《不等式恒成立问题》教案

《不等式恒成立问题》

一、 教学目标：

（1） 知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划

求最值。

（2） 能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想，

提升解决问题的能力。

（3） 情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地

参加高考。

二、 教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。

三、 教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数

与方程思想的应用。

四、 教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解

法，然后再练习习题。

五、 教具准备：多媒体课件 六、 教学过程：

高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题没有一个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。

①

2

11.12

52x ax x a ∈++≥0对于一切(0,]例若不等式成立，则的最小值为 （ ）A.0 B.-2

C.-

D.-3x 21ax x -≥法一:不等式可化为-，

().11

2x x a x

-+∴∈≥(0,]，由()112x x + 在(0,]上是减函数,max ()152x x --∴=-2

()1,.2

a

f x x ax x =++=-

法二：令对称轴为02(0)0

a f ?-????≤≥0a ?≥x

5a 2

∴≥-

1 ② ③

小结：法一利用参变量分离法，化成a >f (x)(a

a >f max (x)(a

法二化归为二次函数，结合二次函数对称轴与定义域的位置关系、单调性等相关知识，求出参数范围。

法三特值验证法，此法抓住本题是选择题的特征，显得较为简便。

1022()02

a a f ?

<-

5

2

a ≥综上①②③，-

2

2

x

2

()1,.

2

a f x x ax x =++=-法三：验证法：令对称轴为2

1()102

a f x x =+当=0时，≥在（0,恒成立。

22

12()2112

a f x x x x =-=-+=-当时，（）在（0,恒成立。25551

()1()2242

11

()0()0]22

a f x x x x f x f f x =-=-+==当时，，对称轴0,是的减区间，

，故≥在（0,恒成立。

231

3()31()22

111

()0,()0242

a f x x x x f x f f x =-=-+==-<当时，，对称轴0,是的减区间，

故在（0,上≥不恒成立。

2

2210[0,1]x mx m x x m -++>∈练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。1

2

m >-

答案：22.21(1)2x m x m m x ->--例若不等式对满足≤≤2的所有都成立，求的取值范围。2()2f m x m x m =<-法一：令(-1)-(2-1)0(≤≤2)122

1()02

a f ?-???

???≥≥

2

小结：本题利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x 的二次不等式转换为关于m 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次

函数的单调性，求出x 的取值范围。

通过以上两题，大家总结一下参变量转换法和参变量分离法的异同，各在什么情况下运用？

232(2)0kx kx k k +-+<、如果恒成立，则实数的取值范围是（ ）

(2)0(2)0f f -

x x x x ?+->??--<

?1122x -++?<<2()2f m x m x m =<-法二：令(-1)-(2-1)0(≤≤2)

2x x x ±①当-1=0时，即=1，经验证，只有=1适合。2(2)0x f ??

③x <<22||x x x x

∈++>+p 2p R p 12p 练习：对于一切≤，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

x x <->13

答案：或()()()()21............(*)

||2*||2*x x x x -+-+>1m m 1301m 2m 课堂练习：

对于不等式（）当≤，式恒成立，求实数的取值范围；（）当≤，

式恒成立，求实数的取值范围。()()2,||2,

x x x x -+-+1m m 13（1）分析：令f()=≤()01*(*)

-===1m m m 1①当时，即，式成立，故适合()()21

01,*[,]?2

(1)1:x x -><∈-?=---<-<<1m m 22m 12m 011m 1

②当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件

为：，解得()()21,*[,]2

3

()()()02

x x -<>∈---+--+><<

1m 0m 1221m 2m 123m ③当时，即对称轴=，式在时恒成立的充要条件

为：f(-2)=，解得：13

::112

-<

22

[2,2]

x x x x ∈-（2）分析：令f(m)=（-+）m+(-+3),m 22(2)33300(2)30

f x x f x x ?-=-+>>??=-++>?则f(m)

恒成立x <<22.()24[1,3]2f x x ax a =-+-已知函数在区间上都不小于，求的值。224.,(1)1x y x y x y c c +-=++≥设实数满足，且0恒成立，的

取值范围是( )

3

参考答案： 七、 课时小结与作业：

1、通过参变量分离法，将问题转化为ａ≥f(x)（或ａ≤f(x)）恒成立，再运用不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。

2、化归二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。

3、通过参变量转换法化成一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。

4、对于f(x)≥g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理，或者化成f(x) -g(x) ≥0再处理。

八、 板书设计：

5.1x x kx k +如果对任意实数，不等式≥恒成立，则实数的取值范围是( )

26.(2)2(2)40m x m x m -+-+>已知不等式的解集为R ，则的

取值范围( )117.000

k

a b k a b a b

>>+++设，，且不等式≥恒成立，则实数的最小值等于（ ）

3.1k -<≤0

4.1c -k

5.0≤≤1

6.26m <≤

7.4

-2R ()(43)2m f x m x x m ∈=--+作业练习：已知，求函数在区间[0，1]上的

最大值。