中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试题解答
2006级博士生入学试题（数学） (2)
中国科学院自动化研究所2006年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学考生须知：1．本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
1. 设1214A ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，计算A e 。
2. 设13(21i A i i −⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦，计算范数12||||,||||,||||A A A ∞和谱半径()A ρ。
3. 设A 是n 阶可逆矩阵，证明：对任意n 维列向量x 和y ，下述等式成立：1det()1det()T T A A A −+=−yx x y . 4. 从单位圆周上独立地随机选取两点A ，B ，试用几何概率方法计算：“圆心到弦AB 的距离不小于1/2”这个事件的概率。
5. 设12,X X 独立，都服从标准正态分布(0,1)N 。
记112212max{,},min{,}Y X X Y X X ==，计算12(),()E Y E Y 。
科目名称：数学第1页 共2页6.先验证：312221(;,))()exp (),2x a x a x a x ρσσ−⎛⎞=−−−−∞<<∞⎜⎟⎝⎠，作为x 的函数是概率密度，其中,a σ为参数，,0a σ−∞<<∞>。
然后求解下述问题：设12,,...n X X X 为来自此总体的样本，1) 求2,a σ的矩估计；2） 写出2,a σ的极大似然估计所满足的方程，并给出一种迭代求解方法。
7. 利用奇异值分解理论，讨论下述约束最小二乘问题的解：22min ..1A s t ⎧⎪⎨=⎪⎩x x ，其中(),m n n A R m n R ×∈≥∈x 。
8. 设n 元函数()f x 在n R 上有二阶连续偏导数。
若0x 是()f x 的一个临界点并且()f x 在0x 的Hessian 矩阵是可逆的，证明：存在0x 的一个邻域使得()f x 在该邻域内除0x 外没有其它临界点。
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学真题数二
2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：1～6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． （1）曲线xx xx ycos 25sin 4-+=的水平渐近线方程为______．【答案】51=y【考点】水平渐近线 【难易度】★★ 【详解】解析：，51cos 25sin 41lim cos 25sin 4lim lim =-+=-+=∞→∞→∞→xx x xx x x x y x x x 所以水平渐近线方程为51=y . （2）设函数⎪⎩⎪⎨⎧==/=⎰,,0,d sin 1)(023x a x t t x x f x在x ＝0处连续，则a ＝______．【答案】13【考点】函数连续的概念 【难易度】★★ 【详解】解析：按连续性定义，313sin lim d sin lim)(lim )0(220320=====→→→⎰x x x t t x f f a x xx x ． （3）广义积分⎰+∞+022)1(d x xx ＝______．【答案】12【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★ 【详解】 解析：211121)1(d 21)1(d 02022222=+-=+=++∞∞+∞+⎰⎰x x x x x x（4）微分方程xx y y )1(-='的通解是______． 【答案】xy Cxe -=，C 为∀常数 【考点】变量可分离的微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得x xy y d )11(d -=. 积分得 1ln ln y x x C =-+，即1C x y ex e -=．因此，通解为xy Cxe -=，C 为∀常数． （5）设函数()y y x =由方程1yy xe =-确定，则0|d d =x xy＝______． 【答案】e -【考点】隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】解析：在原方程中令0(0)1x y =⇒=．将方程两边对x 求导，并令0x =得y y y e xe y ''=--，(0)(0)y y e e '=-=-．（6）设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2112A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足BA ＝B ＋2E ，则B =______．【答案】2【考点】抽象型行列式的计算 【难易度】★★★ 【详解】解析：由BA ＝B ＋2E 得()2B A E E -=，两边取行列式，有4B A E ⋅-=．因为11211A E -==-，所以2B =． 二、选择题：7～14小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．（7）设函数y ＝f （x ）具有二阶导数，且x x f x f ∆>">',0)(,0)(为自变量x 在点x 0处的增量，∆y 与d y 分别为f （x ）在点x 0处对应的增量与微分，若∆x ＞0，则（ ） （A ）0＜d y ＜∆y ． （B ）0＜∆y ＜d y ． （C ）∆y ＜d y ＜0． （D ）d y ＜∆y ＜0． 【答案】（A ）【考点】函数单调性的判别；函数图形的凹凸性 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1：因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加()0,f x ''> 则()f x 是凹的又0x >V ，故0dy y <<V .方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--V V V0()()f x f x x ξ''=-V V0()()f x x ηξ''=-V 其中000,x x x x ξηξ<<+<<V由于()0f x ''>，从而0y dy ->V 又由于0()0dy f x x '=>V ，故选(A )（8）设()f x 是奇函数，除x ＝0外处处连续，x ＝0是其第一类间断点，则t t f xd )(0⎰是（ ）（A ）连续的奇函数． （B ）连续的偶函数．（C ）在x ＝0间断的奇函数． （D ）在x ＝0间断的偶函数．【答案】（B ）【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法1（排除法）： 设 ()f x =1,00,01,0x x x >⎧⎪=⎨⎪-<⎩此()f x 满足题设条件，它是一个奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点.0()()0xxx F x f t dt xx >⎧==⎨-<⎩⎰当当并且0(0)()0F f t dt ==⎰即 0()()000xx x F x f t dt x x x >⎧⎪==>⎨⎪-<⎩⎰当当当 ()F x 是一个连续的偶函数，所以不选(A )、(C )、(D )，只能选(B ).方法2（论证法）：由题设条件，()f x 除0x =外，处处连续，在0x =处为第一类间断点，且()f x 为奇函数，从而知，(0)0f =，且00lim ()lim ()0x x f x A f x A A +-→→-≠存在记为，存在， 作函数 (),0)0,0(),0f x A x x x f x A x ϕ->⎧⎪==⎨⎪-<⎩当（当当)x ϕ（为连续的奇函数,0()xt dt ϕ⎰为可导的偶函数.另一方面，00(),0()0,0(),0x x xf t dt Ax x t dt x f t dt Ax x ϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当所以，00(),0()0,0(),0x xxt dt Ax x f t dt x t dt Ax x ϕϕ⎧->⎪⎪==⎨⎪+<⎪⎩⎰⎰⎰当当当 即()()xxf t dt t dt A x ϕ=+⎰⎰，所以0()xf t dt ⎰为连续的偶函数,故选(B ).（9）设函数()g x 可微，1()()g x h x e +=，(1)1h '=，(1)2g '=，则(1)g 等于（ ）（A ）ln3－1． （B ）－ln3－1．（C ）－ln2－1．（D ）ln2－1．【答案】（C ）【考点】复合函数的求导法则 【难易度】★★ 【详解】 解析：由1()()g x h x e +=两边对x 求导，得1()()()g x h x g x e+''=，再以1x =代入，并由已知数值得1(1)12g e+=，于是1(1)ln1ln 212g =-=--.故选(C ). （10）函数212x x xy C e C e xe -=++满足的一个微分方程是（ ）（A ）.e 32xx y y y =-'-" （B ）.e 32xy y y =-'-"（C ）.e 32xx y y y =-'+" （D ）.e 32xy y y =-'+"【答案】（D ） 【考点】线性微分方程解的结构定理；自由项为指数函数的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：该方程对应的齐次方程的特征根为1和-2，于是特征方程为2(1)(2)20λλλλ-+=+-=对应的齐次微分方程为 -20y y y '''+= 所以不选(A )与(B )，为了确定是(C )还是(D )，只要将特解xy xe *=代入方程左边，计算得()()-23xy y y e ***'''+=，故选(D ).（11）设f （x ，y ）为连续函数，则r r r r f d )sin ,cos (d 14π0θθθ⎰⎰等于（ ）（A ）⋅⎰⎰-y y x f x x xd ),(d 21220（B ）⋅⎰⎰-y y x f x x d ),(d 210220（C ）.d ),(d 22012x y x f y y y⎰⎰- （D ）.d ),(d 210220x y x f y y ⎰⎰-【答案】（C ）【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换 【难易度】★★ 【详解】 解析：y x y x f r r r r f Dd d ),(d )sin ,cos (d 14π0⎰⎰⎰⎰=θθθ．D 的极坐标表示是：0≤r ≤1，4π0≤≤θ．见右图．现转换为先x 后y 的积分顺序． 原式x y x f y y yd ),(d 21220⎰⎰-=．因此选（C ）．（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且0),(=/'y x y ϕ．已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=． （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠． （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=． （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠．【答案】（D ）【考点】多元函数极值存在的必要条件；拉格朗日乘数法 【难易度】★★★ 【详解】解析：引入函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，有(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y f x y x y f x y x y x y λλϕλϕϕ'''⎧+=⎪'''+=⎨⎪'=⎩F =F =F =000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'Q 代入（1）得00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''='若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选D.（13）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是（ ） （A ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （B ）若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． （C ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关． （D ）若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关． 【答案】（A ）【考点】向量组线性相关的判别法 【难易度】★★ 【详解】解析：方法1：若12,,,s αααL 线性相关,则存在不全为0的数12s ,,,k k k L 使得11220s s k k k ααα+++=L用A 左乘等式两边,得11220s s k A k A k A ααα+++=L于是12,,,s A A A αααL 线性相关. 方法2：因为：1.12,,,s αααL 线性相关⇔ 12(,,,)s r s ααα<L .2.()()r AB r B <. 所以有：矩阵1212(,,,)(,,,)s s A A A A αααααα=L L ,因此1212(,,,)(,,,)s s r A A A r s αααααα≤<L L由此可判断答案应为A .（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C ，记⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010011P ，则（ ） （A ）1C P AP -=． （B ）1C PAP -=．（C ）T C P AP =．（D ）TC PAP =．【答案】（B ）【考点】矩阵的初等变换；逆矩阵的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：将A 的第2行加到第1行得B ，即 110010001B A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=PA将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，即110010001C B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记 BQ因PQ =110010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭110010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭E =，故1Q P -=从而 11C BP PAP --== ,故选(B ).三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10分）试确定常数A ，B ，C 的值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小．【考点】高阶无穷小；泰勒公式；洛必达法则 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得 23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)()()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得11021026B A C B B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩由此可解得13A =， 23B =-，16C =方法二：用洛必达法则．由23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，（0x →）⇒ )(记J0)1(e )1(lim 320=+-++-→x Ax Cx Bx x x ⇒ 203])1[(e 2limx Ax A Cx B x x +-++-→ （要求分子极限为0，即1＋B －A ＝0，否则J ＝∞）⇒ xAx A C J x x 6)12(e 2lim0--+=-→ （要求分子极限为0，即2A ＋2C －1＝0，否则J ＝∞），⇒ 06316)31(e lim0=-=+-=-→AAx A J x x ，即1－3A ＝0． 解 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=-+,031,0122,01A C A A B 得61,32,31=-==C B A ． （16）（本题满分10分）求.d e e sin arc x xx⎰【考点】不定积分的分部积分法；不定积分的第二类换元法 【难易度】★ 【详解】解析：x x xx x x x xx x x 2e1d e ee sin arc e de e sin arc d e e sin arc -+-=-=---⎰⎰⎰ 1)e (de e sin arc e 2---=---⎰x x xx其中，22sec tan sec sec ln sec tan ln ()1tan ()1x x x x x t te t dt tdt t t C e e C te -----===++=+-+-⎰⎰⎰因此，x x xd ee sin arc ⎰.|1e e |ln e sin arc e 2C x x x x +-+--=--- （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，计算二重积分⎰⎰⋅+++-=Dy x y x xyI d d 1122【考点】二重积分的计算；利用极坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：D 为右半单位圆，它关于x 轴对称，于是0d d 122=++⎰⎰y x y x xyD， 从而 ⎰⎰⎰⎰++=++=122221d d 2d d 11D Dy x yx y x yxI ． 又 {}10D D y =⋂≥，如图，作极坐标变换，cos x r θ=，sin y r θ=， 则 10,2π0:1≤≤≤≤r D θ．因此 2ln 2π)1ln(2πd 11d 21221022π0=+=+=⎰⎰r r r r I θ．（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin n n x x +=（1,2,n =L ）． （Ⅰ）证明n n x ∞→lim 存在，并求该极限；（Ⅱ）计算.)(lim 211n x nn n x x +∞→【考点】函数极限与数列极限的关系；单调有界准则【难易度】★★★★ 【详解】解析：（Ⅰ）由于0x π<<时，0sin x x <<，于是10sin n n n x x x +<=≤ 说明数列{}n x 单调减少且0n x >.由单调有界准则知lim n n x →∞存在.记为A递推公式两边取极限得 sin ,0A A A =∴=（Ⅱ）原式21sin lim(),n x n n nx x →∞=为∞"1"型 由于离散型不能直接用洛比达法则先考虑22011sin lim ln()0sin lim()t ttt t t t e t→→=用洛比达法则2323203311(cos sin )1110()0()lim 26cos sin sin 1262limlim2262t t t t t t t t t t t t t t tt t t ttteeeee →→→⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-=====g g（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++． 【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★ 【详解】证明：令()sin 2cos f x x x x x π=++ 只需证明0x π<<时,()f x 单调增加（严格）()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+ ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴ 单调减少（严格）又()cos 0f ππππ'=+=，故0()0()x f x f x π'<< >时则单调增加（严格）()()b a f b f a >>由则，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且)(22y x f z +=满足等式.02222=∂∂+∂∂yzx z （Ⅰ）验证;0)()(='+"uu f u f （Ⅱ）若1)1(,0)1(='=f f ，求函数()f u 的表达式． 【考点】多元复合函数的求导法；变量可分离的微分方程 【难易度】★★★ 【详解】解析：（I）z zf fx y∂∂''==∂∂()22222z xf fx x y x y ∂'''=+∂++()()22322222x yf fx y x y '''=+++()() 22232 22222z y xf fy x y x y∂'''=+∂++同理222200()()0z zfx yf uf uu∂∂''+==∂∂'''∴+=代入得成立（II）令(),f u p'=于是上述方程成为dp pdu u=-，则dp ducp u=-+⎰⎰ln ln,()cp u c f u pu'=-+∴==22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+===由得，于是22(1)1,1,()ln||,(1)0,0()ln||f c f u u c f c f u u'===+==∴=由，（21）（本题满分12分）已知曲线L的方程为)0(4,122≥⎪⎩⎪⎨⎧-=+=tttytx，（Ⅰ）讨论L的凹凸性；（Ⅱ）过点（－1，0）引L的切线，求切点（x0，y0），并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L（对应于x≤x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．【考点】导数的几何意义；由参数方程所确定的函数的导数；平面图形的面积【难易度】★★★【详解】解析：（Ⅰ）4222,42,12dx dy dy tt tdt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dydd y dxtdxdx dt t t tdt⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<>⎪⎝⎭处∴曲线L （在0t >处）是凸.（Ⅱ）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则 2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+⎪⎝⎭得 200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=Q点为（2，3），切线方程为1y x =+（Ⅲ）设L 的方程()x g y =, 则 ()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=±+解出t 得由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===-+=得可知(309(1)S y y d y ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy y =--⎰33332202(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-++-=+++13,1534,1432143214321bx x x ax x x x x x x x x有3个线性无关的解．（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求a ，b 的值及方程组的通解．【考点】非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组（导出组）的解之间的关系；非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ)设123,,ααα是方程组的3个线性无关的解,则2131,αααα--是0Ax =的两个线性无关的解.于是0Ax =的基础解系中解的个数不少于2,即4()2r A -≥,从而()2r A ≤.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以()2r A ≥. 两个不等式说明()2r A =.(Ⅱ)对方程组的增广矩阵作初等行变换:[]A b = 1111|11111|14351|10115|3,13|1004245|42a b a a b a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦由()2r A =,得出 2,a = 3b =-.代入后继续作初等行变换:1024|20115|3.0000|0-⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥⎣⎦得同解方程组 1342342-24-3-5x x x x x x =+⎧⎨=+⎩求出一个特解(2,3,0,0)T-和0Ax =的基础解系(2,1,1,0)T-,(4,5,0,1)T-.得到方程组的通解: 12(2,3,0,0)(2,1,1,0)(4,5,0,1)T T Tc c -+-+-，12,c c 任意.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量1(1,2,1)T α=--，2(0,1,1)Tα=-是线性方程组0Ax =的两个解．（Ⅰ）求A 的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ ＝Λ．【考点】矩阵的特征值的计算；矩阵的特征向量的计算；施密特正交化；相似对角矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：(Ⅰ) 由A 的每行元素之和为3，有(1,1,1)(3,3,3)T TA =故，0(1,1,1)Tα=是A 的特征向量,特征值为3.又12,αα都是0AX =的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于12,αα线性无关, 特征值0的重数大于1. 于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:0c α, c 0≠.属于0的特征向量: 1122c c αα+，12,c c 不都为0. (Ⅱ)将0α单位化,得0333(, , )333T η=. 对12,αα作施密特正交化,得122(0, , )22T η=-,2666( )366Tη=--. 作123(,,)Q ηηη=,则Q 是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0T Q AQ Q AQ ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。
2006考研数学二真题及答案解析
2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题（1）曲线4sin 52cos x x yxx的水平渐近线方程为.（2）设函数231sin ,0,(),xt dt xf x xa x在0x 处连续，则a.（3）广义积分22(1)xdxx .（4）微分方程(1)y x y x的通解是.（5）设函数()yy x 由方程1y yxe 确定，则A dy dx= .（6）设矩阵2112A，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E，则B = .二、选择题（7）设函数()yf x 具有二阶导数，且()0,()0f x f x ，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ，则（A ）0.dy y （B ）0.y dy （C ）0.ydy（D ）0.dyy 【】（8）设()f x 是奇函数，除0x 外处处连续，0x 是其第一类间断点，则0()x f t dt 是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x 间断的奇函数（D ）在0x间断的偶函数.【】（9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x eh g ，则(1)g 等于（A ）ln31.（B ）ln3 1.（C ）ln 2 1.（D ）ln 2 1.【】（10）函数212xxxyC eC e xe 满足一个微分方程是（A ）23.xy y y xe （B ）23.xy y y e （C ）23.xyyyxe （D ）23.xyyye （11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )df r r rdr 等于（A ）22120(,).x xdxf x y dy （B ）22120(,).x dxf x y dy （C ）22120(,).y ydyf x y dx （D ）22120(,).y dyf x y dx 【】（12）设(,)f x y 与(,)x y 均为可微函数，且1(,)0yx y . 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y 下的一个极值点，下列选项正确的是（A ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y . （B ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y . （C ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y . （D ）若00(,)0x f x y ，则00(,)0y f x y .【】（13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n 矩阵，下列选项正确的是（A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. （C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关.【】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记11001001P ，则（A ）1.C P AP （B ）1.C PAP （C ）.TC P AP （D ）.TCPAP 三解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()xe BxCx Ax o x ，其中3()o x 是当30x x 时比的高阶无穷小。
2006年考研数学二真题及答案
2006年考研数学二真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。
） (1)曲线y =x+4sinx 5x−2cosx的水平渐近线方程为_________。
【答案】y =15。
【解析】limx→∞x+4sinx 5x−2cosx=limx→∞1+4sinxx 5−2cosx x=15故曲线的水平渐近线方程为y =15。
综上所述，本题正确答案是y =15【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(2)设函数f (x )={1x 3∫sint 2dt,x ≠0,x0a,x =0在x =0处连续，则a =_________。
【答案】13。
【解析】a =lim x→01x 3∫sint 2dt x0=limx→0sinx 23x 2=13.综上所述，本题正确答案是13【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 (3)反常积分∫xdx (1+x 2)2+∞=_________。
【答案】12。
【解析】∫xdx (1+x 2)2+∞=lim b→+∞∫xdx (1+x 2)2b0=lim b→+∞12∫d (1+x 2)(1+x 2)2=12b 0lim b→+∞(−11+x 2)|b =12lim b→+∞(1−11+b 2)=12综上所述，本题正确答案是12【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (4)微分方程y ′=y(1−x)x的通解为__________。
【答案】y =Cxe −x ，C 为任意常数。
【解析】dyy =1−x xdx⇒ln |y |=ln |x |−lne x +ln |C |即y =Cxe −x ，C 为任意常数综上所述，本题正确答案是y =Cxe −x 。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 (5)设函数y =y(x)由方程y =1−xe y 确定，则dy dx |x=0=__________。
【答案】−e 。
【解析】等式两边对x 求导得y ′=−e y −xe y y ′ 将x =0代入方程y =1−xe y 可得y =1。
2006年高考数学试卷(全国Ⅰ.理)含详解
2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果时间A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果时间A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()1n kk kn n P k C P P -=-球的表面积公式24S R π=，其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径 一、选择题⑴、设集合{}20M x x x =-<，{}2N x x =<，则 A ．M N =∅ B ．M N M = C ．M N M = D ．M N R =⑵、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => C ．()22()x f x e x R =∈ D ．()2ln ln 2(0)f x x x =+> ⑶、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．14⑷、如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =A ．1B ．1-CD ．⑸、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭⑹、ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14 B ．34C ．4D ．3⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π⑻、抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是 A ．43 B ．75 C ．85D ．3 ⑼、设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=。
数学分析与高等代数考研真题详解--中科院卷
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
∫∫∫ 算积分 I = ex+y+zdxdydz ． D
4．(15
⎛ 分)定义向量场 F (x, y) = ⎜⎜⎝
xe x2 + y2 ,
x2 + y2
ye
x2 + y2
⎞ ⎟, x2 + y2 > 0
x2 + y2 ⎟⎠
证明 F (x, y) 是有势
场, 并求出 F (x, y) 的一个势函数．
∑ 5．(25
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校
的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们
的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试
博士家园考研丛书 （2010 版）
全国重点名校数学专业考研真题及解答
数学分析与高等代数 考研真题详解
中国科学院数学专卷 博士家园 编著
博士家园系列内部资料
《 博士家园数学专业考研丛书》
编委会
这是一本很多数学考研人期待已久的参考书，对于任何一个想通过考取重点院校的研究
2006年高考数学试题及答案(全国卷)
2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）一．选择题（1）已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=4，且ab =2，则a 与b 的夹角为（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（2）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（3）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（4）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （5）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若S 7=35,则a 4=（A ）8 （B ）7 （C ）6（D ）5（6）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为 （A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（7）从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为（A ）21（B ）53（C ）23 （D ）0（8）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32 （9）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π （10）在（x-x21）10的展开式中，x 4的系数为 （A ）-120 （B ）120 （C ）-15 （D ）15 （11）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57 （C ）58 （D ）3（12）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2 （C ）355cm 2（D ）20cm 2第Ⅱ卷（13）已知函数f(x)=a-121+x,若f(x)为奇函数，则a = 。
中科院06数学分析解答
中国科学院数学与系统科学研究院2006年硕士研究生招生初试试题参考解答数学分析张祖锦 编写1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==得到a=0.即得。
2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n 1已知级数发散求证级数也发散a a证明: 用反证法。
由0n a >知1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑na 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+n a ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ，从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n 1a 收敛，矛盾，从而得证。
3 1(1).n x dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值解：111111n100(1),1I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)(1,1).01111n m m m n n x dx x x x n d x n x dx I m n m m m m +++--=----=+-++++⎰⎰⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有从而111(,)(1,1)(2,2)(,0)11212n n n n n I m n I m n I m n I m n m m m m m m n --=+-=+-==+++++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++即得解。
4 0().a aa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e 证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有()()()11a a at t t a a af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰x f(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a a ae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰得证。
中国科学院大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇总(2009-2018年汇编)
|z| ≤ na, |x| ≤ nh, |y| ≤ nk.
(2) 求证： Hermite 矩阵的特征值都是实数.
(3) 求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数.
六、 ( 15 分) 设 A 是 n 维实线性空间 V 的线性变换, n ≥ 1. 求证： A 至少存在一个一维或者二维的不变 子空间.
七、 ( 20 分) 设循环矩阵 C 为
01
生成的子空间. 求 W ⊥ 的一组标准正交基.
00
11
八、 ( 18 分) 设 T1, T2, · · · , Tn 是数域 F 上线性空间 V 的非零线性变换, 试证明存在向量 α ∈ V , 使得 Ti(α) = 0, i = 1, 2, · · · , n.
7
5. 2013年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
三、 ( 20 分) 已知 n 阶方阵
a21
a1a2 + 1 · · · a1an + 1
A
=
a2a1 + 1
a22
···
a2an + 1
,
···
··· ··· ···
ana1 + 1 ana2 + 1 · · ·
a2n
n
n
其中 ai = 1, a2i = n.
i=1
八、 ( 15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 证明 A 为实对称阵当且仅当 AAT = A2, 其中 AT 表示矩阵 A 的转置.
6
4. 2012年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
一、 ( 15 分) 证明：多项式 f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn 没有重根.
中科院历年高等数学甲真题
（3）求极限 lim
b 0
b
，其中 由（2）确定。
14.利用欧拉积分及 函数的余元公式 (s)(1 s)
sin( s )
(0 s 1) 计算积分 (
a
L
b
b x p ) dx ，其中常数 p 满足 0 p 1 。 xa
15.设第二型曲线积分 ( f ( x) y 2 f (0) y ye xy )dx ( x 2 y x xe xy )dy 与路径 无关。 （1）求 f ( x) ； （2）求
四、 （8 分）设 f ( x) 满足条件 f ( x) f ( x) 1 ， f (0) 2 。 （1）求 f ( x) ； （2）求不定积分 ( f ( x) 1) ln f ( x)dx 。 五、 （8 分）求幂级数 (1) n
n 0
n n1 x 的收敛半径和函数。 n 1
2
D
f ( x, y)dxdy ___________________。
D
9.积分
0
ex e2x dx ___________________。 x
10.积分
1
0
( x )
n 0
2 n
dx __________________。
三、解答题（每题 8 分，共 40 分） 11.设 y y( x) 是由 ln x 2 y 2 arctan
dy d 2 y y 确定的隐函数，求 和 2 。 dx dx x
12.计算 zdxdydz ，其中 V 是球面 x 2 y 2 z 2 2az 和 x 2 y 2 z 2 az 所围
2006年北京大学高等代数真题解答
2006年北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
解: 方程AX B =有解的充分必要条件是: ()(,)r A r A B =. 令1(,,)m B ββ=", 其中k β为列向量. 则矩阵方程AX B =有解⇔方程组12,,,,k k Ay k m β=="有解. ⇔A 的列向量组构成的向量组与(,)A B 的列向量组构成的向量组等价. ⇔()(,)r A r A B =.注: 方程有解的一个等价含义是可由列向量线性表示, 从而转化为等价向量组上来.(2) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：方程n XA E =是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由。
解:方程n XA E =有解. 理由: 因为A 列满秩, 所以()()Tr A r A n ==.又(,)Tn r A E n =, 因此()(,)TTn r A r A E =,从而Tn A Y E =有解,两边取转置可知方程n XA E =有解.我个人觉得本题似乎考察的是:广义逆矩阵方面的知识, 如果大家对这部分知识不熟悉, 建议大家去看看丘维声老先生编著的<<高等代数>>.矩阵方程AXA A =的解X A −=一般称为A 的广义逆矩阵. 广义逆是存在的, 对于本题因为A 是列满秩的, 故由相抵标准型知,存在可逆矩阵,P Q 满足n E PAQ O ⎛⎞⎟⎜⎟⎜=⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 则可以取(,)n A Q E O P −=. 此时X 的所有解为: (),n sn X A Z E AA KZ −−×∈=+−∀.因为 11(,)n n nE A Q E O PP Q A E O −−−⎛⎞⎟⎜⎟⎜==⎟⎜⎟⎟⎜⎝⎠, 所以A −是矩阵方程n A A E −=的特解. 下面证明XA O =的全部通解为: (),n sn X Z E AA Z K−×∈=−∀.首先, 由()()n Z E AA A Z A A O −−=−=,知()n Z E AA −−是方程的解. 其次, 任取XA O =的一个解0X , 则由0000()n X E AA X X AA X −−−=−=, 取0Z X =即可.由矩阵方程解的结构定理可知, (),n sn X Z E AA Z K −×∈=−∀(3) 设A 是数域K 上s n ×列满秩矩阵，试问：对于数域K 上任意s m ×矩阵B ,矩阵方程AX B =是否一定有解？当有解时，它有多少个解？求出它的解集。
中科院数量经济学考研(数学与系统科学研究院)参考书、历年真题、报录比、研究生招生专业目录、复试分数线
戴彧虹
09 偏微分方程数值解
周爱辉
10 微分方程数值解
严宁宁
11 动力系统保结构算法理论与 应用
洪佳林
12 动力系统几何算法
尚在久
13 哈密尔顿系统的辛几何算法 唐贻发
同上
同上 同上
只招硕博 连读
①101 思想政治理论②201 英语一 只招硕博 ③616 数学分析④801 高等代数 连读
同上
同上
只招硕博 连读
岳澄波
16 几何分析
李嘉禹
同上 同上
①101 思想政治理论②201 英语一 ③616 数学分析④801 高等代数
同上
只招硕博 连读
同上
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
同上
同上
只招硕博 连读
同上
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
黄民强
同上 同上
①101 思想政治理论②201 英语一 只招硕博 ③616 数学分析④801 高等代数 连读
同上
同上
同上
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博 连读
同上
同上
同上
同上
只招硕博 连读
同上
同上
只招硕博 连读
同上
只招硕博
专注中国名校保（考）研考博辅导权威
付保华 郑维喆 席南华
05 李代数和应用偏微分方程
中科院硕士研究生入学考试2006高等代数试题解答
中科院2006年硕士研究生入学考试《高等代数》试题.1．（16分）已知,,αβγ为实数，求n nA αβγαβγα⨯⎛⎫ ⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭的行列式的值．2．（16分）线性方程组111122*********,111,221,000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数矩阵为11121212221,11,21,n nn n n n a a a a a a A a a a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭． 设()1,2,,jMj n = 是在矩阵A 中化去第j 列所得到的1n -阶子式．求证：⑴()()112,,,1n n M M M --- 是方程组的一个解；⑵如果A 的秩为1n -，那么方程组的解全是()()112,,,1n n M M M --- 的倍数．3．（16分）若α为一实数，试计算1lim 1nn nn αα→+∞⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭． 4．（18分）设a 为实数，10010011a aA a ⨯⎛⎫⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求50A 的第一行元素之和．5．（18分）若向量()12,,,2s s ααα> 线性无关，讨论12231,,,,s s s αααααααα-++++ 线性相关性．6．（18分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换 x x y P y z z '⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭化为椭圆柱面方程2244y z ''+=．求,a b 的值和正交矩阵P ． 7．（16分）设有实二次型()Tf x x Ax =，其中T x 是x 的转置，A 是33⨯实对称矩阵并满足以下方程：3261160A A A I -+-=．试计算()1m ax m ax Ax fx =．其中2222123xx x x =++，第一个极大值是满足以上方程的所有实对称矩阵A 来求．8．（16分）20062006A ⨯∈是给定的幂零阵（即：存在正整数p 使得0p A =而10p A -≠），试分析线性方程()20060Ax x =∈ 非零独立解个数的最大值和最小值．9．（16分）设f 是有限维向量空间V 上的线性变换，且n f 是V 上的恒等变换，这里n 是某个正整数．设(){}|W v V f v v =∈=。
中科院高代解答
中国科学院研究生院招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效 。
1.（20分）设pq是既约分数，1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，而且()0.pf q=证明 （1）0|p a ，而|n q a ； （2）对任意整数m ，有()|()p mq f m -.110()0 ())|(). , ()()(), n n p p f x f x qx p f x p q qx pq q f x qx p b x b --⎛⎫=--- ⎪⎝⎭=-++证明：由知,在有理数域上，，从而（因为互素，是一个本原多项式，故可设101000 (I),, |, |.n n n n b b a qb a pb q a p b --==-式中，，都是整数，比较两边系数，即得因此（2）由（I ）立得，对任意整数m ，有()|()p mq f m -.2. (20分) 设n 阶方阵1,(||)n i j n A i j ≤≤=-, 其行列式记为n D . 试证明 12440.n n n D D D --++= 并由此求出行列式n D . 证明：1211012.2131230n n n D n n n n --=---- 将第3行加到第1行，再减去第2行的2倍，得0200112210122013(2).213314123134n n n n D n n n n n n n n ---==---------再将第2列加到第1列，得1221222013(2)41424340012221222013013 (2)(2)414014243403444.n n n n n D n n n n n n n n n n n n n n n D D ----=---------=-+--------=-- 即12440.n n n D D D --++=上述差分方程的特征方程2440λλ++=有二重特征根2，故可设12()(2).n n D c nc =+-由120,1D D ==-可定出1211,44c c ==-．从而2(1)(2)n n D n -=---．3. (16分) 已知二阶矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为2(1)λ-，试求 20112011.AA -220111201111011A (1)A .0101101020100=2011.0101020101111=01011 2011A A A A A X AX A A X λ--⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-=解：由的特征多项式为可知的Jordan 标准形为或如果的Jordan 标准形为，那么，这时如果的Jordan 标准形为，则有可逆矩阵X,使，这时20111111111201111010101012010020100 .020*******X X X X X X X ---⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-2011-20114.（20分）设,,αβγ是3维线性空间V 的一组基，线性变换A 满足(+2+)=(3+4)=(4+5)=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩A A A ,,.试求A 在基,2,αβγγ+下的矩阵.解：由题设知+2+=3+4=4+5=αβγαβγββγγ⎧⎪⎨⎪⎩,,.A A A A A A A 从而可求出+65,=-5+4,=43.ααβγββγγβγ=--A A A 于是有+65+3(2+)8,(2+)=6+53(2+)8,=432(2+)5.ααβγαβγγβγβγβγγγβγβγγ=-=--=-+-=-A A A所以A 在基,2,αβγγ+下的矩阵为100332885⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 5. (24分) 已知矩阵222254245-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A .(1) 求A 的特征多项式, 并确定其是否有重根; (2) 求一个正交矩阵P , 使得1PAP -为对角矩阵;(3) 令V 是所有与A 可交换的实矩阵全体,证明V 是一个实数域上的线性空间,并确定V 的维数. 解：（1）A 的特征多项式 2()||(1)(10).f E A λλλ=-=--（2）21055245353535122333P ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （3）设12,,B B V k R ∈∈，则1122,,AB B A AB B A ==从而 121211()(),()()A B B B B A A kB kB A +=+=，即121,B B V kB V +∈∈．又显然0V ∈，所以V 是的33R ⨯的一上线性子空间，从而是实数域上的线性空间．由1111PAP PBP PBP PAP ----=，11110PAP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，得 11121212233b b PBP b b b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 所以V 是5维的，111111112212233,,,,P E P P E P P E P P E P P E P -----就是V 的一组基. 6. (20分) 设,A B 是两个n 阶复方阵,1n >. (1) 如果AB BA =, 证明,A B 有公共的特征向量;(2) 如果AB BA B μ-=, 其中μ是一个非零复数,那么,A B 是否会有公共的特征向量?回答“是”请给出证明；回答“否”请给出反例. 证明 在nC 中定义线性变换,στ，使(),(),.n x Ax x Bx x C στ==∈则,στ的特征向量分别是,A B 的特征向量．（1）由AB BA =知σττσ=.设0λ是σ的特征值，00{|(),}nV x x x x C λσλ==∈. 对任意0V λα∈，(())()σταστα=()τσα=0(())()τσαλτα==，因而0()V λτα∈，即0V λ是τ的不变子空间．考虑0|V λτ，它是0V λ的一个线性变换，在复数域C 上必有特征值μ，即存在,0V λξξ∈≠，使()τξμξ=．由于0V λξ∈，故ξ是,στ的公共的特征向量，它也是,A B的公共特征向量．（2）AB BA B μ-=知σττσμτ-=，用数学归纳法容易证明对任意的正整数k ，有k k k k σττσμτ-=，于是有()()0k k k tr k tr μτσττσ=-=，从而0.k tr τ= 所以τ为幂零变换，即有正整数m 使0.mτ=这样0就是τ的特征值，设0{|()0}V ατα==，则对任意0V α∈有(())()()()0τσατσασταμτα==-=，即0()V σα∈．就是说0V 是σ的不变子空间．与(1)类似可证,στ有公共的特征向量，它也是,A B 的公共特征向量． 7. (15分) 设A 是n 阶实方阵,其特征多项式有如下分解 1212()det()()()(),s r rrs p E A λλλλλλλλ=-=---其中E 为n 阶单位方阵,诸i λ两两不相等. 试证明A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数等于特征子空间i V λ的维数. 证明：设A 的Jordan 标准形为11rr t J J J J +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中j J 为j j n n ⨯Jordan 块，1,...,j t =．1,...,r J J 是以i λ为特征值的全部Jordan 块. 则 1,1;(),1.j i j j j n j r rank E J n r j t λ-≤≤⎧-=⎨+≤≤⎩于是1()()().ti i ijjj rank E A rank E J rank E J n r λλλ=-=-=-=-∑ 所以特征子空间iV λ的维数为r ，恰为A 的Jordan 标准形中以i λ为特征值的Jordan 块的个数.8. (15分) 设A 是n 阶实方阵,证明A 为实对称矩阵当且仅当2TAA A =, 其中TA 表示矩阵A 的转置.证明：必要性．当A 为实对称矩阵时，显然有2TAA A =．充分性．当2T AA A =时，()()()()()T T T T T T T T T T T T T TTr A A A A Tr AA AA A A A A Tr A A A A Tr A A A A --=--+=-=- ()()0T TTr A A AA Tr AA AA =-=-=，而TA A -为实矩阵，故0TA A -=，即TA A =．。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试题解答
中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试题解答广西大学数信学院动力系统方向 王磊杰 作答(仅供参考)第一题：已知,,αβγ为实数，求n n A αβγαβγα⨯⎛⎫ ⎪⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭n R 的行列式的值. 将||A 记作n D ，按第一行展开得21---=n n n D D D βγα.解方程02=+-βγαX X 得解 a =242βγαα-+，b =242βγαα--.所以()21---+=n n n abDD b a D ，进一步有：(211----=-n n n n aD D b aD D)(211----=-n n n n bD D a bD D 逐步递推有：)(1221aD D b aD D n n n -=---)(1221bD D a bD D n n n -=--- 显然βγα-=22D ，α=1D .所以当a 和b 不相等时，即02≠-βγα时，n D =()()ab bD D aaD D bn n ------121121，注意到α=+b a 和βγ=ab ，计算得：nD =()()βγαβγααβγαα42442112112-----++++n n n .当a 和b 相等时，利用)(1221aD D a aD D n n n -=---逐步递推得：n D =)(1221aD D aaD n n -+--=)(212222aD D a D a n n -+--……………………….. =())(212222aD D an D an n --+--=()nn ⎪⎭⎫⎝⎛+21α所以：||A =()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠-----++++βγααβγαβγαβγααβγαα4,214,4244222112112当当nn n n n第二题： ()()阶子式的行列式的值列所得中划去第为从1,,2,1-=n j A n j Mj.令分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αA B ，其中()1,,1,1 =α为n ⨯1矩阵.将B 看成行列式，则最后一行对应的代数余子式为()()()n nn n n M M M +++---1,,1,12211.因为行列式某一行元素与另外一行元素的对应代数余子式的乘积的和等于零，所以()()()0111222111=-++-+-+++nin nn i n i n Ma M a M a即：()0112211=-++-=nin n i i Ma Ma M a其中11-≤≤n i ，所以())1,,,(121n n M M M --- 是已给方程组的解.若A 的秩为1-n ，则方程组的解空间的维数是1，())1,,,(121n n M M M --- 是解空间的基，所以任意解都是())1,,,(121n n M M M --- 的倍数.第三题：令,11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=nn A n αα则()221||)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=n A I f n αλλλ，所以，n A 的特征值为i n α+1和i n α-1. 解方程组Xi n X A n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α1，得特解⎪⎪⎭⎫⎝⎛i 1.解方程组X i n X A n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α1，得特解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1i .令 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11ii P ，且由行变换可知：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2122211i i P .所以→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--11)1(00)1(1001P i n i n P P i n in P A nn nnnαααα⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212221011001ii e e i i P e e P i ii iαααα=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212221i i eie ie e iii i αααα =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-ααααcos sin sin cos ，()∞→n .即 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→ααααααcos sin sin cos 11limnn nn 注:yix nen yi x +→⎪⎭⎫ ⎝⎛++1，()∞→n .这个极限分为依模收敛和依幅角收敛，详见复变函数第四题： 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01010H ，则H I A +=α，i H 恰为将H 的每个元素向它的正上方移动i 次所得矩阵，利用二项式定理得：()i ii iH CH I A-=∑=+=5050505050αα.所以50A 的第一行元素之和为：()505050501αα+=-=∑ii iC .第五题：显然()()A s s s s s αααααααααααα,121113221,,,,,,,--=++++ ，其中A =s s R ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111，将其按第一行展开得：()111||--+=s A ，所以 当s 是偶数时，|A |=0, A 不可逆，()113221,,,,αααααααα++++-s s s 线性相关； 当s 是奇数时，|A |=2，A 可逆，()113221,,,,αααααααα++++-s s s 线性无关.第六题：显然⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111a bb A 是二次型()yz xz bxy z ay x z y x f 222,,222+++++=对应的对称矩阵，且正交矩阵P 将A 化为对角形式，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=410AP P T，即相似和⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410A ，所以它们的迹相等，所以3=a ，而且它们的行列式也相等(因为P 正交),所以()012=-b ，所以1=b .令4,1,0321===λλλ，解方程组X AX i λ=得相应的单位向量解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21021，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-313131，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛616261所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=61312162310613121P 第七题：由已知可得 ()()()032611623=---=-+-I A I A I A I A A A ，所以A 的特征值只可能是1，或2，或3. 另外有以下事实：若U 是正交矩阵，X是单位向量，则UX 是单位向量(因为1||||||||22====X X XUX U X UX TTT)；若Y 是单位向量，则Y UX =的解向量是单位向量，（因为Y U X T=是单位向量）.A 对称，所以存在正交矩阵U 使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32100000λλλTUAU其中i λ为A 的特征值且i λ3≤. 所以，当1||||=X 时，()UX U X AX XX f TT T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==321000000λλλ, 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321y y y UX ，则())(3232221233222211y y y y y y X f ++≤++=λλλ，且当A =I 3时，等号成立.即max A3)(max 1||||==X f X第八题：首先给出以下事实：若A 是方阵，且存在正整数k 使得()()1+=k k A r A r ，则对任意正整数n ，有()()nk k Ar Ar ++=1.因为()()1+=k kA r A r ，所以0=X Ak和01=+X Ak 的解空间的维数相同，显然0=X A k 的解就是01=+X A k 的解，所以它们的解空间相同.考虑01=+X A k 和02=+X Ak .设Y 是02=+X Ak 的解，则AY 是01=+X A k 的解，所以AY 是0=X A k的解， 即Y 是01=+X A k 的解，显然01=+X A k 的解就是02=+X A k 的解，所以 02=+X A k 的解空间和01=+X A k 的解空间相同，所以()()21++=k k A r A r ，归纳的有：()()n k k A r A r ++=1现在考虑本题，因为20062006⨯∈R A 是给定的幂零阵，不妨设0=p A ，但01≠-p A ，则由上面的论证可知()()()()012=>>>>-p p A r A r A r A r ，所以()1-≥p A r .取A 为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O O O C (分块对角矩阵),其中pp R C ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01010，易知0=pC，但01≠-p C且0=pA，但01≠-p A，()1-=p A r .设可逆矩阵P 使A 化为Jordan 标准型：121-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P A A A P A m，其中i A 为Jordan 块(形如上面的C ),i A 的对角元全是0,且i A 的阶小于等于p .令B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛m A A A21 则易知B 的对角线上的Jordan 块个数越多，B 的秩就越小，A 的秩就越小.令2006=r np +，其中p r <≤0.当r 不为0时，此时可令121-⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P D A A A P A rr n. 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯rr nD A A A21为Jordan 标准型，且pp n R A A A ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛====0101021则()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--=p n A r 20062006212006，其中[]a 表示不小于a 的最小整数. 若r 等于0，令 121-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P A A A P A n，其中pp n R A A A ⨯∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====0101021此时()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=p n A r 200620062006 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤≤-p A r p 200620061，所以0=AX 的非零独立解个数的最大值和最小值分别为p -2007和⎥⎦⎤⎢⎣⎡p 2006 说明：其中[]a 表示不小于a 的最小整数，和通常的定义不同，这里是为了形式上的统一. 第九题：设f 是有限维向量空间V 上的线性变换，且nf 是V 上的恒等变换，这里n 是某个正整数.设(){}|W v V f v v =∈=.证明W 是V 的一个子空间，并且其维数等于线性变换()2nfffn+++ 的迹.设V 是m 维的线性空间，取定V 的基，设f 对应的m 阶矩阵为A ，则0=-I A n . 考虑()1-=n x x f ，则f 的(形式)导数与f 互素，所以f 无重根，进一步有：A 的最小多项式无重根，所以A 可对角化.存在可逆矩阵P 使，121-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=P P A m λλλ其中i λ为A 的特征根，1=n i λ他们有可能相同，m i ,,2,1 =. 所以nA A A +++ 2=121211-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++P P n m mm nλλλλλλ令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++=n m mm nB λλλλλλ21211 当1≠i λ时，由1=n i λ及等比公式知：n1211λλλ+++ =0. 所以当1不是A 的特征值时，W 是零空间，它的维数是0，此时B 的对角元全是0，迹是0,所以nA A A +++ 2的迹是0，即nff ff n+++32的迹是0，命题成立.若1是A 的t 重特征值，此时B 的对角元当中有t 个值是n ，其余全是0, B 的迹是n t,所以nA A A +++ 2的迹是n t ，即nff ff n+++32的迹是t ，此时W 是1的特征子空间，维数是t ，命题成立.。
06-07高等代数(1)试卷A答案
暨 南 大 学 考 试 试 卷一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
共7小题，每小题3分，共21分）1．在[]P x 里能整除任意多项式的多项式是（ B ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设A 是数域P 上的n s ⨯矩阵且秩r A =)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nx x x X 21. 若方程组0=AX 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为（ C ）个.A ．n ；B ． r ；C ． r n -；D ．0 .3．行列式41032657a --中，元素a 的代数余子式是（ D ） A ．4067- B ．4165C ．4067-- D ．4165-4. 设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则k=（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．45、 设A 是数域P 上的n 级矩阵，||1,0A ≠,*A 是A 的伴随矩阵，则==**AA A A （ B ）.A ． 单位矩阵E ；B ． E A || ；C ． E A ||1- ；D ．2||E A .6、设分块矩阵1010n E A --⎛⎫=⎪-⎝⎭，2n ≥, 则||A =（ B ）A ． 1 ；B ．1- ；C ． 1(1)n -- ；D ．(1)n -． 7、设实二次型()12341234,,,22f x x x x x x x x =-，则()1234,,,f x x x x 的秩r 和负惯性指数q 分别为（ A ）A ．4,2r q ==；B ．3,2r q ==；C ．4,1r q ==；D ．2,3r q ==．二、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。
共6小题，每小题3分，共18分）1．当k =（ 5 ），= （ 4 ）时，5阶行列式D 的项12231453k a a a a a 取“负”号.2、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为)1)(1)(1(2++-x x x 。
GCT2006年考试试卷答案(含语文数学逻辑外语)
第一部分 语言表达能力测试第二部分 数学基础能力测试1. =++++++64177321661615581444133212211（ ） A . 1615308 B .3231308C .6463308 D.128127308答：C分析：（本题是算术题，考查数的简单运算）646330821121121872111)21212121211(21)7654321(116417732166161558144413321221165432=--+⨯⨯⨯=++++++++++++=++++++2.100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。
A .25 B.15 C.5 D.3 答：D 分析：（本题可以认为是算术题、也可以认为是概率题）作为算术题，解法如下：根基题意，24个没有电脑的人中15个人有手机，因此既没手机又没有电脑的人只有9人，从而在12个没有手机的人中只有3人有电脑。
作为概率题，解法如下：设事件A 表示从100个学生中任意叫出一人，此人有手机；事件B 表示从100个学生中任意叫出一人，此人有电脑。
则03.015.088.024.01)()()(1)(1)(=+--=+--=-=A B P A P B P A B P A B P 即这100个学生中有电脑但没有手机的共有3人。
3.如右图所示，小半圆的直径EF 落在大半圆的直径MN 上，大半圆的弦AB 与MN 平行且与小半圆相切，弦AB ＝10厘米，则图中阴影部分的面积为（ ）平方厘米。
A.10πB.12.5πC.20πD.25π 答：B 分析：（本题是平面几何题。
考查了圆的面积公式和圆的弦的有关性质）记大圆半径为R 、小圆半径为r ，则根据题意可知255222==-r R ，所以图中阴影部分的面积为ππππ5.12225212122==-r R 。
4.方程200720062=-x x ，所有实数根的和等于（ ）。
2006年数二真题、标准答案及解析
2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰ .（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则A dydx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<< （D ）0.dy y <∆< 【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】 （9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.-- （D ）ln 2 1.- 【 】（10）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 （A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--=（C ）23.x y y y xe '''+-= （D ）23.x y y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）0(,).x f x y dy ⎰⎰（B ）00(,).f x y dy ⎰⎰（C ）0(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）00(,).f x y dx ⎰⎰ 【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.（D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. 【 】 （13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. （C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -= （C ）.T C P AP = （D ）.T C PAP = 三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e ⎰求. 17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y+=++⎰⎰计算二重积分 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim(n x n x nx x +→∞计算. 19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得T Q AQ A =.2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== （3）广义积分220(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=-- 001(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A] （A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆< （C ）0y dy ∆<< （D ）0dy y <∆< 由()0()f x f x '>可知严格单调增加 ()0()f x f x ''>可知是凹的 即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数 （9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31-- （C ）ln 21-- （D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e += g (1)= ln 21-- （10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--= （C ）23x y y y xe '''+-= （D ）23x y y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A）0(,)xdxf x y dy ⎰（B）0(,)dxf x y dy ⎰（C）0(,)yf x y dx ⎰（D）0(,)f x y dx ⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 （B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今 000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''=' 今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设1,2,…,s都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若1,2,…,s线性相关,则A 1,A 2,…,A s线性相关. (B) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s线性无关. (C) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s线性相关. (D) 若1,2,…,s 线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,c s使得c11+c22+…+c s s=0,用A左乘等式两边,得c1A1+c2A2+…+c s A s=0,于是A1,A2,…,A s线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,…,s⇔ r(1,2,…,s)=s.2. r(AB)≤ r(B).矩阵(A1,A2,…,A s)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,A s)≤ r(1,2,…,s).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.(C) C=P T AP. (D) C=PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)(()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得 B +1=A ①C +B +12=0 ②1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得 13A =代入②得 16C =（16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰ 2arcsin 1t dut u =-+-⎰ arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. 解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1limn n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，limn n x A →∞=存在 在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式1sin lim "1"n xn n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 2011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t t t te→-=2323330010()0()26cos sin lim lim22t t t t t t t t t t tt te e→→⎡⎤⎡⎤-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a>>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==求函数()f u的表达式. 证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f xx y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积. 解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处 (0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-， 则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+ （III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=+解出t 得 由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y dy ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy =--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，ax 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解. 解:① 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意. (23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T ,2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ. 解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c 0, c ≠0. 属于0的特征向量:c 11+c 22, c 1,c 2不都为0.② 将单位化,得=(33,33,33)T .对1,2作施密特正交化,的1=(0,-22,22)T ,2=(-36,66,66)T. 作Q =(,1,2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0 Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0分数分配：11+11+11+12+12+10+9+9+9。
2006年高考数学试卷(北京卷.理)含详解
2006 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工类） （北京卷）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至2 页,第 II 卷 3 至 9 页，共 150 分。
考试时间 120 分钟。
考试结束。
将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题共 40 分） 注意事项：1． 答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。
（1）在复平面内，复数1ii+ 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（2）若 a 与 b －c 都是非零向量，则“a ·b=a ·c ”是“a ⊥（b －c ）”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）在 1，2，3，4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为 （A ）36 个 （B ）24 个 （C ）18 个 （D ）6 个（4）平面α的斜线 AB 交α于点 B ，过定点 A 的动直线l 与 AB 垂直，且交α 于点 C ，则动 点 C 的轨迹是 （A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个椭圆 （D ）双曲线的一支（5）已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的增函数，那么 a 的取值范围是（A ）（0，1） （B ）（0，13） （C ）17⎡⎢⎣,13⎤⎥⎦ （D ）]1,17⎡⎢⎣（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意1x ,2x (12x x ≠ ).2121()()f x f x x x -<-恒成立”的只有（A ）1()f x x= （B ）()f x x =（C ）()2f x = （D ）2()f x x =（7）设47101()22222()n f n n N +=++++⋅⋅⋅+∈,则()f n 等于（A ）2(81)7n - （B ）2(81)7n + （C ）12(81)7n +- （D ）12(81)7n ++（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A 、B 、 C 的机动车辆数如图所示，图中 123,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段 AB ⋂,BC ⋂CA ⋂的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（A ） 123x x x >>（B ） 132x x x >> （C ）231x x x >>（D ）321x x x >>绝密★启用前2006 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类） （北京卷） 第 II 卷（共 110 分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
令2006=，其中.当不为0时，此时可令 . 其中为Jordan标准型，且 则，其中表示不小于的最小整数. 若等于0，令 ，其中 此时 所以，所以的非零独立解个数的最大值和最小值分别为和 说明：其中表示不小于的最小整数，和通常的定义不同，这里是为了形 式上的统一. 第九题： 设是有限维向量空间上的线性变换，且是上的恒等变换，这里是某个正 整数.设.证明是的一个子空间，并且其维数等于线性变换的迹. 设是m维的线性空间，取定的基，设对应的m阶矩阵为，则. 考虑，则的(形式)导数与互素，所以无重根，进一步有：的最小多项 式无重根，所以可对角化.存在可逆矩阵使， 其中为的特征根，他们有可能相同，. 所以 = 令 当时，由及等比公式知：=0. 所以 当1不是的特征值时，是零空间，它的维数是0，此时的对角元全是0， 迹是0,所以的迹是0，即的迹是0，命题成立. 若1是的t重特征值，此时的对角元当中有t个值是，其余全是0, 的迹是t, 所以的迹是t，即的迹是t，此时是1的特征子空间，维数是t，命题成立.
令，则，恰为将的每个元素向它的正上方移动次所得矩阵，利用二项 式定理得：.所以的第一行元素之和为：. 第五题： 显然，其中 =，将其按第一行展开得：，所以 当是偶数时，||=0, 不可逆，线性相关； 当是奇数时，||=2，可逆，线性无关. 第六题： 显然是二次型对应的对称矩阵，且正交矩阵将化为对角形式，即，即， 所以它们的迹相等，所以，而且它们的行列式也相等(因为正交),所以， 所以.令，解方程组得相应的单位向量解： ，， 所以 第七题： 由已知可得 ，所以的特征值只可能是1，或2，或3. 另外有以下事 实： 若是正交矩阵，是单位向量，则是单位向量(因为)；若是单位向量， 则的解向量是单位向量，（因为是单位向量）.对称，所以存在正交矩 阵使 其中为的特征值且. 所以，当时， , 令，则 ，且当=时，等号成立.即 第八题： 首先给出以下事实： 若是方阵，且存在正整数使得，则对任意正整数，有 .因为，所以和的解空间的维数相同，显然的解就是的解，所以它们的 解空间相同.考虑和 .设是的解，则是的解，所以是的解， 即是的解，显然的解就是的解，所以 的解空间和 的解空间相同，所 以，归纳的有： 现在考虑本题，因为是给定的幂零阵，不妨设，但，则由上面的论 证可知，所以.取为(分块对角矩阵),其中，易知，但且，但，. 设可逆矩阵使化为Jordan标准型：，其中为Jordan块(形如上面的),的 对角元全是0,且的阶小于等于.令 = 则易知的对角线上的Jordan块个数越多，的秩就越小，的秩就越小.
中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试 题解答 广西大学数信学院动力系统方向 王磊杰 作答 (仅供参考)
第一题：已知为实数，求的行列式的值. 将记作，按第一行展开得.解方程得解 =，=.所以，进一步有： 逐步递推有： 显然，. 所以当和不相等时，即时，=，注意到和，计算得：=. 当和相等时，利用逐步递推得： = = ……………………….. = = 所以：= 第二题： . 令分块矩阵，其中为矩阵.将看成行列式，则最后一行对应的代数余 子式为.因为行列式某一行元素与另外一行元素的对应代数余子式的乘 积的和等于零，所以 即： 其中，所以是已给方程组的解. 若的秩为，则方程组的解空间的维数是1，是解空间的基，所以任 意解都是的倍数. 第三题： 令则，所以，的特征值为和. 解方程组，得特解.解方程组，得特 解.令 ，且由行变换可知：.所以 = =，.即 注:，.这个极限分为依模收敛和依幅角收敛，详见复变函数 第四题：