九上(学生)-相似三角形讲义

第1讲相似图形与成比例线段

【学习目标】

1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。

2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。

【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。

【学习难点】成比例线段概念。

【学习过程】

知识点一：比例线段

定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两

条线段的比，如果a c

b d

=，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线

段，简称比例线段。

例：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？

解：

练习一：

1、如图所示：（1）求线段比AB

BC、

CD

DE、

AC

BE、

AC

CD

（2）试指出图中成比例线段

2、线段a、b、c、d的长度分别是30mm、2cm、0.8cm、12mm判断这四条线段是否成比例？

3、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？

4、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是___________

5、已知线段a=1

2

、b =23

+、c=23

-、若

a c

b x

=，则x=_________若()0

b y

y

y c

=>，

则y =__________

6、下列四组线段中，不成比例的是 （ ）

A a=3 b=6 c=2 d=4

C a=4 b=6 c=5 d=10

知识点二：比例线段的性质

比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下： （1） 基本性质：如果

a c

b d

=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形

b d a

c =、a b c

d =、c d a b

= （2） 合比性质：如果

a c

b d =，那么a b

c

d b d

±±= （3） 等比性质：如果

a c e

m b d f

n

====()0b d f n ++++≠，那么

a c e m a

b d f n b

++++=+++

+ 例2 填空： 如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b

-=

练习二： 1、已知35a b =，求a b

a b

+- 2、若

234a b c ==，则23a b c a

++=_________

3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ）

A

m x n y

= B

m n y x

= C

y m x n

= D

x y n m

= 4、已知570x y -=，则

x

y

=_______ 5、已知

345

x y z

==，求x y z x y z +++-=________

第2讲平行线分线段成比例

【学习目标】

1.理解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”表示相似三角形， 如△ABC ∽ △C B A ''';

2. 知道相似多边形的主要特征

3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。 【学习重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别。 【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征进行相关的计算。

【学习过程】

知识点三：平行线分三角形两边成比例线段

(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5.分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?

(2) 问题，AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF ．强调“对应线段的比是否相等”

(3) 归纳总结：

平行线分线段成比例定理 三条_________截两条直线，所得的_______________

。

应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线；

4）例1 如图、若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出

EK

KF

= =_____、 AB

AC

= =______。 求FK 的长?

[活动2]平行线分线段成比例定理推论

思考：1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（1），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

A

B C

E

K

F

2、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

3、任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的

3、 归纳总结：

平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的 线段 。

例1:如图在ABC ?中,90C ∠=?，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长 解：

例2如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．

分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角

形的性质，有AC AE

AB AD =

，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据

AB

AD

BC DE =求出DE 的长． 解：

[巩固练习]

1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD 和BD.

2．如图，在□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长．

[能力提升]

1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．

2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．

[归纳]判定三角形相似的（预备）定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，

常作平行线构造三角形与已知三角形相似．

练习2： 1、 如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，

DE ⊥AC 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.求AB 的长

2、在ABC ?中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）AG

AF

；（2）AC 的长

3、 如图：在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =

4

3

，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________

4、 如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________

5、 如图：在ABC ?中，90C ∠=?，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：

DF 的比值。

6、在ABC ?中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果2

3

AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长。

7．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值； （2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．

8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h．(设网球是直线运动)

第3讲相似多边形

【学习目标】

1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】相似多边形的主要特征与识别。

【学习难点】运用相似多边形的特征进行相关的计算。 【学习过程】

[探究研讨]

[活动1]观察，图27.1-4(1)中的△A 1B 1C 1是由正△ABC 放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？

知识点四：相似多边形

1、 相似形定义：具有 的图形称为相似形

2、 相似多边形：对应角 ， 的多边形叫相似多边形

3、 相似多边形的性质：

○

1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等 反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 3．【结论】：

（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．

反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中

若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．

1

11111C A AC

C B BC B A AB == 则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似

（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．

问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？

结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形．

[例题解析]

例1、（选择题）下列说法正确的是（ ）

A ．所有的平行四边形都相似

B ．所有的矩形都相似

C ．所有的菱形都相似

D ．所有的正方形都相似

分析：A 中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A

错；B 中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B 错；C 中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C 也错；D 中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D 说法正确，因此此题应选D ．

例2、如图：已知，四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似，求B C ''，C D ''长和D ∠大小

解：

巩固练习1

1．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地

的实际距离．

2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？

3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．

4如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．

27.1-6

5

练习2：

1、下列说法正确的是 （ ） A 任意两个菱形一定相似

B 任意两个矩形一定相似

C 有一个角是30?的两个等腰三角形相似

D 任意两个等腰直角三角形一定相似

2、已知26AOB ∠=?，在放大镜里看到的AOB ∠的度数是___________

3、在ABC ?中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是

4、用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大10倍后，下列说法正确的是（ ）

A A ∠是原来的10倍

B 周长是原来的10倍

C 每个内角都发生了变化

D 以上说法都不对

5.四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长。

6.正五边形ABCDE ∽正五边形A B C D E '''''，且

2AB

A B =''

，若6C D ''=，则CD ＝＿＿＿ ○

2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方 例5：如图：在等腰梯形ABCD 中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形A B C D ''''与它相似，相似比为3

2

，求等腰梯形A B C D ''''的周长及面积。 解： 练习3：

1、已知多边形A 与多边形B 相似，且多边形A 与多边形B 的周长比为1：3，则:B A S S ＝＿＿＿

2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个

多边形的周长为＿＿＿＿＿，若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是＿＿＿＿＿

3、两个相似多边形的最长边分别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长分别为＿

4、如果把一个12ｃｍ?21ｃｍ的矩形按相似比为3

4

进行变换，得到的新矩形的周长为＿＿

面积为＿＿＿＿

5、两个相似多边形一组对应边的长分别是3cm和4cm，它们的面积相差282

cm，求这两个多边形的面积分别是多少？

知识点五：相似三角形

1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2、相似三角形的判定方法：

（1）判定方法一：定义判定

（2）判定方法二：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似

例题6：如图：DE//BC，交AB于D、交AC于E，若AD：DB＝2：３，BC＝１５，求DE 的长

解：

练习题4：

1、如图：DE//BC，则图中________∽__________,理由是__________

2、如图：AB//EF//DC，则图中相似三角形有_______对，它们分别是________

3、如图：在ABC

?中，DE//BC，AD＝EC、BD＝1cm，AE＝4cm、BC＝5cm,求DE的长第2题图

第1题图

4、如图：AB//CD，OA：OD＝1：2，AB＝4cm，则CD的长为（）

A 2cm

B 6cm

C 8cm

D 10cm

5、如图：AB//CD，则图中有_______对相似三角形

第4课时相似三角形的判定

：

【学习目标】

1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的判定方法．的判定方法，

2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

【学习重点】掌握3种判定方法，会运用3种判定方法判定两个三角形相似。

【学习难点】

（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

【学习过程】 [知识回顾]

(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？ 探究研讨1 [活动1]

1、如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

2、可否用类似于判定三角形全等的SSS 方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？

[活动2]任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。

（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？ （2）探求证明方法．（已知、求证、证明）

如图27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，

A C CA

C B BC B A AB '

'=''=''， 求证△ABC∽△A ′B ′C ′ 证明 ：

【归纳】

三角形相似的判定方法1

如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．

判定方法2：如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=2

1

7，求AD 的长

解：

例题2：如图：BC 平分ABD ，AB ＝4、BD ＝10、BC ＝210，求证：△ABC ∽△CBD

证明：

三角形相似的判定方法3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简单说成：“两角对应相等，两个三角形相似”

A A’

C C’

B B’

若∠=∠∠=∠

A A

B B

''

，则??

ABC A B C

~'''

直角三角形相似判定方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。简单说成：斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。

C C’

A B

若：

AC

A C

AB

A B

''''

=则??

ABC A B C

~'''

例3.已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．

[巩固练习]

1 、填一填

（1）如图3，点D在AB上，当∠＝∠时，

△ACD∽△ABC。

（2）如图4，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足

条件，就可以使△ADE与原△ABC相似。

A

D

●

A

E

2.。判断ABC ?与A B C '''?是否相似并说明理由。

100A ∠=?

AB ＝5cm AC=15cm 100A '∠=? 4A B cm ''= 12A C cm ''= 3．下列说法是否正确，并说明理由．

（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；

（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．

4.在ABC DEF ??和中，30A ∠=?、AB ＝8cm 、AC=10cm 、DE=4cm 、DF=5cm 当______时△ABC ∽△DEF

5如图：正方形ABCD 中，P 是BC 上一点，且BP ＝3PC 、Q 是CD 的中点，则AQ

PQ

=____

6．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？

7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．

8.(1)如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2

=AD?AB，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理

由．

（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？

[能力提升]

1．如图，AB?AC=AD?AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．

2．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD?AD，求证：△ADC∽△CDP．

3 、在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝80°，∠C＝60°，∠A′＝80°，∠B′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？

4、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：

FD EF

BF AF ．

5.已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．

第5讲 相似三角形的性质

知识点六：相似三角形的性质：