高中文科数学基础知识汇总
高中文科数学基础知识
一、集合与简易逻辑
1.元素与集合的关系:)(A a A a ?∈或。
2.集合的元素具有:确定性、无序性、互异性。如若{}
2,,1a a A =,则01≠±≠a a 且。 3.集合常用的表示方法:列举法、描述法、图示法。其中要特别注意用描述法表示的集合,
要弄清楚集合元素的属性,如若A={椭圆},B={直线},则φ=?B A ,又若
?
?????>>=+=)0(1|),(22
22b a b y a x y x A ,{}0|),(=++=C By Ax y x B ,则B A ?可
能有0
个或
1
个或
2
个元素,再如{}
)23(log |22+-==x x y x A ,
{})23(log |22+-==x x y y B ,{}
)23(log |),(22+-==x x y y x C ,A 表示函数的定义
域,B 表示函数的值域,C 表示函数图象上的点集。
注意:若{}R x x x A ∈>=,1|,{}R y y y B ∈>=,1|,则B A =。
4.常见数集:R .表示实数集;N .表示自然数集;)(*
+N N 或表示正整数集;Q .
表示有理数集;Z 表示整数集。
5.空集是任何集合的子集,记作:A ?φ,空集是任何非空集合的真子集;记作:φA ,
任何一个集合是它本身的子集,记作:A A ?。 6.包含关系:A
B A A B B =?=U U A B
C B C A ????(U 为全集)。
注意:当A B A =?或B B A =?时,要注意考虑φ=A 与φ≠A 的情况。 7.要证明集合A=B ,则须证明:A B B A ??且。 8.集合12{,,
,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有12-n 个;非空子集有12-n 个;
非空的真子集有22-n
个。
9.判断命题的真假要以真值表(p 与非p :真假相对;q p 或:一真必真;q p 且:一假
必假)为依据。原命题与其逆否命题是等价命题,逆命题与其否命题是等价命题,当一
个命题的真假不易判断时,可考虑判断其等价命题的真假。
10.命题的否定:条件不变,否定结论。否命题:条件与结论均否定。其中常见的否定词有:
11.的充分条件,的必要条件。q 的充分条件是p 。) 12.判断命题充要条件的三种方法: (1)定义法:q p ?。
(2)利用集合间的包含关系判断,若B A ?,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条
件;若A=B ,则A 是B 的充要条件。
(3)等价法:即利用等价关系判断,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,
一般运用等价法。
二、函数
1. 以x 为自变量的函数=y )(x f 是集合A 到集合B 的一种对应,其中A 和B 都是非空的数....
集.,对于A 中的每一个...x ,B 中都有唯一确定的.....y 和它对应。自变量x 取值的集合A 就
是函数=y )(x f 的定义域,和x 对应的y 的值就是函数值,函数值的集合C 就是函数的值域(B C ?)。
注:集合A 中有n 个元素,集合B 中有m 个元素,则A 到B 的映射有n
m 个,而B 到A
的映射有m
n 个。
2. 求函数定义域需要考虑:分母、根号、零次幂的底、对数的真数、对数与指数的底、正余
切及复合函数求定义域的两种类型。求函数值域的方法要掌握:配方法,观察法,换元法(整体换元、三角换元),单调性法,反函数法,判别式法,三角函数的有界性,基本不等式法,利用两点间的距离公式法。定义域及值域都必须写成集合..的形式。 3. 若=y )(x f 有反函数)(x f y -1=,则=y )(x f 是)(x f y -1=的反函数。
反函数)(x f y -1=的定义域、值域分别是函数=y )(x f 的值域、定义域。 函数=y )(x f 和它的反函数)(x f y -1=的图象关于x y =对称。 (若b a f =)(,则a b f =-)(1即若点),(b a 在)(x f y =的图象上,则点),(a b 必在反函数
的图象上)
注意:○
1)1(1
+=-x f y 是)1(+=x f y 的反函数吗?(不是,)1(+=x f y 和
1)(1-=-x f y 互为反函数。
) ○
2)(x f y =与它的反函数)(1
x f y -=的交点必在直线x y =上吗?(若)(x f 为增函数
则一定,否则无法判断)如函数1()16x y =与116
log y x =的交点为1111
(,),(,)2442,交点不在直线y x =上。 4. 设[]2121,,,x x b a x x ≠∈那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()()
0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数;
[]1212()()()0x x f x f x --
[]1212
()()
0(),f x f x f x a b x x --在上是减函数。
设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数。
5. 定义域关于原点对称是)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件.......
。(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:)()(x f x f =-,奇函数:)()(x f x f -=-)。例如:x y tan =是奇函数,)3
1tan(π+=x y 是非奇非偶。(定
义域不关于原点对称)。
奇函数特有性质:若x ∈0的定义域,则)(x f 一定有0)0(=f (0不在函数的定义域内,则无此性质)。
注意:○
1奇函数关于原点对称,偶函数关于y 轴对称;○2奇函数关于原点对称的区间单调性相同,偶函数关于原点对称的区间单调性相反,简称:奇同偶反。 6. 函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=。 (2)函数)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称?)2()(x a f x f --=?)()(x a f x a f -=+。
(3)函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+,则)(x f y =的图象关于直线2
a
b x +=
对称。 (4)若函数)(x f y =对定义域中任意x 均有0)()(=+-++c x b f x a f ,则函数
)(x f y =的图象关于点(
,)22
a b c
+-成中心对称图形。 7. 两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线y 轴对称。 (2)函数()y f x =与函数)(x f y -=的图象关于直线x 轴对称。 (3)函数()y f x =与函数)(x f y --=的图象关于原点对称。 (4)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线x y =对称。 (5)函数)(x f y =和)(1
x f
y --=-的图象关于直线x y -=对称。
(6)函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图象关于直线2
a
b x -=
对称。 注意对比:函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+,则)(x f y =的图象关于直线
2
a
b x +=
对称。 (7)函数)(wx a f y +=与函数)(wx b f y -=的图象关于直线w
a
b x 2-=
对称。 8. 曲线图象的对称问题:
(1)曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为:0),2(=-y x b f 。
(2)曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为:0),(=----c x c y f 。 (3)曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为:0),(=+-c x c y f 。 (4)曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为:0)2,2(=--y b x a f 。
9. 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;
若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象。
即:○1函数)(x f y =的图象按),(k h a =
平移后的图象的表达式是:)(h x f k y -=-;
○
2曲线0),(=y x f 按),(k h a =
平移后的曲线的关系式是:0),(=--k y h x f 。 10.分数指数幂n m n
m
a a =(0,,a m n N *>∈,且1n >)
。n
m n
m
a
a 1=
-
(0,,a m n N *>∈,
且1n >)。
11.指数式与对数式的关系是:)1,0(log ≠>=?=a a b N N a a b 且 12.对数的换底公式:a
N N m m a log log log =
。推论b m n b a n
a m log log =,a
b b a log 1log =。
13.指数运算性质:○
1=?n m
a a n m a +; ○2=n m a )(mn a ;
○
3=n ab )(n
n
b a ?;),,0,0(R n m b a ∈>> 对数运算性质:○1=)(MN log a N M a
a log log +; ○2=N
M
log a N M a a log log -; ○3=n a M log M n a
log ; ○4=a log a 1,01log =a 。 )1,0,0,0(≠>>>a a N M 且。 14.指数函数和对数函数
①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠
③两根式(也称零点式):12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 16.几个函数的周期(约定0>a ):
(1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期a T =。
(2))()(x f a x f -=+或)0)(()
(1)(≠=
+x f x f a x f ,
或)(1
)(x f a x f -=+)0)((≠x f , 或)()(a x f a x f -=+,则)(x f 的周期a T 2=。
(3) )0)(()
(1
1)(≠+-
=x f a x f x f ,则)(x f 的周期a T 3=。
(4)若)(x f y =是偶函数,其图像又关于直线a x =对称,则)(x f 是周期为||2a 的
周期函数。
(5)若)(x f y =)奇函数,其图像又关于直线a x =对称,则)(x f 是周期为||4a 的周
期函数。
(6)若)(x f y =的图象关于直线a x =,b x =)(b a ≠对称,则函数)(x f y =是周期
为b a -2的周期函数。
(7)若)(x f y =的图象关于a x =对称,同时关于点)0,(b 对称,(a b ≠),则函数
)(x f y =是周期为||4a b -。
(8)若)(x f y =的图象关于)0,(a 对称,同时关于点)0,(b 对称,(a b ≠),则函数
)(x f y =是周期为||2a b -。
17.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42
-=?,则有: (1)若)(x f 的定义域为R ,则0>a ,且0。 (2)若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥?。
注意:对函数)(log )(2c bx ax x f m ++=的定义域或值域为R 的问题,要注意考虑0=a 的情况。
18.平均增长率的问题:如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总
产值y ,有(1)x y N p =+。
19.你知道函数x b ax y +
=)0,0(>>b a 的单调区间吗?(该函数在]a
b --∞,(或
),[
+∞a b 上单调递增;在)0,[a b -或],0(a
b
上单调递减)这可是一个应用广泛的函数!
20.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看
法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系。
21. 解恒成立问题常用方法:①分离参数法;②数形结合法;③交换主元法。你能清楚何
时用何种方法吗?
常见题型:①若)(x f m ≥在],[b a x ∈上恒成立,则max )(x f m ≥;若)(x f m <在
],[b a x ∈上恒成立,则min )(x f m <。②若)(x f m ≥在],[b a x ∈上有解,则
min )(x f m ≥;若)(x f m >在],[b a x ∈上无解,则min )(x f m ≤。(注:m 为常数。)
③)()(x g x f >在],[b a x ∈上恒成立,是对于任意的],[b a x ∈,min )(x f 必须大于
max )(x g 吗?应该怎样解?(不是。通常移项,使0)()()(min >-=x g x f x h 即可;
若)(x h 的最值无法求出,则考虑数形结合,只需在],[b a x ∈上)(x f 的图像始终在
)(x g 的上方即可。)
三、数列
1. 通项n a 与前n 项和n S 的关系???-=1
n S S S a )2()1(≥=n n ,后检验能否合成一个关系式。
2. 由??
?≥≥+-11n n n n a a a a 求最大项n a ;由???≤≤+-1
1
n n n n a a a a 求最小项n a 。
3. 两个基本变换:
○1)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a )2(≥n
○21
23
121
-???=n n n a a a a a a a a )2(≥n 4. 证明数列{}n a 是等差数列的方法:
○1定义法:)2(1≥=--n d a a n n 或)1(1≥=-+n d a a n n ○2中项法:)2(211≥+=+-n a a a n n n
5. 等差数列的通项公式:d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=,变形n
m a a d n
m --=
6. 三数成等差数列,可设为:d a a d a +-,,;四数成等差数列,可设为:d a d a d a d a 3,,,3++--
7. 前n 项和公式:1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+- 8. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当10a >,d<0时,满足???≤≥+00
1
m m a a 的项数m 使得m S 取最大值。
(2)当10a <,d>0时,满足???≥≤+00
1
m m a a 的项数m 使得m S 取最小值。
9. 等差数列的性质:
○1若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+,特别p n m 2=+,则p
n m a a a 2=+。
○3设n
S 是数列{}n a 的前n 项和,{}n a 为等差数列的充要条件是bn an S n +=2(b a ,为常数)其公差是a 2。
○4若}{},{n
n b a 都是等差数列,前n 项和分别为n S ,n T ,且3423++=
n n T S n n ,则13
1377T S
b a =,)
3174(17)2153(15151715171715151717159898+?+??
=?=?=S S b a b a ;(注:)23(+=n kn S n ,)34(+=n kn T n ,其中k 为非0常数。
) 注意:形如c bn an S n ++=2)0(≠c 的类型,数列{}n a 从第二项起成等差数列。即通项为:??
?+-++=b a an c b a a n 2)
2()1(≥=n n 。
10.证明数列{}n a 是等比数列的方法:
○
1定义法:)2(1
≥=-n q a a n n 或)1(1≥=+n q a a
n n ;
○2中项法:)2(112
≥?=+-n a a a n n n 。
11.等比数列的通项公式:m n m n n q a q a a --=?=11,变形m
n
m
n a a q
=
-。 12.三数成等比数列,可设为:q
a
,a ,aq ;四数成等比数列,可设为:3
q
a ,q a ,aq ,3
aq 。 13.前n 项和公式:
○1当1=q 时,1
na S n = ○
2当1≠q 时,
14.等比数列的性质:
○1若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=?,特别p n m 2=+,则2
p n m a a a =?;
15.若n n n b a c ?=,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,求{}n c 的前n 项的和,用错位相减法求和。
16.常用的求和方法有:①倒序相加求和;②错位相减求和;③分组求和;④裂项求和。 17.常用裂项公式:
○
1n
n n n 111)1(1--=-; ○2)21
1(21)2(1+-=+n n n n ; ○
3)1
21121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ○4m n m n m n C C C -=+-11
○
5!)!1(!n n n n -+=? 18.由数列的递推公式求通项的类型:
(1))(1n f a a n n +=+ (2))(1n f a a n n ?=+ (3)q pa a n n +=+1(1≠p ) (4)q
pa a a n n
n +=
+1
(5)1(0)n n n ca d
a a aa b
++=
≠+ (6)n n n b pa a +=+1
(7)c qn pa a n n ++=+1 (8)c kn qn pa a n n +++=+21
(9)11-++=n n n qa pa a (10)r
n n pa a =+1
(11)前n 项和n S 与n a 之间的等式关系求通项类型:
如○1n
n
n S a a 3,111+==+ ;○23
2
231341+?-=+n n n a S 。这种类型通常利用关系n n n a S S =--1(2≥n )来进行转换,后由已知类型求解通项。
有些类型要注意考虑用数学归纳法。如:n n n a a a a a -===++1221,5,1。 19.常用的求和公式:
○
12
)1(321+=++++n n n ○22
)12(531n n =-++++
○
3)12)(1(6
1
212
22++=+++n n n n 四、三角函数
1. 三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦。
2. 弧度制:
○
1r
l =||α; ○2弧长公式:r l ||α=,其中||α为圆心角的弧度数...
; ○3扇形的面积公式:2||2
1
21R R l S α=?=
扇形; ○
41弧度=815730.57'?=?,π弧度
180=。 3. 公式:
公式组二:
x
x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ
公式组三:
x
x x
x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四:
x x x x x x x
x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ
公式组五:x
x x
x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六:
x
x x x x x x
x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ
其中诱导公式记忆方法:奇变偶不变,符号看象限...........。其中奇.
是指2
π
的系数为奇数,偶.是指
2
π
的系数为偶数,变.是指:正弦与余弦互变,正切与余切互变。看符号时是指对原三公式组一sin x ·csc x =1tan x =
x
x cos sin sin 2x +cos 2
x =1
cos x ·sec x x =
x
x sin cos 1+tan 2x =sec 2x
tan x ·cot x =1
1+cot 2x =csc 2x
=1
角函数进行判断,并且要将..α视为锐角....
。如:ααπ
cos )2
(sin =+,ααπ
sin )2
(
cos -=+。
4. 两角和与差的三角函数:
22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-。
sin cos a b αα+=
)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决
定,tan b a ?=
),常见:○
1)4
sin(2cos sin π
ααα+=+a a a , ○
2)3sin(cos 23sin 21πααα+=+;○3)6
sin(3cos 23sin 23π
ααα+=+。
5. 二倍角公式:
变形:
126. 一种类型:正余弦的齐次式转化为正切值求解,如
α
α
ααααtan 3tan 32sin cos 3sin 3cos 2+-=+-;
α
ααααααααα2
2222
tan 11
tan cos sin cos cos sin cos cos sin ++=++?=+?等。 7. 掌握角的演变:)()(2βαβαα-++=,αβαβ-+=)(等。 8. 三角形中的三角变换
(1)角的变换:因为在△ABC 中,π=++C B A ,所以
C B A sin )sin(=+;C B A cos )cos(-=+;C B A tan )tan(-=+。 2cos 2sin
C B A =+;2sin 2cos C B A =+;2cot 2tan C
B A =+。
(2)在非直角△ABC 中,C B A C B A tan tan tan tan tan tan ??=++。
(3) 在△ABC 中,熟记并会证明:①C B A ∠∠∠,,成等差数列的充分必要条件是
?=∠60B ;②△ABC 是正三角形的充分必要条件是C B A ∠∠∠,,成等差数列且
c b a ,,成等比数列。
9. 常用结论:
○
1(1)若)2
,0(π
∈x ,则2cos sin 1≤+ ○ 2x sin <x <)2 ,0(,tan π ∈x x x x x f sin )(= 在),0(π上是减函数 ○ 3ααα3 sin 4sin 33sin -= αααcos 3cos 43cos 3 -= ○44 2675cos 15sin -== 4 2615cos 75sin += = 3275cot 15tan -== 3215cot 75tan +== 10.三角函数图象的五点作图法:如正弦:)0,0(;)1,2 (;)0,(π;)1,2 ( -;)0,2(π, 余弦:)1,0(;)0,2 ( π ;)1,(-π;)0,2 3( π ;)1,2(π 这五点是函数图象在一个周期内的最高点、最低点与平衡点。 注意:你会用五点作图法画k x A y ++=)sin(?ω的草图吗?哪五点?你会根据图象求 参数?ω、、A 、k 的值吗? 11.三角函数图象及性质 12.三角函数的周期问题: ○ 1函数k wx A y ++=)sin(?、k wx A y ++=)cos(?,|)sin(|h wx A y ++=?(R x ∈且A,ω,?为常数,且A 、h ≠0)的周期| |2w T π = 。 ○ 2函数k wx A y ++=)tan(?,|)tan(|k wx A y ++=?(,2 x k k Z π π≠+∈)(A,ω,? 为常数,且A ≠0)的周期| |w T π = 。 ○ 3函数|)sin(|?+=wx A y 、|)cos(|?+=wx A y 的周期| |w T π =。 ○4x y sin =不是周期函数;x y sin =为周期函数(π=T ); x y cos =是周期函数;x y cos =为周期函数(π=T ); 2 1 2cos + =x y 的周期为π,并非所有周期函数都有最小正周期,例如: R k k x f x f y ∈+===),(5)(。 13.函数图象的变换: 振幅变换:)(x f y = 横坐标不变,纵坐标伸长(或缩短)为原来的A 倍 )(x Af y = 周期变换:)(x f y = 纵坐标不变,横坐标伸长(或缩短)为原来的 w 1 倍 )(wx f y = 相位变换:)(x f y = 向左(或向右)平移?个单位 )(?±=x f y 平移变换:)(x f y = 向上(或向下)平移k 个单位 k x f y ±=)( (其中k w A ,,,?为正数) 14.反三角函数 ?反正弦函数x y arcsin =是奇函数,故x x arcsin )arcsin(-=-,]1,1[-∈x (一定要注明定义域,若),(+∞-∞∈x ,没有x 与y 一一对应,故x y sin =无反函数.... ) 注:x x =)sin(arcsin ,[]1,1-∈x ,? ? ????-∈2,2arcsin ππx ,x x =)arcsin(sin ])2,2[(ππ-∈x 。 ?反余弦函数x y arccos =非奇非偶,但有π=+-)arccos()arccos(x x ,[]1,1-∈x 。 注:①x x =)cos(arccos ,]1,1[-∈x ,],0[arccos π∈x ,x x =)arccos(cos ,],0[π∈x ; ②x y cos =是偶函数,x y arccos =非奇非偶,而x y sin =和x y arcsin =为奇函数。 ?反正切函数:x y arctan =,定义域),(+∞-∞,值域(2, 2π π- ),x y a r c t a n =是奇函数, x x arctan )arctan(-=-,),(+∞-∞∈x 。 注:x x =)tan(arctan ,),(+∞-∞∈x ,x x =)arctan(tan ,)2 ,2(π π-∈x 五、平面向量 1. 基本概念:向量),(y x a = ,向量长度2 22)(||y x a a +== ,零向量0 ,单位向量 e (其中1||=e ),与非零向量a 方向相同的单位向量为:||a a (若反向,则为| |a a -) 2. 平行向量(也称共线向量):方向相同或相反的非零向量。规定0 与任一向量平行。 注意:平行向量只与方向有关,而与起点、终点无关。 3.相等向量:方向相同且模相等,如),(),,(2211y x b y x a == ,2121y y x x b a ==?=且 4.向量运算 (1)加法运算:加法法则如图:三角形法则与平行四边形法则 坐标运算:),(),,(2211y x b y x a == ,则),(2121y y x x b a ++=+ 特别:n n n A A A A A A A A 113221=+++- ,AB OA OB +=等。 (2)减法运算减法法则(如图):三角形法则 坐标运算:),(),,(2211y x b y x a == ,则),(2121y y x x b a --=- 特别:OA OB AB -=,又若A 、B 两点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则 ),(1212y y x x --=。 (3)实数与向量的积: 定义:)(,R a ∈λλ ,其中||||||a a λλ=,当λ>0时,a λ与a 同向,当λ<0时,a λ a b b a + a b b a - 与a 反向,当0=λ,0 =a λ 坐标运算:若),(y x a = ,则),(),(y x y x a λλλλ== 。 (4)平面向量的数量积: 定义:θcos ||||b a b a =?(θ,0,0 ≠≠b a 为向量b a ,的夹角(有时也记 >= ,θ)且0≤θ≤π),规定:00=?a 运算律:a b b a ?=?,)()()(b a b a b a λλλ?=?=?,c b c a c b a ?+?=?+)( 不满足结合律:)()(c b a c b a ??≠??(只有特殊的时候才相等) 坐标运算:若),(),,(2211y x b y x a == ,则2121y y x x b a +=? 变形:22 22 21 21 2121| |||cos y x y x y y x x b a b a +?++= ?= θ(用于求向量的夹角) 5.重要定理、公式 ○ 1.向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得a b λ=即λ=?//; 坐标形式:若),(),,(2211y x b y x a == ,则0//1221=-?y x y x b a ; ○2.平面向量基本定理:若b a ,是不共线的非零向量,对任一向量,存在唯一实数μλ,, 使得:μλ+=;应用:若b y a x b y a x c 2211+=+=,则21x x =且21y y =; ○ 3.两个非零向量垂直的充要条件:0=??⊥b a b a ; 坐标形式:若),(),,(2211y x b y x a == ,则02121=+?⊥y y x x b a ; ○4.线段的定比分点公式:设111(,)P x y ,222 (,)P x y ,(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数,且12 PP PP λ=,则1212 11x x x y y y λλλλ+? =??+?+?=?+? ?12 1OP OP OP λλ+=+ 中点坐标公式:??? ????+=+=22 21 21y y y x x x 。 6.如果点),(y x p ,按向量),(k h a = ,平移到p(x ,y )''',则???+='+='k y y h x x 或? ??-'=-'=k y y h x x 7.在 >= ,cos (注意:这一结论常用在立几中求“点到面的距离;或异面直线间的距离等距离”问题上。) 8.常见结论: ○ 1点B A P ,,共线y x +=?,且1=+y x ; ○ 2三角形中“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ?所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ?的外心222 OA OB OC ?==;(2) O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=;(3)O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?; ○3三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11 A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123 ( ,)33 x x x y y y G ++++; ○4在ABC ?中,B ac B ac cos )cos(-=-=?π。 8.三角形的面积公式: (1)111 222a b c S ah bh ch = ==(a b c h h h 、、分别表示c b a ,,边上的高); (2)111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = ==。 9. 正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===,变形A R a sin 2=,,sin 2B R b = ,sin 2C R c =其中R 为三角形外接圆的半径。 10.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-;2 2 2 2cos b c a ca B =+-; 2 2 2 2cos c a b ab C =+-,变形:○1bc a c b A 2cos 2 22-+=; ○ 2A C B C B A cos sin sin 2sin sin sin 2 22??-+=。 11.已知A b a ,,时三角形解的个数的判定: 其中A b h sin = ?A 为锐角时: ①h a <时,无解; ②h a =时,一解(直角); ③b a h <<时,两解(一锐角,一钝角);④b a ≥ ?A 为直角或钝角时: ①b a ≤时,无解;②b a >时,一解(锐角)。 另附:三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线的交点; 外心:三角形三边垂直平分线的交点; 内心:三角形三个内角的平分线的交点; 垂心:三角形三边上的高的交点; 旁心:三角形一内角的平分线与两条外角平分线的交点。 12.三角形四心:重心、内心、垂心、外心问题 ○ 1若)(++=λ)(R ∈λ,则动点P 过三角形的重心; ○ 2若)| || |(AC AB + +=λ)(R ∈λ,则动点P 过三角形的内心; ○ 3若cos ||cos ||C AC B AB OA OP + +=λ)(R ∈λ,则动点P 过三角形的垂心; ○ 4若(2OP +++=λ)(R ∈λ,则动点P 过三角形的外心。 13.判断三角形的形状:△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,,设最大边为c 则有 下列结论: A ○ 12 22b a c +=?△ABC 为直角△?2 π =∠+∠B A ○ 22 22b a c +>?△ABC 为钝角△?2 π <∠+∠B A ○ 32 22b a c +△ABC 为锐角△?2π >∠+∠B A ○ 4B A b a sin sin >?> B A b a c o s c o s > 六、不等式 1.不等式的性质: ?a b b a >; ?c a c b b a >?>>,; ?c b c a b a +>+?>; d c b a >>,d b c a +>+?; ?bd ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0,; ?00,0>>?>>>x x b a x b a ; x x b a x b a <<>>00,0 (6)b a b a ab 1 1,0 >>。 注意一个等式的性质: k d b c a b a k d c b a =++=?==。 2.比较大小: (1)作差比较的步聚:作差→变形(因式分解)→定号。 (2)作商比较的步骤:作商→变形→定值(与1比大小) 此法要注意:要比较的两个数都为正数..。 3.几个重要不等式: (1)基本不等式: 2)2(222b a b a ab +≤+≤(当b a =时,2 )2(2 22b a b a ab +=+=)),(R b a ∈ 2 2112 2 2b a b a ab b a +≤+≤≤+(当 b a =时取等号))0,0(>>b a 使用均值不等式求最值时要注意:一正二定三相等....... 。