高中数学选修2-2精品学案：§1.6 微积分基本定理

学习目标

1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.

2.会利用微积分基本定理求函数的积分．

知识点一 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)

思考1 已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x ，则?10(2x ＋1)d x 与F (1)－F (0)有什么关系？

思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使得F ′(x )＝f (x )?

梳理 (1)微积分基本定理

①条件：f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且______；

②结论：?b a f (x )d x ＝__________；

③符号表示：?b a f (x )d x ＝________＝__________.

(2)常见的原函数与被积函数关系

①?b a c d x ＝cx |b a (c 为常数)．

②?b a x n d x ＝

??1n ＋1x n ＋1b a (n ≠－1)．

③?b a sin x d x ＝－cos x |b a .

④?b a cos x d x ＝sin x |b a .

⑤?b a 1x

d x ＝ln x |b a (b >a >0)． ⑥?b a

e x d x ＝e x |b a .

⑦?b a a x d x ＝ ??a x ln a b a (a >0且a ≠1)．

⑧?b a

x d x ＝

???233

2x b a (b >a >0)． 知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系

思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？

梳理 设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，在x 轴下方的面积为S 下，则

(1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图①，则?b a f (x )d x ＝________.

(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图②，则?b a f (x )d x ＝________.

(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则?b a f (x )d x ＝________________.特别地，若S 上＝S 下，则?b a f (x )d x ＝____.

类型一 求定积分 命题角度1 求简单函数的定积分

例1 求下列定积分．

(1)?10(2x ＋e x )d x ； (2)?21(1x

－3cos x )d x ； (3)?π20(sin x 2－cos x 2

)2d x; (4)?30(x －3)(x －4)d x .

反思与感悟 (1)当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F (x )．

(2)由微积分基本定理求定积分的步骤

第一步：求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；

第二步：计算函数的增量F (b )－F (a )．

跟踪训练1 计算下列定积分．

(1)?21(x －x 2＋1x

)d x ； (2)20π

?(cos 2x 2－sin 2x 2

)d x ； (3)?94x (1＋x )d x .

命题角度2 求分段函数的定积分

例2 (1)求函数f (x )＝????? sin x (0≤x <π2)，1 (π2≤x ≤2)，x －1 (2

在区间[0,4]上的定积分；

(2)求定积分?20|x 2－1|d x .

反思与感悟 分段函数的定积分的求法

(1)利用定积分的性质转化为各区间上定积分的和计算．

(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算． 跟踪训练2 (1)f (x )＝???

?? 1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1

(2)求?2－2|x 2－x |d x 的值．

类型二 利用定积分求参数

例3 (1)已知t >0，f (x )＝2x －1，若?t 0f (x )d x ＝6，则t ＝________.

(2)已知2≤?21(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．

引申探究

1．若将例3(1)中的条件改为?t 0f (x )d x ＝f (t 2

)，求t .

2．若将例3(1)中的条件改为?t 0f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．

反思与感悟 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提．

(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念．

跟踪训练3 (1)已知x ∈(0,1]，f (x )＝?10(1－2x ＋2t )d t ，则f (x )的值域是________．

(2)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若?10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．

1．若?a 1(2x ＋1x

)d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

2．30π

?(1－2sin 2θ2

)d θ等于( ) A ．－

32 B ．－12 C.12 D.32 3．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，?10f (x )d x ＝－2.求a ，b ，c 的值．

4．已知f (x )＝??? 4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2

1．求定积分的一些常用技巧

(1)对被积函数，要先化简，再求积分．

(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．

2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．

[答案]精析

问题导学

知识点一

思考1 由定积分的几何意义知，?10(2x ＋1)d x ＝12

×(1＋3)×1＝2，F (1)－F (0)＝2，故?10(2x ＋1)d x ＝F (1)－F (0)．

思考2 不唯一．根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，都有[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．

梳理 (1)①F ′(x )＝f (x )

②F (b )－F (a ) ③F (x )|b a F (b )－F (a )

知识点二

思考 当被积函数f (x )≥0恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数f (x )≥0不恒成立，则不相等．

梳理 (1)S 上 (2)－S 下

(3)S 上－S 下 0

题型探究

例1 解 (1)?10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10

＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.

(2)?21(1x

－3cos x )d x ＝(ln x －3sin x )|21

＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1)

＝ln 2－3sin 2＋3sin 1.

(3)∵(sin x 2－cos x 2

)2 ＝1－2sin x 2cos x 2

＝1－sin x ， ∴

20π?(sin x 2－cos x 2)2d x ＝20π

?(1－sin x )d x

＝(x ＋cos x )20|π

＝(π2＋cos π2)－(0＋cos 0)＝π2

－1.

(4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴?30(x －3)(x －4)d x

＝?30(x 2－7x ＋12)d x

＝(13x 3－72

x 2＋12x )|30 ＝(13×33－72×32＋12×3)－0＝272

. 跟踪训练1 解 (1)?21(x －x 2＋1x

)d x ＝(12x 2－13

x 3＋ln x )|21 ＝(12×22－13×23＋ln 2)－(12－13

＋ln 1) ＝ln 2－56

. (2)

20π?(cos 2x 2－sin 2x 2)d x ＝20π

?cos x d x

＝sin x 20|π

＝1.

(3)?94x (1＋x )d x

＝?94(x ＋x )d x ＝(23x 32＋12

x 2)|94 ＝(23×329＋12×92)－(23×3

24＋12×42)＝2716. 例2 解 (1)?40f (x )d x ＝

20π?sin x d x ＋22π?1d x ＋?42(x －1)d x ＝(－cos x )20|π

＋x 22

|π＋(12

x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2

. (2)∵|x 2－1|＝?????

1－x 2，x ∈[0，1)，x 2－1，x ∈[1，2]， 又(x －x 33)′＝1－x 2，(x 33

－x )′＝x 2－1， ∴?20|x 2－1|d x

＝?10|x 2－1|d x ＋?21|x 2－1|d x

＝?10(1－x 2)d x ＋?21(x 2－1)d x

＝(x －x 33)|10＋(x 33－x )|21

＝1－13＋83－2－13＋1＝2.

跟踪训练2 解 (1)?20f (x )d x

＝?10(1＋2x )d x ＋?21x 2d x

＝(x ＋x 2)|10＋13x 32

1|

＝2＋73＝133.

(2)∵|x 2－x |

＝????? x 2－x ，－2≤x <0，

x －x 2，0≤x ≤1，

x 2－x ，1

∴?2－2|x 2－x |d x

＝?0－2(x 2－x )d x ＋?10(x －x 2)d x ＋

?21(x 2－x )d x

＝(13x 3－12x 2)|0－2＋(12x 2－13x 3)|10＋(13x 3－12x 2)|21

＝143＋16＋56＝173.

例3 (1)3 (2)[23，2]

[解析] (1)?t 0f (x )d x ＝?t 0(2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，

解得t ＝3或－2，∵t >0，∴t ＝3.

(2)?21(kx ＋1)d x ＝ ??????12kx 2＋x 21

＝32k ＋1.

由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.

引申探究

1．解 由?t 0f (x )d x ＝?t 0(2x －1)d x ＝t 2－t ，

又f (t 2)＝t －1，

∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.

2．解 F (t )＝?t 0f (x )d x ＝t 2－t

＝(t －12)2－14(t >0)，

当t ＝12时，F (t )min ＝－14.

跟踪训练3 (1)[0,2) (2)3

3

[解析] (1)f (x )＝?10(1－2x ＋2t )d t ＝(t －2xt ＋t 2)|10＝－2x ＋2(x ∈(0,1])． ∴f (x )的值域为[0,2)．

(2)∵?10f (x )d x ＝?10(ax 2＋c )d x

＝ ??????1

3ax 3＋cx 10＝a

3＋c .

又f (x 0)＝ax 20＋c ， ∴a 3＝ax 20，即x 0＝33或－3

3.

∵0≤x 0≤1，∴x 0＝3

3.

当堂训练

1．D 2.D

3．解 ∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2，① f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝b ＝0， ② ?10f (x )d x ＝?10(ax 2＋c )d x

＝ ??????1

3ax 3＋cx 10 ＝1

3a ＋c ＝－2， ③ 由①②③可得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.

4．解 ?π0f (x )d x

＝20π

?f (x )d x ＋2

π

π?f (x )d x ＝20π

?(4x －2π)d x ＋2

π

π?cos x d x ，

取F 1(x )＝2x 2－2πx ， 则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x . 所以20π

?(4x －2π)d x ＋2

π

π?cos x d x

＝(2x 2－2πx )20|π

＋sin x 2

|π

π

＝－12π2－1，

即?π0f (x )d x ＝－12π2－1.