初中数学正比例函数练习题及答案
正比例函数习题
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一．选择题（每小题3分，共30分。）
1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（）
A．y=﹣2x2B．y=C．y=D．y=x﹣2
2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（）
A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5
3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（）
A．±2B．﹣2 C．D．
4．下列说法正确的是（）
A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系
B．三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系
C．y=中，y与x成反比例关系
D．
y=中，y与x成正比例关系
5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（）
A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（）
A．3B．﹣3 C．±3D．不能确定7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（）
A．k=2 B．k≠2C．k=﹣2 D．k≠﹣2 8．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项
中k值可能是（）
A．1B．2C．3D．4
9．如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k
1x、y=k
2
x、
y=k
3x、y=k
4
x的图象分别为l
1
、l
2
、l
3
、l
4
，则下列关系中正确的是（）
A．k
1＜k
2
＜k
3
＜k
4
B．k
2
＜k
1
＜k
4
＜k
3
C．k
1
＜k
2
＜k
4
＜k
3
D．k
2
＜k
1
＜k
3
＜k
4
10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（）A．B．C．D．
二．填空题（每小题3分，共27分。）
11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为_________ ．
12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= _________ ．
13．写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：_________ ．
14．请写出直线y=6x上的一个点的坐标：_________ ．
15．已知正比例函数y=kx（k≠0），且y随x的增大而增大，请写出符
合上述条件的k的一个值：_________ ．
16．已知正比例函数y=（m﹣1）的图象在第二、第四象限，则m的值为_________ ．
17．若p
1（x
1
，y
1
） p
2
（x
2
，y
2
）是正比例函数y=﹣6x的图象上的两点，且x
1
＜x
2
，则y
1
，y
2
的大
小关系是：y
1_________ y
2
．点A（-5，y
1
）和点B（-6，y
2
）都在直线y= -9x的图像上则y
1
__________
第9题
y
2
18．正比例函数y=（m﹣2）x m的图象的经过第_________ 象限，y随着x的增大而_________ ．19．函数y=﹣7x的图象在第_________ 象限内，经过点（1，_________ ），y随x的增大而_________ ．
三．解答题（43分）
20．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．（5分）
21．已知y+2与x﹣1成正比例，且x=3时y=4．（10分）
（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当y=1时，求x的值．
22．已知y=y
1+y
2
，y
1
与x2成正比例，y
2
与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y
与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．（10分）
23. 为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量()
x kW h g与应付饱费y（元)的关系如图所示。（1）根据图像，请求出当050
x
≤≤时，y与x的函数关系式。
（2）请回答:a、当每月用电量不超过50kW·h时，收费标准是多少?
b、当每月用电量超过50kW·h时，收费标准是多少? （10分）
24.已知点P（x，y）在正比例函数y=3x图像上。A（-2,0）和B（4,0），S
△PAB
=12. 求P的坐标。（8分）
2014年5月q2004q的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数表达式中，y是x的正比例函数的是（）
A．y=﹣2x2B．y=C．y=D．y=x﹣2
考点：正比例函数的定义．
分析：根据正比例函数y=kx的定义条件：k为常数且k≠0，自变量次数为1，判断各选项，即可得出答案．
解答：解：A、是二次函数，故本选项错误；
B、符合正比例函数的含义，故本选项正确；
C、是反比例函数，故本选项错误；
D、是一次函数，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．
2．若y=x+2﹣b是正比例函数，则b的值是（）
A．0B．﹣2 C．2D．﹣0.5
考点：正比例函数的定义．
分析：根据正比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可．
解答：解：由正比例函数的定义可得：2﹣b=0，
解得：b=2．
故选C．
点评：考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
3．若函数是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（）
A．±2B．﹣2 C．D．
考点：正比例函数的定义．
分析：根据正比例函数的定义列式计算即可得解．
解答：解：根据题意得，m2﹣3=1且2﹣m≠0，
解得m=±2且m≠2，
所以m=﹣2．
故选B．
点评：本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
4．下列说法正确的是（）
A．圆面积公式S=πr2中，S与r成正比例关系
B．三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a与h成反比例关系
C．y=中，y与x成反比例关系
D．
y=中，y与x成正比例关系
考点：反比例函数的定义；正比例函数的定义．
分析：根据反比例函数的定义和反比例关系以及正比例关系判逐项断即可．
解答：解：A、圆面积公式S=πr2中，S与r2成正比例关系，而不是r成正比例关系，故该选项错误；
B、三角形面积公式S=ah中，当S是常量时，a=，即a与h成反比例关系，故该选项正确；
C、y=中，y与x没有反比例关系，故该选项错误；
D、y=中，y与x﹣1成正比例关系，而不是y和x成正比例关系，故该选项错误；
故选B．
点评：本题考查了反比例关系和正比例故选，解题的关键是正确掌握各种关系的定义．
5．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是（）
A．正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系
B．圆的面积y（平方厘米）与半径x（厘米）的关系
C．如果直角三角形中一个锐角的度数为x，那么另一个锐角的度数y与x间的关系
D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵的树高度为y厘米
考点：正比例函数的定义．
分析：判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；
如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
解答：
解：A、依题意得到y=4x，则=4，所以正方形周长y（厘米）和它的边长x（厘米）的关系成正比例函．故本选项正确；
B、依题意得到y=πx2，则y与x是二次函数关系．故本选项错误；
C、依题意得到y=90﹣x，则y与x是一次函数关系．故本选项错误；
D、依题意，得到y=3x+60，则y与x是一次函数关系．故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx （k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）．
6．若函数y=（m﹣3）x|m|﹣2是正比例函数，则m值为（）
A．3B．﹣3 C．±3D．不能确定
考点：正比例函数的定义．
分析：根据正比例函数定义可得|m|﹣2=1，且m﹣3≠0，再解即可．
解答：解：由题意得：|m|﹣2=1，且m﹣3≠0，
解得：m=﹣3，
故选：B．
点评：此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
7．已知正比例函数y=（k﹣2）x+k+2的k的取值正确的是（）
A．k=2 B．k≠2C．k=﹣2 D．k≠﹣2
考点：正比例函数的定义．
分析：根据正比例函数的定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数可得k+2=0，且k﹣2≠0，再解即可．
解答：解：∵y=（k﹣2）x+k+2是正比例函数，
∴k+2=0，且k﹣2≠0，
解得k=﹣2，
故选：C．
点评：此题主要考查了正比例函数定义，关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
8．（2010?黔南州）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象如图所示，则在下列选项中k值可能是（）
A．1B．2C．3D．4
考点：正比例函数的图象．
专题：数形结合．
分析：根据图象，列出不等式求出k的取值范围，再结合选项解答．
解答：解：根据图象，得2k＜6，3k＞5，
解得k＜3，k＞，
所以＜k＜3．
只有2符合．
故选B．
点评：根据图象列出不等式求k的取值范围是解题的关键．
9．（2005?滨州）如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y=k
1x、y=k
2
x、y=k
3
x、y=k
4
x的图象分别
为l
1、l
2
、l
3
、l
4
，则下列关系中正确的是（）
A．k
1＜k
2
＜k
3
＜k
4
B．k
2
＜k
1
＜k
4
＜k
3
C．k
1
＜k
2
＜k
4
＜k
3
D．k
2
＜k
1
＜k
3
＜k
4
考点：正比例函数的图象．
分析：首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，
最后判断四个数的大小．
解答：解：首先根据直线经过的象限，知：k
2＜0，k
1
＜0，k
4
＞0，k
3
＞0，
再根据直线越陡，|k|越大，知：|k
2|＞|k
1
|，|k
4
|＜|k
3
|．
则k
2＜k
1
＜k
4
＜k
3
故选B．
点评：此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小．
10．在直角坐标系中，既是正比例函数y=kx，又是y的值随x的增大而减小的图象是（）A．B．C．D．
考点：正比例函数的图象．
分析：根据正比例函数图象的性质进行解答．
解答：解：A、D、根据正比例函数的图象必过原点，排除A，D；
B、也不对；
C、又要y随x的增大而减小，则k＜0，从左向右看，图象是下降的趋势．
故选C．
点评：本题考查了正比例函数图象，了解正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x 的增大而减小．
二．填空题（共9小题）
11．若函数y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，则m的值为 1 ．
考点：正比例函数的定义．
专题：计算题．
分析：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，根据正比例函数的定义即可求解．
解答：解：∵y﹦（m+1）x+m2﹣1是正比例函数，
∴m+1≠0，m2﹣1=0，
∴m=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了正比例函数的定义，属于基础题，关键是掌握：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
12．已知y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，则k= ﹣1 ．
考点：正比例函数的定义．
专题：计算题．
分析：让x的系数不为0，常数项为0列式求值即可．
解答：解：∵y=（k﹣1）x+k2﹣1是正比例函数，
∴k﹣1≠0，k2﹣1=0，
解得k≠1，k=±1，
∴k=﹣1，
故答案为﹣1．
点评：考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0．
13．（2011?钦州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．
考点：正比例函数的性质．
专题：开放型．
分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．
解答：解：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0），
∵此正比例函数的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x（答案不唯一）．
点评：本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y=kx（k≠0）中，当k＜0时函数的图象经过
二、四象限．
14．（2007?钦州）请写出直线y=6x上的一个点的坐标：（0，0）．
考点：正比例函数的性质．
专题：开放型．
分析：只需先任意给定一个x值，代入即可求得y的值．
解答：解：（0，0）（答案不唯一）．
点评：此类题只需根据x的值计算y的值即可．
15．（2009?晋江市质检）已知正比例函数y=kx（k≠0），且y随x的增大而增大，请写出符合上述条件的k的一个值：y=2x（答案不唯一）．
考点：正比例函数的性质．
专题：开放型．
分析：根据正比例函数的性质可知．
解答：解：y随x的增大而增大，k＞0即可．
故填y=2x．（答案不唯一）
点评：本题考查正比例函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大．
16．已知正比例函数y=（m﹣1）的图象在第二、第四象限，则m的值为﹣2 ．
考点：正比例函数的定义；正比例函数的性质．
分析：首先根据正比例函数的定义可得5﹣m2=1，m﹣1≠0，解可得m的值，再根据图象在第二、第四象限可得m﹣1＜0，进而进一步确定m的值即可．
解答：
解：∵函数y=（m﹣1）是正比例函数，
∴5﹣m2=1，m﹣1≠0，
解得：m=±2，
∵图象在第二、第四象限，
∴m﹣1＜0，
解得m＜1，
∴m=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：此题主要考查了一次函数定义与性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y=kx 的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
17．若p
1（x
1
，y
1
） p
2
（x
2
，y
2
）是正比例函数y=﹣6x的图象上的两点，且x
1
＜x
2
，则y
1
，y
2
的大
小关系是：y
1＞y
2
．
考点：正比例函数的性质．
分析：根据增减性即可判断．
解答：解：由题意得：y=﹣6x随x的增大而减小
当x
1＜x
2
，则y
1
＞y
2
的
故填：＞．
点评：正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x 的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
18．正比例函数y=（m﹣2）x m的图象的经过第二、四象限，y随着x的增大而减小．
考点：正比例函数的性质；正比例函数的定义．
专题：计算题．
分析：y=（m﹣2）x m是正比例函数，根据定义可求出m的值，继而也能判断增减性．
解答：解：∵y=（m﹣2）x m是正比例函数，
∴m=1，m﹣2=﹣1，即y=（m﹣2）x m的解析式为y=﹣x，
∵﹣1＜0，
∴图象在二、四象限，y随着x的增大而减小．
故填：二、四；减小．
点评：正比例函数y=kx，①k＞0，图象在一、三象限，是增函数；②k＜0，图象在二、四象限，是减函数．
19．函数y=﹣7x的图象在第二、四象限内，经过点（1，﹣7 ），y随x的增大而减小．
考点：正比例函数的性质．
分析：y=﹣7x为正比例函数，过原点，再通过k值的正负判断过哪一象限；当x=1时，y=﹣7；又k=﹣7＜0，可判断函数的增减性．
解答：解：y=﹣7x为正比例函数，过原点，k＜0．
∴图象过二、四象限．
当x=1时，y=﹣7，
故函数y=﹣7x的图象经过点（1，﹣7）；
又k=﹣7＜0，∴y随x的增大而减小．
故答案为：二、四；﹣7；减小．
点评：本题考查正比例函数的性质．注意根据x的系数的正负判断函数的增减性．
三．解答题（共3小题）
20．已知：如图，正比例函数的图象经过点P和点Q（﹣m，m+3），求m的值．
考点：待定系数法求正比例函数解析式．
分析：首先利用待定系数法求得正比例函数的解析式为y=﹣2x．然后将点Q的坐标代入该函数的解析式，列出关于m的方程，通过解方程来求m的值．
解答：解：设正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）．
∵它图象经过点P（﹣1，2），
∴2=﹣k，即k=﹣2．
∴正比例函数的解析式为y=﹣2x．
又∵它图象经过点Q（﹣m，m+3），
∴m+3=2m．
∴m=3．
点评：此类题目考查了灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点Q的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
21．已知y+2与x﹣1成正比例，且x=3时y=4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y=1时，求x的值．
考点：待定系数法求正比例函数解析式．
专题：计算题；待定系数法．
分析：（1）已知y+2与x﹣1成正比例，即可以设y+2=k（x﹣1），把x=3，y=4代入即可求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令y=1即可求得x的值．
解答：解：（1）设y+2=k（x﹣1），把x=3，y=4代入得：4+2=k（3﹣1）
解得：k=3，
则函数的解析式是：y+2=3（x﹣1）
即y=3x﹣5；
（2）当y=1时，3x﹣5=1．解得x=2．
点评：此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
22．已知y=y
1+y
2
，y
1
与x2成正比例，y
2
与x﹣2成正比例，当x=1时，y=5；当x=﹣1时，y=11，求y
与x之间的函数表达式，并求当x=2时y的值．考点：待定系数法求正比例函数解析式．
分析：设y
1=kx2，y
2
=a（x﹣2），得出y=kx2+a（x﹣2），把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得出方程组，
求出方程组的解即可，把x=2代入函数解析式，即可得出答案．
解答：解：设y
1=kx2，y
2
=a（x﹣2），
则y=kx2+a（x﹣2），
把x=1，y=5和x=﹣1，y=11代入得：，
k=﹣3，a=2，
∴y与x之间的函数表达式是y=﹣3x2+2（x﹣2）．
把x=2代入得：y=﹣3×22+2×（2﹣2）=﹣12．
点评：本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
正比例函数与一次函数知识点归纳
正比例函数与一次函数 知识点归纳 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的 直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0);
4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b （k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限；
(完整版)初中数学反比例函数知识点及经典例题
反比例函数 、基础知识 k ..…............................................ k 1. 正义：一般地，形如y -（k为常数，k o）的函数称为反比例函数。y - x x 还可以写成y kx 1 2. 反比例函数解析式的特征： ⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做 比例系数k），分母中含有自变量x ,且指数为1. ⑵比例系数k 0 ⑶自变量x的取值为一切非零实数。 ⑷函数y的取值是一切非零实数。 3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法 ①列表（应以。为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数） ②描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线） .._ .. .. ._ .. … k. ⑵反比例函数的图像是双曲线，y - （k为常数，k 0）中自变量x 0, x 函数值y 0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐 靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y x或y x）。 .. .. ................................. k .... 一… ... . .. ...................... k ⑷反比例函数y - （ k 0）中比例系数k的几何怠义是：过双曲线y - x x （k 0）上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为|k。 4. 5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点 的坐标即可求出k 6. “反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数 一 .一 .. ...... ... k ..
一次函数与正比例函数练习题目
1.下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） A.222 -=x y B.11+= x y C.2x y = D.22 1 +-=x y 2. 下列函数中，是正比例函数，且y 随x 增大而减小的是（ ） A.14+-=x y B. 6)3(2+-=x y C. 6)2(3+-=x y D. 2 x y -= 3.直线63+=x y 与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） 4.直线111b x k y +=与直线222b x k y +=交y 轴于同一点.则1b 和2b 的关系是（ ） A. 1b 大于2b B. 1b 小于2b C. 1b =2b D.不能确定 5.一根蜡烛长20cm 点燃后每小时燃烧5cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为（ ） 6.平分坐标 轴夹角的直线是（ ） A.1+=x y B.1+-=x y C.1-=x y D.x y -= 7．下面两个变量是成正比例变化的是 ( ) A ． 正方形的面积和它的边长． B ． 变量x 增加,变量y 也随之增加; C ． 矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长． D ． 圆的周长与它的半径． 8．已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y= - 1 2 x+2上， 则y 1 与y 2大小关系是 ( ) A ． y 1 > y 2 B ． y 1 = y 2 C ．y 1 < y 2 D ． 不能比较 9．下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是 （ ） x y o A x y o B x y o D x y o C
10．直线y=kx ＋b 经过一、二、四象限,则k 、b 应满足 ( ) A ． k>0, b<0 B ． k>0, b>0 C ． k<0, b<0; D ． k<0, b>0 11．关于函数12+-=x y ，下列结论正确的是 （ ） A ．图象必经过点（﹣2，1） B ．图象经过第一、二、三象限 C ．当2 1 > x 时，0 思维导图在初中数学复习课中的应用探究 【摘要】学会思维是新时代对教育提出的要求,成为一个有思维的人是新时代对人才提出的要求,可见思维发展的重要性。中学教育作为基础教育,数学学科又是培养人思维的主要学科之一,因此研究如何在数学复习教学中提高学生的思维能力是具有重要价值的。思维导图是一个开发思维的有效工具,将其引入中学数学教学,可以很好地激发学生的思维,从而促进学生的思维发展。结合中学生的年龄特征和中学数学教材内容螺旋式的安排特点,将思维导图引入中学数学复习课堂,利用思维导图的绘制提高学生的数学复习能力,这里数学复习能力的提高包括数学思维能力、自我梳理知识、构建知识框架的能力以及单元测试成绩的提高。思维导图和中学数学复习课堂的结合,将复习课上学生的复习思维过程可视化,以供教师指导、学生交流,可以说是提高中学生数学综合素质的有效途径。本文基于思维导图的理论，通过教学实践，对思维导图在数学复习课中的应用进行了有益的探究。 【关键词】思维导图;数学;复习课 一、思维导图概念 思维导图是20世纪60年代英国人托尼·巴赞创造的一种笔记方法，与传统的直线记录方法完全不同。思维导图以直观形象的图式建立起各概念之间的联系，它往往是从一个主要概念开始，随着思维的不断深入，逐步建立的一个有序的发散的图。它是对思维过程的导向和记录。[1]思维导图是一种强大的图形技术，这种技术为开发大脑潜能提供了一种通用的工具。从知识表示的能力看，思维导图呈现的是一个思维过程，是知识和思维过程的图形化表征，学习者可以通过思维导图迅速掌握整个知识架构，从而有利于直觉思维的形成、促进知识的迁移。[2]思维导图很好地体现了建构主义学习理论，在教育教学中产生了积极的影响。 二、中学数学复习课教学的现状 我国中学数学教学虽然是在不断改革，不断更新教学理念中，但就其现状来看，很多课堂教学只是停留于形式上的改革，没有从其根本改变传统课堂模式。重目标轻能力，重记忆轻思维，重灌输轻启发的现状仍然存在，学生的合作、创新意识薄弱，只是一味地进行数学题练习，应付考试，分数提高了却没有获得数学思维，同时还对数学失去了兴趣， 反比例函数知识点整理 一、 反比例函数的概念 1、解析式：() 0≠= k x k y 其他形式：①k xy = ②1 -=kx y 例1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-=（3）xy ＝21（4）25+=x y （5）x y 23-=（6）31 +=x y 例2.当m 取什么值时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数？ 例3．函数2 2 )12(--=m x m y 是反比例函数，且它的图像在第二、四象限， m 的值是_____ 例4．已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5 （1） 求y 与x 的函数关系式 （2）当x ＝－2时，求函数y 的值 2.反比例函数图像上的点的坐标满足：k xy = 例1．已知反比例函数的图象经过点（m ，2）和（-2，3）则m 的值为 例2．下列函数中，图像过点M （-2，1）的反比例函数解析式是( ) x y A 2.= 2 .B y x =- x y C 21.= x y D 21.-= 例3.如果点（3，－4）在反比例函数k y x =的图象上，那么下列各点中，在此图象上的 是（ ）A .（3,4） B . （－2，－6） C .（－2，6） D .（－3，－4） 例4.如果反比例函数x k y =的图象经过点（3，－1），那么函数的图象应在（ ） A ． 第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限 二、反比例函数的图像与性质 1、基础知识 0>k 时，图像在一、三象限，在每一个象限内，y 随着x 的增大而减小； 0 正比例函数与一次函数 教学目标 掌握函数的概念，函数解析式中自变量与因变量的意义，熟悉一次函数与正比例函数。 重难点分析 重点：1、函数的概念； 2、正比例函数的概念与表达式； 3、一次函数的概念与表达式； 4、函数与坐标平面内点的关系。 难点：1、正比例函数、一次函数的判别； 2、自变量、函数值、点的坐标的关系。 知识点梳理 1、常量与变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值不发生变化的量为常量。 2、函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意： （1）在某一变化过程中有两个变量x与y。 （2）这两个变量互相联系，当变量x取一个确定的值时，变量y的值就随之确定。 （3）对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的一个值与它对应，如在关系式y2＝x(x＞0)中，当x＝9时，y对应的取值为3或－3，不唯一，则y不是x的函数。 3、函数的三种表示形式： （1）列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做列表法。 （2）图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系，这种表示函数的方法叫做图象法。（3）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法。 4、函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b．即当x＝a时，y＝b，那么b叫做自变量x的值为a时的函数值。 5、一次函数：若两个变量x,y间的关系式可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数。特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数。 思维导图在初中数学教学中的应用 摘要：初中数学与小学数学存在明显的区别，更多地关注对学生逻辑性、空间架构能力的培养。在初中数学课堂教学开展过程中，将思维导图运用其中，是目前提高学生想象力、创造力，培养学生逐渐形成自己知识体系的有效途径。只有这样，学生才能真正构建属于自己的思维导图，利用所掌握的学习方法，自主探索数学科学知识。 关键词：初中数学；逻辑性；空间架构能力；思维导图；想象力；创造力 所谓思维导图，是指从思维清晰化原理引导教学活动开展，是目前应用最为有效的一种教学手段，对教学活动的开展产生积极的影响。思维导图的应用，使学生逐渐形成良好的思维方法，不断优化学习过程，进而形成良好的思维能力。在初中数学教学阶段，教师任务的开展是为了培养学生的思维模式、开放性认识结构。而思维导图的应用正是迎合了这一重要的需求，符合初中生的思维特点，不仅活跃了初中生的思维，还为未来的学习打下了坚实的基础。 一、运用思维导图记笔记 在初中数学知识讲解过程中，学生记笔记往往都是传统的记录方法，结合教学内容、教师所讲授的重要知识点进行机械的复制，并没有对知识点之间进行总结和联系。而且 学生所记录的知识内容没有重点和难点之分，往往找不到教师所讲述的重要内容。有些学生甚至无法区分，只要讲的都全部收纳到笔记当中，最后笔记也不翼而飞。这样记录笔记的缺点就是学生不会主动思考问题，往往产生思维的惰性，只是为了记笔记而记笔记，失去了记录笔记的重要意义。 但是，思维导图记录笔记的话则不然。只要用简单的符号或者图形将知识内容进行重点记录，然后通过自己的逻辑思维方式将知识点连接起来，这就使原有的知识与新学的知识形成了一套完整的知识体系，以便于学生自我总结和梳理教学知识内容。一方面，免去了繁琐地记笔记内容，学生跟得上教师的节奏，适当地思考，从而产生自己的点滴想法。另一方面，学生通过思考分析，也锻炼了学生的思维能力。如果课下学生再利用短暂的时间将内容进行重新规划，岂不是又一次对教学内容的进一步巩固？ 二、鼓励学生构建自己的思维导图 思维导图应用于初中数学教学过程中，并不是能使所有的学生都能产生较好的教学效果。对于那些思维能力较差的学生往往会产生较大的问题，而思维能力较好的学生可能会做得更好。新课改实施背景下，初中数学教学任务开展的目标关注在学生的思维能力以及创造能力等综合素质能力的提升上。为了迎合新课改实施标准，就必须采用新方法、新理念，引导学生掌握数学知识、独立自主探索求知，逐渐 最新初中数学反比例函数图文解析 一、选择题 1．如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3BO，OB在x轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋 转至△RtA'OB'，其中点B'落在反比例函数y=﹣2 x 的图象上，OA'交反比例函数y= k x 的图象 于点C，且OC=2CA'，则k的值为（） A．4 B．7 2 C．8 D．7 【答案】C 【解析】 【详解】 解：设将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至Rt△A'OB'的旋转角为α，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B′的坐标为（acosα，﹣asinα），点C的坐标为（2asinα，2acosα）， ∵点B'在反比例函数y=﹣2 x 的图象上， ∴﹣asinα=﹣ 2 acosα ，得a2sinαcosα=2， 又∵点C在反比例函数y=k x 的图象上， ∴2acosα= k 2asinα ，得k=4a2sinαcosα=8. 故选C. 【点睛】 本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为α，利用旋转的性质和三角函数设出点B'与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可. 2．下列函数中，当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而减小的是（） A．y＝x2B．y＝x C．y＝x+1 D． 1 y x 【答案】D 【解析】 【分析】 需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x＞0时，y随x的增大而减小的函数．【详解】 解：A、y＝x2是二次函数，开口向上，对称轴是y轴，当x＞0时，y随x的增大而增大，错误； B、y＝x是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而增大，错误； C、y＝x+1是一次函数k＝1＞0，y随x的增大而减小，错误； D、 1 y x =是反比例函数，图象无语一三象限，在每个象限y随x的增大而减小，正确； 故选D． 【点睛】 本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 3．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y b x =（b≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的 图象大致是（） A．B． C．D． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】 A、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的右侧，则a，b异号，即 b<0．所以反比例函数y b x =的图象位于第二、四象限，故本选项错误； B、抛物线y＝ax2+bx开口方向向上，则a>0，对称轴位于y轴的左侧，则a，b同号，即 《正比例函数与一次函数》知识点归纳 《正比例函数》知识点 一、表达式：y=kx （k≠0的常数） 二、图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1，k）的直线； 说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kx”； 三、性质特征： 1、图像经过的象限: k>0时，直线过原点，在一、三象限； k<0时，直线过原点，在二、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 四、成正比例关系的几种表达形式: 1、y与x成正比例：y=kx (k≠0); 2、y与x＋a成正比例：y=k(x＋a) (k≠0); 3、y＋a与x成正比例：y＋a=kx (k≠0); 4、y＋a与x＋b成正比例：y＋a= k(x＋b) (k≠0); 《一次函数》知识点 一、表达式：y=kx+b（k≠0, k, b为常数） 注意：（1）k≠0,自变量x的最高次项的系数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 二、图像： 一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像是：一条经过（-，0）和（0，b）的直线。 说明：（1）一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）的图像也叫做“直线y=kx+b”； （2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-，0）； 直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）. 三、性质特征： 1、图像经过的象限： （1）、k>0，b>0时，直线经过一、二、三象限； （2）、k>0，b﹤0时，直线经过一、三、四象限； （3）、k﹤0,b>0时，直线经过一、二、四象限； （4）、k﹤0, b﹤0时，直线经过二、三、四象限； 2、增减性及图像走向： k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； 3、一次函数y=kx+b （k≠0, b≠0）中“k和b的作用”： （1） k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向 k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低； k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高； （2）∣k∣的作用：∣k∣决定直线的倾斜程度 ∣k∣越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大； 初中数学反比例函数真题汇编含答案 一、选择题 1．如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积(mL)V 与气体对气缸壁产生的压强(kPa)P 的关系可以用如图所示的函数图象进行表示，下列说法正确的是（ ） A ．气压P 与体积V 的关系式为(0)P kV k => B ．当气压70P =时，体积V 的取值范围为70 思维导图在初中数学课堂中的应用 思维导图在初中数学课堂中的应用 摘要：近年来，思维导图在初中数学课堂中得到了广泛应用，研究其相关课题有着重要意义。本文首先介绍了思维导图的价值及意义，指出了要运用思维导图展示时的整体性，以及运用思维导图笔记时的优越性，最后结合相关实践经验，阐述了思维导图研究对初中数学教学的几点启发，希望本文的研究，有助于相关教学工作的实践。 关键词：思维导图；初中数学；课堂；应用 一、前言 作为能够有效提升初中数学课堂教学效果的方法之一，思维导图的关键地位不言而喻。该项课题的研究，将会更好地提升对思维导图的分析与掌控力度，从而通过合理化的应用措施与方法，进一步优化初中数学课堂教学的最终整体效果。 二、思维导图的价值及意义 1、作为教的策略，思维导图能改变学生的学习方式，切实提高教学效果。学生要展示思维导图，课前则必然要去温习以前的学习内容或预习后续学习内容，并根据知识内容确定题目、内容。这时，不仅需要学生去温习、预习，或去查阅相应的数学资料，更要学生对所学内容进行思考斟酌、 整合提炼，然后创作出自己独特的思维导图。这正是我们所极力提倡的自主学习。思维导图展示与点评时，展示同学与其他同学、老师之间是一个交往互动的过程，是一个合作交流与学习的过程。 2、作为学的策略，思维导图能促进学生的有意义学习，全方位发展学生素质。思维导图帮助学生整合知识，建构知识网络，浓缩知识结构，从而使学生从整体上把握知识。它的绘制过程就是学生提炼知识、分析问题、解决问题的过程，学生从中既能感受到创作的愉悦，也能享受到学习的乐趣。学生通过演讲展示，不仅锻炼了胆量，展示自己的才华，增强自信，而且更能激发学生积极向上的人生态度，提高自己的语言表达和演讲水平。 3、作为一种元认知策略，思维导图能提高学生的自学能力、思维能力和自我反思能力。思维导图允许学生自由联想，不像传统的思维方式那样遵从概念进行“线性思维”，而是按照大脑思维的结构进行放射性的“网状思维”，这就极大地促进了学生的想象力和创造力。绘制成功的思维导图是学生所面对主题的一个全景图，它涉及该主题的各个层面。 三、运用思维导图展示时的整体性 以往大家在展示时，所用的板书大都是纲要式的，依据教材的内容或者是知识点的递进进行罗列，虽然可以看到知 求反比例函数解析式的六种方法 名师点金： 求反比例函数的解析式，关键是确定比例系数k的值．求比例系数k的值，可以根据反比例函数的定义及性质列方程、不等式求解，可以根据图象中点的坐标求解，可以直接根据数量关系列解析式，也可以利用待定系数法求解，还可以利用比例系数k的几何意义求解．其中待定系数法是常用方法． 利用反比例函数的定义求解析式 1．若y＝(m＋3)xm2－10是反比例函数，试求其函数解析式． 利用反比例函数的性质求解析式 2．已知函数y＝(n＋3)xn2＋2n－9是反比例函数，且其图象所在的每一个象限内，y随x的增大而减小，求此函数的解析式． 利用反比例函数的图象求解析式 3．【2017·广安】如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝m x的图象在第一 象限交于点A(4，2)，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝6. (1)求函数y＝m x和y＝kx＋b的解析式． (2)已知直线AB 与x 轴相交于点C ，在第一象限内，求反比例函数y ＝m x 的图象上一点P ，使得S △POC ＝9. (第3题) 利用待定系数法求解析式 4．已知y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，若函数y ＝y 1＋y 2的图象经过点(1，2)，??? ?2，12，求y 与x 的函数解析式． 利用图形的面积求解析式 5．如图，点A 在双曲线y ＝1x 上，点B 在双曲线y ＝k x 上，且AB ∥x 轴，C ，D 两点在x 轴上，若矩形ABCD 的面积为6，求点B 所在双曲线对应的函数解析式． (第5题) 6．某运输队要运300 t物资到江边防洪． (1)求运输时间t(单位：h)与运输速度v(单位：t/h)之间的函数关系式． (2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 h之内运到江边，则运输速 度至少为多少？ 思维导图在初中数学教学的应用 ——以《平行四边形章末复习》一课为例 凯里市第十二中学姜宗倩 摘要：在这个知识和信息的时代，让学生具备学习的愿望、兴趣和方法，比记住一些知识更为重要。学生面对无限的知识和有限的时间，知识学得越多，笔记记得越多，思维反而更加混乱。探索学生学习的最佳方式和途径，使学生达到最佳的学习效果和能力培养。通过寻找知识之间的联系，制作出一种有效的思维工具——思维导图，思维导图能促进建构性学习和知识整合，从而提高学习和生活的效率。本文以人教版八年级下册第18章平行四边的章末复习一课为例，阐述思维导图在课堂中的应用，并分享学生因思维导图的建构性思维和有趣性吸引，主动地积极参与课堂中。 关键词：数学教学学生思维导图平行四边形 一、思维导图在数学教学的必要性 在中学数学教学实践中，学生经常出现这些现象： （一）、课堂知识听得懂，课后知识记不住。 （二）、课堂知识能理解，课后练习不会做。 （三）、熟悉题型能解决，陌生题型无从入手 这些现象凸显出学生学到的数学知识比较零散，学生没有进行知识整合，没有建立知识体系，不能灵活地运用所学知识和技能，同时学生的建构思维能力还有待提高。在新课程背景下，教师如何引导学生理清各知识之间的逻辑关系并且能够自主整合知识，建构有机的知识体系呢？在教学实践中，笔者发现思维导图是教师开展教学的一种较好的教学手段。 思维导图,也称心智图。由20世纪70年代被称为“世界记忆之父”的英国著名学习方法研究专家东尼·博赞所创造的一种思维模式和学习方法。思维导图通过捕捉和表达发散，思维导图能够将大脑内部零乱、枯燥的信息运用图文并用的方式，把各级主题的关系用相互隶属与相关的层级图表现出来，使用线条、图形、颜色、词汇、符号等元素有序的、条理清晰的可视化图表呈现出来，从而充分开发大脑潜能，极大激发人们的创造能力。它既可呈现知识网络，也可以呈现思维过程。基于思维导图可以让学生在绘制导图的过程将知识点梳理整合和强化巩固，这样的学习过程能很好的体现了建构主义理论的理念，在教育教学中会产生积极的影响。思维导图在教学方面的使用可以帮助老师迅速了解学生的思维动态，并对教学策略作出调整，使教学更有 人教版初中数学反比例函数知识点 一、选择题 1．如图，一次函数1y ax b =+和反比例函数2k y x = 的图象相交于A ，B 两点，则使12y y >成立的x 取值范围是( ) A ．20x -<<或04x << B ．2x <-或04x << C ．2x <-或4x > D ．20x -<<或4x > 【答案】B 【解析】 【分析】 根据图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的自变量的取值范围即可. 【详解】 观察函数图象可发现：2x <-或04x <<时，一次函数图象在反比例函数图象上方， ∴使12y y >成立的x 取值范围是2x <-或04x <<， 故选B ． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数综合，函数与不等式，利用数形结合思想是解题的关键. 2．如图，直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y ＝k x 的图象在第一象限相交于点C ．若AB ＝BC ，△AOB 的面积为3，则k 的值为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 【答案】C 【解析】 【分析】 设OB ＝a ，根据相似三角形性质即可表示出点C ，把点C 代入反比例函数即可求得k ． 【详解】 作CD⊥x轴于D， 设OB＝a，(a＞0) ∵△AOB的面积为3， ∴1 2 OA?OB＝3， ∴OA＝6 a ， ∵CD∥OB， ∴OD＝OA＝6 a ，CD＝2OB＝2a， ∴C(6 a ，2a)， ∵反比例函数y＝k x 经过点C， ∴k＝6 a ×2a＝12， 故选C． 【点睛】 本题考查直线和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，会运用相似求线段长度是解题的关键． 3．已知点A（﹣2，y1），B（a，y2），C（3，y3）都在反比例函数 4 y x 的图象上，且﹣ 2＜a＜0，则（） A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据k＞0，在图象的每一支上，y随x的增大而减小，双曲线在第一三象限，逐一分析即可． 【详解】 ∵反比例函数y=4 x 中的k=4＞0， 第五章 相交线与平行线 思维导图 ?????????????????? ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????作图基本性质定义平移错误的命题假命题—公理，定理—正确的命题真命题—命题—命题与定理角互补、两直线平行，同旁内相等、两直线平行，内错角相等、两直线平行，同位角性质线平行、同旁内角互补，两直平行、内错角相等，两直线平行、同位角相等，两直线判定，则，推论：若已知直线平行，有且只有一条直线与公理：经过直线外一点平行公理”表示的两条直线平行，用“—在同一平面内不相交—定义平行线同旁内角内错角同位角三线八角所截两条直线被第三条直线垂直对顶角邻补角两条直线相交相交线线行平与线交相)()(321321//////a //)(c a c b b 第六章 实数 思维导图 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????相同法则、运算律与有理数实数的运算性质、运算、倒数与有理数相同实数的相反数、绝对值性质及运算负无理数正无理数 无理数负有理数正有理数有理数分类实数—用定义和计算器求—求法的立方根是负数的立方根是负数正数的立方根是负数性质定义立方根（开立方）—用定义和计算器求—求法的平方根是负数没有平方根它们互为相反数正数的平方根有两个，性质定义平方根双重非负性负数没有算术平方根的算术平方根是的算术平方根是正数性质定义算术平方根平方根（开平方）实数0000000a a 《反比例函数的图象和性质》 教学目标： (一)教学知识点 1.进一步巩固作反比例函数的图象. 2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质. (二)能力训练要求 1.通过画反比例函数图象，训练学生的作图能力. 2.通过从图象中获取信息.训练学生的识图能力. 3.通过对图象性质的研究，训练学生的探索能力和语言组织能力. (三)情感与价值观要求 让学生积极投身于数学学习活动中，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论，不仅使他们记忆犹新，还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动，不仅能使学生学到知识，还能使他们互相增进友谊. 教学重点：通过观察图象，概括反比例函数图象的共同特征，探索反比例函数的主要性质. 教学难点：从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质. 教学方法：教师引导学生类推归纳概括学习法. 教具准备：多媒体课件 教学过程： Ⅰ.创设问题情境，引入新课 [师]上节课我们学习了画反比例函数的图象，并通过图象总结出当k ＞0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内；当k ＜0时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y=x 4与y=-x 4 的图象的异同点. 这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的. 我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时，还研究了当k ＞0时，y 的值随x 的增大而增大，当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小，即函数值随自变量的变化而变化的情况，以及函数图象与x 轴，y 轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质. Ⅱ. 新课讲解 1.做—做 [师]观察反比例函数y= x 2，y=x 4,y=x 6 的形式，它们有什么共同点? [生]表达式中的k 都是大于零的. [师]大家的观察能力非同一般呐! 下面再用你们的慧眼观察它们的 图象，总结它们的共同特征. (1)函数图象分别位于哪几个象限? (2)在每一个象限内，随着x 值的增大.y 的值是怎样变化 的?能说明这是为什么吗？ (3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗?可能与y 轴相 交吗？为什么？ [师]请大家先独立思考，再互相交流得出结论. [生](1)函数图象分别位于第一、三象限内. (2)从图象的变化趋势来看，当自变量x 逐渐增大时， 函数值y 逐渐减小. (3)因为图象在逐渐接近x 轴,y 轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x 轴y 轴相交. [师]大家同意他的观点吗? [生]不同意(3)小的观点. [师]能解释一下你的观点吗？ [生]从关系式y ＝ x 2 中看,因为x≠0，所以图象与y 轴不可能能有交点； 人教版初中数学反比例函数真题汇编及答案 一、选择题 1．已知1122(,),,)A x y B x y （均在反比例函数2 y x =的图像上，若120x x <<，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y << C ．120y y << D ．210y y << 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可作出判断． 【详解】 解：∵反比例函数2 y x = 中k=2＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵0＜x l ＜x 2， ∴点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）均在第一象限， ∴0＜y 2＜y l ． 故选：D ． 【点睛】 此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象的增减性是解题的关键． 2．ABC ?的面积为2，边BC 的长为x ，边BC 上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三角形面积公式得出y 与x 的函数解析式，根据解析式作出图象进行判断即可． 【详解】 根据题意得 1 22 xy = ∴4y x = ∵00x y >>， ∴y 与x 的变化规律用图象表示大致是 故答案为：A ． 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象问题，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 3．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y b x =（b ≠0）与二次函数y ＝ax 2+bx （a ≠0）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b 的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案． 【详解】 A 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向上，则a>0，对称轴位于y 轴的右侧，则a ，b 异号，即 b<0．所以反比例函数y b x = 的图象位于第二、四象限，故本选项错误； B 、抛物线y ＝ax 2+bx 开口方向向上，则a>0，对称轴位于y 轴的左侧，则a ，b 同号，即 思维导图在初中数学教学中的应用 思维导图（Mind Mapping）由英国心理学家托尼·巴赞（Tony Buzen）于1970年提出，它作为一种新的思维模式，结合了全脑的概念，包括左脑的逻辑、顺序、条例、文字、数字及右脑的图像、想象、颜色、空间、整体等。思维导图不仅作为辅助思考的工具，贯穿大脑信息加工的各个阶段，同时作为处理知识及学习知识的有效的新方法，直接应用到知识学习过程中。实验证明：思维导图为学生提供了思考框架，其知识表征方式及过程对知识的表达与理解，与数学教学有共通之处，在数学教学中引入思维导图，发挥思维导图在预习、复习、笔记及小组合作学习中的作用，可以帮助学生构建完整有效的知识网络，提升逻辑思维能力。 一、思维导图在预习中的应用 课前预习是数学学习的重要环节，对多数学生而言，所谓数学预习，就是浏览教材内容，对教材有初步印象，这样的预习显然没有真正发挥作用。笔者尝试指导学生运用思维导图进 行预习，取得了较好的效果。 首先让学生在白纸的中央画一个椭圆，用一两个词写上本节内容的主要知识点，作为中央主题，然后从中央主题出发向外画分支（分支多少视内容而定），将每一小节的关键词填到主分支线上，当主分支线上还有更细小的分支时，则重复上述操作。在绘制草稿图形时，学生的大脑处于快速思考的状态，能在较短的时间里完成阅读。完成所有关键词填写后，接着在思维导图上做好相关的标记。例如，在各分支上用彩色笔标注上“已明白”、“有疑惑”、“完全不明白”等，也可以使用“√”、“×”、“?”等符号来标记。如图1所示即为学生预 习实数时的一幅思维导图。 用思维导图来进行预习的主要作用，是帮助学生明确目标，在阅读时能够集中精神，在短时间内把握住阅读内容的要点，理顺自己的思路。同时，标记的使用能让学生在听课时有的放矢，提高听课效果。另外，通过检查学生的思维导图，教师能够迅速找到学生对该内容的思维障碍点，确定重点与难点，使讲课更加有针对性和实效性，真正做到因材施教。如图1所示，教师可以明确学生对无理数的概念的理解存在盲点，如何将无理数精确地表示在数轴上，理解实数与数轴上的点一一对应，这些都是教师在教学中要突破的。 二、思维导图在复习中的应用 课后复习是巩固知识、提高运用知识解决问题的能力的重要环节。学生对运用思维导图这种方式进行复习总结都表现出一定的兴趣。在复习中，首先，学生独立对整章知识进行总结，根据自己的理解，理清数学概念、规律及其区别、联系，区分重点难点，画出思维导图。其次，教师批阅学生交上来的作品，把握学生对整个章节知识的掌握情况，同时对其在思维导图中体现的思维错误进行一定程度的修改。第三，在复习课堂上抽取部分典型的作品，先由大家讨论该思维导图的优劣，进行补充与深化，最后教师进行总结与提升，由于初中生的思维水平有限，教师的提高主要是将本章知识与已有知识进行联系，将新知识融入已有的知识体系中，形成知识网络，便于提取。各章、各单元间不是孤立的，而是互相联系的，让学生自己找出联系，把所有的思维导图编织成自己的知识网，整个过程也是其乐无穷的。图2即为学生学完直角三角形全等后，将直角三角形的知识与已有的三角形全等的知识相结合绘制的思维导图，加强了对课程内容的整体认识，形成了一个清晰的知识框架。 除了按章节复习之外，还可以按照知识分类复习，如函数知识，分一次函数、反比例函数、二次函数三个主要分支，每个主要分支再细分为函数概念、函数图像、函数性质及应用等，这样当思维导图完成时，学生也有了一个十分清晰的函数知识框架。 三、学生运用思维导图记笔记 人教版初中数学反比例函数经典测试题附答案 一、选择题 1．如图，正方形OABC 的边长为6，D 为AB 中点，OB 交CD 于点Q ，Q 是y ＝k x 上一点，k 的值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．24 【答案】C 【解析】 【分析】 延长根据相似三角形得到:1:2BQ OQ =，再过点Q 作垂线，利用相似三角形的性质求出 QF 、OF ，进而确定点Q 的坐标，确定k 的值． 【详解】 解：过点Q 作QF OA ⊥，垂足为F ， OABC Q 是正方形， 6OA AB BC OC ∴====，90ABC OAB DAE ∠=∠=?=∠， D Q 是AB 的中点， 1 2 BD AB ∴=， //BD OC Q ， OCQ BDQ ∴??∽， ∴ 1 2 BQ BD OQ OC ==， 又//QF AB Q ， OFQ OAB ∴??∽， ∴ 22 213 QF OF OQ AB OA OB ====+， 6AB =Q ， 2643QF ∴=? =，2 643 OF =?=， (4,4)Q ∴， Q 点Q 在反比例函数的图象上， 4416k ∴=?=， 故选：C ． 【点睛】 本题考查了待定系数法求反比例函数、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形性质求出点Q 的坐标是解决问题的关键． 2．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数 k y x = (x>0)的图象经过顶点B ，则k 的值为 A ．12 B ．20 C ．24 D ．32 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ， ∵点C 的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4. ∴根据勾股定理，得：OC=5. ∵四边形OABC 是菱形，∴点B 的坐标为（8，4）.思维导图在初中数学复习课中的探究
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