小学五年级奥数专题讲座

五年级奥数集训专题讲座（一） ----有趣的平均数问题

主讲：xxx

我们研究平均数问题，首先要掌握以下基本数量关系：①总数量÷总份数=平均数②平均数×总份数=总数量③总数量÷平均数=总份数。在总数量不变情况下？移多补少?，得到平均数是解决这类题的重要思想和解题思路，找准总数量与对应的总份数是难点。

1.修路队修两条公路，第一条路长900米，用10天修完，第二条路的长比第一条的2倍多100米，用的时间是

第一条的 1.8倍，这个修路队，修完这两条公路平均每天修多少米？

分析：要想求出结果，就要先求出两条路的总长（总数量），再求出修完这条公路共需要的天数（总份数）和平

均数。

解:(900＋900×2＋100)÷(10＋10×1.8)

＝2800÷28

＝100(米)

答：修完这两条公路平均每天修100米。

例2.一个水果店三种水果的单价平均是 1.6元，已知香蕉比苹果贵0.2元，比柚子便宜0.5元，请你算一算每种水果的单价多少元。

分析：这是一道平均数问题逆向思考题，根据已知条件给出平均价钱是 1.6元，这样就可以求出三种水果单价和的钱数，即 1.6×=4.8（元），在此基础上再根据三种水果单价的数量之间的关系，运用假设思想求出问题的答案，可以用下面的线段图表示上述关系。

解：(1.6×3＋0.2－0.5)÷3

＝4.5÷3

＝15(元)

1.5－0.2＝1.3(元)

1.5＋0.5＝2(元)

答：香蕉单价是 1.5元，苹果单价是 1.3元，柚子的单价是2元。

想一想，如果假设和苹果单价一样多，该怎样列式？

例3.五名裁判给一名运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得分9.58分；如果只去掉一个最高分，均分为9.46分；如果只去掉一个最低分，均分为9.66分。求这名运动员的最高得分和最低得分分别是多少？

分析:该题实质上是已知部分数的平均数,求个别数.依题意:去掉最高分和最低分后,该运动员的

总得分为:9.58×3(分);去掉最高分后,该运动员的总得分为:9.46×4(分);去掉最低分后,该运动员的总得分

为:9.66×4(分);因此,该运动员的最高分为:9.66×4-9.58×3=9.1(分)

例4．一辆汽车以每小时100千米的速度从甲地开往乙地,到达乙地后,又以每小时60千米的速度从乙地返回甲地,求这辆汽车往返一次的平均速度.

分析:往返一次的平均速度=往返一次的总路程÷往返一次的总时间.这一数量关系是正确解

答这道题的关键.

由于往返一次的总路程题目没有告诉我们,我们不妨假设甲地到乙地的路程为S千米.所以: S×2÷( S÷100+S÷60) （请根据提示试着思考并解答）

我也能行

1．甲、乙两数的平均数是 1.58，再加上丙则平均数是 3.52，丙数是多少？

2．在爬山活动中，李林同学上山的速度为每小时0.24千米，6小时到达山顶，然后又以每小时0.4千米的速度沿原路下到山底，请算一算他上、下山的平均速度是多少

3．甲乙两数和是194，如果再加上丙数，这时平均数比甲乙两数平均数多2，丙数应是多少？

4．玲玲和明明的平均年龄是12岁，明明和林林的平均年龄是14岁，玲玲和林林的平均年龄是15岁，三人中年龄最大的是谁？最小的是谁？

5.甲、乙两数的平均数是 3.21，丙数是 2.64，若再加进丁，则四个数的平均数是 3.6，丁是多少？

6.五个裁判给一个选手打分，如果去掉最低分，平均分是96.5分，如果去掉最高分，则该选手平均分是91.5分，

请你算一算最高分与最低分相差几分？

7．小丁上学期数学测验前4次的平均成绩是88分，第五次测验后，平均成绩提高到90分，第五次他考了多少分？

8.有四个数，用其中三个数的平均数，再加上另外的一个数，按这样的方法计算，分别得到：28、36、42、46，

那么原来四个数的平均数是多少？

四面年级奥数集训专题讲座（二）———盈亏问题

主讲：xxx

盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分，

则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量。例如：把一袋饼干分给小班的小朋友，每人分3块，多12块，；如果每人分4块，少8块，小朋友有多少人？饼干有多少块？

这种一盈一亏的情况，就是这们通常说的标准的盈亏问题。

标准盈亏问题的基本数量关系式：（盈+亏）÷两次分配之差＝参与分配对象总数；每次分得的数量×份数＋盈＝总数量；每次分得的数量×份数－亏＝总数量

还有一些非标准盈亏问题，如：

1、两盈：两次分配都有余。数量关系式为：（大盈－小盈）÷两次分配差＝参与分配对象总数

2、两亏：两次分配都不够。数量关系式为：（大亏－小亏）÷两次分配差＝参与分配对象总数

例1：（一盈一亏问题）一个植树小组，如果每人植5棵，还剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？

分析：由题意可知，植树的人数和棵数是不会变化的，只是两次分配的方案不一样，结果就差

了18棵，即第一种方案的结果比第二种多18棵，这是因为两种分配方案每人植树棵数相差7-5＝2（棵），所以根据一盈一亏解答此题就非常简单了。

人数：（14＋4）÷（7－5）＝2（人）棵数：5×9＋14＝59（棵）

答：这个植树小组一共有9人，一共有59棵树。

【巩固练习1】：幼儿园把一些积木分给小朋友，如果每人分2个，则剩下20个；如果每人分3个，则差40个。幼儿园有多少个小朋友？一共有多少个积木？

例2：（两亏问题）学校将一批铅笔奖给三好学生。如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。三好学生有多少人？铅笔有多少支？

分析：这是两亏问题，由题意可知，三好学生人数和铅笔支数是不变的。根据两亏关系可知人数：（45－7）÷（9－7）＝19（人）铅笔：9×19－45＝126（支）

答：三好学生有19人，铅笔有126支。

【巩固练习2】：将月季花插入一些花瓶中。如果每瓶插8朵，则缺少15朵；如果每瓶改为插6朵，则缺少1朵，求花瓶的只数和月季花的朵数？

例3：（两盈问题）有一些少先队员到山上种一批树。如果每人种16棵，还有24棵没种；如果每人种19棵，还有6棵没有种。问有多少名少先队员？有多少棵树？（根据两盈问题请自己分析解答）

例4：（盈亏转化）学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？

分析：?把每个房间住14人，则空出4个房间?转化为?每个房间住14人，则少14×4=56

（人）后，就得到标准盈亏问题，这样就好解答了。

房间数：（34＋14×4）÷（14－12）=45（间）人数：12×45＋34=574（人）

答：学生宿舍有45间，学生有574人。

我也能行

1、某班安排宿舍，如果每间6人，则16人没有床位；如果每间8人，则多出10

个床位。问有宿舍多少间？学生多少人？

2、王老师给美术兴趣小组的同学分发图画纸。如果每人发5张，则少32张；如

果每人发3张，则少2张。美术兴趣小组有多少名同学？王老师一共有多少张

图画纸？

3、小虎在敌人窗外听里边在分子弹：一人说每人背45发还多260发；另一个说

每人背50发还多200发。求有多少敌人？有多少发子弹？

4、崔老师给美术兴趣小组的同学分若干支彩色笔。如果每人分5支则多12支；

如果每个人分8支还多3支。请问每人分多少支刚好把彩色笔分完？

5、某校有若干个学生寄宿学校，若每一间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿

舍住7人，则多出4间宿舍。问宿舍有多少间？住宿学生有多少人？

6、学校分配学生宿舍。如果每个房间住6人，则少2间宿舍；如果每个房间住9

人，则空出2个房间。问学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？

7、小强从家到学校，如果每分钟走50米，上课就要迟到3分钟，如果每分钟走

60米，就可以比上课时间提前2分钟到校。小强从家到学校的路程是米（选自北京市第四届?迎春杯?刊赛）

8、买来一批苹果，分给幼儿园大班的小朋友。如果每人分5个苹果，那么还剩

余32个；如果每人分8个苹果，那么还有5个小朋友分不到苹果。这批苹果

的个数是_____。选自小学数学奥林匹克预赛A卷

五年级奥数集训专题讲座（三）———倍数问题

主讲：xxx

倍数问题是整个小学阶段很重要的一个问题，我们研究倍数问题主要从?和倍、差倍、和差?这三个方面来研究。解答倍数问题我们要理解以下数量关系式：

①和÷（倍数＋1）=小数小数×倍数=大数（和—小数=大数）

②差÷（倍数—1）=小数小数×倍数=大数（小数＋差=大数）

③（和－差）÷2=小数小数＋差=大数（和—小数=大数）

④（和+差）÷2=大数大数－差=小数（和—大数=小数）

例1：三个筑路队共筑路1360米，甲队筑的米数是乙队的2倍，乙队比丙队多240米，三个队各筑多少米？

分析：把乙队的米数看作“1”份，甲队筑的米数是这样的2份，假设丙队多筑240米，三个

队共筑了1360+240=1600（米），正好是乙队的4倍，所以用和倍问题来解答就很容易了。

乙队：（1360+240）÷（2+1+1）=400（米）甲队：400×2=800（米丙队：400－160=240（米）

答：甲队筑了800米，乙队筑了400米，丙队筑了240米。【巩固练习】：三个植树队植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵，三个队各植了多少棵？

例2：师徒两人加工同样多的一批零件，师傅加工了102个，徒弟加工了40个。这时徒弟剩下的个数是师傅剩下的3倍，师傅要加工多少个零件？

分析：徒弟比师傅少加工了102－40=62（个），相当于师傅剩下的3－1=2倍。

（102－40）÷（3－1）=31（个） 31+102=133（个）

答：师傅要加工133个零件。

【巩固练习】：两筐重量相等的梨，甲筐取出18千克，乙筐取出6千克，这时乙筐是甲筐重量的3倍，两筐梨原来各重多少千克？

例3：甲、乙两个仓库共有大米800袋，如果从甲仓库取出25袋放到乙仓库中，则甲仓库

比乙仓库还多8袋，求两个仓库原来各有多少袋大米？

分析：“从甲仓库取出25袋放入乙仓库，则甲仓库比乙仓库还多8袋”从这句话可得知，甲仓库比乙仓库实际要多25×2＋8=58（袋）

甲： [800+（25×2＋8）]÷2=429（袋）乙：800－429=371（袋）

答：甲仓库原有429袋，乙仓库原有371袋。

【巩固练习】：两笼鸡蛋共19只，若甲笼再放入4只，乙笼中取出2只，这时乙笼比甲笼鸡蛋还多1只，求甲、乙两笼原来各有多少只鸡蛋？

例4：小东的图书中有58本不是故事书，有42本不是科技书，小东故事书和科技书共有60本，小东科技书有多少书？

分析：这是一个和差问题，知道科技书和故事书的和，关键是求出它们的差，从题中“58本不是故事书”，就应该是科技书与其它书的和；“42本不是科技书”，就应该是故事书与其它书

的和，所以科技书与故事书的差是：58－42=16（本）

[60+（58－42）]÷2=38（本）答：小东的科技书有38本。

我也能行

1、三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40，三个数各是多少？

2、三个小朋友折纸飞机，小晶比小亮多折12架，小强比小亮少折8架，小晶折的是小强的3

倍，求三个人各折纸飞机多少架？

3、赵叔叔沿长和宽相差30米的游泳池跑6圈，做下水前的准备活动时，共跑了1080米，问游

泳池的长和宽各是多少米？

4、一片松树林里有很多种树，有1500棵树不是松树，1200棵树不是杨树，松树、杨树共700

棵，杨树有多少棵？

5、爸爸今年43岁，儿子今年11岁，几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？

6、妈妈今年的年龄是女儿的4倍，3年前，妈妈和女儿的年龄和是39岁，问妈妈、女儿今年

各是多少岁？

7、两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数的和是156，被除数、除数各是多少？

8、两个数的和是94，有人计算时将其中一个加数个位上的0漏掉了，结果算出的和是31，求

这两个数。

9、甲、乙、丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲、乙、丙三数各是多

少？

五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数

主讲：xxx

把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。我们课本上介绍的分解质因数，是

为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找

解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

例1：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个，一共有多少种不同的分法？

分析：18的约数有1、2、3、6、9、18。除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

例2：写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。

分析：先把15120分解质因数，进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。

15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7

=5×（2×3）×（2×2×2）×（3×3）

=5×6×7×8×9

【巩固练习】：有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？

例3：将2、5、14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×11

56=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5

可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7，一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）

【巩固练习】：把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数

的积相等。

例4：下面的算式里，□里数字各不相同，求这个四个数字的和。

□□×□□=1995

分析：要使两个两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和195有相同的质因数。所以，先分解1995。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995，因为要满足?数字各不相同?的条件，所以取21×95=1995。这四个数字的和就是2+1+9+5=17。

【巩固练习】：下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。□□×□□=1288

例5：有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是143，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

分析：长方体的正面面积=长×高，上面面积=长×宽，这两个面积之和是

长×高+长×宽=长×（宽+高）=143。因为长、宽、高都是质数，而143=11×13，所以：

长=13，宽+高=11，或者：长=11，宽+高=13。

13=2+11，而11=2+9（不合题意）

所以，长方体的体积应该为：11×11×2=242

注意：长、宽、高都为质数，宽+高只能是一个偶质数+一个奇质数，想一想，为什么？