圆锥曲线与方程知识点详细

椭圆

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的

轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程

1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122

22=+b

y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；

2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122

22=+b

x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；

注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：

221x y m n

+= 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122

22=+b

y a x )0(>>b a 的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴

为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个

交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 22

1=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a

c

a c e ==

22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+2

2

。

注意：椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：

假设已知椭圆方程122

22=+b y a x （0,0a b >>），且已知椭

圆的准线方程为2

a x c

=±，试推导出下列式子：（提示：用三角

函数假设P 点的坐标

e PM PF PM PF ==

2

21

1

4、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

e PM PF PM PF ==

2

21

1

5、椭圆12222=+b y a x 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的区别和联系

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 122

22=+b

x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围

a x ≤，

b y ≤

b x ≤，a y ≤

对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±，),0(b ±

),0(a ±，)0,(b ±

轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2

离心率

)10(<<=

e a

c

e

椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线； 椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；

离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1时，椭圆越扁。

6.直线与椭圆的位置关系

1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式?来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。

2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。 7.椭圆方程的求解方法

1.要学会运用待定系数法来求椭圆方程，即设法建立,a b 或者,e c 中的方程组，要善于抓住条件列方程。

先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为12222=+b y a x （0a b >>）或22

221

y x a b +=（0a b >>）；或者不必考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为

22

1x y m n

+= 或者 mx 2+ny 2=1 （0,0,m n m n >>≠），这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。 但是需要注意的是m 和n （或者

11

m n

和）谁代表2a ，谁代表2b 要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如：2

2

2

a b c =+，c

e a

=

等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。

2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析，即使画不出图形，思考时也要联想图形，注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。

【典型例题】 1、 椭圆的定义

例1、已知F 1(-8，0)，F 2(8，0)，动点P 满足|PF 1|+|PF 2|=16，则点P 的轨迹为( )

A 圆

B 椭圆

C 线段

D 直线

2、椭圆的标准方程

例2、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6； (2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)； (3) 经过点(5，1)，(3，2) 3、离心率

例3、椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

-=>>的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________ 4、最值问题

例4、椭圆

2

21

4

x

y

+=两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____

5、直线和椭圆

例10、已知直线l:y=2x+m，椭圆C：

22

1

42

x y

+=，试问当m为何值时：

(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点.

双曲线

一、知识点讲解

（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；

（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：

（3）双曲线的渐近线：

①求双曲线12

2

22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b

±=。

②与双曲线122

22=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ；

（4）等轴双曲线为2

222

1.注意定义中“陷阱

问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为 2.注意焦点的位置： 问题2：双曲线的渐近线为x y 2

3

±

=，则离心率为 【典型例题】 1.定义题：

1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

2.如图2所示，F 为双曲线116

9:

2

2=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称， 则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27

3. P 是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则2

1F PF ?的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -

（B ）b -

（C ）c -

（D ）c b a -+

2.求双曲线的标准方程

1.已知双曲线C 与双曲线162

x －4

2y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．

2.已知双曲线的渐近线方程是2

x

y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；

3.与渐近线有关的问题

1若双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）

A.2

B.3

C.5

D.2

3.焦点为（0，6），且与双曲线12

22

=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）

A ．124

1222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．112242

2=-y x

4.过点（1，3）且渐近线为x y 2

1

±=的双曲线方程是 4.几何

1.设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的

面积为（ ） A ． B ．12 C. D ．24

5.求弦

1.双曲线12

2

=-y x 的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）

A. 12-=x y

B. 22-=x y

C. 32-=x y

D. 32+=x y

抛物线

知识点1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．

知识点2．抛物线的标准方程和几何性质

标准方程

y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞

0)

x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点 O (0,0)

对称轴 y ＝0

x ＝0

焦点 F ? ??

??p 2

，0 F ? ??

??－p 2

，0 F ?

??

??0，p 2 F ? ??

??0，－p 2

离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p 2

x ＝p 2

y ＝－p 2

y ＝p 2

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

开口方向

向右

向左

向上

向下

焦半径(其中

P (x 0，y 0)

|PF |＝x 0＋p

2

|PF |＝－x 0＋p

2

|PF |＝y 0＋p

2

|PF |＝－y 0＋p

2

【典型例题】

例1设P 是抛物线y 2

＝4x 上的一个动点．

(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．

变式练习1．

(1)若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．

(2)过抛物线y 2

＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |等于________． 变式练习2．

（1）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )

A ．18

B ．24

C ．36

D ．48 变式练习3．

1.已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2

＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，求k 的值．

【归纳总结】

4个结论——直线与抛物线相交的四个结论

已知抛物线y 2

＝2px (p >0)，过其焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下结论：

(1)|AB |＝x 1＋x 2＋p 或|AB |＝2p

sin 2

α

(α为AB 所在直线的倾斜角)； (2)x 1x 2＝p 2

4；

(3)y 1y 2＝－p 2；

(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为

2p.

3个注意点——抛物线问题的三个注意点

(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程．

(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．

(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

─a x a，─b y b|x| a，y R x0