奥赛题库相对论1

奥赛题库---相对论1 郑育坤 52001.早在1941年，罗西和霍尔就观测了在大气上层产生的速度为0.97c 左右的宇宙线中的μ粒子。实验测得μ粒子的固有寿命约为2.2×10-6s 。计算在地球上观察到的μ粒子的平均飞行距离。

解：先计算1

.41/12

=???

??'-=c r υ，再计算μ粒子的平均寿命s t r t 6

100.9-?='?=?，

最后计算出平均距离为m 3

10

6.2?。

52002.如图52-1所示，地面上的观察者认为在地面上同时发生的两个事件A 和B ，在相对

地面以速度u （u

平行于x 轴，且与正方向同向）运动的

火箭上的观察者的判断正确的是（ ）

A 、A 早于

B B 、B 早于A

C 、A 、B 同时发生

D 、无法判断 解：在地面（S 系）上，,A B x x x -=?0=-=?A B t t t ，

在

火

箭

（

S '

系

）

中

，

??? ??--??? ??

-='-'='?22c ux t r c ux t r t t t A A B B A B

()()B A A

A B x x c ux t t r -+

-=2

()B A A

x x c ux -=2

因0>r

，0>u ，0<-B A x x ，故0<'?t 。即从火箭上观察，B 事件在前，A 事件在

后，选B 。

52003.下面给出一个原子核很粗糙的模型：假定原子核是一个立方体，有n ×n ×n 个核子，每个核子被其他核子的核力所吸引（强相互作用），由于这种力的作用距离很小，我们假定每个粒子只与其相邻的核子之间有相互作用，每个核子一核子对由于这种结合而对核的总结合能的贡献是一个常数。原子核内有核电荷Ze ，它的原子核内产生斥力。根据量纲分析，核的总静电势能正比于Z 2/d ，其中d 为原子核的线度。并且我们假定在这个模型中，Z 正比于原子核中的核子数A 。已知元素周期表中元素F e (A=56)附近的原子核是非常稳定的，它们的核子具有的平均结合能最大，都约为8.78MeV/核子。试根据上述模型和已知的事实，求出任一原子核内核子的平均结合能E 。

分析：想象在一个广阔的空间内有很多核子均匀规则地排列着，与一个核子在前后左右上下相邻的核子共有6个，所以这个核子参与6个核子一核子对的强相互作用。对于题给的n 3个核子，我们可以想象将期置于上述的广阔空间之内则如上计算共有6n 3个核子一核子对强相互作用。但实际上这个“核立方体”外并无核子，这个核立方体有6

个外侧面，每个外侧

图52-1

面内有n 2个核子，由于这个侧面以外再无核子，故对应于此侧面内的每个核子均应减去朝外的一个核子一核子对强相互作用，即减去n 2个，对于6个外侧面而言，总共应减去6n 2个。由于计算则尚有6n 3-6n 2个核子一核子对强相互作用。又由于这种成对的作用是在两个核子之间存在的，上面的计算按一个一个核子独立计算后累加的，因此上述的累加中已把每对作用都计算了2次，可见核内的这种强相互作用的实际对数应为3n 3-3n 2。设每个核子一核子对强相互作用结合时释放出的能量为a ，则此核形成时，由于强相互作用应放出的总能量为()132

-n an

。

另一方面，核的总静电势能正比于d Z 2

，而Z 正比于核子数A ，即正比于n 3，d 为核的线度，

显然正比于n ，由此，核的总静电势能正比于n 5。设其比例系数为b ，则核的总静电势能为bn 5。

解：此核形成时释放的总结合能

()25

31E an n bn =--

由于每个核子的平均结合能为

2

3113bn n a n E E -??? ??-==

上式中a 、b 为与n 无关的常数。下面我们求a 、b 之值。

根据元素Fe 附近的原子核的核子的平均结合能差不多都相等这一事实，应有：当n 有微小变化n ?时，平均结合能之值不变，即

()2

2113113n n b n n a bn n a ?+-??? ???+-=-??? ??-

由于n ?很小，故近似地有

111n n n n n ???

==- ?

+??

? 2n ?项可略，则有

3

320a bn -=

又根据元素Fe 的核子平均结合能为8.7MeV 这一事实，有

MeV bn n a 7.81132=-???

??-

另有

563=n

解得

MeV a 798.4= 0.13b MeV =

由此得到题给模型中，核子的平均结合能是

2114.39410.131E n MeV

n ??

=-- ???

52004. 质量为m 的粒子被限制在x=-L/2到x=L/2的区域内运动，在它朝x 轴正方向运动时，试解下面两个问题：（1）其动量测量值的最小不确定范围p ?；（2）；取ΔP 范围内的动量中间值为动量的平均测量值，试求这一平均测量值的最小值p min ，并计算粒子动量p min 时的经

典动能E K 。

解：1)由测不准原理得

h h p x L ?=

=?

2)粒子朝x 轴正方向运动，

x p 最小值为零，因此

L h p p 2min =

?=

2。

动能E K 与动量p 之间的关系为

m p E K 22

=

，

故min P 对应的粒子动能为

22

8mL h E K =

。

52005. 一电子以0.99c 的速率运动，问：（1）电子的总能量是多少？（2）电子的经典力学的动能与相对论动能之比是多大？电子静止质量为9.1×10-31千克。 解：（1）电子的总能量是2mc E

=，所以

02.0)103(101.9/12

831222

0???=

-=-c v c m E

13108.5-?≈焦耳

（2）按经典力学，电子的动能为

20021

v m E k =

2

831)10399.0(101.921

?????=-

141001.4-?≈焦耳

而按相对论，电子的动能是

2022c m mc c m E k k -==

202

21/11c m c v ???? ??--=

20102.01c m ??? ??-=

2831)103(101.907.6????≈- 13

1097.4-?≈焦耳

所以 2

13

14

01007.81097.41001.4---?≈??≈k k E E

即按经典力学计算电子的动能仅仅是按相对论计算的电子动能百分之八点多。

52006.宇宙射线中快速运动的介子的能量几乎为3000MeV ,而这种介子在静止时的能量为100MeV ，已知这种介子的本征寿命是τ0=2×10-6s ，试问若用实验室参照系的时钟进行记录，则该介子在它的平均寿命的时间内在大气中运动的距离为多大？ 分析：从实验参照系看快速运动系统中的时钟要变慢，故实验室参照系中的时钟所计得的介子寿命τ'与在运动参照系中测出的介子本征寿命0τ不同。 解： 按相对论理论，运动介子能量

20

222E P c E +=

其中2

00c m E =为介子静止能量，而动量

220/1c v v m mv P -=

=

故

2220

2

2220202

/11/c v E c v c E v E E -=-+= 30

1003000/11220==-=MeV MeV c v E E 故

s m v /10998.28?=

而

2

2

0301ττ=-=

'c v T

从实验室检测器中可检测到在此时间内介子所越过的距离为

m v v 18000300=?==ττλ

52007.设法使边长为L

其运动的空间区域内有一匀强电场，场强E 垂直于

环的运动速度。运动期间，环始终在同一平面上，电场E 相对于环平面的倾角为θ。设环上串有大量

小球，这些小球象珠子串在项链上那样被串在环

上。小球的大小可忽略，各球都带有电量q 。今在相对于环不动的参照系中设法让这些小球均以匀速u 沿环边运动，各边上相邻两球的间距均为a ，

且L 远大于a （参见图52-2），环是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的电荷线密度，正好把全部小球的电荷完全抵消掉。 考虑相对论效应，在一个从其上看环的运动速度为v 的惯性参照系上计算以下各量：

1、环路各边上相邻两个小球之间的距离a AB ,a BC ,a CD 和a DA ；

2、环路各边净电量（各边上线电荷与小球电荷之和）Q AB ,Q BC ,Q CD 和Q DA ；

3、使环与小球系统受到转动作用的电力矩模量M ；

4、环与小球系统和电场之间相互作用的电势能W 。 所有解答均需用题中给定的量来描述。

注意：物体的电荷量与测量参照系的选择无关。 图52-2只画出了各矢量之间的相对方向。 略去电磁辐射。

有关的相对论公式如下：

（1）设惯性参照系S '以匀速度v 相对另一参照系S 运动。两参照系对应的坐标轴彼此平行，t=0时坐标原点重合，速度v 沿x 轴正方向。

若在S '系测得一个质点以速度u '沿x '轴运动，那么在S 系测得该质点的速度应为

2

1c v u v u u '++'=

其方向沿x 轴正方向（相对论速度求和公式）。

（2）如果一个物体的静止长度为0L ，当它以速度v 沿其长度方向相对某观察者运动时，那么该观察者测得此物体长度L 为

221L c v L -=

解：1、令S 为观察到环路以速度v 运动的实验室参照系，S '为环路参照系（S '系的x 轴与v 同向，y '沿着DA 边的方向，z '轴则垂直于环路所在平面）。S 系各轴平行于S '系各

B 图52-2

对应轴，S 与系的坐标原点在t=0时重合。 （1）AB 边

建立与AB 边上的小球一起运动的参照系S ''，它的各坐标轴与S ，S '系的坐标轴平行。S ''相对S '具有速度u 。

据洛仑兹收缩，S ''测得的AB 边上相邻两个小球之间的距离r a 为

2

21c u a

a r -=

， （1）

（只要r a 是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立。） 据相对论速度求和公式，S 系中的观察者认为AB 边上诸球具有的速度为

,12

c uv v

u u AB ++=

（2）

再据洛仑兹收缩，此观察者将测得AB 边上相邻两球的间距为

r

AB

AB a c

u a 2

21-

=， （3）

将（1），（2）式代入到（3）式，可得：

a

c uv c v a AB

2

2

2

11+-=。 （4）

（2）CD 边

对S 系中的观察者而言，CD 边上小球的速度为

2

1c uv u v u CD --=

， （5）

再据洛仑兹收缩有

r

CD

CD a c

u a 2

21-

=， （6）

将（1），（5）式代入到（6）式，便得

a

c uv c a CD

2

2

11--= （7）

（3）DA 边

在S '系中，令DA 边上的某一小球在0

t '时刻位于0111='='='z y x 处。在同一时刻邻近的一个小球应位于02

='x ，a y ='2，02='z 处。 各球相对于S 系的空—时坐标可由洛仑兹变换式给出

)

(112

2

t v x c v x '+'-=

，

y y '=，z z '=， （8）

)(1122

2c

v x t c v t '+

'-=

。

据此，第一个小球在S 系中有

2

2

111t v c v x '-

=

，

01=y ，01=z ， （9）

2

2

111t c v t '-=

。

第二个小球则为

2

2

211t v c v x '-=

，

a y =2，02=z ， （10）

2

2

211t c v t '-=

。

由于21t t =，S 系中这两个小球之间的距离便为

2

/1212212212])()()[(z z y y x x a DA -+-+-=， （11）

即得

a a DA =。 （12） （4）BC 边

重复上述相似的讨论，可得

a a BC = （13）

（其实，由于DA ，BC 边与v 垂直，无洛仑兹收缩，故a a a BC DA ==。） 2、在环路参照系S '中，每一条边线上的电荷量为

q

a L

Q W -

= （14）

在此已考虑到L/a 为各边上的小球数。由于电荷是运动不变量，在实验室参照系S 中测得的各边线电荷量也为此值。 （1）AB 边

在实验室参照系中，AB 边上各球电荷量之和为

q

a L c v Q AB b

AB 22.1-= （15）

此式系由AB 边上小球数乘以每一小球电荷量（运动不变量）来获得。（15）式右边第一项

中的分子为S 系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距。 将（4）式代入到（15）式中，可得：

q

c uv a L Q b AB ??? ??+=

2.1 （16）

将（14）式和（16）式相加，便得AB 边上总电荷量

q

c uv

a L Q AB 2=

。 （17）

（2）CD 边

用相同的方法可得

q c uv a L q a L

c v Q CD b

CD ??? ??-=-=222.11 （18）

将（14）和（18）式相加，可得

q c uv

a L Q CD 2

-

= （19）

（3）BC 边和DA 边

S 系中观察者测得这两条边的边长均为L ，相邻两球的间距也均为a ，因此

q

a L Q Q

b DA b BC =

=..， （20）

将（14）和（20）式相加，可得

0=BC Q ， （21.1） 0=DA Q 。 （21.2） 3、作用在AB 边上的电场力为

qE

c uv a L E Q F AB AB ??? ??=

=2， （22）

作用在CD 边上的电场力为

qE

c uv a L E Q F CD CD ??? ??-

==2， （23）

AB F 与CD F 形成一力偶。据力偶的力矩表达式，可得（参见图52-3）

θ=sin L F M AB （24） 最后可表达成

θ

=sin 2

2E q a L c uv M （25）

4、令AB U 和CD U 分别为AB 边上各点和CD 边上各点的静电势（指场强为E 的外电场的电势——注），那么有

CD CD AB AB Q U Q U W +=， （26）

将电势零位（U=0）选在与E 垂直的一个平面上，此平面与AB 边

的间距为某一任意量R （见图52-4），于是

CD AB Q L R E ERQ W )cos (θ+--=

（27）

但AB CD Q Q -=，故

θ

=c o s AB ELQ

W ， （28） 将（17）式代入到（28）式，便得

θ=cos 2

2a c qE uvL W （29）

=U 图52-4

图52-3