浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)复习课程

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用(终稿)

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用

摘要

特征值与特征向量在现代科学中有重要的应用。本文介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且给出了在线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵中的特征值、特征向量之间的关系。然后介绍了几种特征值与特征向量的求解方法。最后介绍了特征值与特征向量在实际中的应用，如在数学领域中、物理中以及经济发展与环境污染增长模型中的应用等等。

关键字：特征值；特征向量；应用；矩阵；初等变换

Abstract

Eigenvalues and eigenvectors have important applications in modern science. This paper introduces the definition and nature of the eigenvalues and eigenvectors, eigenvalues and gives linear space of linear transformations, eigenvectors and eigenvalues of the relationship matrix, feature vectors. Then introduces several eigenvalues and eigenvectors of solving methods. Finally, the eigenvalues and

eigenvectors in practical application, such as in the fields of mathematics, physics, economic development and environmental pollution growth model and the application, and so on.

Keys words：eigenvalue；eigenvector；application；matrix；elementary；

目录

浅谈矩阵的特征值与特征向量的应用 (2)

摘要 (2)

Abstract (2)

第1章引言 (4)

1.1 研究背景 (4)

1.2 研究现状 (5)

1.3 本文研究目的及意义 (6)

第2章特征值与特征向量的一般理论 (6)

2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (6)

2.1.1 特征值与特征向量的定义 (7)

2.1.2 特征值与特征向量的性质 (7)

2.2 特征值与特征向量的一般求解方法 (8)

2.2.1 一般数字矩阵的简单求解 (8)

2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量 (10)

第3章矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (12)

3.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用 (13)

3.1.1 高阶高次幂矩阵的求解 (13)

3.1.2 在线性递推关系的应用 (14)

3.2 特征值与特征向量在物理学中的应用 (17)

3.2.1 简单理想状态双振动系统 (17)

3.3 环境污染及经济增长模型中的应用 (22)

总结 (25)

参考文献 (26)

第1章引言

1.1 研究背景

矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.

1.2 研究现状

在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及

在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.

1.3 本文研究目的及意义

在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过具体的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.

第2章特征值与特征向量的一般理论

2.1 特征值与特征向量的定义和性质

为了研究矩阵的线性变换，并且希望能够在线性空间中通过一些线性变换找到一个比较简单的形式，所以引入了特征值与特征向量这一概念。我们知道，在一个有限维的线性空间中，确定一组基之后，线性变化就可以通过矩阵

的方法来表示，当然对于一些复杂的形式来说，这种变化过程也十分繁琐。那接下来就是要讨论如何会使得这些方法变得简洁，首先介绍一下特征值与特征向量的定义。

2.1.1 特征值与特征向量的定义

定义1：设A 是n 阶矩阵，如果存在数λ与n 维零向量x ，使关系式

Ax x λ= 成立，那么，这样的数λ称为方阵A 的特征值，非零向量x 称为方阵A 的对应于特征值λ的特征向量（λ可以是复数，A 的元素与x 的分量也可以是复数）.可以将关系式 Ax x λ= 写成

()0A x λ-E =

这是n 个未知数n 个方程的齐次线形方程组.其有非零解的充分必要条件是：系数行列式

A E λ-=. 方程组()0A x λ-E =是以λ为未知数的一元n 次方程，

称为方阵A 的特征方程.

A E

λ-是λ的n 次多项式，记作()f λ,称为方阵A 的特

征多项式.显然，A 的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）.因此，n 阶矩阵在复数范围内有n 个特征值.

2.1.2 特征值与特征向量的性质

性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则

i i

s r ≤.

性质2 如果12

,x x 都是矩阵R 的属于特征值

0λ的特征向量,则当11220

k x k x +≠时,

11220

k x k x +≠仍是R 的属于特征值

0λ的特征向量．

性质3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分

别是

12,,

,n

x x x ，则

12,,

,n

x x x 线性无关．

性质4 若

()

ij n n

R r ?=的特征值为

12,,,n

λλλ，则 121122n nn

r r r λλλ+++=++

+，

12n R

λλλ=．

性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质6 若

i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性

无关的特征向量，或

()i i

r R E n r λ-=-．

性质7设λ为矩阵R 的特征值，

()P x 为多项式函数，则

()

P λ为矩阵多项式

()

P R 的特征值．

2.2 特征值与特征向量的一般求解方法

2.2.1 一般数字矩阵的简单求解

通过对于矩阵特征值与特征向量的定义，我们对于一个确定的线性变换A 的特征值与特征向量的求解方法，可以分成以下几个步骤： 1、在线性空间V 中取一组基

12n εεε，，，写出线性变换在这组基下的矩阵

A ；

2、求出矩阵A 的特征多项式

E A

λ-在数域P 中的所有的根，这些根就是线

性变换下所有的特征值；

3、把所求得的特征值逐个带入方程组中，对于每一个特征值，求解方程组，都可以得到一组基础解系，它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基

12n εεε，，下的坐标，这样我们也就求出了属于每个特征值的全部线性

无关的特征向量。

例2.1 在基123,,εεε下的一组线性变换A 的矩阵形式为R ?? ?= ?

? ??122212221，求A 的特征值与特征向量。

解 先求出此矩阵的特征多项式

()()E R λλλλλλ----=---=+----2

1

22

2

1

2152

2

1

可以看出当E A

λ-为零时，特征值分别为-1（二重）和5。并先将-1代入

齐次方程组

()()()x x x x x x x x x λλλ---=??

-+--=??--+-=?

123123123122021202210

可以得到

x x x x x x x x x -?--=---=--??=?

?-1231231

23222022202220

它的基础解系为

?? ? ? ?-??101，?? ?

? ?-??

011 由此便可以看出关于特征值-1的两个线性无关的特征向量为

ξεε=-113

223ξεε=-

再根据定义可以得出关于-1的特征向量为1122

k k ξξ+，其中的

1

k 和

2

k 取不全

为零的任意值，然后再将5代入，可得

x x x x x x x x x --=??

-+-=??--+=?1231231

23422024202240

基础解系为

?? ?

? ???

111 所以，对于特征值5的线性无关向量是

3123ξεεε=++

可以看出特征值5的全部特征向量为

3

k ξ，k 的值同上，为不全为零的数。

2.2.2 初等变换法求矩阵的特征值与特征向量

在开始介绍之前首先应该了解什么叫做矩阵的初等变换。矩阵的初等变换一般就分为初等行变换和初等列变换，先给出初等行变换的定义：

（1）调换矩阵的任意两行（如i ，j 行）；

（2） 将一个非零的数k 乘以矩阵中某一行的所有元素；（例如第i 行乘以k ）；

（3）将某一行元素的k 倍加到另一行对应的元素上去；

这就是矩阵的初等行变换，以同样的方法可以定义初等列变换。而经过这种初等变换后所得到的矩阵称为初等矩阵。 定理2.1 设A 是一个n 阶的矩阵，它的特征矩阵

E A

λ-可以经过一系列的初

等变换转化为一个下三角矩阵，记做

()()

()()12***n l l L l λλλλ??????=???

?????，则对角

线上元素乘积为零的方程

()()()120

n l l l λλλ=的解就是A 的特征值。

定理2.2 若对于特征矩阵(

)T

i A E λ-进行初等变换，将其转换为一个阶梯型

的矩阵，同时对于一个相同形式的单位矩阵进行相同的变换，那么就存在一个n 阶阵

,n n

P ，使得

(),,,,,,0r n r n T

n n i n n

n r n n r n D P P A E E P λ--??

?

??-= ??

?

???

其中的

()

i r R A E λ=-且

,r n

D 是满秩矩阵，那么

,n r n

P -中的n -r 个n 维行向量

就是矩阵A 的特征值所对应的特征向量。

例2.2 求矩阵A =110430102-?? ?- ? ?

?

?的特征值和特征向量。 解

()T A E E λ??-?

?=141100130010002001λλλ---??

?

-→ ? ?-?

? ()1300101+41100002001λλλ

-??

?

--→ ? ?-?

?

()()()21

300

1

00-11010=002-001D P λλλλλλ

-?? ?

-+?? ??? ?

?

?

然后使

()

D λ中的主对角元素乘积为零，从上式式可得

()()2

210,

λλ---=所以特征值为

123=2==1λλλ，；分别代入 当

1=2λ时，

()

()11110

010011

030000001D P λλ??

?

=-???? ? ??

?，()()12R D λ=，所

以当

1=2λ时对应的特征向量为

()

100,0,101T

P ?? ?== ? ?

??。当23==1λλ时代入得

()

()22120

010001

020001001D P λλ??

?=→???? ? ??

?120

1

0001

020000

021??

?

? ?-??

所以

23==1λλ得特征向量为

()

200,2,121T

P ?? ?=-=- ? ???。

上面的例子给出了做初等行变换的方法，同样的对于列变换也可以用相同的方法解决，下面给出例子；

例2.3 求矩阵

A --??

??=--??

??--??311751662的特征值与特征向量。 解

()()c c E A E λλλλλλλ?+--+????????--????

????--++-??=????→????????????????????????

133111

137511576

62266100001010010001100

同理，使得主对角线元素乘积为零，即()()λλλ----=24440，所以可看 出特征值为,λλλ==-=12324，将λ=-12代入其中，可得

()()L Q λλ??

??-??

??

??-=?

???????

??????

11100160060001011110 可以得出特征值λ=-1

2所对应的特征向量为，(),,T

η=1110，然后再将

λ=34代入，结果如下所示

()()()()c c L Q λλ?????

?????

??

?????

??--=????

→??????????????

??????--????

233310010

01001006036636

00

0101

00110111

1

616

1 可以得出特征值λ=3

4所对应的特征向量为(),,T

η=2011。

第3章 矩阵的特征值与特征向量的应用研究

作为一个重要的概念，特征值与特征向量中的应用也是最为广泛的，首先它贯穿了整个代数学，同时在对于解决某些较为特殊和复杂的其他领域问题

时，也会使得问题更加简便，接下来就简略探究其在数学领域中的应用、物理学中的应用以及环境污染以及经济增长模型中的应用。

3.1 特征值与特征向量在数学领域简单应用

3.1.1 高阶高次幂矩阵的求解

对于一个高阶甚至于n 阶的矩阵进行求解，若采用以往的方法会比较麻烦，所以就引入了较为简单的方法。当一个n 阶的矩阵A 可对角化时，就是说原矩阵与其对角阵相似，那么在计算它的高次幂矩阵k

A 时有简便算法。何为可对角化，如下条件即说该矩阵可对角化：前提是A 为对称的矩阵，再有矩阵A 有n 个不相等的特征值，且特征值所对应的特征向量线性无关，对于每一个特征值λ均有m ρλλ=。满足如上条件即可说A 可对角化，1

A P P -=Λ。

对1

A P P -=Λ来说，其中

12

,,n P x x x ??=??

，它由A 的n 个特征向量构

成。并且由A 的n 个特征值构成的对角矩阵为

()

12,,n diag λλλΛ=，有

()()()()111

1111

1

1

k

k k A P P P P P P P P P P P P P P P P

P P ---------=Λ=Λ?ΛΛ=ΛΛΛΛ=Λ其中()12,,

k k k

k n diag λλλΛ=，所以()121,,

k k k k n A Pdiag P λλλ-=。

例3.1 已知矩阵

A ??

??=??

????122212221，求k A （k 是正整数） 解 从题中可以看出，A 是一个对称矩阵，所以可以采用上述的简便算法， 通过特征值的解法，可以得出矩阵A 的特征值为,λλλ==-=12315

，设特

征向量是

123

,,x x x ，所以对角阵为

()

,,diag Λ=--115，

[]P x x x ????==????--??1

2

3101011110，且矩阵P 的逆为P --??

??=--?

?????1

21111213111，又

()

,,P AP diag -=Λ=--1115，化简后可以看出1

A P P -=Λ，有

()()

k

k

k k k A P P -??---?????

?

??????=Λ=---??????

????--???????

?

110

0101211101101012131110

5111 （3.1） ()()()()()()()()()k k k k k k k k k k k k

k k k k k k

++++++??

-+-+-+????=-+-+-+??-+-+-+???

?

1

1

1

11

121515151152151531515215 （3.2）

3.1.2 在线性递推关系的应用

线性递推关系与矩阵之间有着密不可分的联系，特征值与特征向量在其中也有着广泛的应用，接下来就讨论对于一般的线性递推关系中的应用。

首先设一个K 阶的线性数列，且是循环的，满足如下递推关系

(),,n n n k n k x a x a x a x n k k ---=++

+=++112212

（3.3）

其中

()

,,,i a i k =12为常数且其中任意k a ≠0

。那么方程

1122,

112211n n n k n k n n n n n k n k x a x a x a x x x x x x x --------+-+=+++??=??

=?

??

=??

（3.4） 经矩阵表示为

n k k n n n n n k n k x a a a a x x x x x x -------+????

????????

?????

?????=?

????????????????

???

??1

2

1112211000010000

1

0 （3.5） 让