《高中数学联赛试题——立体几何》
第五讲立体几何
立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容。竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算。解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法。
一、立体几何中的排列组合问题。
例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为
（A）4; （B）8 ；（C）12 ；（D）24。
分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面
对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有
1
边共出现2C^ 24次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个
24
数为8个。
3
例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条
棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数
分析：就四棱锥P—ABCD而言，显然顶点P的颜色必定不同于A、B、C、D四点,
于是分三种情况考虑:
3
①若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：A s 60 （种）
1 4
②若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：C2 A s 240 （种）
5
③若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：A 120 （种）
故不同染色方法种数是：420种。
二、与角有关的计算。
立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种。其
中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的
相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是0 ,90 ;二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个
半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理。另外还可以根据面积射影定理
S S cos得到。式中S表示射影多边形的面积，S表示原多边形的面积，即为所求二面角。
例三、直线OA和平面斜交于一点0, 0B是0A在内的射影，0C是平面内过0点的任一直线，设
AOC , AOB
B0C
求证：cos cos cos
分析：如图，设射线0A任意一点A，过A作
AB 于点B，又作BC 0C于点C，连
接AC 。有:
OC
OB
OC cos
,cos ,cos OA OA
OB
评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用。过平面内一个角的顶点作平面 的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定 会落在这个角的角平分线上。利用全等三角形即可证明结论成立。
②从上述等式的三项可以看出
cos 值最小，于是可得结论：平面的一条斜线
和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小。
例四、（1997年全国联赛一试）如图，正四面体 ABCD
对应的角。作 EG // AC ,交BC 于G ,连FG 。显
然
FG // BD ，/ GEF= ，/ GFE= 。
?/ AC 丄 BD ,??? EG 丄 FG /?
90
例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的
B
所以，cos cos cos 。
中，E 在棱AB 上，F 在棱CD
上，使得：fl
CF FD
，记f
，其中 表示EF 与AC
所成的角，其中
表示EF 与BD 所成的角，则:
(A ) f 在 0, 单调增加;
(B ) f 在 0,
单调减少;
(C ) f 在 0,1 单调增加；在 1, 单调减少;
(D ) f 在
0,
分析：根据题意可首先找到与 12条棱的夹角都等于
D
C
，贝U sin
分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与 12
条棱的夹角都等于 只需该平面与正方体的过同一
个顶点的三条棱所成的角都等于 即可。如图所示的
分析：构造长方体模型。构造如图所示的长方体
ABCD — A i B i C i D i ，连接 AC i 、A 1C 1、BC i 、DC i 。
过同一个顶点的三条棱 AD 、AB 、AA i 与对角线
AC i 所成的角为锐角
，，，满足:
2 2 2 」
cos cos cos 1
以上三式相乘即可。
证明二：因为，，为锐角,
故:
sin 2 1 cos 2 cos 2
cos 2
2cos cos ，
sin 2cos cos ，
同理：sin , 2cos cos ,sin 2cos cos ，三式相乘。
例六、 设锐角 sin
J
7
3
满足：
2 2
cos cos
2
cos
求证： tan tan tan 2.2。
不妨设长方体过同一个顶点的三条棱
AD 、AB 、 AA i 的长分别为a,b,c 。则:
tan
i b 2 c 2
2bc 丄
,tan a
2ac
丄 ,tan b
a 2
b 2 、、2ab
平面ABD 就是合乎要求的平面，于是
例七、（1994年全国联赛一试） 在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围
是
；（B ）
分析：根据正n 棱锥的结构特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正
n 边形的内
角，同时小于
，于是得到（A ）。
例八、（1992年全国联赛一试）设四面体四个面的面积分别为
S i 、S 2、S 3、S 4，它们
S| S 2 S 3 S 4
S 1 S 2 S 3 Si S 2 S 3 cos45
S
S| S 2 S 3 cos45
若从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不能构成三棱锥, 另外此时有S 1 S 2
S 3 S 4，也就是 2，于是必须 2。故选（A ）。
三、有关距离的计算。
例九、（2003年全国联赛一试）将八个半径为 1的小球分两层放置在一个圆柱内，并
使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的
（A ）
的最大值为 S ,记
S 1
S 2 S 3 S 4
，则 定满足
S
（A ）
2 4 ； （B ） 3
4 ； （ C ） 2.
5 4.5 ；
（ D ）
3.5
分析： 因为 S
i S
i 123,4
5.5。
所以
4。特别的，当四面体为正四面体时取等号。
另一方面，构造一个侧面与底面所成角均为
45的三棱锥，设底面面积为S 4,则:
1
2 2.5，
分析：立体几何问题的处理常需要抓住其主要特征，作为球体其主要特征无疑为球心 与球半径，将八个小球的球心独立出来即可得到一个如图所示的几何体。
ACEG — B i D i F i H i ,此几何题每相邻两点间的距离为 2，
显然，两底面 ACEG 与B i D i F i H i 间的距离加上2即为所求 符合条件的圆柱
体的高。于是将该几何体补形成为如图 所示的正八棱柱求其高，也就是求其
中一个部分，三棱
锥B i — ABC 的高，然后加上 2即可。取AC 的中点0,连
接 BO 、B i O ，易知：B i 0= '一3
（线段BO 的长度也可以通过正八边形外接圆半径 减去
正方形边长的一半 1得到）
在直角三角形B 1BO 中：
BB 1=. 3 2
2
\ 2 2 48 A 所求圆柱体的高：
h 4 8 2
例十、（2001年全国联赛一试）正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线 A 1C 1 与BD 1的距离是 __________________ 。
分析：在立体几何中求距离，最常用的解题思想是转化。 线线距转化为线面距、线面距转化为面面距、面面
距转
在等腰三角形 ABC 中 AC=2
ABC= 135
B0= tan —
8
sin —
4 .2 1，
i cos —
4
H i
D
B
C i
G
D
E
D 1
C 1
A 1
B 1 E
D
C
在圆台的轴上，球 0i 与圆台的上底面、
侧面都相切。圆台内可再放入一个半径为
的球02，使得球02与球0i 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点。除球 台内最多还能放入半径为 3的球的个数是
化为点面距、点面距转化为点线距，最终常常化为在一 个平面内求一点到一条直线的垂线段的长度。 连接B i D i 交线段A i C i 于点F ,取BB i 的中点E ,连接A i E 、C 1E ，显然，BD i //平面 A i C i E 。 于是，将两条异面直线之间的距离转化为直线与平面之间的距离，易知，所求距离为 .3
。 4 例^一、（i997年全国联赛一试）已知三棱锥 S —ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰 直角三角形，SA=SB=SC=2 , AB=2，设S 、A 、B 、C 四点都在以 球面上，则点 0到平面ABC 的距离为 分析：作SD 丄平面 ABC 于D ，连接BD ，因为SA=SB=SC=2 所以点D 为底面三角形 ABC 的外心，即D 为AB 的中点, 同时，球心0必在线段SD 上。所求点 0到平面ABC 的 O 为球心的某个
距离即为线段0D 的长。设球半径r , 0D= X ，则:
r 2 x 2 i
r x . 3
解得：x y 。
例十二、（i996年全国联赛一试）高为
8的圆台内有一个半径为
2的球0i ,
球心 0i
02 ,