5第五节函数的最值及其在经济学中的应用
函数的最值和导数在经济中的应用
2021/11/6
第一页，共32页。
3.4.1 函数(hánshù)的最值
(1) 定义
我们知道，连续函数 f (x)在闭区间[a, b] 上一定存在最大值 和最小值，且最大值和最小值只可能在区间(a, b) 内的极值点和
端点处得到．因此可直接求出一切可能的极值点（驻点及个别不 可导点）和端点处的函数值，比较这些数值的大小，即可得出函 数的最大值和最小值。
在点
x
处可导，称极限 lim y x0 x
y 为函数 f (x) x
的弹性函数，记为 E(x) ，即
E(x) lim y x f (x) x
x0 x y
f (x)
第二十五页，共32页。
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用
3.4.3 导数在经济(jīngjì)分析中的应用 3.弹性(tánxìng)函数
边际成本(chéngběn)的定义
设成本函数 C C(q) 可导（其中C 表示总成本， q 表示产量），
则其边际函数C C(q)称为边际成本函数，简称边际成本。C(q0 )
称为当产量为 q0时的边际成本。
其经济意义为：当产量达到 q0 时，如果增减一个单位产品，
则成本相应增减 C(q0 )个单位。是 f(x) 在[a, b]上的最小值，
如右图所示。
a
第九页，共32页。
y
f(x0) o
x0
bx
3.4 函数的最值与 导数在经济中的应用
3.4.1 函数(hánshù)的最值 (3) 举例
例１
求函数 f (x) 2x3 18x2 30x 4 在[0, 3]上的最值。
解： 因为 f (x) 6x2 36x 30 6(x 1)(x 5) 令 f (x) 0, 得驻点 x1 1, x2 5（不合题意舍去）
函数的最值在经济学中的应用
函数的最值在经济学中的应用【摘要】在经济学领域中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，怎样使“产品的质量最好”、“成本最低”、“效率最高”、“利润最大”、“用时最短”等问题。
这类问题在高等数学中可以归结为：求出某一函数的最大值或最小值。
本文主要介绍函数的最值在经济学中的应用。
【关键词】函数；最大值；最小值；应用引言在经济学领域中，我们常常会遇到这样的问题：如何使得生产的产品最多？成本最低？怎样才能使利益最大？效率最高？这类问题在数学上有时可以归结为：在一定条件下，怎样求某一函数的最大（小）值。
本文结合自己多年来的教学研究情况，从以下几个方面进行论述：一、函数的最值根据自变量的取值范围，分为以下两种情况：1.函数在闭区间连续根据闭区间上连续函数的性质可知：连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。
最大（小）值可能取在区间的内部，也可能取在区间的端点。
2.函数在开区间连续如果函数在一个开区间内可导且有唯一的极值点，那么当是极大值时，就是在该区间的最大值；当是极小值时，就是在该区间内的最小值。
在实际应用中，如果函数在某区间内只有一个驻点或导数不存在的点，并且根据问题本身又可以知道在该区间内一定有最大（小）值，那么就是所求的最大（小）值。
二、经济应用问题举例1.容积最大例1 将边为a 的正方形四角截去四个相等的小正方形然后折成一个无盖的盒，问小正方形边长为多少时能使盒的容积最大？解如图，设所截小正方形的边长为，则折成的盒子的体积为：，令，得驻点，有最大值为.2.成本最小例2 设某厂每批生产某种产品个单位的总成本函数为，（其中为大于0的常数），问每批生产多少单位时，使平均成本最小？并求最小平均成本和相应的边际成本。
解：平均成本为，，，，所以，每批生产个单位时，平均成本最小。
即最小平均成本等于其相应的边际成本。
3.利润最大例3 某产品的成本函数为（元），需求函数为，问产品数量和价格分别是多少时，该产品的利润最大？并求出最大利润。
函数最值及应用分析
函数最值及应用分析在数学中，函数最值是指一个函数在定义域内取得的最大值或最小值。
这个概念具有广泛的应用，从经济学到工程学，从物理学到生物学都可以见到它的影子。
本文将讨论函数最值的基本概念以及在实际应用中的一些例子。
一、基本概念在开始分析函数最值前，我们需要先了解一些基本概念。
首先，对于一个函数f(x)，它的定义域指的是所有满足函数定义的x的取值范围。
例如，对于f(x) = x²，在实数范围内的所有x都可以作为定义域的取值。
其次，函数最值又分为最大值和最小值。
在定义域内，如果函数取得的最大值是M，那么我们可以写成：f(x) ≤ M ，其中x属于定义域。
类似地，如果函数取得的最小值是m，那么我们可以写成：f(x) ≥ m，其中x属于定义域。
最后，我们需要了解一些求解最值的方法。
对于一些简单的函数，我们可以通过手动计算来求解最值。
例如，对于f(x) = -x² +2x + 3，在定义域内的最大值为4，最小值为1。
但对于更复杂的函数，手动计算是不现实的，我们需要借助计算机的帮助。
二、实际应用1.经济学在经济学中，函数最值的应用非常广泛。
例如，一个企业想要在成本最小的情况下取得最大的利润，就需要通过分析成本和收入函数来求解最值。
特别地，对于生产函数，最值的求解可以帮助企业确定最优的生产量。
2.物理学在物理学中，函数最值的应用也很常见。
例如，对于一些物理问题，我们需要求解物体运动的最高点、最远距离等等。
这些问题都可以用函数最值来求解。
此外，函数最值还可以被用于求解能量、时间等物理量。
3.医学在医学中，函数最值的应用涵盖了多个领域。
例如，在生物制药中，由于某些药品的效果和副作用是受剂量影响的，因此需要通过分析剂量-效果和剂量-副作用函数来确定最佳的治疗方案。
此外，函数最值还可以被用于优化医疗资源配置、预测疾病流行等等。
三、结论函数最值是一个重要的数学概念，在实际应用中扮演着重要的角色。
我们需要了解函数最值的基本概念，以及如何应用它来求解各种问题。
高等数学课件5第五节(2)函数的最大值最小值ppt
例7. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x2 围成一个 曲边三角形, 在曲边 y x2 上求一点, 使曲线在该 点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形 面积最大．
解: 如图,
y
设所求切点为P( x0, y0 ),
解: 设A点到水面的垂直距离为AO h1,
B点到水面的垂直距离为BQ h2 , OQ l. 设OP x,
则光线从 A 到 B 所需要的传播时间为 A
T( x) h12 x2 h22 (l x)2 , x [0, l]. h1
v1
v2
Ox P
T( x) 1 x 1 l x v1 h12 x2 v2 h22 (l x)2
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142, 最小值 f (1) 7.
例2. 求函数 f ( x) x2 3x 2 在 [3,4] 上的 最大值与最小值.
解:
x2 3x 2,
f
(
x)
x2
3
x
2,
x [3,1] [2,4] x (1,2).
解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 b2 ), b(0,d) 6
令 W 1 (d 2 3b2 ) b 1 d
6
3
从而有
2
h
d 2 b2
d 3
dh b
即
d :h:b 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求
结果就是最好的选择 .
A 若 f ( x0 ) 0 且 f ( x0 ) 0, 则 f ( x)在 x0(
函数的极值与最值
函数的极值与最值函数的极值与最值是数学中一个重要的概念，它帮助我们了解函数在特定区间内的最大值和最小值，对于解决实际问题和优化函数的性能具有重要意义。
在本文中，我们将探讨函数的极值和最值的概念、求解方法以及其在实际问题中的应用。
1. 函数的极值与最值概述函数的极值指的是函数在某个区间内取到的最大值或最小值。
极大值是指函数在该点的函数值大于或等于该点邻近的其他点的函数值，而极小值则是指函数在该点的函数值小于或等于该点邻近的其他点的函数值。
函数的最大值和最小值则是函数在整个定义域内取到的最大和最小的函数值。
2. 求解函数的极值与最值为了求解函数的极值与最值，我们可以采用以下方法：2.1 导数法对于可导的函数，我们可以通过求导来找到函数的极值。
首先，我们计算函数的导数，然后求解导数为零的点，即可得到函数的极值点。
通过求二阶导数，我们可以进一步判断该点是极大值还是极小值。
2.2 边界法如果函数在一个闭区间上连续，我们可以通过计算该区间的边界点和函数在这些点上的函数值，来找到函数的最值。
比较边界点上的函数值，即可得出函数的最大值和最小值。
3. 函数极值与最值的应用函数的极值与最值在实际问题中有广泛的应用。
以下是几个例子：3.1 经济学在经济学中，函数的极值与最值可以用来优化生产效益、成本最小化和利润最大化的问题。
例如，一个公司可以通过求解该公司的生产函数的最大值，来确定最优的生产量和工人数量。
3.2 物理学在物理学中，函数的极值与最值可以用于研究运动的轨迹、优化物体的能量和速度等问题。
通过求解物体的加速度函数或能量函数的极值，可以找到物体在特定条件下的最优运动轨迹。
3.3 工程学在工程学中，函数的极值与最值可以用于设计和优化工程系统。
例如，通过求解某个系统的效率函数的最大值，可以找到系统的最佳工作点，从而提高工程系统的性能和效益。
总结：函数的极值与最值是数学中的重要概念，它们帮助我们优化函数和解决实际问题。
经济学专业数学函数的极值与最大值、最小值配套课件
说明：
由定理 1 可知： 1、 可导函数的极值点必为驻点。 2、 函数的驻点（Stagnation Point）不一定为极值 点. 3、 驻点和导数不存在的点是函数可能的极值 点。
下面给出判断极值点的两种不同方法.
2017年4月14日星期五
4
3.第一充分条件
（The First Sufficient Condition）
2017年4月14日星期五 10
4.第二充分条件
（The Second Sufficient Condition
定理 3（第二充分条件） 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ．则
（1）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大值；
（2）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极小值；
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明；
注 2：当 f ( x0 ) 0 时，本定理失效！
例如，函数 f ( x) x3 时，本定理失效！
2017年4月14日星期五 11
解题步骤：
（1）求出 f ( x), 并求出 f ( x) 全部驻点；
2017年4月14日星期五 15
3 2 例 4 求函数 y x x 6 x 2 在闭区间 [2, 1] 的最 2 大值与最小值.
3
函数的导数为 y 3x2 3x 6 3( x 2)( x 1) ， 令 y 0 ， 在 闭 区 间 [2, 1] 内 ， 函 数 的 驻 点 为 ： x1 1 ，函数无不可导点 . 3 3 当 x 2 时， y (2) (2) 2 6 (2) 2 4; 2 3 3 3 2 当 x 1 时， y (1) (1) 6 (1) 2 ; 2 2
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
最值与导数在经济领域中的应用
一、最值的概念
函数 f (x) 在区间 [a,b] 上的最大值 或最小值在函数的极大（小）值
点处达到，或在 x a 、 x b
区间的端点、处取得，而函数的 极值点可能出现在驻点或导数不 存在的点．
x
二、求函数最值实训
实训1求函数 f (x) 3x4 4x3 12 x2 1 在 [3,3]上的最大值和最小值.
实训9[供给弹性] 设某商品的供给函数为 S( p) 2 2 p ， 求价格为 p 5 时的供给价格弹性并 解释其经济含义．
(4)产量为100吨时，总成本的变化率 (边际成本).
实训7【产品收入】设某产品的 需求函数为 q 100 5 p ,求边际 收入函数，以及当 q 20 、50和 70时的边际收入．
实训8[需求弹性] 设某商品的需求函数为 Q 3 000ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0.02p， 求价格为100时的需求弹性并解释其 经济含义．
最小值．
实训4【公寓租金】某公司有50套公寓 要出租，当租金定为每月180元时，公 寓会全部租出去，当租金每月增加10元 时，就有一套租不出去，而租出去的房 子每月需花费20元的维修费，问房租定 为多少时可获得最大收入？
实训5【产品的最大利润】
设某产品的价格与需求的关系 为 p 250 0.3q ，总成本函 数 C(q) 100q 1800（元），求当 产量和价格分别是多少时，该 产品的利润最大，并求最大利 润。
其中表示某种产品市场消费量的税率的百分 数，为市场消费量合价（单位：万元），求 消费量为多少时税收最多？并求出最大税收
实训3【产品的产量】设某产品的总成本 函数为 C(q) q3 9q2 30q 25 ， 其中 C
高数第三章第五节极值与最值
令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
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400 x 又
5 k y 3 ) , ( k 为某一常数 ) 2
400
2 32 x )
(400 所以 x 15 为唯一的
结束
例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 问矩形截面
R( x ) 0
x 350 （唯一驻点）
(2) 类似可证 .
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例2. 求函数 解: 1) 求导数
的极值 .
f ( x) 6 x ( x 2 1) 2 ,
f ( x) 6 ( x 2 1)(5 x 2 1)
2) 求驻点 令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
3 2
在闭区间
且
1 2
5 2
x0 (2 x 9 x 12 x) , 1 4 3 2 51 2 x 9 x 12 x , 0 x 4 2
2
f ( x) x (2 x 2 9 x 12) x1 0 (导数不存在), x2 1, x3 2
x0 6 x 18 x 12 6( x 1)( x 2) , 1 4 f ( x) 2 5 0 x 6 ( x 1 )( x 2 ) , 6 x 18 x 12 2
(9) 4 2 12 81 96 0
2 2 5 故函数在 取最小值 0 ; 0 9 x 12 0在 x 1及 2 取最大值 5. x 2x
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函数的最值及应用、边际与弹性
答：（略）
3.最大利润问题
例4
某工厂在一个月生产某产品q件时, 总成本费为
2 C(q ) 5q 200 （万元）得到的收入 R ( q ) 10q 0.01q（万元）， ,
问一个月生产多少产品时，所获利润最大？最大利润是多少？
解： 利润为
L(q) R(q) C (q)
10q 0.01q 2 5q 200 5q 0.01q 2 200
例1
1 求函数f ( x) x 4－2 x 2＋ 在[ , 2]上的最大值与最小值 1 2
解：
f ( x) 4 x3 4 x 4 x( x 1)( x 1))
令f ( x) 0
得驻点x1 1 x2 0，x3 1
1 x1 1 [ , 2] 舍去 2
q 20时L取得唯一的极大值即最大值 L(20) 30
答：（略）
练习二
1. 某厂生产某种产品，其固定成本为3万元，每生产 一百件产品，成本增加2万元.其收入（单位：万元） R 1 2 是产量（单位：百件）的函数：R 5q q , q 2 求达到最大利润时的产量.
2. 设某厂每天生产某种产品q单位时的总成本函数为 C (q) 0.5q 2 36q 9800, 问每天生产多少单位的产品时，其平均成本最低.
表示生产第50个产品后，再生产一个产品追加的成本为17.5
练习三
设某产品的需求函数为q 100 5 p, 求（1）边际收入函数； （2）求q 20、 和70时的边际收入，并说明其经济意义. 50
1 解： q 100 5 p, p (100 q ), 5 1 收入函数为：R(q ) pq (100 q ) q 5 1 边际收入函数为：R(q ) (100 2q ) 5 R(20) 12, R(50) 0, R(70) 8 当销售量即需求量为20个单位时，再增加销售可使总收入增加，再多销 售一个单位产品，总收入约增加12个单位；当销售量为50个单位时，再增加 销售，总收入不会再增加；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产 品，反而使总收入大约减少8个单位.
函数最值知识点总结
函数最值知识点总结函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。
在数学中，函数最值是一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数的极值点和函数的最大值和最小值。
本文将对函数最值的相关知识点进行总结，包括定义、性质、求解方法等内容。
一、函数最值的定义函数最值是指在一个定义域内，函数取得的最大值和最小值。
例如，对于函数f(x)，如果存在一个实数x1，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤f(x1)，那么f(x1)就是函数f(x)在定义域D上的最大值。
类似地，如果存在一个实数x2，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥f(x2)，那么f(x2)就是函数f(x)在定义域D上的最小值。
二、函数最值的性质1. 如果函数f(x)在定义域D上有最大值或最小值，那么它一定是在D的边界上取得的。
2. 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且在内部有一点c使得f(c)是最值，那么f(c)一定是函数f(x)在区间[a,b]内的最大值或最小值。
3. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么必须是一个有界函数。
4. 如果函数f(x)在定义域D上存在最值，那么它必定有一个最大值和一个最小值。
三、求解函数最值的方法1. 利用导数对于一元函数f(x)，我们可以通过求解导数f'(x)来找到函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解出导函数f'(x)=0的解，即导数为0的点；（3）将解代入原函数f(x)中，求出相应的函数值；（4）比较函数值，得出最大值和最小值。
2. 利用二次函数的性质对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，我们可以通过二次函数的性质来找到函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求出二次函数的顶点坐标（-b/2a,f(-b/2a)）；（2）根据a的正负来判断最值点的情况：a）若a>0，函数有最小值，最小值为f(-b/2a)；b）若a<0，函数有最大值，最大值为f(-b/2a)。
4.6 函数最值及其在经济中的应用(代修改稿)
解 (1) f (x)在[2，2]上连续,
(1 x)e x , x 0
(2)
f
( x)
不存在，x
0
(1
x)e x
,
x
0
(3) 令 f ( x)＝0, 解之得驻点为 x 1.
(4) 驻点和一阶导数不存在的点处的函数值分别为
1. 平均成本最小
设企业的总成本函数为 C = C(Q)
平均成本函数为
C C(Q) Q
若企业以平均成本最小为目标函数来决策产量水平, 这就
是求平均成本函数的最小值问题.
假设在产量 Q = Q0 时, 平均成本达到最小, 则由极值存在的 必要条件, 有
dC dQ
Q Q0
QC(Q) C(Q) Q2
二. 实际问题的最值
解决实际问题最值的步骤: (1) 根据已知条件和要解决的问题, 引入变量, 将需要求最大 值或最小值的变量设为因变量, 把影响因变量的变量设为自变 量, 用适当的字母表示. (2) 建立目标函数, 确定自变量的取值范围． (3) 求出目标函数在自变量的取值范围上的最值． (4) 用所得的结果解释原问题．
点上达到. 注2 若ƒ(x)在某区间内仅有一个可能极值点x0, 则当 x0 为极
大(小)值点时, x0 就是该函数在此区间上的最大(小)值点;
2
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例2 证明：当x < 1时, 1 e x . 1 x
证 考虑函数 f ( x) 1 x e x , f ( x) 1 e x
高等数学-函数最值及其应用
6
本节内容
01 闭区间上连续函数的最值
02 最值在实际问题中的应用
7
02 最值在实际问题中的应用
在实际问题中求最值，需要先根据实际问题建立
一个目标函数，求得实际定义域，若函数()的定义
域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点，根据实
际问题的实际意义知最大值（或最小值）必存在，则
4
4
1
1
′
″
令 () = − + 7 = 0，解得 = 14，且 (14) = − < 0，
2
2
.
所以 = 14时利润最大.最大利润为(14) = 39（万元）.
13
02 最值在实际问题中的应用
注 在经济学中，总收入函数和总成本函数都可以表示为
产量（销量）的函数，分别记为()和()，则总
间的端点处取得.
4
01 闭区间上连续函数的最值
开区间内连续函数的最大值或最小值：
若函数()在开区间(, )内有唯一的极大值（或极小
值），则该极大值（或极小值）为函数()在开区间
(, )内的最大值（最小值）.
5
01 闭区间上连续函数的最值
1
3
例2 求函数() = ( 2 − 1) + 1的最值．
令 ′ () = 0，得驻点1 = 1 ， 2 = 3.
因为 (1) = 11，(3) = 7，(−1) = −9，(5) = 27.
比较可得，()在[−1,5]上的最大值为(5) = 27，最小
值为(−1) = −9.
注 若函数()在闭区间[, ]上有单调性，则最值在区
的小正方形边长为4cm时，做出的铁盒容积为最大.
《函数的最值》课件
在电子工程中，电路设计是至关重要的环节。电路中的电压、电流和功率等参数需要在一定范围内保持稳定，以 满足电路的正常工作需求。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问题，找到最优的电路 参数配置。
在工程设计中的应用
结构设计
在工程设计中，结构设计是至关重要的环节。结构设计需要考虑各种因素，如载荷、材料、工艺等， 以确保结构的强度、刚度和稳定性。这需要利用函数最值的概念，通过建立数学模型和求解最优化问 题，找到最优的结构设计方案。
对于一些函数，其值域可能没有上界或下界，例 如y=x^2在x<0时。
无界函数的最大值和最小值
对于无界函数，其最大值和最小值可能不存在， 或者存在于特定的边界点。
3
无界函数的性质
无界函数的图像通常会呈现出“爆炸”的特性， 即随着x的增大或减小，y的值也会迅速增大或减 小。
函数最值的几何意义
一元函数最值的几何意义
供需平衡
在经济学中，供需关系是决定市场价格的重要因素。生产商 和销售商需要预测市场需求和供应量，以制定合理的价格策 略。这需要利用函数最值的概念，通过分析供需函数，找到 使利润最大化的价格和产量。
在物理中的应用
弹性力学
在物理中，弹性力学是研究物体在外力作用下发生形变和内部应力的学科。在弹性力学中，物体在不同外力作用 下的形变程度和内部应力分布可以通过函数最值的概念来描述。例如，在求解弹性体的最大形变或最小应变时， 需要用到函数最值的概念。
01
判断导数的正负，确定函数
的单调性
02
03
确定函数的极值点
04
05
比较极值点与区间端点的函 数值，得出最值
利用函数的单调性求最值
确定函数的单调区间
微积分4.5函数最值及其在经济中的应用
例 某厂年需某种零件 8000个, 现分期分批外购, 然后
均匀投入使用(此时平均库存量为批量的一半). 若每次定
货的手续费为40元, 每个零件的库存费为4元.试求最经济
的定货批量和进货批数.
解 设每年的库存费和定货的手续费为C, 进货的批数为
x,
则批量为
8000 x
个,
且
C C( x) 8000 1 4 40x 16000 40x
2 即 Q 5 (4 t)是使商家获得最大利润的销售量.
2
(2) 由(1)的结果知,政府税收总额为
T tQ 5 (4 t)t 10 5 (t 2)2
2
2
18
显然当 t = 2时, 政府税收总额最大. 但须指出的是: 为了使商家在纳税的情况下仍能获得最大利润, 就应使
Q = 5/2(4 – t) > 0
在本小节的讨论之前, 先对下面所涉及的经济函数作如下 的假定: 设函数 y = ƒ(x) 是定义在区间 I 上的函数, 且满足
(1) 函数 y = ƒ(x) 在区间 I 上可导; (2) 如果函数 y = ƒ(x) 在区间 I 上有最大(小)值; 则最大 (小)值点位于区间I 的内部.
10
1.平均成本最小
16
因此, MR = MC 是取得最大利润的必要条件. 例 某商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7– 0.2Q (万元/吨), 且 Q 为销售量(单位:吨), 产品的成本函数为
C(Q) = 3Q + 1 (万元)
(1) 若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家 获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大. 解 (1)当该商品的销售量为Q时, 商品销售总收入为
第五节函数的极值与最大最小值
(2) 最大值
M m f(x1),a f(x2), x ,f(xm), f (a), f (b)
最小值
m m f (x1), fi (x2n ),,f(xm), f (a), f (b)
特别:
• 当 f (x) 在 [a,b]内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小)值 , 则也是最大 (小)值 .
得
x0
ma mn
是区间唯一的驻点，
故 f ( x0 ) 为区间(0, a)之间的最大值
fma x f(m m n)a m m nn(m a n)m n
例7. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若 目 标 函 数 只 有 点,则 唯该 一点 驻的 函 数 值 即 为 所 求 的 最 小（ ）或 值最 ．
例8. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于
观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最
清楚(视角 最大) ?
例6. 设 x1是, x任2 意两正数，满足： x 1 x 2 a (a 0 )
求 x1m x2n 最大值。
解: 设 f (x) xm(ax)n
0xa
即求 f (x) 在 ( 0, a ) 内的最大值
f'(x ) x m 1 ( a x )n 1 [ m ( m a n )x ]令 f'(x)0
o
x0
x
求极值的步骤:
(1)给出定义域,并找出定义域内所给函数的驻点及连续不可导点; (2)考察这些点两侧导函数的符号,从而确定极值点; (3)求出极值点的函数值,即为极值.
函数的极值最值在经济中的应用
§1-6函数的极值、最值在经济中的应用在各个经济领域和工农业生产中，经常需要解决最优化的问题，这些问题在数学的领域里就是求极值和最值的问题.一.函数的极值设函数)(x f 在点0x 的某邻域)(0x U 内有定义, 如果对于任意)(0x U x ∈有 ))()()(()(00x f x f x f x f ><或,则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得极值的点称为极值点.如图4-1所示.图6-1由图4-1可以看出，在极值点出如果曲线的切线存在，则切线比与x 轴平行，此时切线的斜率为0.但是如果在某点的切线平行于x 轴，这一点不一定是极值点.在上述的分析基础上，我们给出函数极值的如下定理： 定理1(必要条件)设函数)(x f 在点0x 处可导, 且在0x 处取得极值,那么0)(0='x f .使0)(0='x f 的点称为驻点.驻点可能是函数的极值点，也可能不是函数的极值点. 定理2（极值判别法1）设函数)(x f 在点0x 的某邻域内连续且可导（但)(0x f '可以不存在）.（1）如果当0x x <时，0<')(x f ；当0x x >时，0>')(x f ，那么)(0x f 是)(x f 的极小值；（2）如果当0x x <时，0>')(x f ；当0x x >时，0<')(x f ，那么)(0x f 是)(x f 的极大值；（3）如果在点0x 的左右两侧（点0x 除外）的)(x f '同号，那么)(x f 在0x 处没有极值. 由定理2，有求函数)(x f 的极值点和极值的步骤： （1）求出函数)(x f 的定义域和)(x f '；（2）解方程0=')(x f ，求出函数的驻点和一阶导数不存在点；（3）判断上述两种点左右两侧的一阶导数的符号，根据定理2求出极值点和极值. 例1求函数321)()(-=x x f 的极值.解 （1）函数的定义域为),(+∞-∞，3323213211-='-='-='x x x x f ])[(])([)(（2）令0=')(x f ，无解；但1=x 时，一阶导数不存在. （3）用1=x 将整个定义域),(+∞-∞划分为两部分，列表讨论：由上表可知，函数)(x f 的极小值为01=)(f ，无极大值. 定理3（极值判别法2）设)(,)(000x f x f ''='存在 （1）如果00>'')(x f ，那么)(0x f 为)(x f 的极小值； （2）如果00<'')(x f ，那么)(0x f 为)(x f 的极大值； （3）如果00='')(x f ，那么定理失效. 例2求函数33x x x f -=)(的极值.解 x x f x x x x x x f 611333323-=''+-=-='-=')();)(()()( 令0=')(x f ，得1121-==x x ,.因为061<-='')(f ，所以21=)(f 为极大值； 因为061>=-'')(f ，所以41-=-)(f 为极小值；二.函数的最值 从几何的角度看，若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，必然有一个最高点和一个最低点，则函数)(x f 在闭区间],[b a 上一定有最大值和最小值，如图4.1所示.取得最小值的点称为最小值点，取得最大值的点称为最大值点.最大值和最小值统称为最值.极值和最值是不同的概念，极值是局部性概念，最值是全局性概念.若函数在一个闭区间上连续，最值既可能在区间内部取得，也可能在区间端点取得，而极值只能在区间内部取得.在一个区间里极大（小）值可以有多个，而最值则是唯一的，如果有最大（小）值则只有一个，但取得最值的点可以有多个.如图4.2所示.如果最值在区间内部取得，若是最大值则一定是极大值，若是最小值则一定是极小值.因此连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上的最值只可能在以下几种点取得：（1）驻点；（2）导数不存在的点；（3）区间端点.所以有求连续函数在闭区间],[b a 上的最值的一般解题步骤：（1）求出函数在),(b a 内的所有驻点和导数不存在的点； （2）求出函数在上述点对应的函数值和端点函数值)(),(b f a f ；（3）比较这些函数值的大小，其中最大（小）的则是函数在],[b a 上的最大（小）值. 例3 求196)(23-+-=x x x x f 在区间]3,0[上的最大值和最小值.解 )(x f 在]3,0[上连续，)3)(1(39123)(2--=+-='x x x x x f ，令0)(='x f ，得驻点3,121==x x ，没有导数不存在的点， 计算3)1(,1)0(=-=f f ，1)3(-=f ,比较各值得函数在]3,0[上的最大值和最小值：,1)3()0(min-===f f y图4-2 图4-33)1(max==f y .例4 求323)4(1)(-⋅-=x x x f 在]3,0[上的最大值和最小值.解)(x f 在]3,0[上连续，313231313232)4()1(2)4()1(32)4()1(31)(---=--+--='--x x x x x x x x f令0)(='x f ，得驻点：2=x ；有导数不存在的点：4,1==x x （舍去，因为4不属于]3,0[）；计算3332)3(,4)2(,0)1(,22)0(===-=f f f f比较各值得)(x f 在]3,0[的最小值和最大值：,22)0(3min -==f y3max4)2(==f y .在求最值时需要注意两点： （1）若)(x f 在],[b a 上单调，则)(a f 和)(b f 是最值；若)(x f 在),(b a 上单调，则无最值；（2）若可导函数)(x f 在一个区间I （有限或无限，开或闭）内只有一个驻点，并且0x 是)(x f 唯一的极值点，那么当)(0x f 时极大值时，)(0x f 就是)(x f 在区间I 上的最大值，当)(0x f 时极小值时，)(0x f 就是)(x f 在区间I 上的最小值.例5 求)1ln(2+=x y 在)2,1(-上的最大值和最小值. 解 函数)1ln(2+=x y在)2,1(-上连续，122+='x xy ，令0='y ，得0=x ，无导数不存在的点.0=x 将)2,1(-分成两个区间：)20()0,1(，、-.列表讨论导数的符号变化及函数值的情况：由上表可得：)(x f 在0=x 取得极小值，极小值为0)0(=y ，并且只有一个极小值，没有极大值，所以此极小值为最小值，因此函数)1ln(2+=x y 在)2,1(-上没有最大值，有最小值为0)0(=y .三.极值、最值在经济中的应用举例 1.收入最大化问题例6 某房产公司有100套公寓要出租，当每套公寓的租金定为每月200元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少每月可获得多少的最大收入？解 设每套公寓的月租金为x （),200(+∞∈x ）元， 则租出去的房子有： )10200(100--x 套， 因此每月的收入：)10200100)(20()(---=x x x R )10120)(20(xx --= 5122)(x x R -=' 令0)(='x R 得610=x (唯一驻点)，因为051)(<-=''x R ，故34810)610(=R 为唯一的极值，且为极大值，此极大值为最大值，所以每月每套公寓租金为610元时收入最高，最高为34810元. 2.利润最大化问题设某商品的销售量为q ，总收益函数为)(q R ，总成本函数为)(q C ，总利润函数为)(q L ，则有)()()(q C q R q L -=，令0)()()(='-'='q C q R q L ，有)()(q C q R '='最大利润原则：必要条件：边际收益=边际成本充分条件：边际收益的变化率<边际成本的变化率例7 某企业的某一产品的一个季度价格函数为60005.0+-=x p （元／件） （100000≤≤x ）该产品的总成本为40020001.0)(2++-=x x x C （元），问该企业该季度应生产多少件产品才能获得最大利润，最大利润是多少？解 该季度的收入函数：x x px x R 60005.0)(2+-==该季度的利润函数：40040004.0)()()(2-+-=-=x x x C x R x L40008.0)(+-='x x L ，令0)(='x L 得5000=x ，计算 400)0(-=L ，9600)5000(=L ，400)10000(-=L比较各值得9600)5000(=L 为最大值，所以该企业该季度生产5000件产品才能获得9600元的利润.3.成本最小化问题在经济生产中经常会遇到在一定的生产条件下，怎样生产才能使成本最低的问题.在现实中，随着产量的增加总成本肯定呈现的是上升趋势，只会越来越大，所以不可能会有最低的总成本，故成本最小化问题不是讨论总成本最低问题，而是讨论平均成本最小的问题.某产品的平均成本是产量q 的函数：qq C q C )()(=，即)()(q C q q C =，两边求导得： )()()(q C q q C q C '+='，因此有qq C q C q C )()()(-'='，令0)(='q C ，有)()(q C q C ='，即边际成本等于平均成本，这就是平均成本最小化的必要条件.在求实际问题中，如果存在最小的平均成本，并且驻点唯一，则在此点上可以取得最小的平均成本.例8 某工厂生产q 吨产品时的边际成本为20002.0)(+='q q C （元／吨），固定成本为1600元，问产量是多少时平均成本最低？解 生产q 吨的总成本函数：160020001.01600)20002.0()(2++=++=⎰q q dq q q C生产q 吨的平均成本函数：qq q q C q C 160020001.0)()(++==， 求导有2160001.0)(qq C -='，令0)(='q C ，有4,421-==q q （舍去）， 因为)0(,03200)(3>>=''q qq C ，所以04.600)4(=C 为极小值，且为唯一的极值，故04.600)4(=C 为最小值，因此产量是4吨时平均成本最低.习题１－４１.求下列函数在指定区间上或整个定义域内的最值 （1）36)(2++=x x x f ； （2）xxx f +=1)(； （3）xxe x f =)( [-2，0]； （4）12)(2--=x x x f [0，2].２.要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒，问怎样设计才能使所用材料最省？ ３.某商品的需求量q 是价格p 的函数：p q 260-=，问p 是多少时总收益最大？４.某企业一年生产q 件产品的总成本为2220)(q q q C +=（万元），得到的总收入为232020)(q q q R -=（万元），问该企业一年应该生产多少件产品才能达到最大利润？最大利润为多少？５.某电子公司在一个月内生产q 个某种型号的电子产品，估计边际收益：q q R 4.010)(-='，该公司生产和销售这种型号的电子产品的总成本为：q q C 220)(+= 求该公司在一个月内生产多少个该型号的电子产品才能使利润最大？６.设某商品的总成本函数为1004)(2+=q q C ，求使平均成本最小的产量水平及最小平均成本？７.某商品的平均成本为4)(=q C ，价格是销售量q 的函数，q p 210-=，国家向企业每件商品征税为 t ，问在企业取得最大利润的情况下，t 为何值时才能使总税收最大？习题答案1.（1）解：)(x f 的定义域为R ，62)(+='x x f ，令0)(='x f ，得3-=x ，无一阶导数不存在点，因为02)(>=''x f ，所以6)3(-=-f 为极小值，而没有极大值，因此此极小值为最小值.故在其定义域内有一个最小值为6)3(-=-f .（2）解：)(x f 的定义域为1-≠x0)1(2)1(222)1()1(2)1()2()(222>+=+-+=+'+-+'='x x x x x x x x x x f 所以)(x f 在其定义域内单调递增，无最值.（3）解：)1()(+='x e x f x，令0)(='x f ，得1-=x ，无一阶导数不存在点， 计算 12)1(,0)0(,2)2(---=-=-=-e f f e f ，比较上述值有：最大值为0)0(=f ， 最小值为1)1(--=-e f .（4）最小值：1)2()0(-==f f ；最大值：0)1(=f .2. 解： 要使材料最省，就是要罐头筒的总表面积最小.r ，高为h ，，底面积为，因此总表面积为)),0((22222∞+∈+===r r V r S r V h h r V πππ，所以有由体积公式)),0((0442,033∞+∈>+=''=='r r VS V r S ππ，又得令 。
第五节 二元函数极值-精选文档
2
注意：
(1)中的A换为C结论不变。
4
例1. 求函数 解:
的极值. f ( x , y ) x y 3 x 3 y 9 x
3 3 2 2
2 2 , 0 f x 3 y 6y 0 f 3 x 6 x 9 y 1 , 0 ), ( 1 , 2 ), ( 3 , 0 ), ( 3 , 2 ) 得驻点: ( , f 0 fyy 6 y 6 f xx 6 x 6 xy
(x (x, y)0 fx ,y) 0 , fy
称为函数 zf(x ,y)的驻点.
同时成立的点,
2
注意
1）偏导数存在的极值点一定是驻点 2）函数的驻点不一定是极值点
点( 0 ,0 )是驻点 ，但不是 极值点 。 ,y)xy 例 f(x
3）函数的极值点也可能是偏导数不存在的点。 例
f( x, y) x
第五节 二元函数的极值
一. 二元函数的极值 定义4.7 设函数 zf( x ,y )在点 P(x0, y0)某邻域内有定义,
对于该邻域内任一点 ( x , y ) , 若恒有不等式
1 ). f ( x , y ) f ( x , y )则称该函数在点 P 处有极大值 f (x0, y0) 0 0
A 12 , B 0 , C 6
5
B2 AC 3 ,2 )31 72 0 A0 , 有极大值 f(
步骤：
求函数
zf(x ,y )极值的方法和步骤.
fy ( 1 ) 求 f x，
（2）求出驻点( x0 , y0 ) （3）求出在驻点( x0 , y0 )处对应的二阶偏导数值A,B,C
函数最值的求解方法及应用
函数最值的求解方法及应用函数最值问题是数学中常见且重要的问题。
函数的最值包括最大值和最小值，通常涉及函数的图像及其性质。
本文将介绍几种常见的函数最值的求解方法，并通过实例说明其应用。
一、函数最值的求解方法1.导数法导数法是求函数最值的常用方法。
对于定义在闭区间[a,b]上的函数f(x)，其最值一定发生在函数的驻点或者区间的端点处。
-首先，求出f(x)的导数f'(x)。
-然后，求出f'(x)=0的解，即找到函数的驻点。
-最后，比较函数在驻点及端点处的取值，找到最大值和最小值。
2.二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），可以通过求导数的方法得到它的最值。
- 首先，求出f'(x)=2ax+b=0的解，即找到函数的驻点。
-如果a>0，则驻点为极小值点，此时f(x)的最小值为f(驻点)。
-如果a<0，则驻点为极大值点，此时f(x)的最大值为f(驻点)。
3.梯度下降法梯度下降法是一种可用于求解无约束最优化问题的迭代算法。
它的基本思想是通过迭代的方式逐步接近函数的最值。
-首先，选择任意一个起始点x_0。
-然后，根据函数的梯度(即导数的向量)，沿着梯度的反方向更新参数x。
-重复上述步骤，直到满足停止条件为止。
二、函数最值的应用1.经济学中的应用函数最值在经济学中有重要的应用。
例如，生产函数描述了产出与生产要素之间的关系，通过求函数最值可以确定生产要素的最佳配置方案，实现最大化的产出。
供求函数描述了市场上商品的供给和需求关系，通过求函数最值可以确定市场的平衡价格和数量。
2.优化问题的求解优化问题是数学中的一个重要分支，涉及到在一定约束条件下求解一些目标函数的最值。
例如，在资源有限的情况下，如何合理分配资源以最大化利润或最小化成本是一个常见的优化问题。
3.最大似然估计最大似然估计是概率统计中的一种参数估计方法，通过求解似然函数的最值来选择模型的参数。
似然函数描述了给定参数下观测数据出现的可能性，通过求似然函数的最大值可以得到最优的参数估计值。
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所以 P 3为极大值点。
请对比第 二问结果！
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内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
过 由正变负
为极大值
过 由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
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若总利润函数 L(x) 可导，称
L(
x0
)
lim
x0
L( x0
x) x
L( x0
)
为销售量为 x0 时该产品的边际利润。
边际利润近似地等于生产者每多（少）销售一个单位产品所 增加（减少）的利润。
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例4 某工厂生产某种产品，固定成本2000元，每生产一单 位产品，成本增加100元。已知总收益R为年产量Q的函数， 且
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50
x
180 10
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R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高.
最大收入为R(
x)
(350
20)
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
f (x0) 4 f (x0) 0
Ex x0 x / x x0 x y
y
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注:
函数 f (x) 在点 x 的弹性
Ey Ex
反映随 x 的变化 y f (x)
变化幅度的大小, 即 灵敏度.
数值上, Ey 表示 y f (x) 在点 x 处, 当 x 产生1%的改变时,
Ex
函数 y f (x) 近似地改变 E f (x)%. Ex
y f (x x) f (x)
y
f (x)
与自变量的相对
x
x
改变量之比 y / y , x / x
称为函数 f (x) 从 x
到 x x 两点间的弹性 (或相对变化率).
y/ y
而极限
lim
x0
x /
x
称为函数 f (x) 在点
x 的弹性(或
相对变化率)。
记为(x) Ey lim y / y lim y x y x .
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .
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2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
4 2 1.
表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1.
（2）令 P 1, 即 P 1，得到：P 3. 6P
因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率是1.
（3）总收益是 RP PQ 120P 20P2
RP 120 40P， RP 40 令RP 0，得到 P 3.
y 2x3 3x2 12x 14
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
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例2. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 .
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
0
2x3 9x2 12x,
0
x
5 2
f
(
x)
6x2 6x2
R
R(Q)
400Q
1 2
Q2
,
80000,
0 Q 400 Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？
解 由题意总成本函数为：
c c(Q) 2000 100Q
从而可得利润函数为：
L L(Q) R(Q) c(Q)
300Q
1 2
2，
60000 100Q，
0 Q 400 Q 400
68
350 10
10890 (元)
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例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围 成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点， 使曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形面积最大．
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解 如图,
y
设所求切点为P( x0 , y0 ),
P
则切线PT为
y y0 2 x0( x x0 ),
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2
x0 )(16x0
x02 )
(0 x0 8)
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令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
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例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
边际成本的经济意义是：c(x0 ) 近似地等于产量为 x0 时再增加（减少）一个单位产品所增加（减少）的总成本。
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2 利润最大化问题
生产者出售一定量产品所得以的全部收入称为总收益，表示为
R(x)其中x 表示销售量。
平均收益函数：R(x) 表示销售量为 x 时单位销售量的平均收益。
2. 连续函数的最值 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
3. 最优化在经济学中的应用 成本最小问题；利润最大问题；最值和弹性分析
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思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
x01 cos x
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
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3. 设
y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
18x 12 18x 12
6(x 1)(x 2) 6(x 1)(x 2),
,
1 4
x
0
0
x
5 2
f (x) x(2x2 9x 12)
x1 0, x2 1, x3 2
(9)2 4 212 81 96 0
故函数在 x
2 x02取 最9 x小值120; 0在
x
1及
5 2
取最大值
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 27
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
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3.5.2 最优化在经济学中的应用
1 成本最小化问题 生产一定量的产品所需要的成本总额称为总成本，通 常由固定成本和可变成本两部分构成。
在应 用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”二字.
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假设需求函数Q f (P), P 表示产品的价格，于是，可定义产品 在价格P时的需求弹性如下：
(P) lim Q / Q lim Q Q P f (P) .
P0 P / P P0 P P
f (P)
P 很小时，有
(P) P f (P) P Q
f (P) f (P) P
需求弹性的经济意 义请见教材P120.
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例5 录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为
Q 120 20P
其中 Q 是当每盒租金是P 元时每天出租录像带的数量. 求解下列各题：
（1）求当 P 2元和 P 4 元时的弹性，并说明其经济意义； （2）求(P) 1 时P 的值，并说明其经济意义；
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令L(Q) 0，有Q 300.
L(Q) 1 0 Q300
Q 300 时总利润最大，此时 L(300) 25000 即当年产量为300个单位时，总利润最大，此时总利润 为25000元。
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3 用需求弹性分析总收益的变化
定义 设函数y f (x)可导, 函数的相对改变量
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记c
c(Q) ， Q
则c
100 Q2
1 , c 4
200 Q3 .
令c 0，得Q 20.
而c(20)
200 (20)3