第五版运筹学基础与应用-大题模拟试题及答案

计算题一1. 下列线性规划问题化为标准型。

(10分)123min +5-2Z x x x =-123123121236235100,0,x x x x x x x x x x x +-≤-+≥+=≥≤符号不限2. 写出下列问题的对偶问题 (10分)123min 42+3Z x x x =+123123121234+56=78910111213140,0x x x x x x x x x x x --+≥+≤≤≥无约束，3. 用最小元素法求下列运输问题的一个初始基本可行解(10分)4．某公司有资金10万元，若投资用于项目(1,2,3)i i i x =的投资额为时，其收益分别为11122()4,()9,g x x g x x == 33()2,g x x =问应如何分配投资数额才能使总收益最大？(15分)5． 求图中所示网络中的最短路。

（15分）计算题二满足满足1、某工厂拥有A,B,C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品，每件产品在生产中需要使用的机时数，每件产品可以获得的利润，以及三种设备可利用的机时数见下表：求：（1）线性规划模型；（5分） （2）利用单纯形法求最优解；（15分）4. 如图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。

现在有一个人要从1v 出发，经过这个交通网到达8v ，要寻求使总路程最短的线路。

（15分）5. 某项工程有三个设计方案。

据现有条件，这些方案不能按期完成的概率分别为0.5,0.7,0.9,即三个方案均完不成的概率为0.5×0.7×0.9=0.315。

为使这三个方案中至少完成一个的概率尽可能大，决定追加2万元资金。

当使用追加投资后，上述方案完不成的概率见下表，问应如何分配追加投资，才能使其中至少一个方案完成的概率为最大。

(15分)计算题三1、某工厂要制作100套专用钢架，每套钢架需要用长为2.9m , 2.1m , 1.5m的圆钢各一根。

已知原料每根长7.4m ，现考虑应如何下料，可使所用的材料最省？产品甲产品乙设备能力/h设备A 3 2 65设备B 2 1 40设备C 0 3 75利润/(元/件) 1500 2500求：（1（2）将上述模型化为标准型（5分）2、求解下列线性规划问题，并根据最优单纯形法表中的检验数，给出其对偶问题的最优解。

（15分）123ax437m z x x x=++12322100x x x++≤12333100x x x++≤123,,0x x x≥3．断下表中方案是否可作为运输问题的初始方案，为什么？（10分）4.用Dijkstra算法计算下列有向图的最短路。

（15分）追加投资（万元）各方案完不成的概率1 2 3120.500.300.250.700.500.300.900.700.40满足v2v6v1v4v5v7v32352173517555．某集团公司拟将6千万资金用于改造扩建所属的A、B、C三个企业。

每个企业的利润增长额与所分配到的投资额有关，各企业在获得不同的投资额时所能增加的利润如下表所示。

集团公司考虑要给各企业都投资。

问应如何分配这些资金可使公司总的利润增长额最大？（15分）计算题答案一1、max(-z)=''''123352()x x x x -+-2、写出对偶问题maxW=12371114y y y ++3、解：4．解：状态变量k s 为第k 阶段初拥有的可以分配给第k 到底3个项目的资金额；决策变量k x 为决定给第k 个项目的资金额；状态转移方程为1k k k s s x +=-；最优指标函数()k k f s表示第k 阶段初始状态为k s 时，从第k 到第3个项目所获得的最大收益，()k k f s 即为所求的总收益。

递推方程为：{}10()()()(1,2,3)max k kk k k k k k x s f s g x f s k ++≤≤=+= 44()0f s = 当k=3时有{}3323330()2max x s f s x ≤≤=当33x s =时，取得极大值223s ，即：{}332233330()22max x s f s x x ≤≤==当k=2时有：{}222222330()9()max x s f s x f s ≤≤=+{}22223092max x s xs ≤≤+={}22222092()max x s x s x ≤≤+-=令 2222222(,)92()h s x x s x =+-用经典解析方法求其极值点。

由 222292()(1)0dh s x dx =+--=解得：2294x s =-而 222240d h d x= 所以2294x s =-是极小值点。

极大值点可能在[0，2s ]端点取得：222(0)2f s =， 222()9f s s =当222(0)()f f s =时，解得 29/2s =当29/2s 时，222(0)()f f s ，此时，*20x =当29/2s 时，222(0)()f f s ，此时，*22x s =当k=1时，{}11111220()4()max x s f s x f s ≤≤=+当 222()9f s s =时，{}11111110()499max x s f s x s x ≤≤=+-{}111110959max x s s x s ≤≤=-=但此时 211100109/2s s x =-=-=，与29/2s 矛盾，所以舍去。

当2222()2f s s =时，{}121111010(10)42()max x f x s x ≤≤=+-令 2111111(,)42()h s x x s x =+-由 122144()(1)0dh s x dx =+--= 解得： 211x s =-而 222210d h d x = 所以 111x s =-是极小值点。

比较[0,10]两个端点 10x =时，1(10)200f = 110x =时，1(10)40f =*10x = 所以再由状态转移方程顺推：*21110010s s x =-=-= 因为 29/2s所以 *20x =，*32210010s s x =-=-= 因此*3310x s == 最优投资方案为全部资金用于第3个项目，可获得最大收益200万元。

5. 解：用Dijkstra 算法的步骤如下， P （1v ）＝0T （j v）＝∞（j ＝2，3…7） 第一步：因为()21,v v ，()31,v v A ∈且2v ，3v 是T 标号，则修改上个点的T 标号分别为：()()()[]12122,m in w v P v T v T +==[]min ,055∞+=()()()[]13133,m in w v P v T v T +==[]min ,022∞+=所有T 标号中，T （3v ）最小，令P （3v ）＝2 第二步：3v 是刚得到的P 标号，考察3v()34,v v ，()36,v v A ∈，且5v ，6v 是T 标号 ()()()44334min ,T v T v P v w =+⎡⎤⎣⎦=[]min ,279∞+=()[]6min ,2T v =∞＋4＝6所有T 标号中，T （2v ）最小，令P （2v ）＝5 第三步：2v 是刚得到的P 标号，考察2v()()()44224min ,T v T v P v w =+⎡⎤⎣⎦=[]min 9,527+= ()()()55225min ,T v T v P v w =+⎡⎤⎣⎦＝[]min ,5712∞+=所有T 标号中，T （6v ）最小，令P （6v ）＝6 第四步：6v 是刚得到的P 标号，考察6v()()()44664min ,T v T v P v w =+⎡⎤⎣⎦=[]min 9,627+= ()()()55665min ,T v T v P v w =+⎡⎤⎣⎦＝[]min 12,617+=()()()77667min ,T v T v P v w =+⎡⎤⎣⎦＝[]min ,6612∞+=所有T 标号中，T （4v ），T （5v ）同时标号，令P （4v ）=P （5v ）＝7第五步：同各标号点相邻的未标号只有7v ()()()[]57577,m in w v P v T v T += ＝[]min 12,7310+=至此：所有的T 标号全部变为P 标号，计算结束。

故1v 至7v 的最短路为10。

计算题答案二1. 解：（1）12m ax 15002500z x x =+123265x x +≤ 满足 12240x x +≤ 2375x ≤12,0x x ≥（2）最优解 *(5,25,0,5,0)T x = 最优目标值 = 70000元2. 解：此规划存在可行解(0,1)Tx =，其对偶规划123m in 4143w y y y =++满足： 12333y y y -++≥ 123222y y y +-≥123,,0y y y ≥对偶规划也存在可行解(0,1,0)Ty =，因此原规划存在最优解。

3、解：可以作为初始方案。

理由如下： （1）满足产销平衡 （2）有m+n-1个数值格（3）不存在以数值格为顶点的避回路4.解：5.解：此题目等价于求使各方案均完不成的概率最小的策略。

把对第k 个方案追加投资看着决策过程的第k 个阶段，k ＝1，2，3。

k x -----------第k 个阶段，可给第k, k+1，…，3个方案追加的投资额。

k u -----------对第k 个方案的投资额{}kk k k k k k k u x x x u u u D -=≤==+12,1,0且阶段指标函数()()k k k k u x p u x C ,,=,这里的()k k u x p ,是表中已知的概率值。

过程指标函数()()()()()1,,,44113,133,min =⋅=⋅=++∈+=x f x f u x C x f V u x C V k k k k D u k k k ki k k k kk以上的k ＝1，2，3 用逆序算法求解 k ＝3时，()()3333,min 33u x C x f D u ∈= 得表：最优策略：*1u ＝1，*2u =1,*3u =0或*1u ＝0，*2u =2, *3u =0，至少有一个方案完成的最大概率为1-0.135=0.865计算题答案三1. 解 分析：利用7.4m 长的圆钢截成2.9m , 2.1 m ,1.5m 的圆钢共有如下表所示的8方案 毛胚/m 方案1 方案2 方案3 方案4 方案5 方案6 方案7 方案8 2.9 2 1 1 1 0 0 0 02.1 0 2 1 0 3 2 1 0 1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 合计 7.3 7.1 6.5 7.4 6.3 7.2 6.6 6.0 剩余料头0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4 设1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x 分别为上面8中方案下料的原材料根数。