 对数函数：f(z) = ln(z)；(4) 三角函数：正弦函数f(z) = sin(z)，余弦函数f(z) = cos(z)，正切函数f(z) = tan(z)等；(5) 双曲函数：双曲正弦函数f(z) = sinh(z)，双曲余弦函数f(z)= cosh(z)，双曲正切函数f(z) = tanh(z)等。
3.复变函数的常用方法：(1)极坐标表示法：将复数z表示为模长r和辐角θ的形式：z=r*e^(iθ)。
在极坐标下，复变函数的运算更加方便，例如可以用欧拉公式将指数函数表示为e^(iθ)的形式。
(2) 复变函数的导数：复变函数的导数可以用极限的形式表示，即f'(z) = lim(h→0) [f(z+h) - f(z)] / h。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结复变函数是数学中重要的概念，它在分析学、微分几何、数学物理等领域都有着广泛的应用。
本文将对复变函数的基本概念、性质和常见定理进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握复变函数的相关知识。
1. 复数与复变函数。
复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为z=x+iy，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。
复数可以用平面上的点来表示，称为复平面，实部x对应横坐标，虚部y对应纵坐标。
复变函数是定义在复平面上的函数，通常表示为f(z)，其中z为复数变量。
2. 复变函数的导数与解析函数。
与实变函数类似，复变函数也有导数的概念，称为复导数。
如果一个函数在某点处可导，并且在该点的邻域内处处可导，那么称该函数在该邻域内解析。
解析函数具有很多良好的性质，比如在其定义域内可以展开成幂级数。
3. 共轭与调和函数。
对于复数z=x+iy，其共轭复数定义为z的实部不变，虚部取相反数，记为z=x-iy。
对于复变函数f(z)，如果它满足柯西-黎曼方程，即满足一阶偏导数存在且连续，并且满足偏导数的连续性条件，那么称f(z)为调和函数。
4. 柯西-黎曼方程与全纯函数。
柯西-黎曼方程是复变函数理论中的重要定理，它建立了解析函数与调和函数之间的联系。
柯西-黎曼方程指出，如果复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在某点处可导，那么它满足柯西-黎曼方程，即u和v满足一阶偏导数的连续性条件。
满足柯西-黎曼方程的函数称为全纯函数，也称为解析函数。
5. 柯西积分定理与留数定理。
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它指出如果f(z)在闭合区域内解析，并且沿着闭合区域的边界进行积分，那么积分结果为0。
留数定理是计算闭合曲线积分的重要方法，它将积分结果与函数在奇点处的留数联系起来，从而简化了积分的计算。
6. 应用领域。
复变函数在物理学、工程学、经济学等领域都有着重要的应用，比如在电路分析中的传输线理论、振动理论中的阻尼比计算、流体力学中的势流与涡流等方面都需要用到复变函数的知识。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
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第一章 复数与复变函数一、复数几种表示 （1）代数表示 yi x z +=（2）几何表示：用复平面上点表示（复数z 、点z 、向量z 视为同一概念） （3）三角式：)sin (cos θθi r z += （4）指数式 ： θi re z = 辐角πk z Argz 2arg += 22||y x z +=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<=->=<<-><+>=0,0,2/0,0,2/0,0,arctan 0,0,arctan ,0,arctan arg y x y x y x x yy x x yx x y z ππππ izz y z z x 2,2-=+= 二、乘幂与方根（1）乘幂： θi re z =，θin n n e r z = （2）方根： 1,2,1,0,||arg 2-==+n k ez z i nzk n nπ第二章 解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域处处可导注：（1）点解析⇒点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域解析与可导等价二、定理1 iv u z f w +==)(在0z 可导⇔v u ,在0z 可微，满足C-R 方程定理2 iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） ⇔v u ,在区域D 可微，满足C-R 方程讨论1 v u ,在区域D4个偏导数存在且连续，满足C-R 方程 ⇒iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） 三、解析函数和调和函数的关系1、定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。
定义2 设),(),,(y x y x ψϕ是区域D 调和函数，且满足C-R 方程，x y y x ψϕψϕ-==,，则称ψ是ϕ的共轭调和函数。
2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。
定理2 函数在D 解析⇔虚部是实部的共轭调和函数。
3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部） 理论依据：（1）虚部、实部是调和函数。
（2）实部与虚部满足C-R 方程。
求解方法：（例如已知v ）（1）偏积分法：先求y x u u ,，再求)(y dx u u x ϕ+=⎰，得出)(y ϕ （2）利用曲线积分：求du u u y x ,,，再c dy u dx u u y x y x y x ++=⎰),(),(00（3）直接凑全微分：求du u u y x ,,，再du四、初等函数1、指数函数)sin (cos y i y e e e e w x iy x z +=== 性质：（1）z e 是单值函数，（2）z e 除无穷远点外处处有定义 （3）0≠z e（4）z e 处处解析，z z e e =')(（5）2121z z z z e e e =+（6）z e 是周期函数，周期是i k π22、对数函数πk i z i z Lnz w 2arg ||ln ++== （多值函数） 主值（枝）z i z z arg ||ln ln += （单值函数） 性质：（1）定义域是0≠z ， （2）多值函数（3）除去原点和负实轴的平面连续 （4）除去原点和负实轴的平面解析，z Lnz 1)(='，z z 1)(ln ='，（5）3、幂函数ααα,0(≠==z e z w Lnz 是复常数） （1）α为正整数，函数单值、处处解析，（2）α为负整数，函数单值、除去0=z 及其负实轴处处解析， 4、三角函数欧拉公式 θθθsin cos i e i +=2121)(Lnz Lnz z z Ln +=2121Lnz Lnz z z Ln -=或 i e e e e i i i i 2sin ,2cos θθθθθθ---=+= 定义：ie e z e e z iziz iz iz 2sin ,2cos ---=+= z z z z z z sin /cos cot ,cos /sin tan == z z z z sin /1csc ,cos /1sec ==性质：周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样 各种三角公式、求导公式照搬 注：z z cos ,sin 的有界性 保护成立。
第三章 复变函数的积分一、复积分⎰⎰++=c c yi x d vi u dz z f )()()(⎰⎰++-=c c udy vdx i vdy udx⎰cdz z f )( （c 的正向为逆时针方向）计算方法：（1）第二类曲线积分计算 （2）化为普通定积分b a t t iy t x t z zc →+==:),()()(:dt t y i t x t y t x iv t y t x u dz z f ba c )]()([))](),(())(),(([)('+'+=⎰⎰ 重要结果：⎩⎨⎧≠==-⎰=-1,01,2)(1||00n n i dz z z r z z n π （n 为任意整数） 二、柯西积分定理定理1（柯西积分定理） 设)(z f 在单连通区域D 解析，C 为D任意一条简单闭曲线，则0)(=⎰Cdz z f 。
注：条件变为)(z f 在单连通区域D 解析，在D 的边界C 上连续，结论成立，即0)(=⎰Cdz z f 。
定理2 设)(z f 在单连通区域D 解析，则积分与路径无关。
记积分为⎰zz dz z f 0)(，或⎰zz d f 0)(ξξ原函数定义结论：⎰=zz d f z F 0)()(ξξ是)(z f 的原函数。
)()()(011z F z F dz z f z z -=⎰（条件：)(z f 是解析函数）定理3 （闭路变形原理）（柯西积分定理推广到多连通区域） 21,C C 是两条简单闭曲线，2C 在1C 部，)(z f 在21,C C 所围区域D 解析，在21,C C 上连续，则⎰⎰=21)()(C C dz z f dz z f注：定理3说明：区域的解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域的连续变动而改变它的值。
三、柯西积分公式定理1 （柯西积分公式）)(z f 在简单闭曲线C 上连续，C 的部解析（即单连通区域D 解析），0z 是C 的部一点，则)(2)(00z f i dz z z z f Cπ=-⎰注：（1）D 为多连通区域时，公式仍 成立。
（2）提供了计算积分的一种方法。
推论1 （平均值公式）设)(z f 在R z z <-||0解析，在R z z =-||0上连续，则⎰+=πθθπ2000)Re (21)(d e z f z f i定理2 （最大模原理）设)(z f 在区域D 解析，又)(z f 不是常数，则在D |)(|z f 没有最大值。
推论1 区域D 的解析函数，若其模在D 一点达到最大值，则此函数被常数。
（定理2的逆否命题）四、解析函数的高阶导数定理1 （解析函数的高阶导数）设)(z f 在简单闭曲线C 所围的单连通区域D 解析，在C 上连续，则)(z f 的各阶导数均在D 解析，且对D z 有 ξξξπd z f i n z f C n n ⎰+-=1)()()(2!)( ，或)(!2)()()(1z f n i d z f n C n πξξξ=-⎰+ 注：由柯西积分公式)(2)(z if d zf Cπξξξ=-⎰求导即得。
第四章 解析函数的级数表示 一、数项级数∑∞=1n n z ，其中n n n iy x z +=定理∑∞=1n nz收敛的必要条件是0lim =∞→n n z定理 ∑∞=1n nz收敛⇔∑∞=1n nx与∑∞=1n ny均收敛定理∑∞=1||n nz收敛⇒∑∞=1n nz收敛，称为绝对收敛∑∞=1||n nz发散，∑∞=1n n z 收敛，称为条件收敛二、幂级数∑∞=-0)(n nnz z c收敛半径|,|lim 1n n n c c +∞→=λ ,||lim n n n c ∞→=λ 则λ1=R收敛圆R z z <-||0三、函数展开成泰勒级数（幂级数）公式：1、∑∞==-011n n z z ，1||<z 2、∑∞==0!1n n zz n e ， ∞<||z3、 -+-=53!51!31sin z z z z ，∞<||z-+-=42!41!211cos z z z ， ∞<||z4、对数函数，反三角函数求导数 四、洛朗级数 （函数在环域展开） 第五章 留数一、孤立奇点0z （函数在0z 不解析，在0z 的去心邻域解析）分类：1、可去奇点（洛朗级数中没有负幂项） 判定（1）洛朗级数，（2）)(lim 0z f zz →存在2、极点（洛朗级数中有有限负幂项） 判定（1）洛朗级数， （2）∞=→)(lim 0z f zz极点阶数判定： （1）洛朗级数 （2）)()(1)(0z z z z f mϕ-=，)(z ϕ在0z 解析，0)(0≠z ϕ，则0z 是)(z f 的m 阶极点。
（3）零点与极点关系 （4）)()()(z Q z P z f =，0z 是分子的n 阶零点，是分母的m 阶零点， m>n 时，0z 是函数的m-n 阶极点，否则，是可去奇点。
3、本性奇点（洛朗级数中有无限负幂项） 判定 （1）洛朗级数，（2）)(lim 0z f zz →不存在，也不是无穷。
二、m 阶零点法1 0)(,1,,1,0,0)(0)(0)(≠-==z f m k z f m k 法2 函数在0z 展开成幂级数三、留数 10]),([Re -=c z z f s ，1-c 是洛朗级数中01z z -系数。
留数计算： 可去奇点处留数为零 本性奇点：通过洛朗级数求解 m 阶极点：)1(00)]()[(lim )!1(1]),([Re 0-→--=m m z z z f z z m z z f s 一阶极点 )()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s zz -=→或 0|)()(]),([Re 0z z z Q z P z z f s ==，0z 是分母1阶零点，不是分子零点 注：用洛朗级数求留数，不需判定奇点类型。
留数定理：∑⎰==nk k C z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π，条件；)(z f 在C 除有限个孤立奇点外处处解析。
函数在∞留数：=∞]),([Re z f s ]0),1(1[Re 2zf z s -= 定理 函数在扩充复平面上各点留数和为零。
四、留数在定积分中的应用 1、形如 ⎰πθθθ20d )sin ,(cos R 的积分2、形如⎰∞+∞-xx R d )( 的积分3、)0(d )(e >⎰∞+∞-a x x R iax。