三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展,但请注意,由于缺乏具体细节和背景信 息,某些描述可能不够精确或全面。如有需 要,请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中,asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角,如果满足条件,则两个三角形全等,从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况,例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题,例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 (如SAS、SSS、HL等)与ASA-AAS 判定相结合,以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点,然后使 用圆规在该点上画圆,与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内,使用圆规以角的顶点为圆心画圆,与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中,可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如,已 知一个三角形的两个角和一边,可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等,从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例:在建筑设计中,常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理,可以确定未知 点的位置,从而满足建筑设计的需求。
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
全等三角形综合复习1。
全等三角形的概念及性质; 2. 三角形全等的判定; 3。
角平分线的性质及判定.知识点一:证明三角形全等的思路通过对问题的分析,将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,可以按下图思路进行分析:⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→→⎧⎪⎪→⎧⎪⎪⎨⎨⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎪→⎩⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩SAS SSSHL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 例 1. 如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。
求证:ACF BDE ∆≅∆。
知识点二:构造全等三角形例 2. 如图,在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥,垂足为D 。
求证:21C ∠=∠+∠。
例3. 如图,在ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,BE BF =,连接,AE EF 和CF 。
求证:AE CF =。
知识点三:常见辅助线的作法1。
连接四边形的对角线例4. 如图,AB //CD ,AD //BC ,求证:AB CD =.解题后的思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。
2. 作垂线,利用角平分线的知识例5。
如图,,AP CP分别是ABC∆外角MAC∠和NCA∠的平分线,它们交于点P。
求证:BP 为MBN∠的平分线。
解题后的思考:题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题.3. “截长补短"构造全等三角形例 6.如图,在ABC∆中,AB AC>,12∠=∠,P为AD上任意一点。
求证:AB AC PB PC->-。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:全等三角形(即三角形的所有对应边和角都相等)在几何学中具有重要意义,因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中,我们常常需要判定两个三角形是否全等,以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法,并给出它们的证明。
一、SSS法则(边边边全等)首先我们来介绍SSS法则,即如果两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF,已知AB=DE,AC=DF,BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知,三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系:AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边,所以我们有以下结论:AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE,AC=DF,BC=EF,所以根据上述两个不等式可得:AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F,所以我们有以下结论:∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F,所以可以将两个等式相减,得到:∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则(斜边-直角-斜边全等)由于∠A=∠D,∠B=∠E,所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用,希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目,可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考,相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例:全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中,全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
三角形全等的判定方法6种
三角形全等的判定方法6种
1、SSS(Side-Side-Side)(边边边):三边对应相等的三角形是全等三角形。
2、SAS(Side-Angle-Side)(边角边):两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。
3、ASA(Angle-Side-Angle)(角边角):两角及其夹边对应相等的三角形全等。
4、AAS(Angle-Angle-Side)(角角边):两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。
5、RHS(Rightangle-Hypotenuse-Side)(直角、斜边、边)(又称HL定理(斜边、直角边)):在一对直角三角形中,斜边及另一条直角边相等。
(它的证明是用SSS原理)
下列两种方法不能验证为全等三角形:
1、AAA(Angle-Angle-Angle)(角角角):三角相等,不能证全等,但能证相似三角形。
2、SSA(Side-Side-Angle)(边边角):其中一角相等,且非夹角的两边相等。
两三角形全等的几种判定方法
两三角形全等的几种判定方法
两个三角形是否全等,是初中数学重要的一部分。
在确定两个三
角形全等之前,需要掌握以下几种判定方法:
1. SAS判定法:如果两个三角形的两个边和夹角分别相等,则它们是全等的。
即如果两个三角形的一边、夹角和另一边能一一对应,
则这两个三角形是全等的。
2. SSS判定法:如果两个三角形的三边分别相等,则它们是全等的。
即如果两个三角形各边分别相等,则这两个三角形是全等的。
3. ASA判定法:如果两个三角形的两个角和夹边分别相等,则它们是全等的。
即如果两个三角形的一角、夹边和另一角能一一对应,
则这两个三角形是全等的。
4. RHS判定法:如果两个三角形的两个直角边和一条斜边分别相等,则它们是全等的。
即如果两个三角形的直角边和斜边能一一对应,则这两个三角形全等。
5. AAS判定法:如果两个三角形的两个角和一边分别相等,则它们是全等的。
但要注意,这个一边不能是夹角边。
即如果两个三角形
的两个角和一边能一一对应,则这两个三角形是全等的。
掌握了以上五种判定方法,我们就能准确地判断两个三角形是否
全等,从而解决一些相关的问题。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一:SSS判定法(边边边判定法)该方法基于全等三角形的定义,即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF,若AB=DE,BC=EF,AC=DF,则可以得出两个三角形全等。
证明:假设有两个三角形ABC和DEF,且已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。
通过图形可以发现,若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC,则两个三角形全等。
因此,通过旋转和平移操作,将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配,同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等,而由已知条件可知线段DF与线段AC相等,所以线段DC也与线段AC相等。
因此,可以得出点C与点D重合,即三角形DEF重合于三角形ABC,证明了两个三角形全等。
方法二:SAS判定法(边角边判定法)该方法基于全等三角形的定义,即当两个三角形的两边和夹角分别相等时,它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF,若AB=DE,角A=角D,BC=EF,则可以得出两个三角形全等。
证明:假设有两个三角形ABC和DEF,已知AB=DE,角A=角D,BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等,以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合,即三角形DEF与三角形ABC重合,证明了两个三角形全等。
方法三:ASA判定法(角边角判定法)该方法基于全等三角形的定义,即当两个三角形的两角和一边分别相等时,它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF,若角A=角D,角B=角E,AB=DE,则可以得出两个三角形全等。
证明:假设有两个三角形ABC和DEF,已知角A=角D,角B=角E,AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等,角E与角B相等,以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合,证明了两个三角形全等。
方法四:HL判定法(斜边和高判定法)该方法基于全等三角形的定义,即当两个三角形的斜边和高分别相等时,它们全等。
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”,“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边,直角边定理在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备.要点诠释:(1)“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等,由于其中含有直角这个特殊条件,所以三角形的形状和大小就确定了.(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种:SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.(3)应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件,书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知:如图,AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,AD =BC .求证:(1)AB =CD :(2)AD ∥BC .【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ,再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明:(1)∵AB ⊥BD ,CD ⊥BD ,∴∠ABD =∠CDB =90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中,AD BC BD DB⎧⎨=⎩=∴Rt △ABD ≌Rt △CDB (HL )∴AB =CD (全等三角形对应边相等)(2)由∠ADB =∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等,首先考虑用斜边、直角边定理,再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知:如图,AE ⊥AB ,BC ⊥AB ,AE =AB ,ED =AC .求证:ED ⊥AC .【答案】证明:∵AE ⊥AB ,BC ⊥AB ,∴∠DAE =∠CBA =90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中,ED AC AE AB ⎧⎨⎩==,∴Rt △DAE ≌Rt △CBA (HL )∴∠E =∠CAB∵∠CAB +∠EAF =90°,∴∠E+∠EAF=90°,即∠AFE=90°即ED ⊥AC .2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×”,全等的注明理由:(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;( )(2)一个锐角和斜边对应相等; ( )(3)两直角边对应相等; ( )(4)一条直角边和斜边对应相等. ( )【答案】(1)全等,“AAS ”;(2)全等,“AAS ”;(3)全等,“SAS ”;(4)全等,“HL ”.【解析】理解题意,画出图形,根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中,正确的画“√”;错误的画“×”,并举出反例画出图形.(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.( )(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.( )(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.( )【答案】(1)√;(2)×;在△ABC 和△DBC 中,AB =DB ,AE 和DF 是其中一边上的高,AE =DF(3)×. 在△ABC 和△ABD 中,AB =AB ,AD =AC ,AE 为第三边上的高,3、已知:如图,AC =BD ,AD ⊥AC ,BC ⊥BD .求证:AD =BC ;【答案与解析】证明:连接DC∵AD ⊥AC ,BC ⊥BD∴∠DAC =∠CBD =90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中,DC CD AC BD=⎧⎨⎩=∴Rt △ADC ≌Rt △BCD (HL )∴AD =BC .(全等三角形对应边相等)【变式】已知,如图,AC 、BD 相交于O ,AC =BD ,∠C =∠D =90° .求证:OC =OD.【答案】∵∠C =∠D =90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD =BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD =OC .4、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上,且过A ,B 两点分别作直线l 的垂线,垂足分别为D ,E ,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解:全等三角形为:△ACD ≌△CBE.证明:由题意知∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中,90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE (AAS ).【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,判定两个三角形全等的一般方法有:SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL .注意:AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1.下列说法正确的是 ( )A .一直角边对应相等的两个直角三角形全等B .斜边相等的两个直角三角形全等C .斜边相等的两个等腰直角三角形全等D .一边长相等的两等腰直角三角形全等2.如图,AB =AC ,AD ⊥ BC 于D ,E 、F 为AD 上的点,则图中共有( )对全等三角形.A .3B .4C .5D .63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C = ∠'C = 90, A = ∠'B , AB =''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC = ''A C = ''B C C. AC = ''B C D. ∠A = ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是( )A .形状相同B .周长相等C .面积相等D .全等6. 在两个直角三角形中,若有一对角对应相等,一对边对应相等,则两个直角三角形( )A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7.如图,BE ,CD 是△ABC 的高,且BD =EC ,判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”.8. 已知,如图,∠A =∠D =90°,BE =CF ,AC =DE ,则△ABC ≌_______.9. 如图,BA ∥DC ,∠A =90°,AB =CE ,BC =ED ,则AC =_________.10. 如图,已知AB ⊥BD 于B ,ED ⊥BD 于D ,EC ⊥AC ,AC =EC ,若DE =2,AB =4,则DB =______.11.有两个长度相同的滑梯,即BC =EF ,左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等,则∠ABC +∠DFE =________.12. 如图,已知AD 是△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于F ,且BF =AC ,FD =CD.则∠BAD =_______.三、解答题13. 如图,工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔,要使孔口从墙壁对面的B 点处打开,墙壁厚是35cm ,B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ,工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC =35cm ,画CD ⊥OC ,使CD =20cm ,连接OD ,然后沿着DO 的方向打孔,结果钻头正好从B 点处打出,这是什么道理呢请你说出理由.13.【解析】解:在Rt △AOB 与Rt △COD 中,(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等) ∴Rt △AOB ≌Rt △COD (ASA ) ∴AB =CD =20cm14. 如图,已知AB ⊥BC 于B ,EF ⊥AC 于G ,DF ⊥BC 于D ,BC =DF. 求证:AC =EF.证明:由EF ⊥AC 于G ,DF ⊥BC 于D ,AC 和DF 相交,可得:∠F +∠FED =∠C +∠FED =90°即 ∠C =∠F (同角或等角的余角相等),在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF (ASA ),∴AC =EF (全等三角形的对应边相等).15. 如图,已知AB =AC ,AE =AF ,AE ⊥EC ,AF ⊥BF ,垂足分别是点E 、F.求证:∠1=∠ 2.证明:∵AE ⊥EC ,AF ⊥BF ,∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩==∴Rt △AEC ≌Rt △AFB (HL )∴∠EAC =∠FAB∴∠EAC -∠BAC =∠FAB -∠BAC ,即∠1=∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ; 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°,可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ;【解析】△ABD ≌△ACD ;△ABF ≌△ACF ;△ABE ≌△ACE ;△EBF ≌△ECF ;△EBD ≌△ECD ;△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ;4. 【答案】C ;【解析】注意看清对应顶点,A 对应'B ,B 对应'A .5. 【答案】C ;【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ;【解析】如果这对角不是直角,那么全等,如果这对角是直角,那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ;8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ;【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6;【解析】DB =DC +CB =AB +ED =4+2=6;11.【答案】90°;【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ,∠BCA =∠DFE.12.【答案】45°;【解析】证△ADC 与△BDF 全等,AD =BD ,△ABD 为等腰直角三角形.。
三角形证全等的五种方法
三角形证全等的五种方法
1、两角分别对应相等的两个三角形相似;
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;
3、三边成比例的两个三角形相近;
4、一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似;
5、用一个三角形的两边回去比另一个三角形与之相对应当的两边,分别对应成比例,如果三组对应边较之都相同,则三角形相近。
方法一:定理法,即平行于三角形一边的直线和其他俩边(或他的延长线)相交,所
截得的三角形与原三角形相似,俗话来讲就是一个大的三角形包含一个小的三角形,小的
三角形两边延长就成为了大三角形的两边;
方法二:俩角对应成正比的三角形相近,俗语来说先找出这两个三角形的对应边,间
接找到三角形三组对应角有俩组与成正比则相近;
方法三:两边对应成比例且夹角相等的三角形相似,俗话来讲:先找到各对应边对应角,一一对应后会很方便。
两边对应成比例:两组对应边之比相等,即按同一种比法相比。
夹
角相等:即所成比例的两边之间的那个角相等;
方法四:三边对应成比例,俗语来说:如上均先找出对应边对应角,将其一一对应。
三边对应成比例:就是三组对应边之比相等,比法均一致;
认定五:只适用于于直角三角形:直角边和斜边对应成比例则这俩个三角形相近,俗语
来说俗语来说:某种程度上直角三角形一个直角边和一个斜边对应成比例也同时代表着另
外一个直角边也对应成比例。
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总全等三角形是初中数学中非常重要的内容,今天我们就把初二数学中,与全等三角形相关的方法、思路及技巧都来整理一下。
一、全等三角形的性质与判定。
五种判定方法:SSS,SAS,AAS,ASA,HL,其中HL是边边角(SSA的特例)。
全等三角形的对应边相等,对应角相等,一句话,凡是对应的,都相等。
二、寻找全等三角形常用方法1、直接从结论入手一般会有以下几种要求证的方向:•线段相等•角相等•度数•线段或者线段的和、差、倍、分关系然后根据题目要求证的方向,找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中,再围绕这两个三角形进行研究。
2、从已知条件入手把所有能标注在图上的已经条件标注出来,注意用不同的标示进行区分,比如第一组相等的线段用一条短竖,第二组相等的线段用两条短竖,再比如第一组相等的角用一个小圆弧,第二组相等的角就用两个小圆弧等。
然后通过已知条件找到相关的两个三角形,再进行分析。
记住一句话:“充分利用已知条件”。
3、把已经条件和结论综合起来考虑找到所有的已知条件和隐藏条件,结合结论,找出可能全等的两个三角形,再进行分析。
4、如果上述方法都确定行不通,就考虑添加辅助线来构造全等三角形。
三、构造全等三角形的一般方法1、题目中出现角平分线(1)通过角平分线上的某个已知点,向两边作垂线,这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形(2)在角平分线的某个已知点,作角平分线的垂线和两边相交,构造全等三角形。
(3)在该角的两边,距离角的顶点相等长度的位置上截取两点,分别连接这两点与角平分线上的某已知点,构造全等三角形2、题目中出现中点或者中线(中位线)(1)倍长中线法,把中线延长至二倍位置(2)过中点作某一条边的平行线3、题目中出现等腰或者等边三角形(1)找中点,倍长中线(2)过顶点作底边的垂线(3)过某已知点作一条边的平行线(4)三线合一4、题目中出现三条线段之间的关系通常用截长补短法,在某条线段上截取一段线段,使之与特定的线段相等,或者将某条线段延长,使之与特定线段相等。
三角形全等地五种判定方法及如何能构造三角形全等
三角形全等地五种判定方法及如何能构造三角形全等1.SSS全等:即边边边全等,表示两个三角形的三条边分别相等。
如果两个三角形的对应边长度分别相等,那么这两个三角形全等。
构造方法:-首先,在平面上画出一条边为AB的线段;-以这条线段为边,分别用刻度尺量取AC和BC两条边;-以线段AB为一边,在平面上任取一个圆心O,用刻度尺量取出角A和角B的度数;-以点O为圆心,以OA为半径在平面上画出一个圆;-分别用刻度尺量取出AC和BC的长度;-若AC和BC的长度与已知相等,则三角形ABC与已知三角形全等。
2.SAS全等:即边角边全等,表示两个三角形的两条边和它们的夹角分别相等,即两边夹角相等。
如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等。
构造方法:-首先,在平面上画出一条边为AB的线段;-以这条线段为边,在这条边的一侧画一个角为α的角;-以这条线段为边,在另一侧画一个角为β的角;-在角α和角β所在的射线上,分别用刻度尺量取AC和BC两条边;-若AC与BC的长度与已知相等,并且角ACB与已知相等,则三角形ABC与已知三角形全等。
3.ASA全等:即角边角全等,表示两个三角形的两个夹角和它们的对边分别相等,即两角边相等。
如果两个三角形的两个夹角和它们的对边分别相等,那么这两个三角形全等。
构造方法:-首先,在平面上画出一条边为AB的线段;-以这条线段为边,在这条边的一侧画一个角为α的角;-在角α的一侧再画一个角为β的角;-在角β所在的射线上,以点C为一侧,在这条射线的一侧画一个角为γ的角;-若角ACB和角ABC与已知相等,并且边AC与边BC的长度与已知相等,则三角形ABC与已知三角形全等。
4.AAS全等:即角角边全等,表示两个三角形的两个夹角和一个对边分别相等,即两边角相等。
如果两个三角形的两个夹角和一个对边分别相等,那么这两个三角形全等。
构造方法:-首先,在平面上画出一条边为AB的线段;-在这条线段的一侧画一个角为α的角;-在这条线段的另一侧画一个角为β的角;-在角α和角β所在的射线上,分别用刻度尺量取AC和BC两条边;-若角ACB和角ABC与已知相等,并且边AC与已知边BC的长度比相等,则三角形ABC与已知三角形全等。
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作图
△A/B/C/就是所要画的三角形。
C
E
D
C’
A
B
通过实验你发现了什么规律?
A’
B’
有两角和它们夹边对应相等的 两个三角形全等。
归 纳:三角形全等判定3
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
交射线AC于点B;
则:AB 即为所求。
A
D
a
BC
基本作图2、“作一个角等于已知角。”
已知: ∠AOB。 求作: ∠A’O’B’ 使∠A’O’B’=∠AOB。
作
法
示
范
(1) 作射线O’A’;
(2) 以点O为圆心, 任意长为半径 画弧,
, 交OA于点C
交OB于点D
(3) 以点O’为圆心, 以(OD)长为半径 画弧,
(2)分别以C、D 为圆心,以大于
径画弧,两弧相交于P 点;
CD 长为1 半 2
A
(3)作射线OP ,
则:射线OP即为所求.
C
P
O
D
B
证明:
由作图过程知:
AB=AC,BD=CD
A
又∵AD=AD
∴△ABD≌ △ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD
∴AD是∠BAC的平分线
B D
C
1.如图,已知∠A,试画∠B=1/2∠A.(不写 画法,保留作图痕迹).
AD=AD(公共边)
D
B
C
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
若△ABD不动,将△ACD绕着A点顺时针转动, 且转动的角度等于∠CAD的度数, 此时图形会怎么样呢? 我们一起来看到:
三角形全等的五种方法
三角形全等的五种方法
三角形全等是一种几何学中的概念。
在几何学中,全等指的是两
个或多个形状、物体或模型的大小、形状、位置等特征完全相同。
三
角形的全等有五种方法,分别是以下几点:
(1)SSS全等法。
SSS全等法是指当三角形三边的边长相等时,
可以通过做出三个完全相同的三角形来证明它们全等。
(2)SAS全等法。
在SAS全等法中,两个三角形的一个角和两个
边分别相等。
因此,通过构建两个能够匹配的三角形来证明它们全等。
(3)ASA全等法。
ASA全等法是当两个三角形的两个角以及它们
之间的一个边相等时,可以通过构建两个能够匹配的三角形来证明它
们全等。
(4)AAS全等法。
通过AAS全等法,我们可以确认两个三角形有
两个角和它们之间的一个边相等,可以运用这一法则来证明它们全等。
(5)HL全等法。
在HL全等法中,两个三角形的一条腰和一条相
邻边分别相等,同时另一条腰和它所对应的角也分别相等。
因此,可
以通过构建两个相应匹配的三角形来证明他们全等。
总之,无论哪种方法都可以用来证明两个三角形全等,都需要在
构建的时候保证构建出的三角形完全重合。
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等
三角形全等的五种判定方法及如何构造三角形全等三角形全等是指两个三角形的所有对应边和对应角相等。
在几何学中,有五种常见的判定方法来确定两个三角形是否全等:SSS(边-边-边)判定法、SAS(边-角-边)判定法、ASA(角-边-角)判定法、AAS(角-角-边)判定法和HL(斜边-直角-斜边)判定法。
下面将分别介绍这五种方法,并给出如何构造三角形全等的例子。
1.SSS(边-边-边)判定法:如果两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形全等。
例子:给定两个三角形ABC和DEF,若AB=DE,BC=EF,AC=DF,则可判断三角形ABC和DEF全等。
2.SAS(边-角-边)判定法:如果两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等,则这两个三角形全等。
例子:给定两个三角形ABC和DEF,若AB=DE,∠BAC=∠EDF,AC=DF,则可判断三角形ABC和DEF全等。
3.ASA(角-边-角)判定法:如果两个三角形的一个角和两边分别相等,则这两个三角形全等。
例子:给定两个三角形ABC和DEF,若∠BAC=∠EDF,AB=DE,∠ABC=∠DEF,则可判断三角形ABC和DEF全等。
4.AAS(角-角-边)判定法:如果两个三角形的两个角和一边分别相等,则这两个三角形全等。
例子:给定两个三角形ABC和DEF,若∠BAC=∠EDF,∠ABC=∠DEF,AB=DE,则可判断三角形ABC和DEF全等。
5.HL(斜边-直角-斜边)判定法:如果两个直角三角形的一个直角和一个斜边分别相等,则这两个三角形全等。
例子:给定两个直角三角形ABC和DEF,若∠BAC=∠EDF,AB=DE,则可判断三角形ABC和DEF全等。
以上是判定两个三角形全等的五种方法。
下面将介绍如何通过给定条件构造全等的三角形。
1.给定两边和夹角:以一条边为边长,另一条边为夹角的边,在端点处画出一条与给定边相等的线段作为第二条边,然后以给定夹角为顶点画出第三边,两个三角形即构造完成。
证明三角形全等的五种基本思路
证明三角形全等的五种基本思路1.SSS判定:如果两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形是全等的。
证明思路是通过对应边定比例得到对应角的正弦值相等,从而得出对应角相等,从而证明两个三角形的所有角度相等,即全等。
2.SAS判定:如果两个三角形的一边和与之相对的两个角分别相等,则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的边,利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例,从而得到与之相对的两个角的正弦值相等,从而证明两个三角形的所有角度相等,即全等。
3.ASA判定:如果两个三角形的两个角和夹角的两边分别相等,则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的角,利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例,从而得到夹角的两边的比例,从而证明两个三角形的对应边相等,即全等。
4.RHS判定:如果两个三角形的一个直角边和斜边分别相等,则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的边,利用余弦定理和正弦定理得到其它两边的比例,从而证明两个三角形的对应边相等,即全等。
5.AAS判定:如果两个三角形的两个角和一边(不是两边夹角)分别相等,则这两个三角形是全等的。
证明思路是对于相等的角,利用正弦定理和余弦定理得到其它两边的比例,从而得到对应角的正弦值相等,从而证明两个三角形的所有角度相等,即全等。
以SSS判定为例,具体证明流程如下:已知两个三角形ABC和DEF的边长分别为AB=DE,BC=EF,CA=FD。
我们要证明∆ABC≌∆DEF。
1.首先,我们写出三角形ABC和DEF的正弦定理:sin(A)/AB = sin(B)/BC = sin(C)/CA --(1)sin(D)/DE = sin(E)/EF = sin(F)/FD --(2)2.由于AB=DE,BC=EF和CA=FD,我们可以得到三个等式:AB/DE=1,BC/EF=1,CA/FD=1--(3)3.将等式(1)和等式(3)相结合,我们可以得到:sin(A)/sin(D) = AB/DE, sin(B)/sin(E) = BC/EF, sin(C)/sin(F) = CA/FD --(4)4.由于AB/DE=BC/EF=CA/FD=1,根据等式(4),我们得到:sin(A)/sin(D) = sin(B)/sin(E) = sin(C)/sin(F) --(5)5.根据等式(5),我们可以得到A=D,B=E和C=F。
构造全等三角形种常用方法
--构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法(“SSS ”,“SAS ”,“AS A”,“AAS ”,“HL ”)中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。
如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“S AS ”或再找第三组对应边用“SS S”;若找到一组角则需找另一组角(可能用“A SA ”或“AAS ”)或夹这个角的另一组对应边用“SA S”;若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“H L”。
上述可归纳为:()()()()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩用用用用或搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了.下面举例说明几种常见的构造方法,供同学们参考.1.截长补短法例1.如图(1)已知:正方形ABCD 中,∠B AC 的平分线交BC 于E,求证:A B+BE=AC. 解法(一)(补短法或补全法)延长A B至F 使A F=AC ,由已知△AEF ≌△A EC ,∴∠F=∠ACE=45º, ∴BF =BE ,∴AB+BE=A B+BF=AF =AC. 解法(二)(截长法或分割法)在AC 上截取AG=AB ,由已知 △ ABE ≌△AGE ,∴EG=BE, ∠AG E=∠ABE,∵∠AC E=45º, ∴CG =E G, ∴AB+BE=AG+CG =AC. 2.平行线法(或平移法)若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对R t△,有时可作出斜边的中线.例2.△A BC 中,∠BA C=60°,∠C=40°AP 平分∠BA C交BC 于P ,BQ 平分∠A BC交AC 于Q, 求证:AB +B P=BQ+AQ.证明:如图(1),过O 作OD ∥BC 交AB于D,∴∠ADO=∠AB C=180°-60°-40°=80°,又∵∠AQO=∠C +∠QBC=80°,∴∠A DO=∠AQO,又∵∠DAO=∠Q AO,OA=AO , ∴△AD O≌△AQO,∴OD=OQ,AD=AQ,又∵OD ∥BP,∴∠PBO=∠DOB ,又∵∠PB O=∠DBO ,∴∠D BO=∠DOB,∴BD=OD ,∴AB +BP =AD +DB+BP=AQ+OQ +BO =AQ+BQ .说明:⑴本题也可以在A B截取AD=AQ ,连OD ,构造全等三角形,即“截长补短法”. ⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下: ① 如图(2),过O 作OD ∥BC 交AC 于D, 则△ADO ≌△AB O来解决.② 如图(3),过O作DE ∥BC 交A B于D, A B C P Q D OO A B C P Q D图(2)A B C PQ D E 图(3)O D--交AC 于E ,则△ADO ≌△AQ O,△ABO ≌△AEO 来解决. ③ 如图(4),过P 作PD ∥B Q交AB 的延长线于D,则△APD ≌△AP C来解决. ④ 如图(5),过P 作PD ∥BQ 交AC 于D, 则△ABP ≌△A DP来解决. (本题作平行线的方法还很多,感兴趣的同学自己研究).3.旋转法对题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。
证三角形全等的五种方法
证三角形全等的五种方法一、第一种方法是“边边边(SSS)”。
如果两个三角形的三边长度相应相等,那么我们就可以说这两个三角形全等。
比如,对于三角形ABC和三角形DEF,如果AB=DE,BC=EF以及AC=DF,那么三角形ABC与三角形DEF全等。
这种全等的方式十分明确,只要各边对应长度一致,不论角度如何都可以判定为全等。
二、第二种方法是“边角边(SAS)”。
若两个三角形有两边和它们之间的夹角对应相等,那么这两个三角形就可以被证明为全等。
比如,对于三角形ABC和三角形DEF,如果AB=DE,而且它们之间的夹角∠BAC=∠EDF,另外AC=DF,我们就可以断定三角形ABC和三角形DEF全等。
三、第三种方法是“角边角(ASA)”。
如果两个三角形的两个角和它们之间的边对应相等,那么他们就是全等的。
例如,对于三角形ABC和三角形DEF,如果∠BAC=∠EDF,且他们之间的边AC=DF,以及∠BCA=∠FDE,那么我们就可以认为三角形ABC全等于三角形DEF。
四、第四种方法是“角角边(AAS)”。
若两个三角形有两个角和任一边对应相等,那么它们就是全等的。
例如,对于三角形ABC和三角形DEF,如果∠BAC=∠EDF,∠BCA=∠FDE,并且边BC=EF,那么三角形ABC就全等于三角形DEF。
五、第五种方法是“右角三角形的斜边与一直角边(HL)”。
对于两个右角三角形,如果它们的斜边和一条直角边对应相等,那么我们就可以证明这两个三角形是全等的。
例如,对于三角形ABC和三角形DEF,如果∠BAC和∠EDF都是90°,且AC=DF(斜边),AB=DE(一条直角边),则三角形ABC和三角形DEF全等。
【初中数学知识点解析】构造全等三角形的五种常用方法
方法4 倍长中线法 4.如应图,在△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
(1)证明: 延长AD至点E,使DE=AD,连接BE. ∵D为BC的中点, ∴CD=BD. 又∵AD=ED,∠ADC=∠EDB, ∴△ADC≌△EDB. ∴AC=EB. ∵AB+BE>AE, ∴AB+AC>2AD.
∴∠B=∠ADG=90°.
在△ABE与△ADG中,
方法5 截长(补短)法
5.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=
∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图
中线段BE,EF,FD之间的数量关系并证明.
AB=AD,
∠B=∠ADG=90°,
BE=DG,
要点提示
在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些 辅助线,辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较容易找 到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.
常见的辅助线作法有:翻折法、构造法、旋转法、倍长中 线法和截长(补短)法,目的都是构造全等三角形.
方法1 翻折法
1.如图,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,AD⊥BE,垂足为D. 求证:∠2=∠1+∠C. 证明:如图,延长AD交BC于点F.(相当于将AB边向下翻
方法3 旋转法
3.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上一点,F为CD边上一点, BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
∴△ABH≌△ADF. ∴AH=AF,∠BAH=∠DAF. ∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF, 即∠HAF=∠BAD=90°. ∵BE+DF=EF, ∴BE+BH=EF,即HE=EF. 在△AEH和△AEF中,
全等三角形13种基本模型
序号
模型名称
描述与判定方法
1
边边边(SSS)
三边对应相等的两个三角形全等。
2
边角边(SAS/边-角-边)
两边பைடு நூலகம்它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
3
角边角(ASA/角-边-角)
两角及它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
4
角角边(AAS/角-角-边)
两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
12
“构造等腰三角形”型全等
通过添加辅助线构造等腰三角形,利用等腰三角形的性质证明全等。
13
“构造平行四边形”型全等
通过添加辅助线构造平行四边形,利用平行四边形的性质(对边相等、对角相等)证明全等。
5
斜边、直角边(HL/直角三角形的HL)
在直角三角形中,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(仅适用于直角三角形)。
6
“K”型全等
通过构造辅助线,形成两个具有公共边的三角形,利用SAS或ASA证明全等。
7
“X”型全等
通过两条相交线形成的四个三角形,利用对顶角相等和公共边证明全等。
8
“中线”型全等
利用三角形中线性质(中线将对边平分),结合其他条件证明全等。
9
“角平分线”型全等
利用角平分线性质(角平分线上的点到角两边距离相等),结合其他条件证明全等。
10
“高”型全等
利用三角形高(从顶点垂直于对边或对边的延长线)的性质证明全等。
11
“中位线”型全等
利用三角形中位线性质(中位线平行于第三边且等于第三边的一半),结合其他条件证明全等。
三角形全等五个判定方法
三角形全等五个判定方法三角形全等五个判定方法是边边边(SSS)、边角边(SAS)、角边角(ASA)、角角边(AAS)、和直角三角形的斜边,直角边(HL)。
下面就这五个判定方法介绍如下,仅供参考:1、SSS(边边边)即三边对应相等的两个三角形全等。
举例:如图1,AC=BD,AD=BC,求证∠A=∠B.证明:在△ACD与△BDC中{AC=BD,AD=BC,CD=DC.∴△ACD≌△BDC.(SSS)图1 ∴∠A=∠B.(全等三角形的对应角相等)2、SAS(边角边)即三角形的其中两条边对应相等,且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
举例:如图2,AB平分∠CAD,AC=AD,求证∠C=∠D.证明:∵AB平分∠CAD.∴∠CAB=∠BAD.在△ACB与△ADB中{AC=AD,∠CAB=∠BAD,AB=AB. 图2 ∴△ACB≌△ADB.(SAS)∴∠C=∠D.(全等三角形的对应角相等)3、ASA(角边角)即三角形的其中两个角对应相等,且两个角夹边也对应相等的两个三角形全等。
举例:如图3,AB=AC,∠B=∠C,求证△ABE≌△ACD.证明:在△ABE与△ACD中{∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C.∴△ABE≌△ACD.(ASA)图34、AAS(角角边)即三角形的其中两个角对应相等,且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
举例:如图4,AB=DE,∠A=∠E,求证∠B=∠D.证明:在△ABC与△EDC中{∠A=∠E,∠ACB=∠DCE,AB=DE.∴△ABC≌△EDC.(AAS)∴∠B=∠D.(全等三角形的对应角相等)图45、HL(斜边、直角边)即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
举例:如图5,Rt△ADC与Rt△BCD,AC=BD,求证AD=BC.证明:在Rt△ADC与Rt△BCD中{AC=BD,CD=DC.∴Rt△ADC≌Rt△BCD.(HL)图5∴AD=BC.(全等三角形的对应边相等)。
构造全等三角形种常用方法
构造全等三角形种常用方法在证明两个三角形全等时,选择三角形全等得五种方法(“SSS ”,“SA S”,“ASA ”,“AAS ”,“HL ”)中,至少有一组相等得边,因此在应用时要养成先找边得习惯。
如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到一组对应边则再找这两边得夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”;若找到一组角则需找另一组角(可能用“ASA ”或“AAS ”)或夹这个角得另一组对应边用“SAS”;若就就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。
上述可归纳为:搞清了全等三角形得证题思路后,还要注意一些较难得一些证明问题,只要构造合适得全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了、下面举例说明几种常见得构造方法,供同学们参考、1、截长补短法例1、如图(1)已知:正方形ABCD 中,∠BAC 得平分线交B C于E ,求证:A B+BE=AC 、 解法(一)(补短法或补全法)延长AB 至F使AF=AC ,由已知△AEF ≌△AEC,∴∠F =∠ACE=45º, ∴BF =B E,∴AB+BE =A B+BF=AF=AC 、 解法(二)(截长法或分割法)在A C上截取AG=AB,由已知 △ AB E≌△AGE,∴EG=B E, ∠A GE=∠ABE,∵∠ACE =45º, ∴CG =EG, ∴AB +BE =AG+CG=AC、 2、平行线法(或平移法)若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt △,有时可作出斜边得中线、例2、△ABC 中,∠BAC=60°,∠C =40°A P平分∠BAC 交B C于P,B Q平分∠ABC 交A C于Q, 求证:A B+B P=BQ+A Q、证明:如图(1),过O 作O D∥BC 交AB 于D,∴∠ADO =∠ABC=180°-60°-40°=80°,又∵∠AQ O=∠C +∠QBC=80°,∴∠ADO=∠AQO ,又∵∠DA O=∠QAO ,OA=AO, ∴△ADO ≌△AQO,∴OD=O Q,AD=AQ ,又∵OD ∥BP,∴∠PBO=∠DOB ,又∵∠PBO=∠D BO,∴∠DBO=∠D OB,∴BD=O D,∴AB +BP=AD+DB+B P=A Q+OQ+B O=AQ+BQ 、说明:⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ,连OD,构造全等三角形,即“截长补短法”、⑵本题利用“平行法”解法也较多,举例如下: ① 如图(2),过O 作OD ∥BC 交AC 于D, 则△ADO ≌△ABO 来解决、 ② 如图(3),过O 作D E∥BC 交AB 于D,交AC 于E,则△ADO≌△AQ O,△A BO ≌△AE O来解决、 ③ 如图(4),过P作P D∥B Q交A B得延长线于D,则△A PD ≌△APC 来解决、 ④ 如图(5),过P 作PD ∥BQ 交A C于D, 则△AB P≌△ADP 来解决、 (本题作平行线得方法还很多,感兴趣A B C P Q D OO A B C P Q D图(2) A B C PQ D E 图(3) O A B C P Q图(4)DOA BCP Q 图(5)D OD得同学自己研究)、 3、旋转法对题目中出现有一个公共端点得相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形。
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全等三角形综合复习
1. 全等三角形的概念及性质;
2. 三角形全等的判定;
3. 角平分线的性质及判定。
知识点一:证明三角形全等的思路
通过对问题的分析,将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后,采用哪个全等判定定理加以证明,可以按下图思路进行分析:
⎧→⎧⎪⎪
→⎨⎪⎪⎪
→⎩⎪
⎪→→⎧⎪⎪
→⎧⎪⎪
⎨⎨⎪
→⎨⎪⎪
⎪⎪⎪
→⎩⎩⎪
⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩
SAS SSS
HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 找夹角已知两边找第三边找直角边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一对边 例1. 如图,,,,A F E B 四点共线,AC CE ⊥,BD DF ⊥,AE BF =,AC BD =。
求证:
ACF BDE ∆≅∆。
知识点二:构造全等三角形
例 2. 如图,在ABC ∆中,BE 是∠ABC 的平分线,AD BE ⊥,垂足为D 。
求证:21C ∠=∠+∠。
例3. 如图,在ABC ∆中,AB BC =,90ABC ∠=。
F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,BE BF =,连接,AE EF 和CF 。
求证:AE CF =。
知识点三:常见辅助线的作法
1. 连接四边形的对角线
例4. 如图,AB //CD ,AD //BC ,求证:AB CD =。
解题后的思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。
2. 作垂线,利用角平分线的知识
例5.如图,,
AP CP分别是ABC
∆外角MAC
∠和NCA
∠的平分线,它们交于点P。
求证:BP为MBN
∠的平分线。
解题后的思考:题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。
3. “截长补短”构造全等三角形
例 6.如图,在ABC
∆中,AB AC
>,12
∠=∠,P为AD上任意一点。
求证:AB AC PB PC
->-。
解答过程:
在AB上截取AN AC
=,连接PN
在APN
∆与APC
∆中
12
AN AC
AP AP
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴APN APC
∆≅∆(SAS)
∴PN PC
=
在BPN
∆中,PB PN BN
-<
∴-<-
PB PC AB AC,即AB-AC>PB-PC。
一、选择题:
1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件,能画出唯一ABC ∆的是( ) A. 3AB =,4BC =,8CA =
B. 4AB =,3BC =,30A ∠=
C. 60C ∠=,45B ∠=,4AB =
D. 90C ∠=,6AB =
3. 如图,已知12∠=∠,AC AD =,增加下列条件:①AB AE =;②BC ED =;③
C D ∠=∠;④B E ∠=∠。
其中能使ABC AED ∆≅∆的条件有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
4. 如图,12∠=∠,C B ∠=∠,,AC BD 交于E 点,下列不正确的是( ) A. DCE ABE ∠=∠ B. CE BE =
C. DEC ∆不全等于ABE ∆
D. ECB ∆是等腰三角形
5. 如图,已知AB CD =,BC AD =,23B ∠=,则D ∠等于( ) A. 67 B. 46 C. 23
D. 无法确定
二、填空题:
6. 如图,在ABC ∆中,90C ∠=,ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ,且:2:3CD AD =,10AC cm =,则点D 到AB 的距离等于__________cm ;
7. 如图,已知AB DC =,AD BC =,,E F 是BD 上的两点,且BE DF =,若
100AEB ∠=,30ADB ∠=,则BCF ∠=____________;
8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠,,BC BD 为折痕,则CBD ∠的大小为________;
9. 如图,在等腰Rt ABC ∆中,90C ∠=,AC BC =,AD 平分BAC ∠交BC 于D ,DE AB ⊥于E ,若10AB =,则BDE ∆的周长等于____________;
10. 如图,点,,,D E F B 在同一条直线上,AB //CD ,AE //CF ,且AE CF =,若
10BD =,2BF =,则EF =___________;
三、解答题: 11. 如图,ABC ∆为等边三角形,点,M N 分别在,BC AC 上,且BM CN =,AM 与BN 交于Q 点。
求AQN ∠的度数。
12. 如图,90ACB ∠=,AC BC =,D 为AB 上一点,AE CD ⊥,BF CD ⊥,交CD 延长线于F 点。
求证:BF CE =。