北邮版概率论答案

习题二

2?设在15只同类型零件中有 2只为次品，在其中取 3次，每次任取1只，作不放回抽样, 以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图；

⑶

3 3

P{X -}, P{1 X -}, P{1 X }, P{1 X 2}. 2 2 2

【解】

X 0,1,2.

C ；3 22

P(X 0) J

C 15 35

1 2

C ；

12 P(X 1) J —

C 15 35

C 1 1 P(X 2)

C 15 35

故X 的分布律为 X 0 \ 1 2

...........

35 /

(2)当 x<0 时，F (x ) =P (X w x ) =0

当0 w x<1时，

F (x ) =P (X w x )

\ Z 22

=P(X=0)=——

2, 3, 4, 5，在其中同时取 3只，以X 表示取出的3只 X 的

分布律. X 3,4,5

P(X 1

-3

0.1

P(X 3

-3 0.3

P(X 5) C 3 0.6

C ；

故所求分布律为

1?一袋中有5只乒乓球，编号为1，球中的最大号码，写出随机变量【解】

4.( 1)设随机变量X 的分布律为

当1 < x<2时,

F (x ) =P (X W x ) =P(X=0)+P(X=1)=34

当 x >2 时，F (x ) =P (X W x ) =1 故X 的分布函数

0, x 0 F(x)

35 34 35 1, x 2

22 35

34 34 P(1 X )

F(：) F(1)

0 2 2 35 35 3

3 12

P(1 X -)

P(X

1) P(1

X -)-

34 P(1 X 2) F(2)

F(1) P(X 2)

1 -

1 0. 35

3?射手向目标独立地进行了 3次射击，每次击中率为，求 3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求 3次射击中至少击中2次的概率? 【解】

设X 表示击中目标的次数?则X=0，1，2，3.

P(X 0) (0.2)3 0.008 P(X 1) C ；0.8(0.2)2 0.096 P(X 2) C 3(0.8)20.2 0.384 P(X 3) 3

(0.8)

0.512

X \

0 1 2

分布函数

x 0

0.008, 0 x 1

F(x) 0.104,

1 x 2

0.488, 2x3 1, x 3

P(X 2)

P(X 2) P(X 3)

0.896

P(X F(2)

故X 的分布律为

P{X=k}= a -,

其中k=0, 1, 2,…，入〉0为常数，试确定常数 a.

(2)设随机变量X的分布律为

P{ X=k}= a/N，k=1, 2,…，N，试确定常数a.

【解】(1)由分布律的性质知

/ 1P(X k) a k k a|e

k 0

k 0 k!

/ 故a e

(2)由分布律的性质知

N N a

1 P(X k)a

k 1

k 1 N

即 a 1.

5?甲、乙两人投篮，投中的概率分别为”今各投3次，求：

(1)两人投中次数相等的概率；

(2)甲比乙投中次数多的概率?

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝U X~b(3,) ,Y~b(3,

⑴ P(X Y) P(X 0,Y 0) P(X 1,Y 1) P(X 2,Y 2)

P(X 3,Y 3)

3 3 1 2 1 2

(0.4) (0.3) C30.6(0.4) C30.7(0.3) +

\ C3(0.6)20.4C3(0.7)20.3 (0.6)3(0.7)3

\ 0.32076

(2) P(X Y) P(X 1,Y 0) P(X 2,Y 0) P(X 3,Y 0)

P(X 2,Y 1) P(X 3,Y 1) P(X 3,Y 2)

C；0.6(0.4)2(0.3)3C f(0.6)20.4(0.3)3

3 3 2 2 1 > 2

(0.6) (0.3) C3(0.6) 0.4C30.7(0.3)

(0.6)3C；0.7(0.3)2(0.6)3C3(0.7)20.3

6?设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为，且设各飞机

降落是相互独立的?试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于(每条跑道只能允许一架飞机降落 )？

【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则

X~b(200,，设机场需配备 N 条跑道，则有

P(X N) 0.01

200

即

c koo (O.O2)k (O.98)2

T 0.01

k N 1

利用泊松近似

np 200 0.02 4.

* e 44k

P(X N)? ------ 0.01

~ k N 1 k!

查表得N > 9?故机场至少应配备 9条跑道.

7?有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为，在某

天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少(利用泊松定

理)？

【解】设X 表示出事故的次数，则 X~b (1000,)

P(X 2)

1 P(X 0) P(X 1)

8?已知在五重伯努利试验中成功的次数 X 满足P{X=1}= P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为

p ,则

C 5P (1 p)4 C 5P 2(1 P )3

9?设事件A 在每一次试验中发生的概率为，当 A 发生不少于3次时，指示灯发出信号

(1)

进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

(2)

进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率

【解】(1)设X 表示5次独立试验中 A 发生的次数，则 X~6 ( 5,)

5 k

k 5 k

P(X 3) c ：(0.3)k

(0.7)

0.16308

k 3

7 k k

7 k

P(Y 3) C 7 (0.3) (0.7)F 0.35293

k 3

10?某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数

X 服从参数为(1/2) t 的泊松分

布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计)

0.1

0.1 0.1

故所以

P(X

10 243

(2)令Y 表示7次独立试验中 A 发生的次数，则 Y~b (7,)

4 5

(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

3 5 【解】(1)P(X 0) e 2(2) P(X 1) 1 P(X 0) 1

11?设P{X=k}= C：p k(1 p)2 k, k=0,1,2

m m _ 、4 m

P{Y=m}=C4 p (1 p) , m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X> 1}= 5, 试求P{ Y> 1}.

【解】因为P(X

5 4 1)—,故P(X 1) - ?

9 9

/ 而P(X 1)P(X0) (1p)2

故得(1p)24 9,

即p 1 3

从而P(Y 1) 1 P(Y 0) 1(1、4 65

810.80247

12?某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为，试求在这2000册书中恰有5

册错误的概率?

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,.利用泊松近似计算

np 2000 0.001 2

2 5

P(X 5)备o。018

3 1

13.进行某种试验，成功的概率为一，失败的概率为一?以X表示试验首次成功所需试验的次

4 4

数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率?

X hZlIlKlII

【解】

14?有

P(X k)

P(X 2)

(；)

P(X 4) 〔I] P(X 2k) |(|

HI (-4)2k13川

1(4)2

2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险

?在一年中每个人死亡

的概率为，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金?求：

(1)保险公司亏本的概率；

(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

(1) 在1月1日，保险公司总收入为2500 X 12=30000元.

设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,，则所求概率为

P(2000 X 30000) P(X 15) 1 P(X 14)

由于n很大，p很小，入=np=5，故用泊松近似，有

P(X 15) 1

14空0.000069 0 k!

P(30000 2000X 10000) P(X 10)

10e55k k 0

k !

0.986305

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上

P (保险公司获利不少于20000) P(30000 2000 X 20000) P(X 5)

5 5 k

e 5

0.615961

k 0 k!

20000元的概率约为

即保险公司获利不少于

15.已知随机变量X的密度函数为

f(x)=Ae 冈，

求：(1) A 值；(2) P{0

62%

【解】(1) f(x)dx 1 得

Ae |x dx 0 Ae x dx 2A

p(0 X 1)-

2 当x<0 时，F (x) 当x>0 时，F(x)

2 .

夕1

1 u 1 ,

e dx e

2 2

x dx e1)

|x|

e dx

1 x

」

e x dx

x 1

-e x dx

0 2

⑵P(保险公司获利不少于10000)

由

⑶当 x<100 时 F (x ) =0

当 x > 100 时

F(x) f (t)dt

100

(t )dt

i00

f (t )dt

100 ..

100

dt 1

100 t 2

100

x 100 F(x) x

x 0

17.在区间]0, a ]上任意投掷一个质点，以 X 表示这质点的坐标，设这质点落在] 0, a ]

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X 的分布函数【解】由题意知X~ U [0, a], 密度函数为

1 0 x

f(x)

其他

故当x<0时F (x ) =0

当 0< x < a 时 F(x)

x x

1 x f(t)dt

f(t)dt

_dt - 0 a a

当 x>a 时，F (x ) =1 即分布函数

1 x

F(x)弓

1亠 2

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命

100

—,x 100, x

x 100.

在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

X 的密度函数为

f(x)=

0, 求: ( 1) (2) z(\

/(.

~ 2X

X /V

\17