高中数学立体几何解析几何常考题汇总
新课标立体几何解析几何常考题汇总
1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形
(2) 若
BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明:在ABD ?中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1
//,2
EH BD EH BD = 同理,1
//,2
FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角
2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE;
(2)平面CDE ⊥平面ABC 。 证明:(1)
BC AC CE AB AE BE =?
?⊥?=?
同理,AD BD DE AB AE BE =??⊥?=?
又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE
又∵AB ?平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定
A
H
G
F
E
D
C
B A
E
D
B
C
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。
证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外
∴1//A C 平面BDE 。 考点:线面平行的判定
4、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥
BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥
又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定
5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.
求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1
AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11A C ,设
11111
A C
B D O ?=,连结1AO
∵ 1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形
∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC = 又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =
11AOC O ∴是平行四边形
111,C O AO AO ∴?
∥面11AB D ,1C O ?面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D
(2)1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111
A C
B D ⊥∵, 1111B D A
C C ∴⊥面 1
11AC B D ⊥即 同理可证
11A C AD ⊥, 又
1111
D B AD D ?=
∴1A C ⊥面11AB D
考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
A
E
D 1
C
B 1
D
C
B
A
S
D
C
B
A
D 1O
D
B A
C 1
B 1
A 1
C
M
P
6、正方体''''ABCD A B C D -中,求证:(1)''AC B D DB ⊥平面;(2)''BD ACB ⊥平面.
考点:线面垂直的判定
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD . 证明:(1)由B 1B ∥DD 1,得四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD , 又BD ?平面B 1D 1C ,B 1D 1?平面B 1D 1C , ∴BD ∥平面B 1D 1C .
同理A 1D ∥平面B 1D 1C .
而A 1D ∩BD =D ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD .
(2)由BD ∥B 1D 1,得BD ∥平面EB 1D 1.取BB 1中点G ,∴AE ∥B 1G .
从而得B 1E ∥AG ,同理GF ∥AD .∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF .∴DF ∥平面EB 1D 1.∴平面EB 1D 1∥平面FBD .
考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、四面体ABCD 中,,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点,且2
2
EF AC =
, 90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD
证明:取CD 的中点G ,连结,EG FG ,∵,E F 分别为,AD BC 的中点,∴EG
12
//AC = 12//FG BD =
,又,AC BD =∴12FG AC =,∴在EFG ?中,222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥,∴BD AC ⊥,又90BDC ∠=,即BD CD ⊥,AC CD C ?= ∴BD ⊥平面ACD
考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形
9、如图P 是ABC ?所在平面外一点,
,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N 是AB 上的点,
3AN NB =
(1)求证:MN AB ⊥;(2)当90APB ∠=,24AB BC ==时,求MN 的长。
A 1 A
B 1
C 1
D 1
D G E
F
证明:(1)取PA 的中点Q ,连结,MQ NQ ,∵M 是PB 的中点,
∴//MQ BC ,∵ CB ⊥平面PAB ,∴ MQ ⊥平面PAB ∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ,取 AB 的中点D ,连结 PD ,∵,PA PB =∴PD AB ⊥,又3AN NB =,∴BN ND = ∴//QN PD ,∴QN AB ⊥,由三垂线定理得MN AB ⊥ (2)∵90APB ∠=,,PA PB =∴1
22
PD AB =
=,∴1QN =,∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥,且1
12
MQ BC =
=,∴2MN = 考点:三垂线定理
10、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证:平面1D EF ∥平面BDG .
证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,∴EF ∥BD 又EF ?平面BDG ,BD ?平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵1D G
EB ∴四边形1D GBE 为平行四边形,1D E ∥GB
又1D E ?平面BDG ,GB ?平面BDG ∴1D E ∥平面BDG
1EF D E E
?=,∴平面1D EF ∥平面BDG
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线)
11、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点. (1)求证:1//A C 平面BDE ; (2)求证:平面1A AC ⊥平面BDE . 证明:(1)设AC BD O ?=,
∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点,∴1A C ∥EO
又1
AC ?平面BDE ,EO ?平面BDE ,∴1A C ∥平面BDE (2)∵1AA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥,
1AC AA A
?=,∴BD ⊥平面1A AC ,BD ?平面BDE ,∴平面BDE ⊥平面1A AC
考点:线面平行的判定(利用三角形中位线),面面垂直的判定
12、已知ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,2AB =,4PA AD ==,E 为BC 的中点.
(1)求证:DE ⊥平面PAE ;(2)求直线DP 与平面PAE 所成的角. 证明:在ADE ?中,2
2
2
AD AE DE =+,∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ,DE ?平面ABCD ,∴PA DE ⊥ 又PA AE A ?=,∴DE ⊥平面PAE
(2)DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角
在Rt PAD ?,42PD =,在Rt DCE ?中,22DE = 在Rt DEP ?中,2PD DE =,∴0
30DPE ∠= 考点:线面垂直的判定,构造直角三角形
13、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是0
60DAB ∠=且边长为a 的菱形,侧面PAD 是等边三角形,且平面PAD 垂直于底面ABCD .
(1)若G 为AD 的中点,求证:BG ⊥平面PAD ; (2)求证:AD PB ⊥;
(3)求二面角A BC P --的大小. 证明:(1)ABD ?为等边三角形且G 为AD 的中点,∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ,∴BG ⊥平面PAD
(2)PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点,∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥,PG BG G ?=,∴AD ⊥平面PBG ,
PB ?平面PBG ,∴AD PB ⊥
(3)由AD PB ⊥,AD ∥BC ,∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥,AD ∥BC ,∴BG BC ⊥ ∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角
在Rt PBG ?中,PG BG =,∴0
45PBG ∠=
考点:线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理,二面角的求法(定义法)
14、如图1,在正方体1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD . 证明:连结MO ,1A M ,∵DB ⊥1A A ,DB ⊥AC ,
1A A AC A
?=,
∴DB ⊥平面11A ACC ,而1
AO ?平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,223
4
MO a =. 在Rt △11A C M 中,22194
A M a =
.∵222
11A O MO A M +=,∴1
AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD .
考点:线面垂直的判定,运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD ,
作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC BC =,∴CF AB ⊥.
∵AD BD =,∴DF AB ⊥.
又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B ?=, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥.
∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E ?=, ∴ AH ⊥平面BCD . 考点:线面垂直的判定
16、证明:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1C ⊥平面BC 1D
11
A B 1
D C
B
证明:连结AC
BD AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥?
??
?⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面
考点:线面垂直的判定,三垂线定理
17、如图,过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC ⊥平面BSC .
证明∵SB=SA=SC ,∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC 取BC 的中点O ,连AO 、SO ,则AO ⊥BC ,SO ⊥BC ,
∴∠AOS 为二面角的平面角,设SA=SB=SC=a ,又∠BSC=90°,∴BC=2a ,SO=22
a ,
AO 2=AC 2-OC 2=a 2-21a 2=21
a 2,∴SA 2=AO 2+OS 2,∴∠AOS=90°,从而平面ABC ⊥
平面BSC .
考点:面面垂直的判定(证二面角是直二面角)
第九章 解析几何 第一节 直线和圆 第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
一、选择题
1.(辽宁理,4)已知圆C 与直线x -y =0 及x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为
A.2
2
(1)(1)2x y ++-= B. 2
2
(1)(1)2x y -++= C.2
2
(1)(1)2x y -+-= D. 2
2
(1)(1)2x y +++=
【解析】圆心在x +y =0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B
2.(重庆理,1)直线1y x =+与圆2
2
1x y +=的位置关系为( ) A .相切 B .相交但直线不过圆心 C .直线过圆心
D .相离
【解析】圆心(0,0)为到直线1y x =+,即10x y -+=
的距离2d =
=
,而012<<,选B 。 【答案】B
3.(重庆文,1)圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( ) A .2
2
(2)1x y +-= B .2
2
(2)1x y ++= C .2
2
(1)(3)1x y -+-=
D .22
(3)1x y +-=
解法1(直接法):设圆心坐标为(0,)b
,则由题意知1=,解得2b =,故圆的方程为
22(2)1x y +-=。
解法2(数形结合法):由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),故圆的方程为2
2
(2)1x y +-= 解法3(验证法):将点(1,2)代入四个选择支,排除B ,D ,又由于圆心在y 轴上,排除C 。 【答案】A
4.(上海文,17)点P (4,-2)与圆2
2
4x y +=上任一点连续的中点轨迹方程是 ( ) A.2
2
(2)(1)1x y -++= B.2
2
(2)(1)4x y -++= C.2
2
(4)(2)4x y ++-= D.2
2
(2)(1)1x y ++-=
【解析】设圆上任一点为Q (s ,t ),PQ 的中点为A (x ,y ),解得:???+=-=2242y t x s ,代入圆方
程,得(2x -4)2+(2y +2)2=4,整理,得:2
2
(2)(1)1x y -++= 【答案】A
5. (上海文,15)已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行,则k 得值是( ) A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
【解析】当k =3时,两直线平行,当k ≠3
k -3,解得:k =5,故
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点
抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=
高中数学空间几何专题练习(供参考)
一、选择题 1、下图(1)所示的圆锥的俯视图为 ( ) 2 3 + 为 ( ) C 、120; 。 3、边长为a 正四面体的表面积是 ( ) A 、34; B 、312a ; C 、24 a ; D 2。 4、对于直线:360l x y -+=的截距,下列说法正确的是 ( ) A 、在y 轴上的截距是6; B 、在x 轴上的截距是6; C 、在x 轴上的截距是3; D 、在y 轴上的截距是3-。 5、已知,a b αα?//,则直线a 与直线b 的位置关系是 ( ) A 、平行; B 、相交或异面; C 、异面; D 、平行或异面。 6、已知两条直线12:210,:40l x ay l x y +-=-=,且12l l //,则满足条件a 的值为A 、12-; B 、12 ; C 、2-; D 、2。 7、在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点。 若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为60,则四边形EFGH 的面积为 ( ) A 2; B 2a ; C 2; D 2。 8、在右图的正方体中,M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点, 则异面直线AC 和MN 所成的角为( ) A .30° B .45° C .90° D . 60° 9、下列叙述中错误的是 ( ) A 、若P αβ∈且l αβ=,则P l ∈; B 、三点,,A B C 确定一个平面; C 、若直线a b A =,则直线a 与b 能够确定一个平面; 图(1) 1 A
D 、若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈,则l α?。 10、两条不平行的直线,其平行投影不可能是 ( ) A 、两条平行直线; B 、一点和一条直线; C 、两条相交直线; D 、两个点。 11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ( ) A 、25π; B 、50π; C 、125π; D 、都不对。 12、给出下列命题 ①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 ④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 二、填空题 13、圆柱的侧面展开图是边长分别为2,a a 的矩形,则圆柱的体积为 ; 14.一个圆柱和一个圆锥的底面直径.. 和它们的高都与某一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 . 15、过点(1 16、已知,a b (1) a b αβ////,,则a b //; (2) ,a b γγ⊥⊥,则a b //; (3) ,a b b α?//,则a α//; (4) ,a b a α⊥⊥,则b α//; M
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则