地图投影复习资料

名词解释：（20分）

地图的基本概念

地图是根据一定的数学法则，经过制图综合，运用符号和注记，将地球（或星球）表面缩绘在平面上的图象。它能反映地表各种自然和社会环境的空间分布、联系、变化和发展。 地图投影：

地图投影就是将地球椭球面（或球面）上确定的点，通过一定的数学法则表示到投影面上，建立两面之间点的一一对应关系。 大地水准面:

设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做大地水准面。

子午圈 (名词解释)

通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们与椭球面相交 则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。

主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。 卯酉圈(名词解释) 与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地球椭球面上的子午圈 始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。

方位角：过A 点的垂直圈与过新极点的经线圈的交角，为方位角。从

形式上来看，方位角相当于λ

天顶距：A 点至新极点Q 的垂直圈弧长，即天顶距。从形式上来看，天顶距相当于90?-?。

高斯克吕格：假想用一个椭圆柱套在地球椭球体外面，并与某一子午线相切，椭圆柱的中心轴位于椭球的赤道面上，再按高斯-克吕格投影所规定的条件，将中央经线东、西各一定的经差范围内的经纬线交点投影到椭圆柱面上，并将此椭圆柱面展为平面，即得本投影。

航海图：采用墨卡托投影。是正轴等角圆柱投影，假想一个与地轴方向一致的圆柱切或割于地球，按等角条件，将经纬网投影到圆柱面上，将圆柱面展为平面后，即得本投影。

【参考】:

地图投影的基本方法：

几何透视法：利用透视线的关系，将地球面上点描写到投影面上。 数学分析法在原面与投影面之间建立点与点的函数关系。

一般表达式：

主比例尺：通常在地图上注出的比例尺叫主比例尺，由于投影的长度变形，不仅随着不同的点位不同，而且在

同一点的不同方向线也不一样，因此地图上的比例尺不可能处处相等，只有在无变形点和无变形线上才能保持投影长度比为1，即与主比例尺保持一致。

局部比例尺：大于或小于主比例尺者，则称为局部比例尺。 长度比

地面上的一微分线段投影后的长度(ds ')

与它原有的长度(ds )之比，以 μ 特点：

一点上的长度比，不仅随点的位置（经、纬度）而变化，而且也随着线段的方向而发生变化。也就是说，不同点上长度比都不相同，同一点上不同方向的长度比也不相同。

面积比

地面上的一微分面积投影后的大小(dF ')与它原有的面积(dF ) 之比，以 P 表示，即

P 1

子午圈(PEP 1E 1) 和卯酉圈(AQW) )

,(),(21λ?λ?f y f x ==

在椭球面上相互垂直的两个方向线，在投影面上也是互相垂直的。即一个方向线的方位角是'α0 ，另一个方向线的方位角为'α0+90?='α01。 主方向的特点

在椭球面上相互垂直，投影到平面上仍保持垂直。

? 主方向线与经纬线的关系

地球表面上的经纬线投影到平面上不一定保持正交。 若保持正交（'θ=90?），则经纬线方向为主方向。

等角、等面积、等距离的比较(基础知识) 等角投影：

等角投影的概念：在地球椭球面上任两方向的微分线段所夹的角投影到平面上后保持不变。 等角投影条件：m=n 或a=b(m 是经线长度比，n 是纬线长度比)

等面积投影：

等面积投影：

定义为某一微分面积投影前后保持相等，即面积比为1。 等面积投影条件：P=a*b=1或 等距离投影：

等距离投影：凡不能满足等角或等面积条件的投影，称为任意投影。

在任意投影中，最常用的是等距离投影。即指沿某一特定方向投影后长度保持不变。在多数情况下，是指定沿经线为等距离。根据经线长度比定义，则 等距离投影条件：m=1 变形椭圆：

对于不同性质的投影，微分椭圆表现为不同的形状，并且随区域位置不同而变化。由于它能显示出变形特征，所以称为变形椭圆。

变形椭圆不仅在性质不同的投影中表现为不同的形状和大小，而且在同一性质投影的不同点上，也表现为不同的形状和大小。

等积投影 等距离投影

等角投影

变形的近似式:

? 长度变形

则 对等式两边取对数后并将右边按级数展开：?

sin 1

m n θ'??=1v μμ=+

最大角度变形的近似表达式： 或

面积变形

面积变形表达式：

面积变形的近似表达式： 不同性质投影的变形特征：

等角投影：

等面积投影： 等距离投影：

球面极坐标系

把地球作为球体时，地理坐标也是一种球面坐标，即由通过南北地极的经圈和平行于赤道的纬圈来确定地面上任一点的位置。

现在采用另一种确定地面点位的球面坐标，为了区别起见，称之为球面极坐标。

最大角度变形为： 【参考】

在正轴投影中，m 、n 仅是纬度的函数，等变形线与纬圈一致；

在横轴或斜轴投影中，沿垂直圈或等高圈的长度比（μ1

、μ2）仅是天顶距Z 的函数，等变形线与等高圈一致。

方位投影适宜于圆形轮廓的地区。两极地区适宜用正轴投影，赤道附近地区适宜用横轴投影，其它地区用斜轴投影。

等角方位投影：常用于两极地区的航空图或海图；在UTM 投影中，规定在南北纬80?至两极地区采用的UPS 投影（通用极球面投影）就是等角方位投影。

等面积方位投影：常用于东、西半球、水陆半球地图或各大洲图。 等距离方位投影：常用于南北极图、东、西半球图等。

几种方位投影的比较：

a b v v ω=-11

(1)(1)1p

a b a b a b v P ab v v v v v v =-=-=++-=++b

a p v v v +≈v v v v v p

b a 2,0,====ω0

,2,===-=p

b a v v v v v ω0,

,b a p v v v v v v ω====，

选择或填空：

? 地图分类 （1）按地图内容

? 普通地图：地形图、地理图

? 专题地图：自然地图、社会经济地图 （2）按地图比例尺

? 大比例尺地图（大于或等于1：10万的地图）

? 中比例尺地图（小于1：10万而大于1：100万的地图） ? 小比例尺地图（小于或等于1：100万的地图）

我国采用的椭球体：

1952年以前采用海福特椭球体 1953年起采用克拉索夫斯基椭球体

1980年国家大地坐标系采用的地球椭球体（1975年大地坐标系）的参数：ae = 6378140，扁率为1：298.257 2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系，具体参数为：ae = 6378137，be =6356752.31414 , 扁率为1：298.257222101

我国采用的坐标系: ：(选择或填空)

1954年北京坐标系: 采用克拉索夫斯基椭球参数，又称北京坐标系.

1980西安坐标系: 采用国际地理联合会（IGU ）第十六届大会推荐的椭球参数，大地坐标原点在陕西省泾阳县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。 2000国家大地坐标系 :采用地心坐标系。

等角航线在墨卡托投影中的表象:

地球面上的等角航线在墨卡托投影中为直线。 高斯-克吕格投影条件:

Rtgz

=

ρz

R sin =ρRz

=ρ

即球面投影

1.中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴；

2.投影具有等角性质；

3.中央经线投影后保持长度不变。

[参考]:{

扁 率

第一偏心率

第二偏心率

简述题： 要求：

要判别投影的类型、投影的选择、公式描述（变形情况、经纬网

{系统、性质、方式}、已知公式）

主要考察方位投影和圆柱投影。 方位投影：

概念：假想一平面切（割）地球，然后按一定的数学方法将地球面经纬网投影在平面上，即得到方位投影。 特征：由投影中心到任何一点的方位角保持与实地相等（无变形）。 分类：

? 等面积方位投影的变形公式：

?

圆柱投影：

? 圆柱投影的概念

圆柱投影是以圆柱面为投影面，按照某种投影条件，将地球椭球面上的经纬线投影于圆柱面上，并沿圆柱的一条母线切开展成平面的一种投影。

圆柱投影是圆锥投影的一种特殊情况，即设想圆锥顶点移到无穷远时，圆锥面成了圆柱面。

E 1

? 圆柱投影的分类

? 按变形性质：等角投影、等面积投影和任意投影

? 按圆柱面与地球椭球体之间的关系：切圆柱投影、割圆柱投影 ? 按圆柱面与地球椭球体所处的不同位置; 正轴圆柱投影、横轴圆柱投影、斜轴圆柱投影

? 按视点位置: 正射、外心、球面、球心等透视圆柱投影

正轴圆柱投影的一般公式:

正轴圆柱投影的经纬线长度比、面积比和最大角度变形：

对于球体：

改写为：

K = 0。于是上式为：

此时仍有一个常数 c 需要确定，令纬度?k 上长度比nk =1，则

即

若?k = 0，切圆柱投影常数为：c=a e

λ

??==c )(y f x ln x c U =cos k

k

c r N ?==

该投影是16世纪荷兰地图学家墨卡托（Gerardus Mercator, 1512-1594）所创造，并于1569年首先用于编制海图，故又称墨卡托投影.

PS:1海里≈1.854公里

正轴等面积圆柱投影

等面积投影保持面积不变，即P=ab =mn =1，

式中K 为积分常数，S 为椭球面上经差为1弧度和纬差为0

?到??的梯形面积。当横坐标与赤道重合时，K =0。

正轴等面积圆柱投影的一般公式：

横轴与斜轴圆柱投影的一般公式：

在球面上： 在投影面上：

()x f Z y c α==?RdZ

AD rd AB ==αdx D A dy

B A ==''''

沿垂直圈的长度比μ1、沿等高圈的长度比μ2和面积比P 的表达式:

在横轴切圆柱投影中，圆柱面切于通过制图区域的中央经线（λc ）上，在此经线上长度比μc =1，新极Q 的纬度为0?，经度为λ0=λc +90?。

根据球面三角形公式，可以得出Z ，α和?，λ之间的关系式如下： 套用正轴等角切圆柱投影公式，并以α 相当于λ，90?-Z 相当于?，以及x ,y 互换，则得到横轴条件下的投影公式：

α

α

αd +dz

z +z A

B

C

D

α

d y

图4.8 球面坐标系及及其在圆柱投影中的表象

λ

?αλ?sec sin cos cos tg ctg Z ==

将上式展成级数的公式为： 长度比为：

将上式展成级数的公式为：

【参考】确定新极点Q

——新极点在制图区域的中心点上

斜方位投影：取制图区域边界上的若干点的经纬度，求其算术平均值； 横方位投影：新极点位于赤道上，只需确定λ0。 ——新极点为通过制图区域中部的大圆的极 斜轴或横轴圆柱投影

——新极点为通过制图区域中部小圆的极

计算题（15~20分）

要求：基本步骤要写全，要求长度比，面积比和投影性质。 例 题1

已知某一投影的方程式为： 试求：（1）投影性质；

（2）投影后经纬线夹角及其所在象限； （3）沿经、纬线长度比； （4）面积比； （5）经纬线形状。

解：先求各系数E 、F 、G 和H

?λ?cos ,R y R x ==λ?λ?λ?sin cos 1sin cos 1ln 2 )sec (-+==R y tg Rarctg x ++-+-+=+-++=)4185(5cos 120)1(cos 6cos )5(cos sin 24cos sin 24252332342???λ??λ?λ???λ??λ?tg tg R tg R R y tg R R R x λ?μ22sin cos 11csc -==Z +-++=)45(cos 24cos 212442

2?λ?λμtg

（1）确定投影的性质

未满足等角的任一条件，故非等角投影

再按等面积条件进行验算： 满足等面积条件，故此投影为等面积投影。 （2）确定经纬线夹角的大小

（4）求面积比

（5）确定经纬线方程及其形状

本投影的第一方程式 x =R ?，不含λ，故此式即为纬线方程，而且是平行于y 轴的直线。 将?=x /

R 代入y 式，得： 这是经线方程，由此知经线为正弦曲线 例2：（同例1相似）

已知某一投影的方程式为：

试求：（1）投影性质；

（2）投影后经纬线夹角及其所在象限；

（3）沿经、纬线长度比； （4）极值长度比；

?cos 2R H =λ?R y Rtg x ==,

（1）确定投影的性质

按等角条件进行验算：

由各系数知：

未满足等角投影条件，故非等角投影。

不满足等面积条件，故非等面积投影，而是一任意投影。

不满足等距离条件，故非等距离投影。 此投影是一个非等距离的任意投影。 （2）确定经纬线夹角的大小：

（3）求经纬线长度比

（4）求极值长度比

因经纬线投影后为正交，故经纬线方向为极值长度比所在的主方向。a 为经纬线长度比中的最大值，而b 为最小值。

（5）求面积比

（6）确定经纬线方程及其形状

本投影的第一个方程式 x =tg ?，不含λ，故此式即为纬线方程，而且是平行于y 轴的直线（间距不等，离开赤道愈远，间距愈大，两极不能显示）。

本投影的第二个方程式 y =R λ ，不含? ，故此式即为经线方程，而且是平行于x 轴的、等间距的平行直线。

且经纬线投影后仍保持垂直。

本投影是一透视性质的正轴任意圆柱投影。

附录：地图投影的识别方法：

1、 投影的种类：属方位投影、圆锥投影、圆柱投影或其他投影。

2、 变形性质：属等角、等面积、任意或等距离投影。

3、 投影方式：投影面与地球的关系位置，相切还是相割，中心点和标准线的位置。

0=F ???322sec cos /sec /===R R Mr H P ,0cos 1sin ='='θθ或????sec ,sec sec sec 22====>=n b m a n m ＝故因

上课的问题（不全）：

1、 等角投影与位置无关。

2、 等距离方位投影中所有经线没有长度变形。

3、 正轴圆柱投影纬线长度相同。

4、 方位投影与圆锥投影在外貌上最大的不同是前者为同心圆，后者为同心圆弧。

5、 正轴圆柱投影的等变形线是平行于赤道的直线。

6、 正轴方位投影的等变形写是同心圆。

7、 正轴圆锥投影的等变形线是同心圆弧。

8、 航海图采用墨卡托投影。

9、 目前中国大于1:50万地形图采用高斯—克吕格投影 10、正轴等角圆柱投影适用于赤道附近地区编图。

11、在利用等角圆锥投影编制的地图上，面积变形近似于长度变形的2倍。 12、等角航线在墨卡托投影上表现为直线。

13、正轴等角圆锥投影钟，投影常数a 值通常小于1。

14、UTM 投影中央经线长度比为0.9996，高斯—克吕格投影中央经线长度比为1。

15、球心投影将大圆航线投影成直线，球面投影将等高圈投影为圆，这一性质说明了球面投影具有等角性质。

16、墨卡托投影钟纬线的间隔自赤道向两极显著增大。 17、正轴等角圆锥投影应满足m=n

18、在一个球的正圆柱投影中，所有经纬网格投影成大小相同的矩形，它的投影式等距离投影。 19、高斯—克吕格投影的最大变形位于6°带上。

k

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