《1.3.1圆幂定理》教学案2

《1.3.1圆幂定理》教学案

教学目标

1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解

决有关问题；

2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方

法；

3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的

观点的教育.

教学重点和难点

相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点.

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理

的内容.

2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系？

提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.

(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则P A·PB＝PC·PD.这便是我们学

过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：

一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有P A＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，C D是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)

二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有P A·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)

(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外

一点P，成为两条割线，则有P A·PB＝PC·PD，这就是我们学

过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)

(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋

转，使C，D两点在圆上逐渐靠

近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有P A·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)

(4)如果割线P AB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线P A.这时应有P A2＝PB2，可得P A＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)

至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.

3.启发学生理解定理的实质.

经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.

观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)

在图(1)中，P A·PB＝PC·PD＝PE·PF

＝(R-OP)(R+OP)

＝R2-OP2；