物理奥赛辅导：第14讲_微观世界的规律与方法讲解

第十四讲 微观世界的规律与方法

一、知识点击 1．原子结构模型 ⑴玻尔模型理论：

①定态假设：原子中的电子绕核作圆周运动，并不向外辐射能量，其轨道半径只能取一

系列不连续值，对应的原子处于稳定的能量状态。

②跃迁假设：电子从一个定态轨道（设对应的原子定态能量为E n2）跃迁到另一定态轨道

（设定态能量为E n1）上时，会辐射或吸收一定频率的光子，能量由这两种定态的能量差决定，即21n n h E E ν=-。

③角动量量子化假设：电子绕核运动，其轨道半径不是任意的，只有电子的轨道角动量（轨道半径r 和电子动量m υ的乘积）满足下列条件的轨道才是允许的．

2h

m r n

υπ

= n=1，2，3，… ⑵氢原子的能级公式为412222018n me E E h n n ε=-=，其中4

122013.68me E eV h

ε=-=-。

2．物质的二象性 不确定关系

1924年，德布罗意从光的波粒二象性推断实物粒子，如电子、质子等也具有波动性，即实物粒子也具有二象性．同实物粒子相联系的波称为德布罗意波，其波长h h

p m λυ

=

=。 量子理论的发展揭示出要同时测出微观物体的位置和动量，其精密度是有一定限制的．这

个限制来源于物质的二象性．海森伯从量子理论推理，测量一个微粒的位置时，如果不确定范围是x ?，那么同时测得其动量也有一个不确定范围p ?，x ?与p ?的关系为

42

h

p x π??≥

=，此式称为海森伯不确定关系，其中h 为普朗克常数． 不确定关系是普遍原理，也存在于能量与时间之间一个体系（例如原子体系）处于某一

状态，如果时间有一段△t 不确定，那么它的能量也有一个范围ΔE 不确定，二者的乘积有如下关系：2

E t ??≥

3．原子核的基本性质与核反应

⑴质能方程、质量亏损和原子核的结合能 爱因斯坦由相对论得出的质能方程为2

E mc =，

如果物质的质量增加Δm ，则其能量也相应增加ΔE ，反之亦然，即有2

E m c ?=??。 在原子核中，原子核由核子组成，但原子核的质量却小于核内核子质量之和，原子核的

质量M 与组成它的核子质量总和的差值称为质量亏损．()p n m Zm Nm M ?=+-核 由上面得知，自由核子在结合成原子核时能量减少了2

E m c ?=??，即有能量释放出来，

这能量即为该核的结合能． ⑵核反应方程和核反应能

原子核反应是原子核受一个粒子撞击而放出一个或几个粒子的过程．核反应过程遵守下

列守恒定律：①电荷守恒；②核子数守恒；③动量守恒；④总质量和联系的总能量守恒等．利用这些守恒定律，可以写出核反应方程式．

核反应能Q 定义为反应后粒子的动能超出反应前粒子动能的差值．根据总质量和联系的

总能量守恒，由反应前后核和粒子的静质量可得出反应能Q 的计算公式，根据动量守恒，也可由人射粒子和出射粒子的动能及这两种粒子运动方向的夹角θ值得出反应能Q 。 4．基本粒子的探索

基本粒子之间的相互作用有四种：强相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和万有引力相互作用．

除了电磁相互作用的传播子γ光子和万有引力作用的传播子g(尚未发现)外，其余所有的粒子按它们之间的相互作用可分为两类：

强子：参与强相互作用的粒子，强子又分为重子（核子、超子）和介子两类，质子（为

核子）是最早发现的强子，强子具有内部结构．

轻子：不参与强相互作用的粒子，电子是最早发现的轻子，实验表明，轻子是点粒子，

迄今尚未发现它有任何结构．每一种基本粒子都有自己的反粒子，正反粒子相遇时，会发生湮灭现象，如即电子与正电子相遇时，会湮灭产生两个光子．

1963-1964年间，盖尔曼提出了夸克模型．1965-1966年，我国的一批理论物理学家提出

了与此类似的“层子”模型．现在，这两种名称（夸克和层子）常常并提，下面我们还

用夸克这一名称．有六种不同的夸克，分别是上夸克（u ）、下夸克（d)、奇异夸克（s)、桀夸克（c)、底夸克（b)和顶夸克（t)。夸克模型认为所有的重子都是由三种夸克组成，所有反重子都是由三种反夸克组成，所有介子都是由一种夸克和一种反夸克组成．但是，单独的夸克至今未曾测到，这还有待于人们进一步去探索．

二、方法演练

类型一、利用玻尔的三个量子化假设来求解类氢离子和类氢原子的问题。

例1．原子核俘获一个1

μ-子（1

μ-子质量是电子质量的207倍，电荷与电子相同）形成μ原

子，应用玻尔理论于μ原子。假设原子核静止。试求： （1）1

μ

-子的第一轨道半径。已知原子核的质子数为Z ，氢原子的第一玻尔轨道半径

1000.52910a m -=?。

（2）电离能。

（3）从第二轨道到第一轨道跃迁时所放射的光子的波长。

（4）设原子核的质量数A =2Z （即中子数N 等于质子数Z ），问当A 大于什么值时，1

μ-子

轨道将进人原子核内。已知原子核半径的公式为1

315

1.210R A m -=?。

分析和解：

（1）对这个问题的分析如同类氢离子的情形完全一样。设1

μ-子质量为(207)e m m m μμ=，

处在第n 条轨道上，其半径为r n ，速度为n υ，能量为E n ，根据库仑 定律和牛顿定律，有

2

2

2

04n

n

n

m ze r r μυπε= 原子体系的能量为22

0124n n n

ze E m r μυπε=-

应用玻尔量子化条件，有(1,2,3,)2n n h

m r n

n μυπ

==??? 从以上三式可求出1

μ-子量子化的轨道半径和量子化的能量公式为

22

022

4(1,2,3,)4n n h r n m ze

μπεπ==???

224222

02(1,2,3,)(4)n m z e E n n h μππε=-

=???

以207e m m μ=代入，并注意到氢原子的第一玻尔轨道半径

210

0022

40.529104h a m m e

μπεπ-==?， 氢原子的基态能量24022

0213.6(4)m e E eV h μππε=-

=-，可将1μ-子的轨道半径和能级公

式改写为2

0207n n r a Z

=，202

207n Z E E n =- 令n=1得1

μ-子的第一轨道半径为101011

0.52910207207r a m Z Z

-=

=?? （2）μ原子的电离能为

221020720713.6E E Z E Z eV =-=-=?电离（）

（3）应用频率法则，

21hc

E E λ

=-

22

21001

20713207144E E Z Z E E hc hc hc

λ-==-=-（） 求得从第二轨道跃迁到第一轨道时所放射的光子的波长为

222

041

1.22103207207hc nm Z E Z λ=-

??=（）

（4）在第一轨道半径的表达式中，令2A Z =

，得到102207r a A

= 要使1

μ-子进入原子核内，则要满足下式 R 1＜R

将题中的各已知量代入，可解得 A ＞94

型二、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动量与能量守恒方

程求解原子能量的问题。

例2．有两个处于基态的氢原子A 、B ，A 静止，B 以速度0υ与之发生碰撞。已知：碰撞后二

者的速度A υ和B υ在一条直线上，碰撞过程中部分动能有可能被某一氢原子吸收，从而该原子由基态跃迁到激发态，然后，此原子向低能态跃迁，并发出光子。如欲碰后发出一个光子，试论证：速度0υ至少需要多大（以m/s 表示）？已知电子电量为

191.60210e C -=?，质子质量为271.67310P m kg -=?,电子质量为319.1110e m kg -=?，

氢原子的基态能量为13.58E eV =-1。

分析和解：为使氢原子从基态跃迁到激发态，需要能量最小的激发态是n=2的第一激发态。已知氢原子的能量与其主量子数的平方成反比，即有21n E K n

= 又知基态（n=1）的能量为13.58E eV =-1，即12

1

13.581E K eV ==- 所以13.58K eV =-

n ＝2的第一激发态的能量为221113.58 3.3924

E K

eV eV ==-?- 为使基态的氢原子激发到第一激发态，所需能量为

21 3.3913.58)10.19E E E eV eV =-=-+=内（

这就是氢原子从第一激发态跃迁到基态时发生的光子的能量，即

1910.1910.19 1.60210h E eV J ν-===??内

式中ν为光子的频率从开始碰撞到发射出光子，根据动量和能量守恒定律有

0A B m m m υυυ=++光子的动量

222

01122

A B m m h υυυν=++（） 光子的动量h P c

νν

=

。由上面的第二式可推得002h m νυυ>，因0c υ<<，所以

02h m c

ν

υ>>

，故上面第一式中光子的动量与0m υ相比较可忽略不计，第一式变为 0()A B A B m m m m υυυυυ=+=+

于是，符合动量与能量守恒的0υ的最小值可推求如下：

2222220001111()2222

A B A B A B A A m m h m m h m m h υυυνυυυυνυυυυν=++=+-+=--+（）（） 2

00A A m m h υυυν-+=

经配方得220011()024A m m h υυυν-

-+=，即220011

()42

A m h m υνυυ=+-

由此可以看出，01

2

A υυ=

时，0υ达到最小值0min υ，此时A B υυ=，0min υ=关数值，得4

0min 6.2510/m s υ=?

即B 原子的速度至少应为4

6.2510/m s ?。

类型三、利用玻尔理论和经典力学中粒子的弹性碰撞模型列出碰撞过程中的动量与能量守恒

方程求解原子能量中考虑到离子的反冲与不考虑反冲相比的问题。 例3．已知基态He +的电离能为E=54.4 eV 。

（1）为使处于基态的He +进人激发态，入射光子所需的最小能量应为多少？

（2）He +从上述最低激发态跃迁回基态时，如考虑到该离子的反冲，则与不考虑反冲相比，

它所发射的光子波长的百分变化有多大？（离子He +的能级E n 与n 的关系和氢原子能级公式类似。电子电荷取19

1.60210

e C -=?，质子和中子质量均取

271.67310P m kg -=?。在计算中，可采用合理的近似。）

分析和解：

（1）电离能表示He +的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量，而题中所问的最小能量对

应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，所以

2211154.4(1)40.8124

E E eV =-=?-=最小（）

（2）如果不考虑离子的反冲，由第一激发态跃迁回基态发射的光子有关系式：0E h ν=最小

现在考虑离子的反冲，光子的频率将不是0ν而是ν,则由能量守恒得

21

2

E h M νυ=+最小

式中2

12

M υ为反冲离子的动能。

又由动量守恒得h M c

ν

υ=

式中M υ是反冲离子动量的大小，而

h c

ν

是发射光子的动量的大小。于是，波长的相对变化为

0000

h h h λ

λλνννν

λλνν

?---=

==

由前面几式可得2

22

01222M M c h M c Mc Mc υλυνλυ?=== 由于2

0()Mc h h ννν>>>>-

所以

000

2220

()222h h h Mc Mc Mc λ

ννννλ?-=

-≈

代人数据：199

2782

040.8 1.6010 5.41024 1.6710(310)

λ

λ---???==?????? 即百分变化为0.00000054%。

类型四、用迭代法求解半衰期的近似值的问题。 例4．假定地球形成时同位素

238

U 和235U 己经存在，但不存在它们的衰变产物。238U 和235U

的衰变被用来确定地球的年龄T 。 （a ）同位素

238

U 以4. 50×109年为半衰期衰变，衰变过程中其余放射性衰变产物的半衰

期比这都短得多。作为一级近似，可忽略这些衰变产物的存在。衰变过程终止于铅的同位素

206

Pb 。用238U 的半衰期、现在238U 的数目238N 表示出由放射衰变产生的206Pb 原

子的数目

206

n （运算中以109年为单位为宜）。

（b ）类似的，

235

U 在通过一系列较短半衰期产物后，以0. 710×109年为半衰期衰变，终

止于稳定的同位素207

Pb 。写出207n 与235N 和235U 半衰期的关系式。

（c ）一种铅和铀的混合矿石，用质谱仪对它进行分析，测得这种矿石中铅同位素

204

Pb ，

206

Pb 和207Pb 的相对浓度比为1.00:29. 6: 22.6。由于同位素204Pb 不是放射性的，可以

用作分析时的参考。分析一种纯铅矿石，给出这三种同位素的相对浓度之比为1.00:17.9:15.5。已知比值

238

N :235N 为137:1，试导出包含T 的关系式。