算法大全第06章 排队论
排队论的应用
排队论的应用 ——食堂排队问题 刘文骁 摘要 本文通过运筹学中排队论的方法，为食堂排队问题建立模型，研究学生排队就餐时间节约的影响因素，通过简单计算，得出影响最大因素。排队论是通过研究各种服务系统的排队现象，解决服务系统最优设计和最优化控制的一门科学。本文将根据食堂排队状况建立数学模型，运用排队论的观点进行分析，找出可以减少排队时间的最大影响因素。 关键词 排队论；M/M/s模型；食堂排队 引言 在学校里，常常可以看到这样的情况：下课后，许多同学正想跑到食堂买饭，小小的买饭窗口前没过几分钟便排成了长长的队伍，本来空荡荡的食堂立即变得拥挤不堪。饥肠辘辘的学生门见到这种长蛇阵，怎能不怨声载道。减少排队等待时间，是学生们十分关心的问题。 1.多服务台排队系统的数学模型 1.1排队论及M/M/s模型 排队论是研究排队系统(又称为随即服务系统)的数学理论和方法，是运筹学的一个重要分支。在日常生活中，人们会遇到各种各样的排队问题。排队问题的表现形式往往是拥挤现象。 排队系统的一般形式符号为：X/Y/Z/A/B/C。 其中：X表示顾客相继到达时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表
示服务台的个数；A 表示系统的容量，即可容纳的最多顾客数；B 表示顾客源的数目；C 表示服务规则。 排队论的基本问题是研究一些数量指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征，了解系统运行的基本特征；系统数量指标的统计推断和系统的优化问题等。 当系统运行一定时间达到平稳后，对任一状态n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应相等，即系统在统计平衡下“流入=流出”。 据此，可得任一状态下的平衡方程如下： 由上述平衡方程，可求的： 平衡状态的分布为：)1(,2,1,0 ==n p C p n n 其中：)2(,2,1,1 10 21 == ---n C n n n n n μμμλλλ 有概率分布的要求：10=∑∞ =n n p ，有：1100=?? ? ???+∑∞ =p C n n ，则有： )3(1100 ∑∞ =+= n n C p 注意：（3）式只有当级数∑∞=o n n C 收敛时才有意义，即当∑∞ =?∞o n n C 时才能由上 述公式得到平稳状态的概率分布。
M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析
M M C ∞排队系统模型及其应用实例分析 摘要:文章阐述了M/M/C/∞排队系统的理论基础,包括排队论的概念,排队系统的基本组成部分以及排队系统的模型。在理论分析的基础上,文章以建行某储蓄所M/M/C/∞排队系统为例,对该系统进行分析并提出了最优解决方案。 关键词:排队论;银行储蓄所;M/M/C/∞模型;最优解 1M/M/C/∞排队系统 1.1排队论的概念及排队系统的组成 上世纪20年代,丹麦数学家、电气工程师爱尔朗(A. K. Erlang)在用概率论方法研究电话通话问题时,开创了这门应用数学学科。排队论主要研究各种系统的排队队长,排队的等待时间及所提供的服务等各种参数,以便求得更好的服务。研究排队问题实质上就是研究如何平衡等待时间与服务台空闲时间。目前,排队论已经广泛应用于通信工程、交通运输、生产与库存管理、计算机系统设计、计算机通信网络、军事作战、柔性制造系统和系统可靠性等众多领域。 任意一个排队系统都是由三个基本部分构成,即输入过程、排队规则和服务机构。①输入过程是描述顾客来源以及顾客按什么规律达到排队系统。②排队规则描述的顾客到达服务系统时顾客是否愿意排队,以及在排队等待情形下的服务顺序。③服务机构描述服务台数目及服务规律。服务机构可分为单服务台和多服务台;接受服务的顾客是成批还是单个的;服务时间服从何种分布。 1.2M/M/C/∞排队模型 ①排队系统模型的表示。目前排队模型的分类采用1953年由D. G. Kendall 提出的分类方法。他用3个字母组成的符号A/B/C表示排队系统。为了表示其它特征有时也用4～5个字母来表示如A/B/C/D/E。其中:A 顾客到达间隔时间的概率分布;B 服务时间的概率分布;C 服务台数目;D 系统容量限制(默认为∞);E 顾客源数目(默认为∞);概率分布的符号表示:M:泊松分布或负指数分布,D:定长分布,Ek:k阶爱尔朗分布,C:一般随机分布。 ②排队系统的衡量指标。—所有服务设施空闲的概率;—系统中的顾客总数;—队列中的顾客总数;—顾客在系统中的停留时间;—顾客在队列中的等待时间。 ③M/M/C/∞排队模型。排队系统模型大体上可以分为简单排队系统,特殊排队系统,休假排队系统及可修排队系统。纵观所有排队系统的模型,无非是系统的三个组成部分分别为不同情况时,进行的排列组合,并由此导致排队系统的数量指标的计算公式不一致。无论是何种排队系统,其研究实质都是如何平衡等待时间
排队论医院应用
医院排队论模型 医院排队论模型 医院就医排队是一种经常遇见的非常熟悉的现象.它每天以这样或那样的形 式出现在我们面前. 例如,患者到医院就医,患者到药房配药、患者到输液室输液等,往往需要排队等待接受某种服务. 这里,护士台、收费窗口、输液护士台及其服务人员都是服务机构或服务设备.而患者与商店的患者一样, 统称为患者. 以上排队都是有形的,还有些排队是无形的.由于患者到达的随机性,所以排队现象是不可避免的. 排队系统模拟 所谓排队系统模拟,就是利用计算机对一个客观复杂的排队系统的结构和行 为进行动态模拟,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进而预测、分析或评价该系统的行为效果,为决策者提供决策依据. 如果医院增添服务人员和设备,就要增加投资或发生空闲浪费;如果减少服务 设备,排队等待时间太长,对患者和社会都会带来不良影响. 因此,医院管理人员要考虑如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用. 医院排队论,就是为了解决上述问题而发展起来的一门科学.它是运筹学的重 要分支之一. 在排队论中,患者和提供各种形式服务的服务机构组成一个排队系统,称为随 机服务系统. 这些系统可以是具体的,也可以是抽象的. 排队系统模型已广泛应用于各种管理系统.如手术管理、输液管理、医疗服务、医技业务、分诊服务,等等. 医院排队系统的组成 排队系统的基本结构由四个部分构成：来到过 程（输入）、服务时间、服务窗口和排队规则.
1、来到过程（输入）是指不同类型的患者按照各种 规律来到医院. 2、服务时间是指患者接收服务的时间规律. 3、服务窗口则表明可开放多少服务窗口来接纳患者. 4、排队规则确定到达的患者按照某种一定的次序接 受服务. ⑴来到过程 常见的来到过程有定长输入、泊松(Poisson)输入、埃尔朗(A. K. Erlang)输入等,其中泊松输入在排队系统中的应用最为广泛. 所谓泊松输入即满足以下4个条件的输入： ①平稳性：在某一时间区间内到达的患者数的概率只与这段 时间的长度和患者数有关； ②无后效性：不相交的时间区间内到达的患者数是相互独立 的； ③普通性：在同时间点上就诊或手术最多到达1个患者, 不 存在同时到达2个以上患者的情况； ④有限性：在有限的时间区间内只能到达有限个患者, 不可 能有无限个患者到达. 患者的总体可以是无限的也可以是有限的； 患者到来方式可以是单个的，也可以是成批的； 相继到达的间隔时间可以是确定的，也可是随机的； 患者的到达可以是相互独立的，也可以是关联； 到来的过程可以是平稳的，也可是非平稳的； ⑵服务时间
随机过程分析
随机过程分析 摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关键。 关键字通信系统随机过程噪声 通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。 一、随机过程的统计特性 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心， 即均值
?∞ ∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。 {}?∞ ∞ --=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。 （1）自协方差函数定义 {} )]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=??∞∞-∞ ∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x 式中t1与t2是任意的两个时刻；a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望； 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 （2）自相关函数 ??∞∞-∞ ∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X 用途：a 用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 二、平稳随机过程 1、定义（广义与狭义）： 则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或严平稳。
排队论模型
排队论模型 研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方 法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初， 美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论 基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。 排队系统模型的基本组成部分 排队系统又称服务系统。服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）
都是随机的。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。 输入过程 输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为 排队规则 排队规则分为等待制、损失制和混合制三种。当顾客到达时，所有服务机构都被占用，则顾客排队等候，即为等待制。在等待制中，
排队论
排队论简介 研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。 日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。排队论的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。自20世纪初以来，电话系统的设计一直在应用这个公式。30年代苏联数学家А.Я.欣钦把处于统计平衡的电话呼叫流称为最简单流。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。在这以后，L.塔卡奇等人又将组合方法引进排队论，使它更能适应各种类型的排队问题。70年代以来，人们开始研究排队网络和复杂排队问题的渐近解等，成为研究现代排队论的新趋势。 排队系统模型的基本组成部分 服务系统由服务机构和服务对象（顾客）构成。如果服务对象到来的时刻和对他服务的时间（即占用服务系统的时间）都是随机的，则这个服务系统称为派对系统。图1为一最简单的排队系统模型。排队系统包括三个组成部分：输入过程、排队规则和服务机构。 输入过程 对于排队系统，顾客到达时输入。输入过程考察的是顾客到达服务系统的规律。它可以用一定时间内顾客到达数或前后两个顾客相继到达的间隔时间来描述，一般分为确定型和随机型两种。例如，在生产线上加工的零件按规定的间隔时间依次到达加工地点，定期运行的班车、班机等都属于确定型输入。随机型的输入是指在时间t内顾客到达数n（t）服从一定的随机分布。如服从泊松分布,则在时间t内到达n个顾客的概率为 其中λ>0为一常数。
排队论及其应用
排队系统的符号表述 描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥ 各符号的意义： ①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号： M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布； D——表示定长输入； EK——表示K阶爱尔朗分布； G——表示一般相互独立的随机分布。 ②——表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。 ③——表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s>1)表示多个服务台。 ④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。如系统有K个等待位子，则，0 随机过程与排队论 大作业 姓名：李嘉文 学号：1150349310087 日期：2016-01-12 指导教师：石剑虹老师 The Application of Stochastic Process in Transportation System 1.Intruduction Economic and social factors haveprofound influences on the level and pattern of travel demand and the choices of travelerswithin a given transport infrastructure. They also impact on the ability of responsibleauthorities to fund the maintenance and improvement of infrastructure, and to conducteffective travel demand management and control policies. It is just at such stages of majorchange and uncertainty that those planning future transport policies most need support inmaking their decisions, but in general this is exactly when most of the modelling tools weadopt fail to offer support, with their assumptions based on either an unchanging world, orone in which the future follows deterministically from the present. Even in periods ofrelative economic/social stability, such assumptions are increasingly difficult to support;this is most notable in cities where continued demand growth has outpaced the expansionin capacity of the transport infrastructure, with the transport system highly sensitive todaily and seasonal fluctuations in demand and capacities. The question then arises as to how we might develop modelling approaches to better deal with such situations. One approach to such problems is that of ‘worst-case planning’whereby the models suggest actions for a planner to take so as to minimize the impacts under a worst-case scenario. At its simplestmost stripped down level the Stochastic Process SP) approach could besaid to comprise three main elements for representing the epoch-to-epoch changes in atransport system: 1. A learning model, to describe how travellers learn from their travel experiences in pasttime epochs. 2. A decision model, to describe how travellers make decisions, given their learntexperiences. 3. A supply model, to describe the experiences of travellers in a particular time epoch. 2.Model Establishment The elements that described in the previous section are described by probability statements or probabilitydistributions, and when brought together they provide a single, self-consistent frameworkfor representing the mutual interactions between the uncertain components of thetransport system. Just as we demand of equilibrium transportation analysis, we can ask towhat extent this combination of elements may produce a well-defined and unique ‘output’(if the long-run is indeed what interests us), but whereas in equilibrium systems we referto a unique flow state, in the SP approach we refer to a unique probability distribution offlows. That is to say, the result of the modelling approach is to . 《系统仿真与matlab》综合试题....................... 错误!未定义书签。 M/M/N 排队系统的模拟仿真 (1) 摘要 (1) 1. 问题分析 (3) 2. 模型假设 (4) 3. 符号说明 (5) 4. 模型准备 (5) 4.1 排队系统的组成和特征 (5) 4.1.1输入过程 (6) 4.1.2排队规则 (6) 4.1.3服务过程 (7) 4.1.4排队系统的主要指标 (7) 4.2输入过程与服务时间的分布 (8) 4.2.1负指数分布 (8) 4.2.2泊松分布 (8) 4.3生灭过程 (9) 5. 标准M/M/N模型 (11) 5.1多服务台模型准备 (11) 5.2多服务台模型建立 (12) 5.2.1服务利用率 (12) 5.2.2平均排队长 (13) 5.2.3平均队长 (13) 5.2.4平均等待时间 (14) 6. 程序设计 (14) 6.1动画流程图 (14) 6.2 M/M/N流程图 (15) 7. 程序运行实例介绍 (16) 7.1动画实例讲解 (16) 7.2M/M/N排队系统实例讲解 (18) 8. 程序实现难点和模型评价 (21) 8.1程序实现难点 (21) 8.2模型评价 (21) 9. 参考文献 (21) 10. 附录 (22) 10.1动画实现的核心程序 (22) 10.2 M/M/N模型计算主要程序 (32) M/M/N 排队系统的模拟仿真 摘要 排队是在日常生活中经常遇到的事，由于顾客到达和服务时间的随机性，使得排队不可避免。因此，本文建立标准的M/M/N模型，并运用Matlab软件，对M/M/N排队系统就行了仿真，从而更好地深入研究排队问题。 问题一，基于顾客到达时间服从泊松分布和服务时间服从负指数分布，建立了标准的M/M/N模型。运用Matlab软件编程，通过输入服务台数量、泊松分布参数以及负指数分布参数，求解出平均队长、服务利用率、平均等待时间以及平均排队长等重要指标。然后，分析了输入参数与输出结果之间的关系。得出当服务台数增加时，几个参数都会变小的结论。 问题二，为了更加清晰地反映出实际排队过程。本文通过运用Matlab软件编程，制作了M/M/1排队过程的动画仿真，通过输入泊松分布参数以及负指数分布参数来模拟不同情况下的排队过程。通过仿真动画，可以看到明显的等待和排队过程。 问题三，为了清晰地展示程序执行的效果以及程序功能的使用方法。本文特意制作了程序运行指南，并做了程序运行实例分析。通过详细地介绍，使读者能更好地理解M/M/N模型以及如何使用该仿真程序。 最后，对建立的M/M/N模型做了评价，并提出了一些改进的思路。同时，指 随机过程与排队论 任课教师: 魏静萱副教授 wjx@https://www.360docs.net/doc/5f4878328.html, 曾勇副教授 第一节排队现象 例一：电话系统：主叫用户和被叫用户之间提供语音服务，该服务承载于某条通信信道之上，即两个用户 c个通道。地需要一条通道，3个用户需要3个通道，4个用户需要6个通道。一般的，n个用户需要2 n 球人口60亿，需要？通道。海量通信接近天文数字。 解决：信道“公用”导致拥挤排队现象 例二：排队现象举例 排队系统的三大要素：1. 输入过程 2. 排队规则：队列允许的最大长度 3. 服务窗：顾客是怎样接受服务的 1．输入过程：顾客按什么规则进入系统？一个个？成批？ 到达过程和到达时间间隔符合一定的分布，称到达分布。 假设：到达过程和到达时间是独立同分布的。到达过程假定为平稳的，对时间是齐次的。 注：Markov 齐次过程 如果一个过程只依赖于现在，而不是过去。。。。 表1 输入过程的三种随机过程描述 按顾客到达过程的不同概率特性分类： ① 定长输入（D ）：顾客等间隔到达，n c τ= n τ的分布函数为 1()()0n t c F t P t t c τ≥?=≤=? 0}是Poission 流 满足4个条件：a) M(t)取值为非负数 b) P(M(0)=0)=1, 即时间间隔为0时到达系统 的人数为0 c) 过程{M(t)} 具有平稳独立增量性 d) 每一个增量 M(a+t)-M(a)非负，且服从参数为 t λ的泊松分布 (){()()}! k a t P M t a M a k e K λ λ-+-== ③ k 阶Erlang 输入(Ek) ④ 一般独立输入(G)：顾客的到达过程{n τ}是独立同分布的随机变量序列，其分布函数可以是任意函数。 ⑤ 成批到达系统：顾客一批批到达系统，每批相继到达的时间间隔为上述各种分布之一。 2． 排队与服务规则 ① 损失制 （无排队队列）：顾客到达时，系统被占用，顾客离去，不再回来。例：？ ② 排队制 （等待制）先到先服务、先到后服务、随机服务、优先服务(VIP)、多服务台(?) ③混合制： ? 排队长度有限： ? 等待时间有限：血浆生物制剂 ? 逗留时间有限（等待时间语）：药品的有效期 3． 服务机构 服务机构包括： ? 服务员个数 ? 服务机构的结构形式：串联、并联、混联 ? 服务过程：即服务时间 3.1 详解 服务机构的结构形式：单队列单服务员 （图） 《系统仿真与matlab》综合试题...................... 错误！未定义书签。 M/M/N 排队系统的模拟仿真 (1) 摘要 (1) 1. 问题分析 (2) 2. 模型假设 (2) 3. 符号说明 (3) 4. 模型准备 (3) 4.1 排队系统的组成和特征 (3) 4.1.1输入过程 (4) 4.1.2排队规则 (4) 4.1.3服务过程 (4) 4.1.4排队系统的主要指标 (5) 4.2输入过程与服务时间的分布 (5) 4.2.1负指数分布 (5) 4.2.2泊松分布 (5) 4.3生灭过程 (6) 5. 标准M/M/N模型 (8) 5.1多服务台模型准备 (8) 5.2多服务台模型建立 (9) 5.2.1服务利用率 (9) 5.2.2平均排队长 (9) 5.2.3平均队长 (10) 5.2.4平均等待时间 (10) 6. 程序设计 (11) 6.1动画流程图 (11) 6.2 M/M/N流程图 (12) 7. 程序运行实例介绍 (13) 7.1动画实例讲解 (13) 7.2M/M/N排队系统实例讲解 (14) 8. 程序实现难点和模型评价 (17) 8.1程序实现难点 (17) 8.2模型评价 (17) 9. 参考文献 (17) 10. 附录 (17) 10.1动画实现的核心程序 (17) 10.2 M/M/N模型计算主要程序 (22) M/M/N 排队系统的模拟仿真 摘要 排队是在日常生活中经常遇到的事，由于顾客到达和服务时间的随机性，使得排队不可避免。因此，本文建立标准的M/M/N模型，并运用Matlab软件，对M/M/N排队系统就行了仿真，从而更好地深入研究排队问题。 问题一，基于顾客到达时间服从泊松分布和服务时间服从负指数分布，建立了标准的M/M/N模型。运用Matlab软件编程，通过输入服务台数量、泊松分布参数以及负指数分布参数，求解出平均队长、服务利用率、平均等待时间以及平均排队长等重要指标。然后，分析了输入参数与输出结果之间的关系。得出当服务台数增加时，几个参数都会变小的结论。 问题二，为了更加清晰地反映出实际排队过程。本文通过运用Matlab软件编程，制作了M/M/1排队过程的动画仿真，通过输入泊松分布参数以及负指数分布参数来模拟不同情况下的排队过程。通过仿真动画，可以看到明显的等待和排队过程。 问题三，为了清晰地展示程序执行的效果以及程序功能的使用方法。本文特意制作了程序运行指南，并做了程序运行实例分析。通过详细地介绍，使读者能更好地理解M/M/N模型以及如何使用该仿真程序。 最后，对建立的M/M/N模型做了评价，并提出了一些改进的思路。同时，指出了程序实现的难点等问题。 关键词：M/M/N排队系统泊松分布负指数分布动画模拟仿真 (2016年度) 随机过程与排队论 班级： XXXXXXX 姓名： XXX XXX 学号： XXXXXXXXXX XXXXXXXXXXX 一步转移概率矩阵收敛快慢的影响因素 作者姓名：XXX XXX 指导老师姓名：XXX (西安电子科技大学计算机学院，陕西西安) 摘要：根据课程教材《排队现象的建模、解析与模拟【西安电子科技大学出版社曾勇版】》，第[马尔可夫过程]中，马尔可夫过程链n时刻的k步转移概率结果，当k=1时，得到一步转移概率。进而得到一步转移概率矩阵P（1）。为研究此一步转移概率矩阵（下称一步矩阵）的收敛特性以及影响其收敛快慢的因素，使用MATLAB实验工具进行仿真，先从特殊矩阵开始做起，发现规律，然后向普通矩阵进行拓展猜想，并根据算术理论分析进行论证，最终得出一步矩阵收敛快慢的影响因素。 关键词：一步转移概率矩阵 MATLAB 仿真猜想 一、问题概述 我们讨论时一步矩阵的特性应从以下两方面来分析： （1）矩阵P（n）在满足什么条件时具有收敛特性; 对于矩阵P（n）,当P（n）=P(n+1)时，我们说此矩阵具有收敛特性，简称矩阵 P（n）收敛。 （2）若一个一步矩阵具有收敛特性，那么其收敛速度与什么有关 首先，我们需要明确什么是一步矩阵收敛： 对于一般的一步矩阵P 、矩阵An+1、矩阵An，若有： An+1=AnP=An 那么称该一步转移矩阵可收敛。 二、仿真实验 1、仿真环境 本次采用的是MATLAB仿真实验软件进行仿真实验 2、结果与分析 【1】、特殊矩阵：单位矩阵与类单位矩阵 从图（1）和图（2）可以看出，单位矩阵不具有收敛特性，类单位矩阵并非单位矩阵但是经过n次后也变为单位矩阵，所以此矩阵也不具有收敛特性。此类矩阵也易证明其不具有收敛性。 浙江工业大学期终考试命题稿 2010/2011 学年第 1 学期 命题注意事项： 一、命题稿请用A4纸电脑打印，或用教务处印刷的命题纸，并用黑 墨水书写，保持字迹清晰，页码完整。 二、两份试题必须同等要求，卷面上不要注明A、B字样，由教务处 抽定A、B卷。 三、命题稿必须经学院审核，并在考试前两周交教务处。 浙江工业大学2010/2011学年 第 1 学期试卷 课程____随机过程与排队论____ ___姓名__________________________________ 班级___通信一级学科硕士2010级____学号__________________________________ 答案及评分标准： 一、选择题 1、B 2、BD 3、C 4、B 5、A 6、AB 7、A 8、ABCD 9、ABCD 10、ABCD 二、计算题 1、由题意知，(){}() ! k t t P N t k e k λλ-== ，式中3λ=。 1) ()()(){} ()(){}()(){} (){} (){}(){}(){} ()() ()()() ()64 42 533122 6 26 23 15 12,34,5656343412125364314212533166364!42! 2! 2 2 2 14580.0033 P N N N P N N P N N P N P N P N P N e e e e e e e λλλ λλλ-----------======?==?==-=-?-=-?=--????????? ?? = ? ? = ? ? --=?= 2) ()(){} (){}()() ()64 5326 535634536464! 60.0466 2 e P N N P N e λλ-----???? ===-=-= -?= = 2、根据题意，此时的状态空间为{}0,1,2,S = ，由于调制方式的每次转换之间是独立的，因此 {}{}111111,,,n n n n n n P j i i i P j i ζζζζζζ+--+======= 所以此链是马氏链，且是齐次的，其一步转移矩阵为： 3/52/500003/52/50000 3/5 2/50?? ? ?∏= ? ?? ? 3、设第i 个顾客到达火车站的时刻为i S ，则[0,t ]内到达车站的顾客等待时间总和为： ()()() 1 N t i i S t t S == -∑ 因为： ()(){} ()()()()111/2N t n n i i i i i i E S t N t n E t S N t n E t S nt E S nt ===???????? ==-==-=-=?????????????? ∑∑∑ 上式利用了“Possion 过程中，事件在每个时刻发生的可能性是相等的”（教材P74，定 理2.9）。 故： 几种典型的排队模型 （1）M/M/1/ / /FCFS单服务台排队模型 系统的稳态概率F n P0 1 , / 1为服务强度；F n （1 ） 系统运行指标 a. 系统中的平均顾客数（队长期望值） L s n.F n ------------------ ； i 0 b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） L q （n 1）.F n i 0 c. 系统中顾客停留时间的期望值 1 W s E[W] d. 队列中顾客等待时间的期望值 1 W q W s ⑵M/M/1/N/ /FCFS单服务台排队模型 系统的稳态概率巳 P n 系统运行指标 a. 系统中的平均顾客数（队长期望值） b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） c. 系统中顾客停留时间的期望值 d. 队列中顾客等待时间的期望值 1 。W q W s -⑶M/M/1/ /m/FCFS (或M/M/1/m/m/FCFS)单服务台排队模型 系统的稳态概率F n P)m , ；F n ■ , ( ) F0,1 n m m! / 、i (m n)! () i o (m i)! 系统运行指标 a. 系统中的平均顾客数（队长期望值） b. 系统中排队等待服务的平均顾客数（排队长期望值） c.系统中顾客停留时间的期望值 d.队列中顾客等待时间的期望值 ⑷M/M/c/ / /FCFS单服务台排队模型 系统的稳态概率P n 系统运行指标 a. 系统中的平均顾客数(队长期望值)： b. 系统中排队等待服务的平均顾客数(排队长期望值)： c. 系统中顾客停留时间的期望值： d. 队列中顾客等待时间的期望值： ［典型例题精解］ 例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为 负指数分布，平均时间为 15分钟。求: (1) 顾客来理发不必等待的概率； (2)理发馆内顾客平均数； (3)顾客在理发馆内平均逗留时间； (4)如果顾客在店内平均逗留时间超过小时，则店 主将考虑增加设备及人员。问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢 例2 :某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作 10小时，来访人员和接待时间都 是随机的。若来访人员按普阿松流到达，其到达速率 =7人/小时，接待时间服从负指 数分布，其服务速率 =人/小时。现在问： (1) 来访者需要在接待室逗留多久等待多长时间 (2) 排队等待接待的人数。 (3) 若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数应提高到多少 例3:某电话亭有一部电话，打来电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达时间的 平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为 3分钟。求： (1) 顾客到达电话亭要等待的概率； (2) 等待打电话的平均顾客数； (3) 当一个顾客至少要等 3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到 达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的 (4) 打一次电话要等10分钟以上的概率是多少 例4:单人理发馆有6把椅子接待人们排队等待理发。当 6把椅子都坐满时，后来到的顾 客不进店就离开。顾客平均到达率为 3人/小时，理发需时平均15分钟。求系统各运行指 标。 例5:某一个美容店系私人开办并自理业务，由于店内面积有限，只能安置 3个座位供 顾客等候，一旦满座则后来者不再进店等候。已知顾客到达间隔与美容时间均为指数 分布，平均到达间隔 80min ，平均美容时间为50min 。试求任一顾客期望等候时间及该 店潜在顾客的损失 c!1 L(—)c ； P n n 、 和-)Po,n c 迁(一)n F 0,n c c!c 20分钟，理发时间服从 P o随机过程与排队论大作业
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